Maths Troisième, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la notion de fonction (Troisième)

Cette fiche de révision couvre la notion de fonction en classe de troisième du programme français, telle qu'elle est évaluée au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : décider d'abord si l'on cherche une image ou un antécédent, parce que ce sont deux trajets opposés sur le même graphique.

Le fil du chapitre

Une image se lit VERTICALEMENT, un antécédent HORIZONTALEMENT. Presque tout ce qui se perd dans ce chapitre vient d'une flèche parcourue dans le mauvais sens, ou d'un antécédent trouvé et annoncé comme le seul.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Troisième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Calcul littéral et équationsQuatrième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les nombres décimauxSixième
2Calculs numériques et prioritésCinquième
3Les nombres relatifsCinquième
4Le calcul littéralCinquième
5Multiplication et division de relatifsQuatrième
6Calcul littéral et équationsQuatrième

L'essentiel

Image et antécédent : une seule égalité, lue dans les deux sens

• $f(3)=7$ se lit « l'image de $3$ par $f$ est $7$ » ET « $3$ est un antécédent de $7$ par $f$ ». C'est la même ligne, pas deux résultats différents.
• Chercher une image : on REMPLACE $x$ par le nombre dans l'expression. C'est un calcul, il se termine toujours.
• Chercher un antécédent de $k$ : on RÉSOUT l'équation $f(x)=k$ . C'est une équation, elle peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions.
• Un nombre a toujours UNE SEULE image. Il peut avoir zéro, un, deux ou davantage d'antécédents.
• Sur une courbe : l'image se lit verticalement, en partant de l'axe des abscisses ; l'antécédent se lit horizontalement, en partant de l'axe des ordonnées.

Deux trajets opposés sur la même courbe : de

4

sur l'axe horizontal on monte puis on lit

1

, c'est l'image ; de

4

sur l'axe vertical on va à droite et on redescend sur

1

et sur

3

, ce sont les deux antécédents.

Écrire la phrase de vocabulaire (« l'image de $3$ est $7$ ») et pas seulement le résultat rapporte un demi-point à chaque question du brevet où le mot apparaît.

Les trois supports, et le geste qui va avec chacun

• Une EXPRESSION, du type $f(x)=x^{2}-3x$ : l'image se calcule, l'antécédent se résout.
• Un TABLEAU de valeurs : on ne lit que les colonnes écrites. Rien ne se devine entre deux colonnes, et une valeur absente du tableau ne prouve pas qu'elle n'a pas d'antécédent.
• Une COURBE : on lit avec la règle, jamais à l'oeil, et on compte TOUS les points d'intersection.
• Un PROGRAMME DE CALCUL : la fonction est le programme entier, pas la dernière ligne. On appelle $x$ le nombre choisi et on écrit chaque étape à la suite.

Le brevet donne presque toujours deux supports pour la même fonction, et demande de passer de l'un à l'autre : c'est là que se joue la moitié des points de l'exercice.

La notation, et ce qu'elle n'est pas

• $f(x)$ n'est pas $f$ multiplié par $x$ : les parenthèses désignent une image, jamais un produit.
• $f$ est le nom de la fonction, $f(x)$ est un NOMBRE.
• $f:x\mapsto 2x+5$ et $f(x)=2x+5$ disent exactement la même chose ; la flèche $\mapsto$ se lit « a pour image ».
• Sur un graphique, le point de la courbe d'abscisse $a$ a pour ordonnée $f(a)$ : ses coordonnées sont $(a\,;f(a))$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Inverser l'image et l'antécédent dans la phrase de réponse

1 point par question de vocabulaire, soit 3 à 4 points sur un sujet de brevet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(3)=7$ , donc l'image de $7$ est $3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(3)=7$ , donc l'image de $3$ est $7$ , et $3$ est un antécédent de $7$ . »

Pourquoi : Le nombre écrit DANS la parenthèse est toujours celui dont on part, donc celui dont on cherche l'image. Le résultat, à droite du signe égal, est l'image.

