Exercices corrigés : la proportionnalité, les pourcentages et les vitesses (Quatrième)

1) $\dfrac{4{,}80}{1{,}5}=3{,}2$ et $\dfrac{8}{2{,}5}=3{,}2$. Le même nombre apparaît deux fois : le tableau est proportionnel de coefficient $3{,}2$. Une seule colonne ne prouverait rien, il en faut au moins deux, et la vérification doit se faire dans le même sens pour toutes.

2) On multiplie la masse par $3{,}2$ : $4\times 3{,}2=12{,}80$ dollars et $7{,}5\times 3{,}2=24$ dollars.

3) C'est le prix d'UN kilogramme, soit $3{,}20$ dollars le kg. Un coefficient de proportionnalité a toujours une unité, ici des dollars par kilogramme, et c'est cette unité qui dit dans quel sens il s'emploie. Le nommer évite de le multiplier au moment où il faudrait le diviser.

4) C'est $\dfrac{1}{3{,}2}=0{,}3125$, exprimé en kilogrammes par dollar : il donne la masse achetée pour un dollar. Les deux coefficients sont inverses l'un de l'autre, jamais opposés.

5) $\dfrac{20}{3{,}2}=6{,}25$ kg. Vérification : $6{,}25\times 3{,}2=20$ dollars. On divise ici, parce qu'on remonte du prix vers la masse.

6) Non. $\dfrac{7}{2}=3{,}5$ tandis que $\dfrac{12}{4}=3$ : les deux quotients diffèrent, il n'y a pas de coefficient unique. Ce marchand facture en réalité $2$ dollars de mise en sac plus $2{,}50$ dollars le kilogramme, et c'est ce montant fixe qui casse la proportionnalité. Retenez ce contre-exemple : dès qu'un forfait s'ajoute, la situation cesse d'être proportionnelle.

1) $\dfrac{15}{6}=2{,}5$. C'est le coefficient de passage, et il est le même pour tous les ingrédients : c'est exactement ce que signifie adapter une recette.

2) $450\times 2{,}5=1\,125$ g, soit $1{,}125$ kg. Vérification par le rapport constant : $\dfrac{1\,125}{15}=75$ g par personne, et $\dfrac{450}{6}=75$ g également.

3) $0{,}75\times 2{,}5=1{,}875$ L, soit $1$ L $875$ mL.

4) $240\times 2{,}5=600$ g.

5) On peut poser le produit en croix : si $450$ g conviennent pour $6$ personnes, alors $750$ g conviennent pour $\dfrac{750\times 6}{450}=10$ personnes. Autre méthode, plus sûre : la recette demande $75$ g par personne, donc $\dfrac{750}{75}=10$. Passer par la quantité unitaire donne toujours le même résultat et se contrôle mieux.

6) Il raisonne par addition alors que la situation est multiplicative. Ajouter $9$ personnes ne veut pas dire ajouter $9$ fois la recette entière : cela veut dire ajouter $9\times 75=675$ g de farine, ce qui redonne bien $450+675=1\,125$ g. Sa réponse, $4\,500$ g de farine au total pour quinze personnes, aurait dû l'alerter : elle représente $300$ g par personne, soit quatre fois la recette d'origine.

1) $480\times \dfrac{35}{100}=480\times 0{,}35=168$ élèves. Prendre un pourcentage, c'est multiplier par un nombre décimal plus petit que $1$ : le résultat doit donc être plus petit que $480$, ce qui donne un contrôle immédiat.

2) $480\times 0{,}15=72$ élèves. Remarque utile : $15$ pour cent, c'est trois fois $5$ pour cent, et $5$ pour cent de $480$ vaut $24$. Ce calcul mental par tranches est souvent plus rapide que la calculatrice.

3) $\dfrac{120}{480}=0{,}25=25$ pour cent. Pour trouver un pourcentage, on divise la partie par le TOTAL, puis on multiplie par $100$. L'ordre des deux nombres est la seule difficulté, et elle se tranche en se demandant si le résultat doit être plus petit que $1$.

4) $\dfrac{3}{8}=0{,}375=37{,}5$ pour cent. Un pourcentage n'est rien d'autre qu'une fraction de dénominateur $100$ : ici $\dfrac{3}{8}=\dfrac{37{,}5}{100}$.

5) $\dfrac{45}{60}=0{,}75=75$ pour cent. Attention à ne pas confondre avec la question 3 : le total n'est plus le collège mais la classe, et un même effectif de $45$ élèves représenterait moins de $10$ pour cent du collège entier. Un pourcentage n'a de sens que rapporté à sa population de référence.

