Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : généralités sur les fonctions (Seconde)

Q: Quelle différence entre une image et un antécédent ?

L'image d'un nombre est le résultat obtenu en le remplaçant dans la fonction : il n'y en a qu'une. Un antécédent d'un nombre est une valeur qui donne ce nombre en sortie : il peut y en avoir plusieurs, ou aucune. Dans l'écriture f de trois égale cinq, trois est l'antécédent et cinq est l'image.

Q: Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction en Seconde ?

On repère tous les dénominateurs et toutes les racines carrées de l'expression. Chaque dénominateur impose une valeur interdite, chaque racine impose que son contenu soit positif ou nul. Ces conditions s'appliquent toutes en même temps, et la réponse s'écrit en intervalles, avec une réunion s'il y a une valeur exclue à l'intérieur.

Q: Comment démontrer qu'une fonction est croissante en Seconde ?

On prend deux réels quelconques de l'intervalle, notés a et b, avec a plus petit que b. On calcule la différence des images, on la factorise pour faire apparaître b moins a, puis on détermine son signe en utilisant l'hypothèse et l'intervalle. Deux valeurs numériques ne démontrent jamais une variation.

Q: Pourquoi la fonction inverse n'est pas décroissante sur son ensemble de définition ?

Parce que la décroissance exige que l'ordre soit renversé pour tous les couples de nombres de l'ensemble, et ce n'est plus le cas quand on traverse zéro. Moins un est plus petit que un, pourtant l'inverse de moins un vaut moins un, qui est plus petit que un. On dit donc décroissante sur chacun des deux intervalles.

Q: Peut-on multiplier une inéquation par x pour supprimer le dénominateur ?

Non, tant que le signe de x est inconnu, car multiplier par un nombre négatif retourne l'inégalité. On ramène tout d'un même côté, on réduit au même dénominateur, puis on étudie le signe du quotient dans un tableau. La multiplication n'est autorisée qu'après avoir annoncé explicitement que x est strictement positif.

Cette fiche ne refait pas le cours sur les fonctions : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon le verbe de la question, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Une fonction n'est pas une formule, c'est une machine à associer, et cette machine est dissymétrique : un nombre a AU PLUS une image, mais il peut avoir plusieurs antécédents ou aucun. Presque tous les points perdus en Seconde viennent de cette dissymétrie oubliée, ou d'un sens de variation affirmé à partir de deux points alors qu'il se démontre sur deux réels quelconques.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La notion de fonctionTroisième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs numériques et prioritésCinquième
2Les nombres relatifsCinquième
3Le calcul littéralCinquième
4Multiplication et division de relatifsQuatrième
5Calcul littéral et équationsQuatrième
6La notion de fonctionTroisième

L'essentiel

Image et antécédent : trois questions différentes

• $f(a)$ est L'IMAGE de $a$ : on remplace, c'est un calcul direct, et il y a au plus une réponse.
• Les ANTÉCÉDENTS de $k$ sont les solutions de l'équation $f(x)=k$ : c'est une résolution, et il peut y en avoir zéro, un, deux ou une infinité.
• Graphiquement, l'image de $a$ se lit en montant depuis $a$ jusqu'à la courbe ; les antécédents de $k$ se lisent en traçant la droite horizontale d'ordonnée $k$ .
• Une courbe ne peut pas être coupée deux fois par une même verticale, mais elle peut l'être autant de fois qu'on veut par une horizontale.
• Dans la phrase « $b$ est l'image de $a$ par $f$ », $a$ est un antécédent de $b$ : les deux formulations disent la même chose dans l'autre sens.

La verticale ne coupe la courbe qu'une fois :

2

a une seule image. L'horizontale la coupe deux fois :

9

a deux antécédents,

-3

3

Le mot de l'énoncé décide de la méthode : « image » et « calculer » appellent une substitution, « antécédent » et « résoudre » appellent une équation.

L'ensemble de définition, et toutes ses conditions

• On exclut les valeurs qui annulent un DÉNOMINATEUR, et celles qui rendent strictement négatif ce qui est sous une RACINE carrée.
• Quand les deux situations sont présentes, il faut les deux conditions à la fois : c'est une intersection, pas un choix.
• $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ exige $x-2\geq 0$ ET $x-5\neq 0$ , donc $D_{f}=[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[$ .
• Sous une racine, l'inégalité est LARGE : $\sqrt{0}=0$ existe. Au dénominateur, l'exclusion est stricte.
• Un polynôme est défini sur $\mathbb{R}$ tout entier, quel que soit son degré : il n'y a alors rien à écrire d'autre que $D_{f}=\mathbb{R}$ .