2. Lire un antécédent verticalement sur le graphique

2 points, et la question suivante avec, car elle réutilise la valeur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour trouver un antécédent de $4$ , je pars de $4$ sur l'axe des abscisses et je monte. »

Ce qu'il faut écrire

« Je pars de $4$ sur l'axe des ORDONNÉES, je me déplace horizontalement, et je lis les abscisses des points de la courbe rencontrés. »

Pourquoi : La flèche de la fonction va de $x$ vers $y$ . Chercher un antécédent, c'est la remonter : on démarre donc du côté de l'arrivée, l'axe vertical.

3. Annoncer un seul antécédent parce qu'on en a trouvé un

toute la question, car le barème compte les antécédents

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe passe par le point $(1\,;3)$ , donc $3$ a pour antécédent $1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La droite horizontale d'équation $y=3$ coupe la courbe en trois points : $3$ a trois antécédents, $-2$ , $1$ et $4$ . »

La règle posée à l'horizontale sur

y=3

rencontre la courbe trois fois : s'arrêter au premier point trouvé fait perdre les deux autres antécédents,

-2

4

Pourquoi : Une image est le résultat d'un calcul, il n'y en a qu'un ; un antécédent est la solution d'une équation, et une équation peut en avoir plusieurs.

4. Remplacer un nombre négatif sans parenthèses

2 points, et le signe faux se propage à toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=x^{2}-3x$ donc $f(-3)=-3^{2}-3\times-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(-3)=(-3)^{2}-3\times(-3)=9+9=18$ . »

Pourquoi : Sans parenthèses, $-3^{2}$ vaut $-9$ : le carré ne porte que sur le $3$ . Les parenthèses ne sont pas une décoration, elles disent sur quoi porte l'exposant.

5. Chercher un antécédent en remplaçant au lieu de résoudre

3 points, la question entière est hors sujet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Antécédent de $5$ par $f(x)=2x+1$ : $f(5)=11$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je résous $2x+1=5$ , donc $2x=4$ et $x=2$ : $2$ est l'antécédent de $5$ . »

Pourquoi : Remplacer, c'est répondre à la question inverse. Dès que le mot « antécédent » apparaît, la première chose écrite sur la copie doit être une ÉQUATION.

6. Répondre par un point au lieu d'un nombre

0,5 point à chaque lecture graphique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'image de $2$ est le point $A(2\,;5)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'image de $2$ est $5$ , car le point de la courbe d'abscisse $2$ a pour ordonnée $5$ . »

Pourquoi : Une image est un NOMBRE, pas un point : c'est l'ordonnée du point, et le correcteur attend une valeur, pas un couple de coordonnées.

7. Lire entre les colonnes d'un tableau de valeurs

2 points, et le raisonnement est refusé même si le nombre tombe juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le tableau donne $f(2)=5$ et $f(4)=9$ , donc $f(3)=7$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le tableau ne donne pas $f(3)$ : on ne peut pas le déduire, car rien ne dit que la fonction est affine. »

Pourquoi : Un tableau de valeurs est une liste de couples, pas une règle. Compléter par une moyenne suppose une croissance régulière que l'énoncé n'a jamais accordée.

8. Confondre la fonction et la dernière ligne d'un programme de calcul

3 points, toute la partie algébrique de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le programme dit : choisir un nombre, ajouter $2$ , élever au carré, retrancher $4$ . Donc $f(x)=x^{2}-4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x)=(x+2)^{2}-4$ : on suit les étapes DANS L'ORDRE, en gardant une parenthèse autour de ce qui est déjà construit. »

Pourquoi : Chaque étape s'applique au résultat de la précédente, donc à une expression entière. La parenthèse est la trace écrite de cet ordre.

