Exercices corrigés : généralités sur les fonctions (Seconde)

a) Le dénominateur s'annule pour $x=-1$, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $-1$.

b) $f(0)=\frac{-3}{1}=-3$ ; $f(2)=\frac{1}{3}$ ; $f(3)=\frac{3}{4}$.

c) $\frac{2x-3}{x+1}=1$ donne $2x-3=x+1$ (avec $x\neq -1$), donc $x=4$. L'unique antécédent de $1$ est $4$.

d) $\frac{2x-3}{x+1}=2$ donne $2x-3=2x+2$, soit $-3=2$ : impossible. Le nombre $2$ n'a aucun antécédent. C'est cohérent avec l'écriture $f(x)=2-\frac{5}{x+1}$ : la quantité $\frac{5}{x+1}$ ne s'annule jamais, donc $f(x)$ ne vaut jamais exactement $2$.

a) $f(-2)=-8+6=-2$, $f(0)=0$, $f(2)=8-6=2$.

b) La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points. Par le calcul : $x^3-3x=x(x^2-3)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$, donc les antécédents de $0$ sont $-\sqrt{3}$, $0$ et $\sqrt{3}$, soit environ $-1{,}73$, $0$ et $1{,}73$.

c) La droite d'équation $y=2$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $-1$ et $2$. Vérification : $f(-1)=-1+3=2$ et $f(2)=8-6=2$. On peut aussi factoriser $x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2$, ce qui explique pourquoi $-1$ est une solution double : la droite est tangente à la courbe en ce point.

d) $f(x)>0$ lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, c'est-à-dire pour $x\in\ ]-\sqrt{3}\ ;\ 0[\ \cup\ ]\sqrt{3}\ ;\ 2{,}5]$.

a) Pour $0<x<1$ : $x^2<x<\sqrt{x}$. Avec $x=0{,}25$ : $x^2=0{,}0625$, $x=0{,}25$ et $\sqrt{x}=0{,}5$.

b) Pour $x>1$ : $\sqrt{x}<x<x^2$. Avec $x=4$ : $\sqrt{x}=2$, $x=4$ et $x^2=16$.

c) La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$, donc $0<a<b$ entraîne $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

d) Contre-exemple : $-1<1$ et pourtant $\frac{1}{-1}=-1$ est inférieur à $\frac{1}{1}=1$. L'ordre est conservé, ce qui contredit la décroissance. L'énoncé correct est : la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et décroissante sur $]0;+\infty[$, mais pas sur la réunion des deux intervalles.

a) Le maximum vaut $6$, atteint en $x=2$. Le minimum vaut $-2$, atteint en $x=-1$.

b) Sur $[-3;-1]$, $f$ décroît de $5$ à $-2$ : elle prend une fois la valeur $0$. Sur $[-1;2]$, $f$ croît de $-2$ à $6$ : encore une fois. Sur $[2;4]$, $f$ décroît de $6$ à $1$, en restant strictement positive : aucune solution. Au total, l'équation a $2$ solutions.

c) Sur $[-3;-1]$, $f$ passe de $5$ à $-2$ et traverse donc $3$ : une solution. Sur $[-1;2]$, $f$ passe de $-2$ à $6$ : une solution. Sur $[2;4]$, $f$ passe de $6$ à $1$ : une solution. Au total, $3$ solutions.

d) Non. Les nombres $-2$ et $0$ n'appartiennent pas au même intervalle de monotonie : $-2$ est dans $[-3;-1]$ et $0$ est dans $[-1;2]$. Le tableau donne seulement $f(-2)\in\ ]-2;5[$ et $f(0)\in\ ]-2;6[$, ce qui ne permet aucune comparaison.

a) Les courbes se coupent en $(-1,\ 0)$ et en $(2,\ 3)$.

b) $x^2-1=x+1$ donne $x^2-x-2=0$, soit $(x-2)(x+1)=0$ : $x=-1$ ou $x=2$. Les ordonnées correspondantes sont $g(-1)=0$ et $g(2)=3$.

c) La parabole est au-dessus de la droite à l'extérieur des points d'intersection : la solution est $]-\infty;-1]\ \cup\ [2;+\infty[$.

d) $f(x)-g(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Le coefficient dominant est positif, donc ce trinôme est positif ou nul à l'extérieur de ses racines : on retrouve $]-\infty;-1]\ \cup\ [2;+\infty[$.

a) $f(b)-f(a)=(b^2-4b+1)-(a^2-4a+1)=b^2-a^2-4(b-a)=(b-a)(b+a)-4(b-a)=(b-a)(a+b-4)$.

