Exercices corrigés : les fonctions linéaires (Troisième)

a) Oui, $f$ est linéaire de coefficient $7$ : l'expression est bien de la forme $ax$ avec $a=7$. Le coefficient se lit directement, c'est le nombre écrit devant le $x$.

b) Non. L'expression $3x+2$ contient un terme constant, le $+2$, qui n'est pas multiplié par $x$. On la reconnaît d'ailleurs facilement à ceci : $g(0)=2$ alors qu'une fonction linéaire donne toujours $0$ pour $0$, puisque $a\times 0=0$. Cette fonction est AFFINE, et elle sera étudiée au chapitre suivant. Retenir le test le plus rapide : si l'image de zéro n'est pas zéro, la fonction n'est pas linéaire.

c) Oui, $h$ est linéaire. Il faut réécrire l'expression pour le voir : $\frac{x}{4}=\frac{1}{4}\times x=0{,}25x$. Le coefficient est donc $\frac{1}{4}$, c'est-à-dire $0{,}25$. Diviser par $4$ et multiplier par $0{,}25$ sont la même opération, et une division par un nombre fixé ne fait jamais sortir du cadre linéaire.

d) Non. Ici $x$ est multiplié par lui-même et non par un nombre fixé : $k(2)=4$ mais $k(4)=16$, donc doubler le nombre de départ quadruple l'image au lieu de la doubler. Ce n'est pas une situation de proportionnalité. Le test rapide $k(0)=0$ est vérifié, mais il ne suffit pas : c'est une condition nécessaire, pas suffisante.

e) Les deux sont linéaires. Pour $m(x)=-x$, on écrit $-x=(-1)\times x$ : le coefficient vaut $-1$, et rien n'interdit à un coefficient d'être négatif. Pour $n(x)=0$, on écrit $0=0\times x$ : le coefficient vaut $0$, et la fonction est linéaire aussi, c'est simplement le cas où la droite est confondue avec l'axe des abscisses. Ces deux cas limites sont ceux que les copies oublient le plus souvent.

a) On sait que $f(x)=ax$, donc $f(3)=3a$. La condition donne $3a=12$, d'où $a=\frac{12}{3}=4$. La fonction est $f(x)=4x$. Vérification : $f(3)=12$ ✓. La formule générale à retenir est $a=\frac{f(x)}{x}$, autrement dit l'image divisée par le nombre de départ.

b) $5a=-20$, donc $a=\frac{-20}{5}=-4$ et $f(x)=-4x$. Le coefficient est négatif, ce qui signifie que les images sont de signe contraire au nombre de départ. Vérification : $f(5)=-4\times 5=-20$ ✓.

c) $4a=6$, donc $a=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5$ et $f(x)=1{,}5x$. Il ne faut ni arrondir ni s'inquiéter d'obtenir une fraction : un coefficient n'a aucune raison d'être entier. On peut garder l'écriture $\frac{3}{2}$, souvent plus commode pour les calculs suivants.

d) Non, on ne peut pas. L'égalité $f(0)=0$ donne $0\times a=0$, ce qui est vrai QUEL QUE SOIT $a$ : l'information n'apporte donc rien. C'est logique, puisque toute fonction linéaire envoie $0$ sur $0$ : cette condition ne distingue aucune fonction linéaire des autres. C'est aussi la raison pour laquelle la formule $a=\frac{f(x)}{x}$ exige $x\neq 0$, et pourquoi une donnée graphique portant sur l'origine ne permet jamais de trouver le coefficient.

e) Première façon, en passant par le coefficient : $2a=7$ donne $a=3{,}5$, donc $f(6)=3{,}5\times 6=21$. Seconde façon, en utilisant directement la proportionnalité : $6$ est le triple de $2$, donc son image est le triple de celle de $2$, soit $3\times 7=21$ ✓. Les deux méthodes donnent le même résultat, et la seconde est presque toujours plus rapide quand le rapport est simple. C'est la propriété caractéristique des fonctions linéaires : multiplier le nombre de départ par un facteur multiplie l'image par le MÊME facteur. Aucune fonction affine non linéaire ne se comporte ainsi.