9. Croire qu'un test sur quelques nombres prouve une égalité

les 3 points de la question « démontrer »

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai essayé $1$ , $2$ et $5$ , ça marche à chaque fois : les deux programmes donnent toujours le même résultat. »

Ce qu'il faut écrire

« J'appelle $x$ le nombre choisi, je développe les deux programmes, et j'obtiens la même expression : ils donnent donc le même résultat pour TOUT nombre. »

Pourquoi : Trois exemples ne démontrent rien ; en revanche, un seul contre-exemple suffit à réfuter. Le calcul littéral est la seule preuve acceptée.

Quelle méthode choisir

Que demande vraiment la question ?

Regarder où se trouve le nombre donné par l'énoncé : à la place du départ, ou à la place de l'arrivée.

Si l'énoncé donne un nombre et écrit « image », « calculer $f(2)$ », « quelle est la valeur » → REMPLACER $x$ par ce nombre, entre parenthèses

Exemple : $f(x)=x^{2}-3x$ , $f(-3)=(-3)^{2}-3\times(-3)=18$

un seul résultat possible, la question se termine par un nombre
Si l'énoncé écrit « antécédent », « quel nombre a pour image », « résoudre $f(x)=5$ » → POSER l'équation $f(x)=k$ et la résoudre

Exemple : $2x+1=5$ donne $x=2$

chercher ensuite s'il existe d'autres solutions
Si l'énoncé écrit « graphiquement » ou « avec la précision permise par le graphique » → LIRE à la règle, sans aucun calcul, et donner une valeur approchée

Exemple : « environ $2{,}5$ », et non $2{,}47$

un résultat trop précis est refusé : il prouve qu'on n'a pas lu
Si l'énoncé écrit « démontrer » ou « justifier que pour tout nombre » → APPELER $x$ le nombre choisi et calculer littéralement

Exemple : $(x+2)^{2}-4=x^{2}+4x$

aucun exemple numérique ne peut remplacer ce calcul

Si aucune de ces quatre formes n'apparaît, souligner le verbe de l'énoncé avant d'écrire quoi que ce soit : c'est lui, et non le thème, qui décide du geste.

Quel geste selon le support fourni ?

Regarder sous quelle forme la fonction est donnée.

Si une expression algébrique → calcul pour une image, équation pour un antécédent

Exemple : $f(x)=3x-1$
Si un tableau de valeurs → lire la colonne, et répondre « le tableau ne le donne pas » si la valeur n'y figure pas

Exemple : chercher $f(3)$ dans un tableau qui ne donne que $2$ et $4$
Si une courbe → poser la règle, verticalement pour une image, horizontalement pour un antécédent, et compter TOUTES les intersections

Exemple : $y=3$ coupe trois fois la courbe
Si un programme de calcul ou un script → appeler $x$ le nombre choisi et écrire les étapes à la suite, avec les parenthèses

Exemple : ajouter $2$ puis élever au carré donne $(x+2)^{2}$
Si une feuille de calcul → traduire la formule de la cellule en écriture mathématique avant tout raisonnement

Exemple : $\mathtt{=B2*B2-3*B2}$ correspond à $f(x)=x^{2}-3x$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une image

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un nombre et demande son image, ou écrit « calculer $f(-3)$ ».

1 Recopier l'expression de la fonction : $f(x)=x^{2}-3x$ .
2 Remplacer chaque $x$ par le nombre, ENTRE PARENTHÈSES : $f(-3)=(-3)^{2}-3\times(-3)$ .
3 Calculer les puissances d'abord, puis les produits, puis les sommes : $f(-3)=9+9=18$ .
4 Conclure par la phrase de vocabulaire, avec le mot « image ».

Phrase de conclusion

« L'image de $-3$ par la fonction $f$ est $18$ , autrement dit $f(-3)=18$ . »

Le piège : Sauter les parenthèses autour du nombre négatif : $-3^{2}$ vaut $-9$ et $(-3)^{2}$ vaut $9$ , l'écart est de $18$ .

