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Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : généralités sur les fonctions (Seconde)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les fonctions : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon le verbe de la question, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Programme 2026 : la parité des fonctions et l'étude des fonctions racine carrée et cube sortent du programme de Seconde, ces deux fonctions ne servant plus qu'à résoudre des équations du type f(x)=kf(x)=k, et la fonction valeur absolue entre parmi les fonctions de référence, avec les fonctions carré et inverse : deux pièges lui sont consacrés plus bas.

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Le fil du chapitre

Une fonction n'est pas une formule, c'est une machine à associer, et cette machine est dissymétrique : un nombre a AU PLUS une image, mais il peut avoir plusieurs antécédents ou aucun. Presque tous les points perdus en Seconde viennent de cette dissymétrie oubliée, ou d'un sens de variation affirmé à partir de deux points alors qu'il se démontre sur deux réels quelconques.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde
Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 17 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Calculs numériques et prioritésCinquième
  2. 2Les nombres relatifsCinquième
  3. 3Le calcul littéralCinquième
  4. 4Multiplication et division de relatifsQuatrième
  5. 5Calcul littéral et équationsQuatrième
  6. 6La notion de fonctionTroisième

L'essentiel

Image et antécédent : trois questions différentes

  • • f(a)f(a) est L'IMAGE de aa : on remplace, c'est un calcul direct, et il y a au plus une réponse.
  • • Les ANTÉCÉDENTS de kk sont les solutions de l'équation f(x)=kf(x)=k : c'est une résolution, et il peut y en avoir zéro, un, deux ou une infinité.
  • • Graphiquement, l'image de aa se lit en montant depuis aa jusqu'à la courbe ; les antécédents de kk se lisent en traçant la droite horizontale d'ordonnée kk.
  • • Une courbe ne peut pas être coupée deux fois par une même verticale, mais elle peut l'être autant de fois qu'on veut par une horizontale.
  • • Dans la phrase « bb est l'image de aa par ff », aa est un antécédent de bb : les deux formulations disent la même chose dans l'autre sens.
-5-4-3-2-112345-112345678910111213f(2) = 4deux antécédents
La verticale ne coupe la courbe qu'une fois : 22 a une seule image. L'horizontale la coupe deux fois : 99 a deux antécédents, −3-3 et 33.

Le mot de l'énoncé décide de la méthode : « image » et « calculer » appellent une substitution, « antécédent » et « résoudre » appellent une équation.

L'ensemble de définition, et toutes ses conditions

  • • On exclut les valeurs qui annulent un DÉNOMINATEUR, et celles qui rendent strictement négatif ce qui est sous une RACINE carrée.
  • • Quand les deux situations sont présentes, il faut les deux conditions à la fois : c'est une intersection, pas un choix.
  • • f(x)=x−2x−5f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5} exige x−2≥0x-2\geq 0 ET x−5≠0x-5\neq 0, donc Df=[2 ;5[ ∪ ]5 ;+∞[D_{f}=[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[.
  • • Sous une racine, l'inégalité est LARGE : 0=0\sqrt{0}=0 existe. Au dénominateur, l'exclusion est stricte.
  • • Un polynôme est défini sur R\mathbb{R} tout entier, quel que soit son degré : il n'y a alors rien à écrire d'autre que Df=RD_{f}=\mathbb{R}.
−10123456789x − 2 ≥ 0−10123456789x − 5 ≠ 0−10123456789les deux
Pour f(x)=x−2x−5f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}, la racine garde [2 ;+∞[[2\,;+\infty[ (en bleu), le dénominateur retire 55 (en orange) : DfD_{f} est ce qui reste des DEUX, [2 ;5[ ∪ ]5 ;+∞[[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[ (en vert).

Un ensemble de définition se rend en NOTATION D'INTERVALLES, réunion comprise. Une réponse du type « xx différent de 55 et xx plus grand que 22 » perd souvent le point de forme.