6) Diviser par $35$ reviendrait à prendre $\dfrac{1}{35}$ de l'effectif, c'est-à-dire environ $2{,}9$ pour cent. Le calcul donne $\dfrac{480}{35}\approx 13{,}7$, un résultat très éloigné des $168$ attendus, et de toute façon absurde puisque $35$ pour cent du collège doit représenter environ un tiers des élèves. La bonne opération est une multiplication par $0{,}35$, ou une division par $100$ suivie d'une multiplication par $35$.

1) La hausse vaut $240\times 0{,}15=36$ dollars, donc le nouveau prix est $240+36=276$ dollars.

2) On multiplie par $1{,}15$ : $240\times 1{,}15=276$ dollars. La justification tient en une ligne : le nouveau prix, c'est $100$ pour cent de l'ancien plus $15$ pour cent, donc $115$ pour cent, donc le coefficient $\dfrac{115}{100}=1{,}15$. La bande du bas est bien plus longue que celle du haut d'un peu moins d'un sixième.

3) La baisse vaut $240\times 0{,}25=60$ dollars, donc le prix soldé est $240-60=180$ dollars.

4) Le coefficient est $1-0{,}25=0{,}75$, et l'on vérifie $240\times 0{,}75=180$. Un coefficient plus petit que $1$ signale toujours une baisse, un coefficient plus grand que $1$ une hausse : c'est la lecture la plus rapide d'un énoncé.

5) $\dfrac{92}{80}=1{,}15$, donc c'est une hausse de $15$ pour cent. On peut aussi passer par l'écart : $\dfrac{92-80}{80}=\dfrac{12}{80}=0{,}15$. Les deux méthodes se valent, mais la première donne directement le coefficient, qui est ce dont on aura besoin à l'exercice 6.

6) $\dfrac{63}{90}=0{,}7$, donc le prix a été multiplié par $0{,}7$ : c'est une baisse de $30$ pour cent. Erreur fréquente ici : annoncer $70$ pour cent de baisse en lisant le coefficient comme un taux. Le coefficient $0{,}7$ dit qu'il RESTE $70$ pour cent du prix, donc qu'on a perdu les $30$ pour cent restants.

1) $30$ min, c'est une demi-heure, donc $1$ h $30$ min $=1{,}5$ h. La règle générale : on divise les minutes par $60$, ici $\dfrac{30}{60}=0{,}5$.

2) $v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{234}{1{,}5}=156$ km/h. Contrôle d'ordre de grandeur : en une heure et demie le train fait $234$ km, donc en une heure un peu plus de $150$ km. C'est bien la vitesse d'un train régional rapide.

3) $2$ h $15$ min $=2{,}25$ h, donc $d=156\times 2{,}25=351$ km. On multiplie parce qu'on cherche une distance à partir d'un temps.

4) $t=\dfrac{390}{156}=2{,}5$ h, soit $2$ h $30$ min. Attention à la conversion finale : $2{,}5$ h ne se lit pas $2$ h $5$ min. On reconvertit la partie décimale en minutes, $0{,}5\times 60=30$.

5) $156$ km/h $=\dfrac{156\,000}{3\,600}\approx 43{,}3$ m/s. On peut retenir le raccourci : diviser par $3{,}6$, car $1$ km/h vaut $\dfrac{1\,000}{3\,600}$ m/s.

6) Parce que $1$ h $30$ min n'est pas $1{,}30$ h. Une heure vaut $60$ minutes et non $100$, donc $30$ minutes valent $0{,}5$ h. Le calcul erroné donne $180$ km/h, soit $24$ km/h de trop, et l'erreur passe d'autant plus inaperçue que le résultat reste plausible pour un train. C'est le piège le plus fréquent du chapitre, et il se répète à chaque conversion : $1$ h $12$ vaut $1{,}2$ h, mais $1$ h $20$ vaut environ $1{,}33$ h.

1) $200\times 1{,}2=240$ dollars.

2) La baisse porte sur le prix de septembre, pas sur celui de départ : $240\times 0{,}8=192$ dollars. C'est le point décisif de tout l'exercice, et le diagramme le montre : la troisième barre est plus basse que la première.