Barème : 1 point pour la substitution, 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la phrase de conclusion.

Chercher les antécédents d'un nombre

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « quels nombres ont pour image $5$ » ou « résoudre $f(x)=5$ ».

1 Écrire l'ÉQUATION, pas un calcul : $f(x)=5$ devient $2x+1=5$ .
2 Résoudre l'équation jusqu'au bout, en gardant les deux membres à chaque ligne.
3 Chercher s'il existe d'AUTRES solutions : un carré, une courbe qui redescend ou un tableau en donnent souvent plusieurs.
4 Vérifier en recalculant l'image de chaque solution trouvée.
5 Conclure avec le mot « antécédent » et le nombre de solutions.

Phrase de conclusion

« $2$ est le seul antécédent de $5$ par $f$ , car l'équation $f(x)=5$ n'admet que cette solution. »

Le piège : S'arrêter à la première solution trouvée alors que la question dit « les antécédents », au pluriel : le pluriel de l'énoncé est une indication de barème.

Barème : 1 point pour l'équation posée, 1 point pour la résolution, 1 point pour la conclusion et le décompte des solutions.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter l'antécédent trouvé

Remplacer la solution dans l'expression de DÉPART, jamais dans une ligne intermédiaire, et vérifier qu'on retombe sur le nombre visé.

Antécédent de $5$ trouvé égal à $2$ : $2\times 2+1=5$ , c'est bon. Si l'on obtenait $6$ , l'erreur serait dans la résolution, pas dans la lecture.
Poser la règle à l'horizontale et compter

Sur une lecture graphique d'antécédents, poser une règle sur la hauteur demandée et compter les points de rencontre. Le nombre de points est le nombre de réponses attendues.

Trois intersections avec $y=3$ signifient trois antécédents : une réponse qui n'en donne qu'un est incomplète, même si ce un est juste.
Le sens de la flèche

Relire sa réponse et se demander : ai-je calculé, ou ai-je résolu ? Un calcul répond à « image », une équation répond à « antécédent ».

Si la copie ne contient aucun signe égal avec une inconnue alors que la question demandait un antécédent, la réponse est hors sujet.
Le contrôle du signe et de l'ordre de grandeur

Comparer l'image obtenue à la courbe ou au tableau : une valeur qui sort largement de la fenêtre du graphique signale une parenthèse oubliée.

Une courbe qui reste entre $0$ et $6$ et un calcul qui donne $-9$ : le carré a porté sur $3$ au lieu de $-3$ .

L'exercice type décortiqué

Un programme de calcul, sa fonction, et ses antécédents

Programme de calcul : choisir un nombre, lui ajouter $2$ , élever le résultat au carré, puis retrancher $4$ .

1. Quelle est l'image de $3$ par ce programme ?

2. Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$ , puis développer.

3. Déterminer tous les antécédents de $0$ .

Étape 1

Étape par étape avec le nombre $3$ : $3+2=5$ , puis $5^{2}=25$ , puis $25-4=21$ . Donc $f(3)=21$ .

Pourquoi

On applique le programme comme une recette, dans l'ordre. Cette première question ne sert qu'à vérifier qu'on a compris l'ordre des étapes : elle rapporte un point et elle servira de contrôle à la question 2.

Étape 2

En appelant $x$ le nombre choisi : $x+2$ , puis $(x+2)^{2}$ , puis $f(x)=(x+2)^{2}-4$ .

Pourquoi

Chaque étape s'applique au résultat de la précédente, donc à une expression entière : la parenthèse autour de $x+2$ est la trace écrite de cet ordre. Sans elle, le carré ne porterait que sur le $2$ .

Étape 3

Développement : $(x+2)^{2}-4=x^{2}+4x+4-4=x^{2}+4x$ . Contrôle avec la question 1 : $3^{2}+4\times 3=9+12=21$ .

