Exercices corrigés : généralités sur les fonctions (Seconde)

a) Une fraction n'existe que si son dénominateur est non nul. Ici $x+1=0$ pour $x=-1$, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ PRIVÉ de $-1$, ce qu'on note $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ ou $]-\infty;-1[\ \cup\ ]-1;+\infty[$. Déterminer le domaine est toujours la PREMIÈRE chose à faire, avant tout calcul d'image.

b) On remplace : $f(0)=\frac{2\times 0-3}{0+1}=\frac{-3}{1}=-3$ ; $f(2)=\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}$ ; $f(3)=\frac{6-3}{4}=\frac{3}{4}$. Les trois valeurs appartiennent bien au domaine, ce qu'il faut vérifier avant de calculer et non après.

c) Chercher un ANTÉCÉDENT de $1$, c'est résoudre $f(x)=1$, donc $\frac{2x-3}{x+1}=1$. Comme $x\neq-1$, on peut multiplier par $x+1$ : $2x-3=x+1$, d'où $x=4$. L'unique antécédent de $1$ est $4$. Contrôle : $f(4)=\frac{5}{5}=1$ ✓.

d) De même $\frac{2x-3}{x+1}=2$ donne $2x-3=2x+2$, soit $-3=2$ après simplification des $2x$ : c'est IMPOSSIBLE. Le nombre $2$ n'a donc aucun antécédent par $f$. Ce résultat s'éclaire en réécrivant $f(x)=\frac{2(x+1)-5}{x+1}=2-\frac{5}{x+1}$ : la quantité $\frac{5}{x+1}$ ne s'annule jamais, donc $f(x)$ ne vaut jamais exactement $2$. La droite d'équation $y=2$ est une asymptote, notion qui sera nommée en Première.

e) Deux conditions se CUMULENT ici, et il faut les traiter toutes les deux : $x\geq 0$ pour que la racine existe, et $x\neq 1$ pour que le dénominateur ne s'annule pas. L'ensemble de définition est donc $[0;1[\ \cup\ ]1;+\infty[$. Oublier l'une des deux est l'erreur classique de cette question.

f) Un carré est toujours positif ou nul, donc $x^{2}\geq 0$ pour tout réel et $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. En revanche l'écriture $h(x)=x$ est FAUSSE : pour $x=-3$, on a $h(-3)=\sqrt{9}=3$ et non $-3$. La bonne écriture est $h(x)=|x|$, car une racine carrée est par définition toujours positive.

Deux réflexes structurent tout ce chapitre. Le premier est de chercher les INTERDICTIONS avant toute chose : un dénominateur ne s'annule pas, une racine carrée exige un radicande positif, et quand les deux apparaissent il faut cumuler. Le second concerne le vocabulaire, source d'erreur permanente : calculer une image est un simple remplacement, alors que chercher un antécédent demande de RÉSOUDRE une équation. Un nombre a toujours au plus une image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, comme le montre le contraste entre c) et d).

a) Lecture graphique puis vérification par le calcul, ce que l'énoncé demande toujours dans cet ordre : $f(-2)=(-2)^{3}-3\times(-2)=-8+6=-2$ ; $f(0)=0-0=0$ ; $f(2)=8-6=2$. Les trois valeurs se lisent bien sur la courbe ✓. On remarquera que $f(-2)=-f(2)$, ce qui n'est pas un hasard, la fonction étant IMPAIRE.

b) La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points, donc $0$ a trois antécédents. Par le calcul, on factorise d'abord par $x$ puis on reconnaît une différence de carrés : $x^{3}-3x=x\left(x^{2}-3\right)=x\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)$. Les antécédents de $0$ sont donc $-\sqrt{3}$, $0$ et $\sqrt{3}$, soit environ $-1{,}73$, $0$ et $1{,}73$, ce qui correspond à la lecture ✓.