3) Parce que les $20$ pour cent de hausse ont été calculés sur $200$ dollars, soit $40$ dollars, tandis que les $20$ pour cent de baisse ont été calculés sur $240$ dollars, soit $48$ dollars. On a donc retiré plus qu'on n'avait ajouté. Les pourcentages ne s'additionnent pas parce qu'ils ne portent pas sur la même référence.

4) Le coefficient global est le PRODUIT des coefficients : $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$. Vérification : $200\times 0{,}96=192$ dollars. Comme $0{,}96=1-0{,}04$, l'article a baissé de $4$ pour cent sur l'année.

5) Non. Le coefficient global vaut $0{,}7\times 0{,}9=0{,}63$, soit une remise de $37$ pour cent seulement, contre $0{,}6$ pour une remise unique de $40$ pour cent. Sur un article à $200$ dollars, la différence est de $6$ dollars, en faveur du magasin. Deux remises successives sont toujours moins avantageuses que la somme annoncée, et savoir le calculer est une compétence de consommateur autant que de mathématicien.

6) Il faut multiplier $192$ par $\dfrac{200}{192}\approx 1{,}0417$, soit une hausse d'environ $4{,}2$ pour cent. Elle n'est pas de $4$ pour cent : pour compenser une baisse de $4$ pour cent, il faut une hausse un peu PLUS forte, puisqu'elle s'applique à une base devenue plus petite. C'est la même dissymétrie qu'aux questions 2 et 3, vue dans l'autre sens.

1) Tarif $A$ : $4\times 3=12$ dollars. Tarif $B$ : $5+2{,}5\times 3=12{,}50$ dollars. Sur trois heures, $A$ est encore le moins cher, de cinquante cents.

2) C'est le tarif $A$, parce que sa droite passe par l'ORIGINE : zéro heure de location coûte zéro dollar. La droite $B$ coupe l'axe vertical à $5$ dollars, ce qui correspond à l'adhésion payée même sans louer. L'alignement des points ne suffit donc jamais : il faut l'alignement AVEC l'origine.

3) Le coefficient vaut $4$, exprimé en dollars par heure : c'est le prix d'une heure de location. On le lit sur le graphique en regardant l'ordonnée du point d'abscisse $1$.

4) $5+2{,}5\times 6=5+15=20$ dollars, contre $4\times 6=24$ dollars avec le tarif $A$. Sur six heures, $B$ est devenu le moins cher.

5) On cherche la durée où les deux prix se rejoignent : $4t=5+2{,}5t$ donne $1{,}5t=5$, donc $t=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33$ h, soit $3$ h $20$ min. Au-delà, $B$ est moins cher. Graphiquement, c'est le point d'intersection des deux droites, et la lecture graphique donne bien une valeur comprise entre $3$ et $3{,}5$.

6) Il suffit de comparer deux durées dont l'une est le double de l'autre : $2$ heures coûtent $5+2{,}5\times 2=10$ dollars et $4$ heures coûtent $5+2{,}5\times 4=15$ dollars. Doubler la durée n'a pas doublé le prix, puisque $15$ n'est pas $20$. Une seule paire de valeurs suffit à démontrer qu'une situation n'est pas proportionnelle, alors qu'il en faudrait toutes pour démontrer qu'elle l'est.

1) FAUX. Les coefficients se multiplient : $1{,}1\times 1{,}1=1{,}21$, soit une hausse de $21$ pour cent et non de $20$. Le point de un pour cent qui manque est la hausse appliquée à la première hausse. Énoncé correct : deux hausses de $10$ pour cent équivalent à une hausse unique de $21$ pour cent.

2) FAUX. $0{,}5\times 1{,}5=0{,}75$ : il reste $75$ pour cent du prix, donc l'article a perdu $25$ pour cent. Un prix de $200$ dollars tombe à $100$ dollars puis remonte à $150$ dollars seulement, car la hausse s'applique désormais à $100$ dollars. Énoncé correct : pour revenir de $100$ à $200$ dollars, il faudrait une hausse de $100$ pour cent.

3) FAUX. Il faut diviser la distance totale par la durée totale : $\dfrac{100}{50}=2$ h puis $\dfrac{100}{100}=1$ h, donc $\dfrac{200}{3}\approx 66{,}7$ km/h. La moyenne des vitesses ne convient pas parce qu'on passe deux fois plus de temps à la vitesse la plus lente. Énoncé correct : la vitesse moyenne vaut environ $66{,}7$ km/h, toujours plus proche de la plus petite des deux vitesses.