Un ensemble de définition se rend en NOTATION D'INTERVALLES, réunion comprise. Une réponse du type « $x$ différent de $5$ et $x$ plus grand que $2$ » perd souvent le point de forme.

Variation, extremum, et ce que la définition exige

• $f$ est croissante sur $I$ lorsque, pour TOUS $a<b$ de $I$ , on a $f(a)\leq f(b)$ . Deux valeurs particulières ne prouvent rien.
• Décroissante : pour tous $a<b$ de $I$ , $f(a)\geq f(b)$ . L'ordre est conservé dans un cas, renversé dans l'autre.
• Un sens de variation est TOUJOURS relatif à un intervalle : « $f$ est croissante » sans intervalle n'est pas une réponse.
• Un extremum se lit dans le tableau de variation : la valeur est l'ordonnée, l'abscisse dit seulement où il est atteint.
• La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$ , mais PAS sur la réunion des deux.

Sur $]0\,;+\infty[$ : si $0<x<1$ alors $x^{2}<x<\sqrt{x}$ , et si $x>1$ alors $\sqrt{x}<x<x^{2}$ . L'ordre s'inverse en $1$ , et c'est la comparaison la plus demandée du chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Échanger l'image et l'antécédent

1 point par occurrence, et souvent toute une question de lecture graphique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(3)=5$ , donc $3$ est l'image de $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(3)=5$ signifie que $5$ est l'image de $3$ , et que $3$ est un antécédent de $5$ . »

Pourquoi : Dans l'écriture $f(3)=5$ , le nombre qui entre dans la machine est celui des parenthèses, celui qui sort est le résultat. Le moyen mnémotechnique qui tient : l'antécédent vient AVANT, il est à gauche, dans les parenthèses.

2. Rendre un seul antécédent quand la courbe coupe deux fois

la moitié des points de la question, et souvent la moitié des solutions d'un problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=x^{2}$ et $f(x)=9$ : donc $x=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}=9$ donne $x=3$ ou $x=-3$ : le nombre $9$ a DEUX antécédents par la fonction carré. »

Pourquoi : L'unicité vaut pour l'image, jamais pour l'antécédent. Sur un graphique, la droite horizontale d'ordonnée $9$ coupe la parabole en deux points, et c'est cette lecture qui rappelle qu'il faut chercher toutes les solutions.

3. Ne retenir qu'une condition dans l'ensemble de définition

2 points, et toutes les questions suivantes portent sur le mauvais intervalle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ est définie pour $x\neq 5$ , donc $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{5\}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut $x-2\geq 0$ ET $x-5\neq 0$ , donc $x\geq 2$ et $x\neq 5$ : $D_{f}=[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[$ . »

Pourquoi : Chaque symbole impose sa contrainte, et les contraintes s'ajoutent au lieu de se remplacer. La méthode sûre consiste à souligner dans l'expression tous les dénominateurs et toutes les racines AVANT d'écrire quoi que ce soit.

4. Affirmer un sens de variation à partir de deux valeurs

toute la question de démonstration, souvent notée sur 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(1)=2$ et $f(3)=8$ , donc $f$ est croissante. »

Ce qu'il faut écrire

« Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$ . On calcule $f(b)-f(a)$ et on montre que ce nombre est positif pour TOUS ces $a$ et $b$ : $f$ est alors croissante sur $I$ . »

Pourquoi : Deux points ne disent rien de ce qui se passe entre eux : la fonction $g(x)=x^{3}-12x$ vérifie $g(1)=-11<g(3)=-9$ sans être croissante sur $[1\,;3]$ , puisque $g(2)=-16$ . Une variation se démontre sur deux réels QUELCONQUES, jamais sur un échantillon.

5. Déclarer la fonction inverse décroissante sur la réunion des deux intervalles

1 point, et une comparaison fausse dès qu'un problème mélange les signes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$ , mais pas sur la réunion : $-1<1$ alors que $\frac{1}{-1}=-1<1=\frac{1}{1}$ . »

-1<1

et pourtant

f(-1)=-1<1=f(1)

: la fonction MONTE quand on passe d'une branche à l'autre. Elle décroît sur chaque intervalle, jamais sur leur réunion.