c) La droite d'équation $y=2$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $-1$ et $2$. Vérification : $f(-1)=-1+3=2$ ✓ et $f(2)=8-6=2$ ✓. On peut aller plus loin en factorisant $x^{3}-3x-2=(x-2)(x+1)^{2}$, ce qui explique pourquoi $-1$ est une solution DOUBLE : la droite y est tangente à la courbe au lieu de la traverser, et c'est pour cela qu'on ne compte que deux points d'intersection et non trois.

d) L'inéquation $f(x)>0$ se lit là où la courbe est strictement AU-DESSUS de l'axe des abscisses. En utilisant la factorisation de b) et l'intervalle d'étude $[-2{,}5\,;\,2{,}5]$ : la solution est $x\in\ ]-\sqrt{3}\,;\,0[\ \cup\ ]\sqrt{3}\,;\,2{,}5]$. La borne $2{,}5$ est INCLUSE car elle appartient au domaine d'étude et $f(2{,}5)>0$, alors que les bornes $-\sqrt{3}$, $0$ et $\sqrt{3}$ sont exclues puisque la fonction s'y annule.

Une lecture graphique ne se rend jamais seule, et l'énoncé le rappelle à chaque question : le graphique donne la CONJECTURE, le calcul donne la PREUVE. Cela dit, le graphique fait plus que rassurer, il indique COMBIEN de solutions chercher, ce qui évite d'en oublier. Ici il annonce trois antécédents de $0$ et deux de $2$, et l'on sait donc quand s'arrêter. Le cas de la question c) mérite d'être retenu : quand une droite horizontale ne coupe la courbe qu'en deux points alors qu'un cube en admet généralement trois, c'est le signe d'une racine double, donc d'une tangence.

a) Pour $0<x<1$, l'ordre est $x^{2}<x<\sqrt{x}$. L'illustration avec $x=0{,}25$ le rend concret : $x^{2}=0{,}0625$, $x=0{,}25$ et $\sqrt{x}=0{,}5$. La raison est que multiplier un nombre plus petit que $1$ par lui-même le RAPETISSE, alors que la racine carrée le rapproche de $1$ par en dessous.

b) Pour $x>1$, l'ordre s'INVERSE complètement : $\sqrt{x}<x<x^{2}$. Illustration avec $x=4$ : $\sqrt{x}=2$, $x=4$ et $x^{2}=16$. Le point de bascule est $x=1$, où les trois quantités valent $1$ : c'est le seul endroit où l'ordre change, et c'est pourquoi les deux questions se distinguent exactement là.

c) La fonction inverse est DÉCROISSANTE sur $]0;+\infty[$, donc elle renverse l'ordre : $0<a<b$ entraîne $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$. Il faut citer le sens de variation, c'est lui qui justifie le renversement ; l'affirmer sans justification ne vaut aucun point.

d) Contre-exemple : $-1<1$ et pourtant $\frac{1}{-1}=-1$ est INFÉRIEUR à $\frac{1}{1}=1$. L'ordre a donc été conservé, ce qui contredirait la décroissance. L'énoncé correct est : la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ ET décroissante sur $]0;+\infty[$, mais pas sur la réunion des deux intervalles. La différence n'est pas une subtilité de rédaction, elle est indispensable, puisque la fonction n'est même pas définie en $0$ et qu'aucune comparaison ne peut traverser ce trou.

e) Pour la fonction carré, $f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$ : elle est PAIRE. Pour la fonction cube, $f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$ : elle est IMPAIRE. Pour la fonction inverse, $f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$ : elle est IMPAIRE elle aussi. On le contrôle sur un nombre : $(-1{,}5)^{2}=2{,}25$ comme $1{,}5^{2}$, tandis que $(-1{,}5)^{3}=-3{,}375$ est l'opposé de $1{,}5^{3}=3{,}375$. Attention, « impaire » ne veut pas dire « pas paire » : ce sont deux propriétés distinctes, et la plupart des fonctions ne sont ni l'une ni l'autre.

f) Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'AXE DES ORDONNÉES : les points d'abscisses opposées ont la même ordonnée, donc la courbe se replie sur elle-même par pliage le long de l'axe. Une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l'ORIGINE : les points d'abscisses opposées ont des ordonnées opposées, donc la courbe se superpose à elle-même par un demi-tour autour de $O$. L'intérêt est concret : il suffit d'étudier la fonction sur les $x$ positifs, l'autre moitié se déduit. La fonction racine carrée, elle, n'est ni paire ni impaire pour une raison qui n'a rien à voir avec un calcul : son ensemble de définition $[0\ ;\ +\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$, donc $f(-x)$ n'existe pas dès que $x>0$. La première chose à regarder est toujours le domaine, jamais la formule.

La question d) énonce une règle qui vaut pour toutes les fonctions de ce chapitre et bien au-delà : un sens de variation s'énonce TOUJOURS sur un INTERVALLE, jamais sur une réunion. Les questions e) et f) en ajoutent une seconde du même genre : une propriété de parité se teste d'abord sur le DOMAINE, ensuite seulement sur la formule.

a) Le MAXIMUM de $f$ sur $[-3;4]$ vaut $6$, atteint en $x=2$, et le MINIMUM vaut $-2$, atteint en $x=-1$. Ces deux valeurs se trouvent aux changements de sens, mais il fallait aussi comparer aux valeurs des bornes, $5$ en $-3$ et $1$ en $4$ : elles ne dépassent ni l'une ni l'autre, ce qui confirme la réponse ✓.

b) On raisonne intervalle par intervalle, et c'est la rédaction attendue. Sur $[-3;-1]$, $f$ décroît continûment de $5$ à $-2$ : elle traverse donc $0$ exactement UNE fois. Sur $[-1;2]$, $f$ croît de $-2$ à $6$ : elle traverse $0$ une fois de plus. Sur $[2;4]$, $f$ décroît de $6$ à $1$ en restant strictement POSITIVE : aucune solution. Au total, l'équation $f(x)=0$ admet $2$ solutions.

c) Même raisonnement avec la valeur $3$. Sur $[-3;-1]$, $f$ passe de $5$ à $-2$ et traverse donc $3$ : une solution. Sur $[-1;2]$, $f$ passe de $-2$ à $6$ : une solution. Sur $[2;4]$, $f$ passe de $6$ à $1$, et $3$ est bien compris entre ces deux valeurs : une solution encore. Au total, $3$ solutions. Le simple changement de la valeur cherchée fait donc passer de deux à trois solutions.

d) Non, on ne peut PAS comparer. Les nombres $-2$ et $0$ n'appartiennent pas au même intervalle de monotonie : $-2$ est dans $[-3;-1]$ où $f$ décroît, et $0$ est dans $[-1;2]$ où $f$ croît. Le tableau donne seulement $f(-2)\in\ ]-2;5[$ et $f(0)\in\ ]-2;6[$, deux encadrements qui se CHEVAUCHENT largement : aucune conclusion n'est possible. Répondre par une intuition tirée du dessin serait une faute de raisonnement.

Le tableau de variation est donc bien plus qu'un résumé, c'est un OUTIL DE DÉNOMBREMENT. Sur chaque intervalle où la fonction est monotone et continue, une valeur comprise strictement entre les deux extrémités est atteinte exactement une fois, et une valeur extérieure ne l'est jamais. Il suffit donc de comparer la valeur cherchée aux deux bouts de chaque flèche, et d'additionner. Cette méthode se généralisera en Première sous le nom de théorème des valeurs intermédiaires, mais elle s'utilise déjà telle quelle en Seconde. La question d) rappelle en contrepartie sa limite : le tableau ne compare que des nombres situés sur la MÊME flèche.

a) Les courbes se coupent en deux points, dont on lit les coordonnées : $(-1\,;\,0)$ et $(2\,;\,3)$. On lit d'abord l'abscisse puis l'ordonnée, et il faut vérifier que le point lu appartient bien aux DEUX courbes.