a) $f(4)=-2{,}5\times 4=-10$. $f(-6)=-2{,}5\times(-6)=15$ : le produit de deux nombres négatifs est positif, et c'est le calcul le plus souvent raté de la question. $f(0)=-2{,}5\times 0=0$, ce qui est vrai pour toute fonction linéaire.

b) On résout $-2{,}5x=10$, donc $x=\frac{10}{-2{,}5}=-4$. L'antécédent de $10$ par $f$ est $-4$. Vérification : $f(-4)=-2{,}5\times(-4)=10$ ✓. Remarquez que pour obtenir une image positive, il a fallu partir d'un nombre négatif : c'est la conséquence directe d'un coefficient négatif.

c) On résout $-2{,}5x=-15$, donc $x=\frac{-15}{-2{,}5}=6$. L'antécédent de $-15$ est $6$. Vérification : $-2{,}5\times 6=-15$ ✓.

d) On multiplie chaque valeur par $-2{,}5$ : pour $x=-4$, on trouve $10$ ; pour $x=-2$, on trouve $5$ ; pour $x=0$, on trouve $0$ ; pour $x=2$, on trouve $-5$ ; pour $x=4$, on trouve $-10$. Deux contrôles rapides sur ce tableau : la colonne de $0$ donne bien $0$, et deux nombres opposés ont des images opposées, ce qui se voit sur les paires $(-4\ ;\ 4)$ et $(-2\ ;\ 2)$.

e) Oui. En divisant chaque image par le nombre de départ correspondant, on retrouve toujours le même quotient : $\frac{10}{-4}=-2{,}5$, $\frac{5}{-2}=-2{,}5$, $\frac{-5}{2}=-2{,}5$ et $\frac{-10}{4}=-2{,}5$. C'est donc un tableau de proportionnalité, de coefficient $-2{,}5$, qui est exactement le coefficient de la fonction. La colonne du $0$ ne permet pas ce calcul, puisqu'on ne peut pas diviser par zéro, mais elle ne contredit rien. À retenir dans les deux sens : toute fonction linéaire produit un tableau de proportionnalité, et tout tableau de proportionnalité correspond à une fonction linéaire dont le coefficient est celui du tableau.

a) On part de $1$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la droite de $f$ et on lit $2$ : donc $f(1)=2$. Comme $f$ est linéaire, son coefficient vaut $a=\frac{f(1)}{1}=2$, et l'expression est $f(x)=2x$. La lecture en $x=1$ est la plus commode de toutes : pour une fonction linéaire, l'image de $1$ EST le coefficient.

b) On lit $g(2)=1$. Le coefficient vaut donc $\frac{1}{2}=0{,}5$, et $g(x)=0{,}5x$. On aurait pu lire aussi en $x=4$, où l'on trouve $2$, ce qui donne encore $\frac{2}{4}=0{,}5$ ✓ : sur une droite passant par l'origine, tous les points donnent le même quotient, et c'est précisément ce que signifie la proportionnalité.

c) La droite de $h$ descend de gauche à droite, donc son coefficient est négatif. On lit $h(2)=-2$, d'où un coefficient de $\frac{-2}{2}=-1$ et $h(x)=-x$. Le signe du coefficient se voit donc avant tout calcul : une droite qui monte a un coefficient positif, une droite qui descend a un coefficient négatif.

d) La droite la plus inclinée par rapport à l'horizontale est celle de $f$, puis vient celle de $h$, et enfin celle de $g$, la plus proche de l'horizontale. Attention à ne pas confondre inclinaison et ordre des coefficients : l'inclinaison se lit sur la valeur absolue, tandis que le classement demandé porte sur les nombres eux-mêmes. Dans l'ordre croissant, on a donc $-1<0{,}5<2$, c'est-à-dire le coefficient de $h$, puis celui de $g$, puis celui de $f$.