Pourquoi : La décroissance exige que l'ordre soit renversé pour tous les couples de l'ensemble, et le contre-exemple $-1$ et $1$ montre que ce n'est pas le cas quand on traverse zéro. Le mot « et » remplace donc l'union dans la conclusion.

6. Multiplier une inéquation par $x$ dont le signe est inconnu

toute la question, la réponse fausse inclut tous les nombres négatifs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{x}>2$ , donc $1>2x$ , donc $x<0{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $x>0$ , l'inéquation équivaut à $1>2x$ , donc $0<x<0{,}5$ . Pour $x<0$ , $\frac{1}{x}$ est négatif, donc l'inéquation est fausse. Ainsi $S=\,]0\,;0{,}5[$ . »

Pourquoi : Multiplier par $x$ conserve le sens si $x>0$ et le renverse si $x<0$ : sans discussion, on applique une règle dans un cas où elle ne vaut pas. Le contrôle est immédiat, $x=-1$ donne $\frac{1}{-1}=-1$ , qui n'est pas supérieur à $2$ .

7. Croire que le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre

2 points, et une comparaison de courbes tracée à l'envers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}>x$ pour tout $x$ positif, puisque multiplier par $x$ agrandit. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $]0\,;1[$ , on a $x^{2}<x<\sqrt{x}$ : par exemple $0{,}25<0{,}5<0{,}707$ . L'ordre ne s'inverse qu'à partir de $x=1$ . »

Pourquoi : Multiplier par un nombre COMPRIS ENTRE $0$ ET $1$ diminue, ce qui n'est vrai ni pour les nombres plus grands que $1$ ni pour les négatifs. Le point $x=1$ est celui où les trois courbes se croisent, et c'est lui qu'il faut placer en premier sur un graphique.

8. Rendre des ordonnées à une question de résolution graphique

toute la question, alors que la lecture graphique était juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)\geq g(x)$ : la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ entre les ordonnées $1$ et $7$ , donc $S=[1\,;7]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ pour $x$ compris entre $-2$ et $3$ , donc $S=[-2\,;3]$ : on lit les ABSCISSES des points où la position s'inverse. »

La courbe de

f

est au-dessus de celle de

g

entre les deux points d'intersection : on lit les ABSCISSES

-2

3

sur l'axe horizontal, jamais les ordonnées

-1

4

Pourquoi : Résoudre, c'est chercher les valeurs de $x$ , donc des abscisses, quelle que soit la manière dont la question est posée. Le réflexe qui sauve : après avoir repéré les points d'intersection, descendre à la verticale jusqu'à l'axe des abscisses avant d'écrire quoi que ce soit.

Quelle méthode choisir

Le verbe de la question choisit la méthode

Lire le mot clé de l'énoncé avant de regarder l'expression de la fonction.

Si « calculer l'image de $a$ », « déterminer $f(a)$ » → substitution directe, une seule réponse

Exemple : $f(x)=x^{2}-1$ donne $f(3)=8$
Si « déterminer les antécédents de $k$ », « résoudre $f(x)=k$ » → équation à résoudre, en cherchant TOUTES les solutions

Exemple : $x^{2}=9$ donne $x=3$ ou $x=-3$

conclure par « le nombre $k$ a deux antécédents » et non par une valeur seule
Si « déterminer l'ensemble de définition » → lister toutes les conditions, les combiner, écrire une réunion d'intervalles

Exemple : $[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[$
Si « démontrer que $f$ est croissante sur $I$ » → prendre $a<b$ QUELCONQUES dans $I$ , étudier le signe de $f(b)-f(a)$

Exemple : $f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-4)$
Si « résoudre graphiquement $f(x)\geq g(x)$ » → lire les ABSCISSES des $x$ où la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$

Exemple : $S=[-2\,;3]$
Si « comparer $f$ et $g$ » sans graphique → étudier le signe de la différence $f(x)-g(x)$ , après factorisation

Exemple : $f(x)-g(x)=(x-1)(x-4)$

Si l'énoncé fournit un graphique, la réponse attendue est une lecture, avec les traits de construction laissés visibles. Si l'énoncé fournit une expression, la réponse attendue est un calcul.

Comparer deux quantités selon la forme du problème

Regarder ce qu'on compare et sous quelle forme les données arrivent.