b) On résout $x^{2}-1=x+1$, soit $x^{2}-x-2=0$. On factorise en cherchant deux nombres de somme $1$ et de produit $-2$, à savoir $2$ et $-1$ : $(x-2)(x+1)=0$, d'où $x=-1$ ou $x=2$. Les ordonnées s'obtiennent dans la plus simple des deux expressions, ici la droite : $g(-1)=0$ et $g(2)=3$ ✓, ce qui confirme la lecture de a).

c) La parabole est au-dessus de la droite à l'EXTÉRIEUR des deux points d'intersection, ce qui se lit directement sur le graphique. La solution de $f(x)\geq g(x)$ est donc $]-\infty;-1]\ \cup\ [2;+\infty[$, avec des crochets fermés puisque l'inégalité est large et que les deux courbes se touchent en ces points.

d) On étudie le signe de la DIFFÉRENCE, seule méthode correcte pour comparer deux fonctions : $f(x)-g(x)=x^{2}-1-x-1=x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$. Le coefficient dominant est positif, donc ce trinôme est positif ou nul à l'extérieur de ses racines $-1$ et $2$, et négatif entre elles. On retrouve exactement $]-\infty;-1]\ \cup\ [2;+\infty[$ ✓.

Le geste de la question d) est le plus important du chapitre et sera repris à l'exercice 8 : pour comparer $f$ et $g$, on ne compare jamais les expressions terme à terme, on étudie le SIGNE de $f-g$. La raison est qu'une différence positive signifie exactement que la première courbe est au-dessus, et qu'un signe s'étudie par factorisation alors qu'une comparaison directe n'a pas de méthode. On notera aussi la cohérence entre les deux approches : les points d'intersection de c) sont précisément les ZÉROS de la différence en d), et les zones où une courbe domine sont les intervalles où la différence garde un signe constant.

a) On développe la différence en regroupant astucieusement : $f(b)-f(a)=\left(b^{2}-4b+1\right)-\left(a^{2}-4a+1\right)=b^{2}-a^{2}-4b+4a$. Les constantes $+1$ se compensent. On reconnaît alors une différence de carrés et l'on factorise le reste : $b^{2}-a^{2}-4(b-a)=(b-a)(b+a)-4(b-a)=(b-a)(a+b-4)$ ✓, en mettant $(b-a)$ en évidence.

b) Soient $a$ et $b$ tels que $a<b\leq 2$. Alors $b-a>0$, le premier facteur est positif. De plus $a<2$ et $b\leq 2$ donnent par addition $a+b<4$, donc $a+b-4<0$ et le second facteur est négatif. Le produit $(b-a)(a+b-4)$ est donc NÉGATIF, c'est-à-dire $f(b)-f(a)<0$, soit $f(b)<f(a)$. Comme $a<b$ entraîne $f(b)<f(a)$, la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;2]$.

c) Soient maintenant $2\leq a<b$. Alors $b-a>0$ comme précédemment, et $a\geq 2$ avec $b>2$ donnent $a+b>4$, donc $a+b-4>0$. Le produit est cette fois POSITIF, donc $f(b)>f(a)$ : la fonction est croissante sur $[2;+\infty[$. Seul le signe du second facteur a changé, et c'est le nombre $2$ qui le fait basculer.

d) La fonction décroît puis croît en changeant de sens en $x=2$ : elle admet donc un MINIMUM en ce point, égal à $f(2)=4-8+1=-3$. Pour comparer $f(-3)$ et $f(6)$ sans les calculer, on raisonne sur les DISTANCES au sommet : $-3$ est à distance $5$ de $2$, tandis que $6$ est à distance $4$. La parabole étant tournée vers le haut, l'image est d'autant plus grande qu'on s'éloigne du sommet, donc $f(-3)>f(6)$. Vérification : $f(-3)=9+12+1=22$ et $f(6)=36-24+1=13$ ✓.