e) Pour $x=2$ : $p(2)=6$ alors que $f(2)=4$, donc la droite de $p$ passe AU-DESSUS de celle de $f$. Pour $x=-2$ : $p(-2)=-6$ alors que $f(-2)=-4$, donc cette fois la droite de $p$ passe EN DESSOUS. Ce n'est pas contradictoire : les deux droites passent toutes deux par l'origine, donc elles s'y croisent, et la plus inclinée est au-dessus à droite du point de croisement et en dessous à gauche. C'est une différence importante avec les fonctions affines, dont les droites peuvent se croiser n'importe où, alors que deux droites de fonctions linéaires se coupent toujours à l'origine.

a) Parce que $u(0)=1{,}5\times 0=0$ : le nombre $0$ a pour image $0$, donc le point de coordonnées $(0\ ;\ 0)$, qui est l'origine, appartient à la droite. C'est vrai pour toute fonction linéaire sans exception, et c'est la propriété qui permet de les reconnaître d'un coup d'œil sur un graphique.

b) $u(2)=1{,}5\times 2=3$. Le point de coordonnées $(2\ ;\ 3)$ appartient donc à la droite de $u$. On choisit délibérément $x=2$ plutôt que $x=1$ pour obtenir des coordonnées entières, plus faciles à placer précisément : avec $x=1$ on aurait trouvé $1{,}5$, à placer entre deux graduations.

c) $v(1)=-3\times 1=-3$. Le point de coordonnées $(1\ ;\ -3)$ appartient à la droite de $v$. Ici $x=1$ convient parfaitement, puisque le coefficient est entier.

d) Pour $u$ : on place l'origine et le point $(2\ ;\ 3)$, puis on trace la droite qui les relie, en la prolongeant des deux côtés au-delà des deux points. Pour $v$ : on place l'origine et le point $(1\ ;\ -3)$, puis on trace de même. Deux conseils de tracé qui rapportent des points : prolonger la droite des deux côtés, y compris pour les $x$ négatifs, et vérifier avec un troisième point calculé, par exemple $u(4)=6$ ou $v(-1)=3$, ce qui détecte immédiatement une erreur de placement.

e) Pour $A(6\ ;\ 9)$ : on calcule $u(6)=1{,}5\times 6=9$, ce qui correspond bien à l'ordonnée annoncée, donc $A$ appartient à la droite de $u$. Pour $B(-2\ ;\ 5)$ : on calcule $u(-2)=1{,}5\times(-2)=-3$, qui vaut $-3$ et non $5$, donc $B$ n'appartient PAS à la droite de $u$. La méthode est toujours la même et il faut la rédiger ainsi : on remplace l'abscisse du point dans l'expression de la fonction, puis on compare le résultat obtenu à l'ordonnée du point. Un autre indice aurait dû alerter pour $B$ : son abscisse est négative et son ordonnée positive, ce qui est impossible pour une fonction de coefficient positif.

a) Première façon, en deux temps : la hausse vaut $480\times\frac{15}{100}=72$ dollars, donc le nouveau prix est $480+72=552$ dollars. Seconde façon, en une multiplication : augmenter de $15$ % revient à multiplier par $1+\frac{15}{100}=1{,}15$, donc le nouveau prix est $480\times 1{,}15=552$ dollars ✓. Les deux méthodes concordent, mais la seconde est la seule utilisable dès qu'il y a plusieurs évolutions à enchaîner.

b) La fonction cherchée est $f(x)=1{,}15x$. Elle est bien linéaire, de coefficient $1{,}15$, appelé coefficient multiplicateur de la hausse. Noter le rôle du $1$ : il conserve le prix initial, et le $0{,}15$ ajoute la hausse. Oublier ce $1$ et écrire $f(x)=0{,}15x$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle donnerait $72$ dollars, c'est-à-dire la hausse seule et non le prix.

c) Une remise de $20$ % revient à multiplier par $1-\frac{20}{100}=0{,}8$. La remise s'applique au prix AFFICHÉ, donc à $552$ dollars : le prix final vaut $552\times 0{,}8=441{,}60$ dollars. On peut aussi enchaîner les deux coefficients en une seule ligne : $480\times 1{,}15\times 0{,}8=441{,}60$ ✓.