Si deux expressions littérales dont la différence se factorise → signe de $f(x)-g(x)$ par tableau de signes

Exemple : $x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)$
Si les fonctions de référence $x$ , $x^{2}$ et $\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ → utiliser l'ordre connu, en distinguant $]0\,;1[$ et $]1\,;+\infty[$

Exemple : $0{,}25<0{,}5<0{,}707$ contre $2<4$
Si une inéquation contenant $\frac{1}{x}$ → tableau de signes après avoir tout ramené d'un côté, jamais de multiplication par $x$

Exemple : $\frac{1}{x}-2>0$ donne $\frac{1-2x}{x}>0$
Si deux courbes tracées → position relative, et lecture des abscisses des points d'intersection

Exemple : au-dessus sur $[-2\,;3]$

Comparer deux nombres, c'est étudier le SIGNE de leur différence. C'est la seule méthode qui ne demande jamais de savoir lequel est le plus grand à l'avance.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer un sens de variation avec la définition

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé écrit « démontrer », « justifier » ou « prouver » à propos d'un sens de variation. Une lecture graphique ne suffit alors pas.

1 Poser le cadre : « soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$ ». Cette phrase est notée, et elle fixe que $a$ et $b$ sont quelconques.
2 Calculer la différence $f(b)-f(a)$ et la réduire, sans conclure quoi que ce soit à ce stade.
3 FACTORISER cette différence, en faisant apparaître le facteur $b-a$ ou $a-b$ , qui porte l'hypothèse $a<b$ .
4 Déterminer le signe de chaque facteur en utilisant à la fois $a<b$ et l'appartenance à l'intervalle $I$ : c'est ici que l'intervalle sert enfin.
5 Conclure sur le signe de la différence, puis traduire ce signe en sens de variation.

Phrase de conclusion

« Pour tous réels $a$ et $b$ de $[2\,;+\infty[$ tels que $a<b$ , on a $f(b)-f(a)>0$ , donc $f(a)<f(b)$ : la fonction $f$ est croissante sur $[2\,;+\infty[$ . »

Le piège : Oublier d'utiliser l'intervalle. Sans lui, le signe du second facteur reste indéterminé et la démonstration ne conclut rien, même si tous les calculs sont justes.

Barème : Souvent 1 point pour la phrase d'introduction, 1 point pour la différence calculée, 1 point pour la factorisation, 1 point pour le signe et la conclusion.

Résoudre une inéquation contenant la fonction inverse

Quand l'utiliser : Dès qu'une inconnue apparaît au dénominateur et que l'énoncé demande un ensemble de solutions.

1 Écrire la valeur interdite sur une ligne dédiée : « la fonction n'est pas définie en $0$ ».
2 Tout ramener dans le membre de gauche pour obtenir une comparaison à $0$ , sans jamais multiplier par $x$ .
3 Réduire au même dénominateur pour obtenir un unique quotient, puis factoriser le numérateur.
4 Construire le tableau de signes du quotient, avec une ligne pour le numérateur, une pour le dénominateur et une pour le quotient.
5 Lire l'ensemble solution, en excluant systématiquement la valeur interdite, quel que soit le sens de l'inégalité.

Phrase de conclusion

« Le tableau montre que $\frac{1-2x}{x}$ est strictement positif sur $]0\,;0{,}5[$ , donc $S=\,]0\,;0{,}5[$ . »

Le piège : Multiplier les deux membres par $x$ pour se débarrasser du dénominateur. Le signe de $x$ étant inconnu, l'opération n'est pas légitime et fait entrer tous les négatifs dans la solution.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter l'antécédent trouvé

Toute solution de $f(x)=k$ se vérifie en la remplaçant dans l'expression de $f$ : on doit retomber exactement sur $k$ .

$f(x)=5+\frac{120}{x}$ et $f(x)=13$ donne $x=15$ ; contrôle : $5+\frac{120}{15}=5+8=13$ .
Tester une valeur exclue du domaine

Prendre une valeur que l'ensemble de définition écarte et vérifier qu'elle casse bien l'expression, puis une valeur juste à côté qui doit fonctionner.

Pour $\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ , la valeur $0$ met un nombre négatif sous la racine et la valeur $5$ annule le dénominateur : les deux exclusions sont confirmées.
La table de valeurs de la calculatrice

Afficher une table sur l'intervalle étudié, avec un pas régulier, et regarder si la colonne des images monte ou descend. Menu TABLE sur TI, menu TABLE sur Casio.