L'énoncé précise que la dérivée n'est pas au programme, et il faut voir pourquoi cette démonstration est instructive plutôt que pénible. Elle revient à la DÉFINITION même du sens de variation, à savoir la comparaison de $f(a)$ et $f(b)$ pour $a<b$, alors que la dérivée n'en est qu'un raccourci de calcul. La technique se réutilise telle quelle sur toute fonction polynomiale : on développe $f(b)-f(a)$, on fait apparaître le facteur $(b-a)$, et l'on discute le signe du second facteur. Une remarque enfin sur la question d) : l'argument de la distance au sommet vaut pour TOUTE parabole, et il permet de comparer deux images de tête, sans calcul, ce qui est très utile en contrôle.

a) Le coût total se compose de la location, fixe, et des repas, proportionnels au nombre de participants : $200+15n$ dollars. Ce total est réparti sur $n$ personnes, d'où $f(n)=\frac{200+15n}{n}=\frac{200}{n}+\frac{15n}{n}=15+\frac{200}{n}$ ✓. La séparation en deux termes est ce qui rend la suite lisible : une part fixe par personne de $15$ dollars, et une part décroissante.

b) $f(10)=15+\frac{200}{10}=15+20=35$ dollars ; $f(20)=15+10=25$ dollars ; $f(50)=15+4=19$ dollars. Le coût par personne chute rapidement au début puis se tasse, ce qui est le comportement typique d'une fonction inverse.

c) La fonction inverse $n\mapsto\frac{1}{n}$ est décroissante sur $]0;+\infty[$. En la multipliant par $200$, qui est POSITIF, le sens de variation est conservé, donc $n\mapsto\frac{200}{n}$ est décroissante. Ajouter la constante $15$ ne change pas davantage le sens, une translation verticale ne modifiant aucune comparaison. Donc $f$ est décroissante sur $]0;+\infty[$. Chacune des trois étapes doit être écrite, c'est la rédaction attendue.

d) On résout $f(n)\leq 20$, c'est-à-dire $15+\frac{200}{n}\leq 20$, soit $\frac{200}{n}\leq 5$. Comme $n>0$, on peut multiplier par $n$ sans changer le sens : $200\leq 5n$, donc $n\geq 40$. Il faut au moins $40$ participants. Contrôle aux bornes : $f(40)=15+5=20$ ✓ et $f(39)\approx 20{,}13>20$ ✗.

e) Non, c'est impossible. Pour tout $n>0$, la quantité $\frac{200}{n}$ est strictement POSITIVE, donc $f(n)>15$ quel que soit le nombre de participants. Le coût par personne reste toujours strictement supérieur à $15$ dollars et ne peut donc jamais valoir $14$ dollars. La valeur $15$ est une limite que la fonction approche sans jamais l'atteindre.

La question e) est celle qui distingue les copies, et sa réponse tient à une lecture de la FORME de $f$ plutôt qu'à un calcul. En écrivant $f(n)=15+\frac{200}{n}$, on voit immédiatement que le coût par personne ne peut pas descendre sous le prix du repas, ce qui est d'ailleurs évident dans le contexte : la location se dilue sur un nombre croissant de personnes, mais chaque participant mange toujours pour $15$ dollars. Cette concordance entre la lecture algébrique et le bon sens est ce qu'un correcteur cherche. On notera aussi le rendement décroissant : passer de $10$ à $20$ participants fait gagner $10$ dollars par personne, mais passer de $40$ à $50$ n'en fait plus gagner que $1$.

a) $f(x)-g(x)=x^{2}-(2x-1)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$, en reconnaissant l'identité remarquable. Un CARRÉ est toujours positif ou nul, donc $f(x)\geq g(x)$ pour tout réel : la parabole est toujours au-dessus de la droite, sans exception.

b) En $x=1$ la différence s'annule, donc les deux courbes se TOUCHENT au point $(1\,;\,1)$, puisque $f(1)=1$ et $g(1)=1$. Comme la différence ne CHANGE PAS de signe en ce point, restant positive de part et d'autre, les courbes ne se croisent pas : la droite est TANGENTE à la parabole. C'est la même situation qu'à l'exercice 2, où une racine double signalait déjà une tangence.