4) FAUX. $45$ min $=\dfrac{45}{60}=0{,}75$ h, donc $1$ h $45$ min $=1{,}75$ h. L'écart avec $1{,}45$ h est de $18$ minutes, ce qui fausse toute vitesse calculée ensuite. Énoncé correct : on convertit les minutes en divisant par $60$, jamais en les collant après la virgule.

5) FAUX. Diviser par $30$ revient à prendre environ $3{,}3$ pour cent. Prendre $30$ pour cent, c'est multiplier par $0{,}3$, c'est-à-dire diviser par $100$ puis multiplier par $30$. Énoncé correct : $30$ pour cent de $600$ vaut $180$, alors que $600\div 30$ ne vaut que $20$.

1) $t_{1}=\dfrac{120}{100}=1{,}2$ h. La partie décimale se reconvertit en minutes : $0{,}2\times 60=12$, donc $1$ h $12$ min.

2) $t_{2}=\dfrac{60}{60}=1$ h exactement.

3) Distance totale $120+60=180$ km, temps de conduite $1{,}2+1=2{,}2$ h, soit $2$ h $12$ min.

4) $v=\dfrac{180}{2{,}2}\approx 81{,}8$ km/h. On divise bien la distance TOTALE par la durée TOTALE de conduite : c'est la seule définition d'une vitesse moyenne.

5) Parce que $80$ km/h est la moyenne des deux vitesses, ce qui ne vaudrait que si l'automobiliste avait passé autant de temps à chacune. Ici il roule $1$ h $12$ min à $100$ km/h contre $1$ h seulement à $60$ km/h, donc la vitesse rapide pèse un peu plus lourd et la moyenne est tirée vers le haut. C'est le même piège qu'à l'affirmation 3 de l'exercice précédent, où le déséquilibre jouait dans l'autre sens.

6) Durée totale $=2$ h $12$ min de conduite $+20$ min de pause $=2$ h $32$ min. Départ à $8$ h $30$, donc arrivée à $11$ h $02$. Vérification en minutes depuis minuit : $510+152=662$, et $662=11\times 60+2$. Notez que la pause ne doit surtout pas entrer dans le calcul de la vitesse moyenne de la question 4, sinon on mesurerait la vitesse du véhicule à l'arrêt.

1) La consommation est proportionnelle à la distance : $\dfrac{7{,}2\times 350}{100}=25{,}2$ L. Autrement dit $0{,}072$ L par kilomètre, ce qui est le coefficient de proportionnalité de la situation.

2) $25{,}2\times 1{,}65=41{,}58$ dollars. Deux proportionnalités s'enchaînent ici, distance vers litres puis litres vers dollars, et l'on peut les composer en un seul coefficient : $0{,}072\times 1{,}65=0{,}1188$ dollars par kilomètre.

3) $\dfrac{60}{1{,}65}\approx 36{,}36$ L, puis $\dfrac{36{,}36\times 100}{7{,}2}\approx 505$ km. On peut aussi diviser directement $60$ par le coût kilométrique : $\dfrac{60}{0{,}1188}\approx 505$ km. Le second chemin est plus court et donne le même résultat, ce qui le vérifie.

4) La voiture sobre consomme $\dfrac{5{,}4\times 350}{100}=18{,}9$ L, soit $25{,}2-18{,}9=6{,}3$ L de moins. L'économie vaut $6{,}3\times 1{,}65=10{,}395$ dollars, soit environ $10{,}40$ dollars pour ce seul trajet.

5) $\dfrac{7{,}2-5{,}4}{7{,}2}=\dfrac{1{,}8}{7{,}2}=0{,}25$ : la consommation a baissé de $25$ pour cent. On retrouve ce quart dans l'économie réalisée, puisque $\dfrac{6{,}3}{25{,}2}=0{,}25$ également : une baisse de consommation se transmet telle quelle au coût, parce que le prix du litre, lui, n'a pas changé.

6) $\dfrac{7{,}2\times 510}{100}=36{,}72$ L, donc $36{,}72\times 1{,}65=60{,}588$ dollars, soit environ $60{,}59$ dollars. Contrôle par le coût kilométrique : $510\times 0{,}1188=60{,}588$ dollars, la même valeur au centime près.

1) $\dfrac{520\,000}{130}=4\,000$ habitants par km².

2) $\dfrac{84\,000}{2\,800}=30$ habitants par km².

3) La population est proportionnelle à la superficie, de coefficient la densité : $250\times 36=9\,000$ habitants.

4) On divise la population par la densité : $\dfrac{45\,000}{180}=250$ km². Vérification : $180\times 250=45\,000$.