Une table qui remonte au milieu d'un intervalle où l'on vient de démontrer la décroissance signale une erreur de signe dans la factorisation.
Le contre-exemple sur un intervalle

Avant d'affirmer une variation sur une réunion d'intervalles, tester un couple de part et d'autre de la valeur exclue.

Pour la fonction inverse, $-1<1$ et pourtant $\frac{1}{-1}<\frac{1}{1}$ : la décroissance sur la réunion est réfutée en une ligne.

L'exercice type décortiqué

Le coût par personne d'une sortie scolaire

Une sortie coûte $120$ dollars de location d'autocar, plus $5$ dollars par élève.

Le coût par élève, en dollars, est donné par $f(x)=5+\frac{120}{x}$ , où $x$ est le nombre d'élèves.

1. Donner l'ensemble de définition de $f$ dans le contexte du problème.

2. Démontrer que $f$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ , et interpréter.

3. Déterminer à partir de combien d'élèves le coût par élève ne dépasse pas $13$ dollars.

Étape 1

L'expression exige $x\neq 0$ , et le contexte impose que $x$ soit un entier strictement positif. Mathématiquement, on étudie $f$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Pourquoi

Deux contraintes se superposent, celle de l'écriture et celle de la situation. Séparer les deux est ce que le correcteur attend : l'étude se fait sur un intervalle, la réponse finale se lit en nombres entiers.

Étape 2

Soient $a$ et $b$ deux réels de $]0\,;+\infty[$ tels que $a<b$ . Alors $f(b)-f(a)=\frac{120}{b}-\frac{120}{a}=\frac{120a-120b}{ab}=\frac{120(a-b)}{ab}$ .

Pourquoi

Le $5$ disparaît dans la différence, ce qui montre qu'une constante n'influence pas les variations. La mise au même dénominateur est l'étape qui fait apparaître le facteur $a-b$ , porteur de l'hypothèse.

Étape 3

Comme $a<b$ , on a $a-b<0$ . Comme $a>0$ et $b>0$ , on a $ab>0$ . Donc $\frac{120(a-b)}{ab}<0$ , c'est-à-dire $f(b)<f(a)$ .

Pourquoi

C'est ici que l'intervalle sert : sans $a>0$ et $b>0$ , le signe de $ab$ resterait inconnu et la démonstration ne conclurait rien. Chaque hypothèse de l'énoncé doit se retrouver dans une ligne du raisonnement.

Étape 4

Pour tous $a<b$ de $]0\,;+\infty[$ , $f(a)>f(b)$ : la fonction $f$ est donc décroissante sur $]0\,;+\infty[$ . Autrement dit, plus il y a d'élèves, moins la sortie coûte par élève.

Pourquoi

L'interprétation en français est demandée dans presque tous les énoncés de ce type, et elle est notée séparément. Elle prouve qu'on a compris le sens du résultat et pas seulement le calcul.

Étape 5

On résout $f(x)\leq 13$ , soit $5+\frac{120}{x}\leq 13$ , soit $\frac{120}{x}\leq 8$ . Sur $]0\,;+\infty[$ , $x$ est strictement positif, donc on peut multiplier par $x$ sans changer le sens : $120\leq 8x$ , donc $x\geq 15$ .

Pourquoi

La multiplication par $x$ n'est légitime que parce qu'on a ANNONCÉ que $x>0$ . Cette phrase d'autorisation est exactement ce que le correcteur cherche, et son absence coûte le point même quand le résultat est juste.

Étape 6

Le nombre d'élèves étant entier, il faut donc au moins $15$ élèves. Contrôle : $f(15)=5+\frac{120}{15}=5+8=13$ , et $f(14)=5+\frac{120}{14}\approx 13{,}57>13$ .

Pourquoi

Le retour aux entiers est la question du contexte, et tester la valeur juste en dessous vérifie que le seuil est bien le plus petit possible. C'est le contrôle qui distingue une réponse trouvée d'une réponse démontrée.

Conclusion rédigée

La fonction $f$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : le coût par élève diminue quand le groupe grandit, et il ne dépasse plus $13$ dollars dès que la sortie compte au moins $15$ élèves.

L'erreur classique sur cet exercice : Multiplier par $x$ sans avoir annoncé que $x>0$ , ou pire, écrire $\frac{120}{x}\leq 8$ donc $x\leq 15$ en gardant le sens de l'inégalité au passage à l'inverse. Le contrôle sur $f(14)$ élimine immédiatement cette seconde version.