c) $h(x)-k(x)=x^{3}-x=x\left(x^{2}-1\right)=x(x-1)(x+1)$, en factorisant d'abord par $x$ puis en reconnaissant une différence de carrés. Le tableau de signes se dresse avec les trois racines $-1$, $0$ et $1$, et le produit change de signe à chacune : négatif sur $]-\infty;-1[$, positif sur $]-1;0[$, négatif sur $]0;1[$, positif sur $]1;+\infty[$.

d) La courbe de $h$ est au-dessus de celle de $k$ là où la différence est positive ou nulle, c'est-à-dire sur $[-1;0]\ \cup\ [1;+\infty[$. Les bornes sont incluses puisqu'aux points $-1$, $0$ et $1$ les deux courbes se rencontrent.

Le contraste entre a) et c) mérite d'être relevé, car il porte tout l'enseignement de l'exercice. En a) la différence est un carré : elle ne change JAMAIS de signe, les courbes se frôlent sans se traverser, et une seule zone existe. En c) la différence est un produit de trois facteurs simples : elle change de signe à chaque racine, et les courbes se croisent trois fois. C'est donc la MULTIPLICITÉ des racines qui décide, une racine double donnant une tangence et une racine simple une traversée. Ce critère resservira constamment, et il permet même de prévoir l'allure d'un graphique avant de le tracer : il suffit de factoriser la différence et de compter combien de fois chaque facteur apparaît.

a) On DISCUTE le signe de $x$, car multiplier par une quantité de signe inconnu est interdit. Cas $x>0$ : en multipliant par $x>0$ le sens est conservé, $1\leq 3x$, donc $x\geq\frac{1}{3}$. Cas $x<0$ : alors $\frac{1}{x}$ est négatif, donc automatiquement inférieur à $3$, et l'inéquation est TOUJOURS vraie. L'ensemble solution est donc $]-\infty;0[\ \cup\ \left[\frac{1}{3};+\infty\right[$.

b) Même découpage. Cas $x>0$ : $\frac{1}{x}$ est positif, donc supérieur à $-2$, et l'inéquation est toujours vraie. Cas $x<0$ : en multipliant par $x<0$ le sens s'INVERSE, $1\leq-2x$, donc $-2x\geq 1$ et $x\leq-\frac{1}{2}$. L'ensemble solution est $\left]-\infty;-\frac{1}{2}\right]\ \cup\ ]0;+\infty[$.

c) Il a perdu tout l'intervalle $]-\infty;0[$. En multipliant par $x$ sans discuter son signe, il a implicitement SUPPOSÉ $x>0$ et n'a donc traité que la moitié du problème. Or pour $x<0$ le sens de l'inégalité s'inverse, et surtout tous ces nombres sont en réalité solutions puisque leur inverse est négatif, donc inférieur à $3$. Contrôle immédiat qui aurait dû l'alerter : $x=-1$ donne $\frac{1}{-1}=-1\leq 3$ ✓, alors que $-1$ ne vérifie pas $x\geq\frac{1}{3}$ ✗.

La règle est absolue et vaut pour tout le lycée : on ne multiplie JAMAIS les deux membres d'une inéquation par une expression dont on ignore le signe. Deux issues sont possibles, et la première est presque toujours la meilleure en Seconde. Soit on DISCUTE selon le signe, comme ici, en traitant deux cas et en réunissant les ensembles obtenus. Soit on passe tout du même côté et l'on étudie le signe d'un quotient, ce qui donnerait ici $\frac{1}{x}-3=\frac{1-3x}{x}$ et un tableau de signes à deux lignes. Un dernier contrôle vaut d'être systématisé : tester une valeur dans chaque zone trouvée et une valeur exclue, ce qui prend vingt secondes et détecte immédiatement une moitié d'ensemble oubliée.