d) Non. Le prix de départ diminué de $5$ % vaudrait $480\times 0{,}95=456$ dollars, alors que le prix final est de $441{,}60$ dollars : l'écart est de $14{,}40$ dollars. L'erreur consiste à additionner les pourcentages, en écrivant $+15-20=-5$. Or les pourcentages d'évolution ne s'additionnent JAMAIS : ce sont leurs coefficients multiplicateurs qui se multiplient. La raison est que la remise de $20$ % ne porte pas sur le prix initial mais sur un prix déjà augmenté, donc plus élevé, ce qui la rend plus forte en valeur absolue.

e) Le coefficient global vaut $1{,}15\times 0{,}8=0{,}92$. Comme $0{,}92=1-0{,}08$, l'évolution globale est une BAISSE de $8$ %. Vérification directe : $480\times 0{,}92=441{,}60$ ✓, et l'on peut aussi calculer le taux à partir des deux prix, $\frac{441{,}60-480}{480}=\frac{-38{,}40}{480}=-0{,}08$ ✓. La méthode générale à retenir pour le brevet : on multiplie tous les coefficients, puis on retranche $1$ au résultat pour lire le taux global, ici $0{,}92-1=-0{,}08$, soit $-8$ %. Remarque utile : l'ordre des deux évolutions ne change rien au prix final, puisque la multiplication est commutative.

a) Le prix est proportionnel à la durée, donc $P$ est une fonction linéaire, ce qui s'écrit $P(x)=ax$. La donnée $P(2)=9$ permet de trouver le coefficient : $a=\frac{9}{2}=4{,}5$. Le tarif est donc de $4{,}50$ dollars par heure, et $P(x)=4{,}5x$. Le coefficient d'une fonction linéaire s'interprète toujours ainsi dans un problème : c'est le prix pour UNE unité.

b) Pour $5$ heures : $P(5)=4{,}5\times 5=22{,}50$ dollars. Pour $30$ minutes, il faut d'abord convertir en heures, puisque la fonction est exprimée en heures : $30$ minutes valent $0{,}5$ heure, donc $P(0{,}5)=4{,}5\times 0{,}5=2{,}25$ dollars. Oublier cette conversion et écrire $P(30)$ donnerait $135$ dollars, résultat évidemment absurde qu'un simple contrôle de bon sens permet de rejeter.

c) On cherche un antécédent : on résout $4{,}5x=31{,}5$, donc $x=\frac{31{,}5}{4{,}5}=7$. La personne a loué le vélo pendant $7$ heures. Vérification : $4{,}5\times 7=31{,}50$ ✓.

d) On compare $P(x)=4{,}5x$ au forfait de $20$ dollars. Le concurrent devient plus avantageux dès que $4{,}5x>20$, c'est-à-dire $x>\frac{20}{4{,}5}\approx 4{,}44$ heures. En pratique, à partir d'environ $4$ heures et $27$ minutes de location. Contrôle sur deux durées entières : pour $4$ heures, l'atelier demande $18$ dollars, ce qui reste moins cher que $20$ ; pour $5$ heures, il demande $22{,}50$ dollars, ce qui est plus cher ✓. Noter la différence de nature entre les deux tarifs : l'un est linéaire et croît indéfiniment, l'autre est constant, donc le forfait finit toujours par gagner.

e) Une hausse de $10$ % multiplie le tarif horaire par $1{,}1$ : le nouveau coefficient vaut $4{,}5\times 1{,}1=4{,}95$ dollars par heure. Le seuil devient $\frac{20}{4{,}95}\approx 4{,}04$ heures, contre $4{,}44$ auparavant : le concurrent devient donc avantageux PLUS TÔT, ce qui était prévisible sans aucun calcul, puisqu'un tarif horaire plus élevé atteint les $20$ dollars plus rapidement. Ce raisonnement de contrôle vaut la peine d'être écrit sur la copie : il montre que le résultat numérique a été relu.