À savoir par cœur

• $f(a)$ est l'image de $a$ ; les antécédents de $k$ sont les solutions de $f(x)=k$ . Une image, plusieurs antécédents possibles.
• Sous une racine : condition LARGE, l'expression doit être positive ou nulle. Au dénominateur : exclusion STRICTE.
• Quand plusieurs conditions coexistent, elles s'ajoutent : l'ensemble de définition est leur intersection, écrite en intervalles.
• Croissante sur $I$ : pour TOUS $a<b$ de $I$ , $f(a)\leq f(b)$ . Deux valeurs ne démontrent rien.
• Un sens de variation s'annonce toujours avec son intervalle.
• La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ ET sur $]0\,;+\infty[$ , jamais sur la réunion des deux.
• Sur $]0\,;1[$ : $x^{2}<x<\sqrt{x}$ . Sur $]1\,;+\infty[$ : $\sqrt{x}<x<x^{2}$ . L'ordre s'inverse en $1$ .
• Résoudre graphiquement, c'est lire des ABSCISSES, jamais des ordonnées.

Questions fréquentes

Quelle différence entre une image et un antécédent ?

L'image d'un nombre est le résultat obtenu en le remplaçant dans la fonction : il n'y en a qu'une. Un antécédent d'un nombre est une valeur qui donne ce nombre en sortie : il peut y en avoir plusieurs, ou aucune. Dans l'écriture f de trois égale cinq, trois est l'antécédent et cinq est l'image.

Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction en Seconde ?

On repère tous les dénominateurs et toutes les racines carrées de l'expression. Chaque dénominateur impose une valeur interdite, chaque racine impose que son contenu soit positif ou nul. Ces conditions s'appliquent toutes en même temps, et la réponse s'écrit en intervalles, avec une réunion s'il y a une valeur exclue à l'intérieur.

Comment démontrer qu'une fonction est croissante en Seconde ?

On prend deux réels quelconques de l'intervalle, notés a et b, avec a plus petit que b. On calcule la différence des images, on la factorise pour faire apparaître b moins a, puis on détermine son signe en utilisant l'hypothèse et l'intervalle. Deux valeurs numériques ne démontrent jamais une variation.

Pourquoi la fonction inverse n'est pas décroissante sur son ensemble de définition ?

Parce que la décroissance exige que l'ordre soit renversé pour tous les couples de nombres de l'ensemble, et ce n'est plus le cas quand on traverse zéro. Moins un est plus petit que un, pourtant l'inverse de moins un vaut moins un, qui est plus petit que un. On dit donc décroissante sur chacun des deux intervalles.

Peut-on multiplier une inéquation par x pour supprimer le dénominateur ?

Non, tant que le signe de x est inconnu, car multiplier par un nombre négatif retourne l'inégalité. On ramène tout d'un même côté, on réduit au même dénominateur, puis on étudie le signe du quotient dans un tableau. La multiplication n'est autorisée qu'après avoir annoncé explicitement que x est strictement positif.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Généralités sur les fonctions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Configurations et trigonométrie Fiche suivante Fonctions affines et systèmes

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les suites numériquesPremière La dérivationPremière

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Fiche de révision : généralités sur les fonctions (Seconde)

L'essentiel

Image et antécédent : trois questions différentes

L'ensemble de définition, et toutes ses conditions

Variation, extremum, et ce que la définition exige

Les pièges qui coûtent des points

1. Échanger l'image et l'antécédent

2. Rendre un seul antécédent quand la courbe coupe deux fois

3. Ne retenir qu'une condition dans l'ensemble de définition

4. Affirmer un sens de variation à partir de deux valeurs

5. Déclarer la fonction inverse décroissante sur la réunion des deux intervalles

6. Multiplier une inéquation par xxx dont le signe est inconnu

7. Croire que le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre

8. Rendre des ordonnées à une question de résolution graphique

Quelle méthode choisir

Le verbe de la question choisit la méthode

Comparer deux quantités selon la forme du problème

La rédaction attendue

Démontrer un sens de variation avec la définition

Résoudre une inéquation contenant la fonction inverse

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le coût par personne d'une sortie scolaire

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle différence entre une image et un antécédent ?

Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction en Seconde ?

Comment démontrer qu'une fonction est croissante en Seconde ?

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Peut-on multiplier une inéquation par x pour supprimer le dénominateur ?

Exercices corrigés : Généralités sur les fonctions

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