b) Soient $a<b\leq 2$. Alors $b-a>0$. De plus $a<2$ et $b\leq 2$ donnent $a+b<4$, donc $a+b-4<0$. Le produit $(b-a)(a+b-4)$ est donc négatif, c'est-à-dire $f(b)<f(a)$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty;2]$.

c) Soient $2\leq a<b$. Alors $b-a>0$, et $a\geq 2$ avec $b>2$ donnent $a+b>4$, donc $a+b-4>0$. Le produit est positif : $f(b)>f(a)$, donc $f$ est croissante sur $[2;+\infty[$.

d) $f$ décroît puis croît en changeant de sens en $x=2$ : elle admet un minimum en $2$, égal à $f(2)=4-8+1=-3$. Pour comparer $f(-3)$ et $f(6)$ : $-3$ est à distance $5$ de $2$, et $6$ est à distance $4$. La parabole étant tournée vers le haut, l'image est d'autant plus grande qu'on s'éloigne du sommet, donc $f(-3)>f(6)$. Vérification : $f(-3)=9+12+1=22$ et $f(6)=36-24+1=13$.

a) Le coût total vaut $200+15n$ dollars, réparti sur $n$ personnes : $f(n)=\frac{200+15n}{n}=\frac{200}{n}+15$.

b) $f(10)=15+20=35$ dollars ; $f(20)=15+10=25$ dollars ; $f(50)=15+4=19$ dollars.

c) La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$, donc $n\mapsto\frac{200}{n}$ l'est aussi (multiplication par $200>0$), et ajouter la constante $15$ ne change pas le sens de variation. Donc $f$ est décroissante.

d) $f(n)\leq 20$ équivaut à $\frac{200}{n}\leq 5$, soit (avec $n>0$) $200\leq 5n$, donc $n\geq 40$. Il faut au moins 40 participants.

e) Non. Pour tout $n>0$, $\frac{200}{n}>0$ donc $f(n)>15$. Le coût par personne reste toujours strictement supérieur à 15 dollars, il ne peut donc jamais valoir 14 dollars.

a) $f(x)-g(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$. Un carré est toujours positif ou nul, donc $f(x)\geq g(x)$ pour tout réel : la parabole est toujours au-dessus de la droite.

b) En $x=1$ la différence s'annule : les deux courbes se touchent au point $(1,\ 1)$. Comme la différence ne change pas de signe, les courbes ne se croisent pas : la droite est tangente à la parabole en ce point.

c) $h(x)-k(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$. Tableau de signe avec les racines $-1$, $0$ et $1$ : le produit est négatif sur $]-\infty;-1[$, positif sur $]-1;0[$, négatif sur $]0;1[$, positif sur $]1;+\infty[$.

d) La courbe de $h$ est au-dessus de celle de $k$ lorsque la différence est positive ou nulle, c'est-à-dire sur $[-1;0]\ \cup\ [1;+\infty[$.

a) Cas $x>0$ : en multipliant par $x>0$ le sens est conservé, $1\leq 3x$, donc $x\geq\frac{1}{3}$. Cas $x<0$ : alors $\frac{1}{x}<0\leq 3$, l'inéquation est toujours vraie. L'ensemble solution est $]-\infty;0[\ \cup\ [\frac{1}{3};+\infty[$.

b) Cas $x>0$ : $\frac{1}{x}>0>-2$, toujours vrai. Cas $x<0$ : en multipliant par $x<0$ le sens s'inverse, $1\leq -2x$, donc $x\leq -\frac{1}{2}$. L'ensemble solution est $]-\infty;-\frac{1}{2}]\ \cup\ ]0;+\infty[$.

c) Il a perdu tout l'intervalle $]-\infty;0[$. En multipliant par $x$ sans discuter, il a implicitement supposé $x>0$ : pour $x<0$ le sens de l'inégalité s'inverse, et tous ces nombres sont en fait solutions puisque leur inverse est négatif.

a) Il faut $x-3\geq 0$, donc $x\geq 3$ : l'ensemble de définition est $[3;+\infty[$.

b) Il faut $x^2-4\neq 0$, soit $(x-2)(x+2)\neq 0$ : l'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ privé de $-2$ et de $2$.

c) Deux conditions : $x\geq 0$ pour la racine et $x\neq 1$ pour le dénominateur. L'ensemble de définition est $[0;1[\ \cup\ ]1;+\infty[$.

d) Il faut $5-x\geq 0$, soit $x\leq 5$, et $x\neq -2$. L'ensemble de définition est $]-\infty;-2[\ \cup\ ]-2;5]$.

e) $x^2\geq 0$ pour tout réel, donc $m$ est définie sur $\mathbb{R}$. En revanche $m(x)=x$ est faux : pour $x=-3$, $m(-3)=\sqrt{9}=3$ et non $-3$. La bonne écriture est $m(x)=|x|$, car une racine carrée est toujours positive.