a) La hauteur est une longueur, donc elle est multipliée par le rapport $k=3$ : la maquette mesure $12\times 3=36$ cm de haut. La fonction en jeu est linéaire, $x\mapsto 3x$, ce qui relie ce chapitre à celui des agrandissements.

b) Les aires sont multipliées par $k^2=3^2=9$ : l'aire de la façade vaut $90\times 9=810$ centimètres carrés. Là encore, la fonction est linéaire, mais de coefficient $9$ et non $3$.

c) Les volumes sont multipliés par $k^3=3^3=27$ : le volume de la maquette vaut $400\times 27=10\ 800$ centimètres cubes. Ordre de grandeur à retenir : tripler les dimensions d'un objet multiplie sa matière par $27$, ce qui explique pourquoi une maquette deux fois plus grande coûte bien plus du double.

d) Parce qu'une aire est un produit de DEUX longueurs. Si chacune des deux est multipliée par $3$, alors leur produit est multiplié par $3\times 3=9$. On peut le vérifier sur un rectangle de $10$ cm sur $9$ cm, d'aire $90$ centimètres carrés : agrandi, il mesure $30$ cm sur $27$ cm, donc son aire vaut $810$ centimètres carrés, soit bien $9$ fois plus ✓. Le même raisonnement avec trois longueurs donne $k^3$ pour les volumes. C'est aussi pour cela qu'une réduction de moitié divise le volume par $8$ et non par $2$.

e) On compare les deux volumes : $\frac{50}{10\ 800}=\frac{1}{216}$. Or ce quotient vaut $k^3$, donc $k^3=\frac{1}{216}$, d'où $k=\frac{1}{6}$, puisque $6^3=216$. Le rapport de la réduction est donc $\frac{1}{6}$ : toutes les longueurs de la maquette sont divisées par $6$. Vérification par les longueurs : la hauteur passerait de $36$ cm à $6$ cm, et le volume de $10\ 800$ à $10\ 800\times\frac{1}{216}=50$ centimètres cubes ✓. Le point de méthode important : quand on part d'un rapport de VOLUMES, il faut prendre la racine cubique pour revenir au rapport des longueurs, jamais diviser par $3$.

a) Faux. Le terme $+1$ empêche l'expression d'être de la forme $ax$. Le contre-exemple décisif est $f(0)=1$, alors qu'une fonction linéaire envoie toujours $0$ sur $0$. Autre vérification, par la proportionnalité : $f(1)=6$ et $f(2)=11$, or $11$ n'est pas le double de $6$. Cette fonction est affine, pas linéaire, et son nombre $5$ s'appelle coefficient directeur et non coefficient de linéarité.

b) Faux, l'implication ne fonctionne que dans un sens. Une fonction linéaire est bien représentée par une droite, mais il faut de plus que cette droite passe par l'ORIGINE. La droite d'équation $y=2x+3$ est un contre-exemple : c'est une droite, elle coupe l'axe des ordonnées en $3$, et elle ne représente aucune fonction linéaire. Une droite verticale fournit d'ailleurs un contre-exemple encore plus fort, puisqu'elle ne représente même aucune fonction.

c) Faux, et l'erreur coûte cher en calcul commercial. Multiplier par $0{,}2$ revient à ne garder que $20$ % du prix, c'est-à-dire à le diviser par $5$ : c'est une baisse de $80$ %. Pour augmenter de $20$ %, il faut multiplier par $1+\frac{20}{100}=1{,}2$. Contre-exemple chiffré : un article à $50$ dollars augmenté de $20$ % coûte $60$ dollars, alors que $50\times 0{,}2=10$ dollars. Le $1$ du coefficient conserve le prix, la partie décimale ajoute la hausse.