Pourquoi

Le contrôle est gratuit et il ferme la porte à l'erreur la plus fréquente : on retrouve exactement l'image déjà calculée autrement. Un écart ici signalerait un double produit oublié.

Étape 4

Antécédents de $0$ : on résout $f(x)=0$ , soit $x^{2}+4x=0$ , donc $x(x+4)=0$ , donc $x=0$ ou $x=-4$ .

Pourquoi

On résout une équation, on ne remplace pas : c'est le mot « antécédent » qui l'impose. La factorisation par $x$ est ici plus rapide que la forme développée, et elle donne les deux solutions d'un coup.

Étape 5

Vérification : $f(0)=(0+2)^{2}-4=0$ et $f(-4)=(-4+2)^{2}-4=4-4=0$ . Les deux conviennent.

Pourquoi

On réinjecte dans la forme de DÉPART, celle du programme, et non dans la forme développée : ainsi le contrôle est indépendant du développement, qui est justement l'endroit où l'on aurait pu se tromper.

Conclusion rédigée

« L'image de $3$ est $21$ , la fonction du programme est $f(x)=(x+2)^{2}-4=x^{2}+4x$ , et $0$ admet exactement deux antécédents : $0$ et $-4$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $f(x)=x^{2}-4$ en oubliant la parenthèse, puis conclure que $0$ a pour antécédents $2$ et $-2$ : les deux valeurs sont fausses, et la vérification par la question 1 les aurait démasquées en cinq secondes.

À savoir par cœur

• Dans $f(a)=b$ : $b$ est l'IMAGE de $a$ , et $a$ est UN antécédent de $b$ .
• Une image se CALCULE (un seul résultat) ; un antécédent se RÉSOUT (zéro, une ou plusieurs solutions).
• Sur une courbe : image = lecture VERTICALE depuis les abscisses ; antécédent = lecture HORIZONTALE depuis les ordonnées.
• Toujours des parenthèses autour d'un nombre négatif substitué : $(-3)^{2}=9$ alors que $-3^{2}=-9$ .
• Un programme de calcul se traduit dans l'ORDRE, en gardant une parenthèse autour de ce qui est déjà construit.
• Le point de la courbe d'abscisse $a$ a pour coordonnées $(a\,;f(a))$ .
• Des exemples numériques ne démontrent jamais rien ; un seul contre-exemple suffit à réfuter.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?

L'image est le nombre d'arrivée, l'antécédent est le nombre de départ. Dans l'égalité f de 3 égale 7, le 7 est l'image de 3, et le 3 est un antécédent de 7. Pour une image on remplace et on calcule ; pour un antécédent on pose une équation et on la résout.

Comment lire un antécédent sur un graphique en 3e ?

On part du nombre sur l'axe vertical, celui des ordonnées. On se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on descend sur l'axe horizontal pour lire l'abscisse. Il faut compter tous les points de rencontre : il peut y en avoir plusieurs, et le barème les compte.

Un nombre peut-il avoir plusieurs images ?

Non, jamais. C'est la règle qui définit une fonction : chaque nombre de départ a exactement une image. En revanche un même nombre d'arrivée peut avoir plusieurs antécédents, parce que résoudre une équation peut donner plusieurs solutions.

Comment transformer un programme de calcul en fonction ?

On appelle x le nombre choisi, puis on écrit chaque étape à la suite en gardant une parenthèse autour de ce qui est déjà construit. Ajouter 2 donne x plus 2 ; élever au carré donne la parenthèse x plus 2, le tout au carré ; retrancher 4 donne cette parenthèse au carré, moins 4.

Pourquoi faut-il des parenthèses quand on remplace par un nombre négatif ?

Parce que l'exposant ne porte que sur ce qui le précède immédiatement. Moins trois au carré sans parenthèses vaut moins neuf, alors que la parenthèse moins trois, au carré, vaut plus neuf. L'écart de dix-huit fausse tout le reste de la question.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La notion de fonction

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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La notion de fonction bloque en troisième à Montréal ?

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