Variation, extremum, et ce que la définition exige

  • • ff est croissante sur II lorsque, pour TOUS a<ba<b de II, on a f(a)≤f(b)f(a)\leq f(b). Deux valeurs particulières ne prouvent rien.
  • • Décroissante : pour tous a<ba<b de II, f(a)≥f(b)f(a)\geq f(b). L'ordre est conservé dans un cas, renversé dans l'autre.
  • • Un sens de variation est TOUJOURS relatif à un intervalle : « ff est croissante » sans intervalle n'est pas une réponse.
  • • Un extremum se lit dans le tableau de variation : la valeur est l'ordonnée, l'abscisse dit seulement où il est atteint.
  • • La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, mais PAS sur la réunion des deux.
  • • Fonction valeur absolue, de référence depuis 2026 : ∣x∣=x|x|=x si x≥0x\geq 0 et ∣x∣=−x|x|=-x si x<0x<0. Sa courbe est un V de pointe l'origine ; elle est décroissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0], croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, de minimum 00 atteint en x=0x=0.
-4-3-2-11234-2-11234décroissantecroissanteminimum 0
La courbe de x↦∣x∣x\mapsto|x| descend sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0] (en orange) puis monte sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ (en bleu) : le minimum est la VALEUR 00, atteint en x=0x=0.

Sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ : si 0<x<10<x<1 alors x2<x<xx^{2}<x<\sqrt{x}, et si x>1x>1 alors x<x<x2\sqrt{x}<x<x^{2}. L'ordre s'inverse en 11, et c'est la comparaison la plus demandée du chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Échanger l'image et l'antécédent

1 point par occurrence, et souvent toute une question de lecture graphique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(3)=5f(3)=5, donc 33 est l'image de 55. »

Ce qu'il faut écrire

« f(3)=5f(3)=5 signifie que 55 est l'image de 33, et que 33 est un antécédent de 55. »

Pourquoi : Dans l'écriture f(3)=5f(3)=5, le nombre qui entre dans la machine est celui des parenthèses, celui qui sort est le résultat. Le moyen mnémotechnique qui tient : l'antécédent vient AVANT, il est à gauche, dans les parenthèses.

2. Rendre un seul antécédent quand la courbe coupe deux fois

la moitié des points de la question, et souvent la moitié des solutions d'un problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=x2f(x)=x^{2} et f(x)=9f(x)=9 : donc x=3x=3. »

Ce qu'il faut écrire

« x2=9x^{2}=9 donne x=3x=3 ou x=−3x=-3 : le nombre 99 a DEUX antécédents par la fonction carré. »

Pourquoi : L'unicité vaut pour l'image, jamais pour l'antécédent. Sur un graphique, la droite horizontale d'ordonnée 99 coupe la parabole en deux points, et c'est cette lecture qui rappelle qu'il faut chercher toutes les solutions.

3. Ne retenir qu'une condition dans l'ensemble de définition

2 points, et toutes les questions suivantes portent sur le mauvais intervalle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=x−2x−5f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5} est définie pour x≠5x\neq 5, donc Df=R∖{5}D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{5\}. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut x−2≥0x-2\geq 0 ET x−5≠0x-5\neq 0, donc x≥2x\geq 2 et x≠5x\neq 5 : Df=[2 ;5[ ∪ ]5 ;+∞[D_{f}=[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[. »

−10123456789faux−10123456789juste
En rouge, R\mathbb{R} privé de 55 garde les nombres inférieurs à 22, où x−2\sqrt{x-2} n'existe pas. En vert, l'ensemble qui respecte les deux conditions.

Pourquoi : Chaque symbole impose sa contrainte, et les contraintes s'ajoutent au lieu de se remplacer. La méthode sûre consiste à souligner dans l'expression tous les dénominateurs et toutes les racines AVANT d'écrire quoi que ce soit.