d) Faux. Le coefficient global vaut $1{,}5\times 0{,}5=0{,}75$, donc le prix final ne représente que $75$ % du prix initial : c'est une baisse globale de $25$ %. Sur un article à $80$ dollars : la hausse le porte à $120$ dollars, puis la baisse de $50$ % le ramène à $60$ dollars, et non à $80$. L'explication tient en une phrase : la baisse s'applique à un montant plus grand que celui sur lequel portait la hausse, donc elle retire davantage. Une hausse et une baisse du même pourcentage ne se compensent jamais, et le résultat est toujours inférieur au prix de départ.

e) Faux. Le volume d'un cube est le produit de trois longueurs, donc doubler l'arête multiplie le volume par $2^3=8$. Contre-exemple immédiat : un cube d'arête $3$ cm a pour volume $27$ centimètres cubes, tandis qu'un cube d'arête $6$ cm a pour volume $216$ centimètres cubes, ce qui est bien $8$ fois plus et non $2$ fois. Au passage, son aire totale, elle, est multipliée par $4$.

a) On commence par le signe : une seule droite descend de gauche à droite, c'est $d_3$, donc c'est elle qui porte le coefficient négatif $-2$. Lecture de contrôle : en $x=1$, elle passe par $-2$ ✓. Les trois autres montent. La plus inclinée est $d_1$, qui passe par le point $(1\ ;\ 3)$ : son coefficient est $3$. La moins inclinée est $d_2$, qui passe par $(3\ ;\ 1)$ : son coefficient est $\frac{1}{3}$, puisque $\frac{1}{3}$ est bien le quotient de l'ordonnée par l'abscisse. Reste $d_4$, qui passe par $(1\ ;\ 1)$ et $(2\ ;\ 2)$ : son coefficient est $1$, et c'est la bissectrice du repère, celle pour laquelle l'image est toujours égale au nombre de départ.

b) On obtient $d_1(x)=3x$, $d_2(x)=\frac{1}{3}x$, $d_3(x)=-2x$ et $d_4(x)=x$. Chaque expression se contrôle en une seconde sur un point lu : $d_1(1)=3$ ✓, $d_2(3)=1$ ✓, $d_3(1)=-2$ ✓, $d_4(2)=2$ ✓.

c) Les droites qui paraissent perpendiculaires sont $d_2$ et $d_3$, de coefficients $\frac{1}{3}$ et $-2$... mais le produit vaut $-\frac{2}{3}$, ce qui n'est pas $-1$ : elles ne le sont donc pas tout à fait, et l'œil se laisse tromper par l'échelle du repère. Le vrai couple perpendiculaire serait formé de $d_2$ et d'une droite de coefficient $-3$, puisque $\frac{1}{3}\times(-3)=-1$. Retenir ce critère, qui sera démontré au lycée : deux droites non verticales sont perpendiculaires exactement lorsque le produit de leurs coefficients vaut $-1$. Ici, aucune paire ne le vérifie, et c'est justement l'intérêt de la question : un dessin suggère, il ne démontre pas.

d) Son coefficient est négatif, donc sa droite descend, comme celle de $d_3$. Mais sa valeur absolue, $\frac{1}{3}$, est la plus petite de toutes : c'est donc la droite la plus proche de l'horizontale parmi celles qui descendent. Elle est en outre le symétrique exact de $d_2$ par rapport à l'axe des abscisses, puisque leurs coefficients sont opposés : en tout point, les deux droites ont des ordonnées opposées. Par exemple en $x=3$, l'une est à $1$ et l'autre à $-1$.

e) Dans l'ordre croissant : $-2<-\frac{1}{3}<\frac{1}{3}<1<3$. Sur le graphique, cet ordre se lit à droite de l'origine : plus le coefficient est grand, plus la droite est haute pour une même valeur positive de $x$. En $x=1$, on trouve en effet les ordonnées $-2$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$, $1$ et $3$, rangées dans le même ordre. Attention à ne pas confondre avec l'inclinaison : la droite de coefficient $-2$ est la première de ce classement alors qu'elle est plus inclinée que celle de coefficient $1$. L'inclinaison se mesure par la valeur absolue, le classement porte sur les nombres eux-mêmes, et à gauche de l'origine l'ordre des hauteurs est même exactement inversé.