5) Population : $520\,000+84\,000=604\,000$ habitants. Superficie : $130+2\,800=2\,930$ km². Densité : $\dfrac{604\,000}{2\,930}\approx 206$ habitants par km². La moyenne des deux densités, $\dfrac{4\,000+30}{2}=2\,015$, serait dix fois trop grande : la région pèse beaucoup plus lourd en superficie.

Le fil : une densité se calcule toujours avec les totaux, population totale sur superficie totale, jamais par une moyenne de densités.

1) $0{,}2\times 1{,}5=0{,}3$ L de pur jus.

2) $0{,}6\times 2{,}5=1{,}5$ L de pur jus.

3) Volume total : $1{,}5+2{,}5=4$ L. Pur jus : $0{,}3+1{,}5=1{,}8$ L.

4) $\dfrac{1{,}8}{4}=0{,}45$, soit $45$ pour cent. La moyenne des deux pourcentages, $40$ pour cent, est fausse : il y a plus de boisson à $60$ pour cent que de boisson à $20$ pour cent, le mélange penche donc vers $60$.

5) Le volume de jus ne change pas quand on ajoute de l'eau : il reste $1{,}8$ L. Pour que ces $1{,}8$ L représentent $30$ pour cent du mélange, le volume total doit valoir $\dfrac{1{,}8}{0{,}3}=6$ L. Il faut donc ajouter $6-4=2$ L d'eau.

Le fil : on ne mélange pas des pourcentages, on mélange des quantités ; on revient aux litres de jus, puis on redivise par le total.

1) En $60$ minutes, il parcourt $\dfrac{60}{5}=12$ km : sa vitesse est $12$ km/h.

2) Elle met $\dfrac{60}{10}=6$ minutes pour un kilomètre : son allure est $6$ min par km.

3) $4$ min $30$ s $=4{,}5$ min, donc $\dfrac{60}{4{,}5}\approx 13{,}3$ km/h. Écrire $4{,}30$ min serait la même faute que $1{,}30$ h pour une heure et demie.

4) $5$ min $20$ s $=320$ s par km, donc $3\,200$ s pour $10$ km, soit $53$ min $20$ s.

5) $1$ h $38$ min $=98$ min, et $\dfrac{98}{21}=\dfrac{14}{3}$ min $=4$ min $40$ s par km. Vitesse : $\dfrac{21}{98}\times 60\approx 12{,}9$ km/h. Contrôle : $\dfrac{60}{14/3}=\dfrac{180}{14}\approx 12{,}9$.

Le fil : allure et vitesse se déduisent l'une de l'autre en divisant $60$ ; plus l'allure est grande, plus le coureur est lent.

1) Une heure compte $3\,600$ secondes, donc $\dfrac{3\,600}{2}=1\,800$ gouttes.

2) $\dfrac{1\,800}{20}=90$ mL par heure.

3) $90\times 24=2\,160$ mL, soit $2{,}16$ L par jour.

4) $2{,}16\times 365=788{,}4$ L, soit $0{,}7884$ m³, environ $0{,}79$ m³. Près de huit cents litres pour une seule goutte toutes les deux secondes.

5) $0{,}7884\times 4{,}20\approx 3{,}31$ dollars. Le coût reste modeste, mais le volume d'eau perdu remplirait environ cinq baignoires de $160$ L.

Le fil : toutes les grandeurs sont proportionnelles au temps, et l'on enchaîne les coefficients en surveillant les unités à chaque étape.

1) $30\times 18=540$ dollars.

2) $18\times 1{,}25=22{,}50$ dollars.

3) $35\times 18=630$ dollars pour les heures normales, puis $5\times 22{,}50=112{,}50$ dollars pour les cinq heures supplémentaires : $742{,}50$ dollars en tout.

4) $20\times 18=360$ dollars. Si le salaire était proportionnel, $40$ heures rapporteraient le double, $720$ dollars ; or elles rapportent $742{,}50$ dollars. Le salaire n'est pas proportionnel au temps de travail au-delà de $35$ heures, même s'il l'est jusqu'à $35$ heures.

5) $855>630$, donc il a fait des heures supplémentaires. Elles lui ont rapporté $855-630=225$ dollars, soit $\dfrac{225}{22{,}5}=10$ heures. Il a travaillé $35+10=45$ heures.

Le fil : une situation peut être proportionnelle par morceaux ; on découpe au seuil et l'on calcule chaque morceau séparément.