4. Affirmer un sens de variation à partir de deux valeurs

toute la question de démonstration, souvent notée sur 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(1)=2f(1)=2 et f(3)=8f(3)=8, donc ff est croissante. »

Ce qu'il faut écrire

« Soient aa et bb deux réels de II tels que a<ba<b. On calcule f(b)−f(a)f(b)-f(a) et on montre que ce nombre est positif pour TOUS ces aa et bb : ff est alors croissante sur II. »

1234-20-18-16-14-12-10-8-6-4-224Cgg(1) = −11g(3) = −9g(2) = −16
Le pointillé rouge est ce que suppose la conclusion fausse : monter de g(1)g(1) à g(3)g(3). Entre les deux, la courbe descend jusqu'à g(2)=−16g(2)=-16 (en vert).

Pourquoi : Deux points ne disent rien de ce qui se passe entre eux : la fonction g(x)=x3−12xg(x)=x^{3}-12x vérifie g(1)=−11<g(3)=−9g(1)=-11<g(3)=-9 sans être croissante sur [1 ;3][1\,;3], puisque g(2)=−16g(2)=-16. Une variation se démontre sur deux réels QUELCONQUES, jamais sur un échantillon.

5. Déclarer la fonction inverse décroissante sur la réunion des deux intervalles

1 point, et une comparaison fausse dès qu'un problème mélange les signes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[. »

Ce qu'il faut écrire

« La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ et décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, mais pas sur la réunion : −1<1-1<1 alors que 1−1=−1<1=11\frac{1}{-1}=-1<1=\frac{1}{1}. »

-4-3-2-11234-4-3-2-11234f(-1) = -1f(1) = 1
−1<1-1<1 et pourtant f(−1)=−1<1=f(1)f(-1)=-1<1=f(1) : la fonction MONTE quand on passe d'une branche à l'autre. Elle décroît sur chaque intervalle, jamais sur leur réunion.

Pourquoi : La décroissance exige que l'ordre soit renversé pour tous les couples de l'ensemble, et le contre-exemple −1-1 et 11 montre que ce n'est pas le cas quand on traverse zéro. Le mot « et » remplace donc l'union dans la conclusion.

6. Multiplier une inéquation par xx dont le signe est inconnu

toute la question, la réponse fausse inclut tous les nombres négatifs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 1x>2\frac{1}{x}>2, donc 1>2x1>2x, donc x<0,5x<0{,}5. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour x>0x>0, l'inéquation équivaut à 1>2x1>2x, donc 0<x<0,50<x<0{,}5. Pour x<0x<0, 1x\frac{1}{x} est négatif, donc l'inéquation est fausse. Ainsi S= ]0 ;0,5[S=\,]0\,;0{,}5[. »

-3-2-1123-3-2-11234y = 1/xy = 2
La courbe n'est au-dessus de la droite y=2y=2 que pour 0<x<0,50<x<0{,}5 (en vert sur l'axe) ; toute la branche des xx négatifs reste sous l'axe, que la réponse x<0,5x<0{,}5 inclut à tort.

Pourquoi : Multiplier par xx conserve le sens si x>0x>0 et le renverse si x<0x<0 : sans discussion, on applique une règle dans un cas où elle ne vaut pas. Le contrôle est immédiat, x=−1x=-1 donne 1−1=−1\frac{1}{-1}=-1, qui n'est pas supérieur à 22.

7. Croire que le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre

2 points, et une comparaison de courbes tracée à l'envers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« x2>xx^{2}>x pour tout xx positif, puisque multiplier par xx agrandit. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur ]0 ;1[]0\,;1[, on a x2<x<xx^{2}<x<\sqrt{x} : par exemple 0,25<0,5<0,7070{,}25<0{,}5<0{,}707. L'ordre ne s'inverse qu'à partir de x=1x=1. »

0,511,520,511,52y = x²y = xy = √x
Sur la verticale x=0,5x=0{,}5, les trois courbes se rangent x2<x<xx^{2}<x<\sqrt{x} : 0,25<0,5<0,7070{,}25<0{,}5<0{,}707. L'ordre s'inverse au point commun (1 ;1)(1\,;1).

Pourquoi : Multiplier par un nombre COMPRIS ENTRE 00 ET 11 diminue, ce qui n'est vrai ni pour les nombres plus grands que 11 ni pour les négatifs. Le point x=1x=1 est celui où les trois courbes se croisent, et c'est lui qu'il faut placer en premier sur un graphique.

8. Rendre des ordonnées à une question de résolution graphique

toute la question, alors que la lecture graphique était juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x) : la courbe de ff est au-dessus de celle de gg entre les ordonnées 11 et 77, donc S=[1 ;7]S=[1\,;7]. »

Ce qu'il faut écrire

« La courbe de ff est au-dessus de celle de gg pour xx compris entre −2-2 et 33, donc S=[−2 ;3]S=[-2\,;3] : on lit les ABSCISSES des points où la position s'inverse. »

-4-3-2-112345-4-3-2-1123456789CfCgS = [-2 ; 3]
La courbe de ff est au-dessus de celle de gg entre les deux points d'intersection : on lit les ABSCISSES −2-2 et 33 sur l'axe horizontal, jamais les ordonnées −1-1 et 44.

Pourquoi : Résoudre, c'est chercher les valeurs de xx, donc des abscisses, quelle que soit la manière dont la question est posée. Le réflexe qui sauve : après avoir repéré les points d'intersection, descendre à la verticale jusqu'à l'axe des abscisses avant d'écrire quoi que ce soit.

9. Ne garder qu'un cas dans une équation avec valeur absolue

la moitié des points de la question, et la moitié des réponses d'un problème de distance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∣x−2∣=3|x-2|=3, donc x−2=3x-2=3, donc x=5x=5. »

Ce qu'il faut écrire

« ∣x−2∣=3|x-2|=3 signifie x−2=3x-2=3 ou x−2=−3x-2=-3, donc x=5x=5 ou x=−1x=-1 : ce sont les deux nombres situés à 33 unités de 22. »

-2-1123456-11234y = |x − 2|y = 3
La droite y=3y=3 coupe les DEUX branches du V : aux abscisses −1-1 et 55, les deux nombres situés à 33 unités de 22.

Pourquoi : Deux nombres ont pour valeur absolue 33 : le nombre 33 et son opposé −3-3. Sur la courbe en V, la droite y=3y=3 coupe les DEUX branches : c'est la dissymétrie de toujours, une seule image mais deux antécédents. Si k<0k<0, en revanche, la droite y=ky=k passe sous la pointe et ∣x−a∣=k|x-a|=k n'a aucune solution.

10. Répondre par un seul intervalle à une inéquation « supérieur à » avec une valeur absolue

toute la question : la réponse rendue est celle de l'inéquation contraire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∣x+1∣>2|x+1|>2, donc −3<x<1-3<x<1. »

Ce qu'il faut écrire

« ∣x+1∣>2|x+1|>2 signifie x+1>2x+1>2 ou x+1<−2x+1<-2, donc S= ]−∞ ;−3[ ∪ ]1 ;+∞[S=\,]-\infty\,;-3[\,\cup\,]1\,;+\infty[ : les nombres dont la distance à −1-1 dépasse 22. »

-5-4-3-2-1123-11234y = 2
La droite y=2y=2 coupe le V en x=−3x=-3 et x=1x=1 : la courbe n'est AU-DESSUS de la droite qu'à l'extérieur de ces deux abscisses, donc ∣x+1∣>2|x+1|>2 donne deux morceaux, en rouge sur l'axe.

Pourquoi : « Inférieur à » garde les nombres PROCHES du centre, donc un seul intervalle autour de lui ; « supérieur à » garde les nombres ÉLOIGNÉS, donc deux morceaux tournés vers l'extérieur. Sur la courbe, on lit les abscisses des points situés au-dessus de la droite y=2y=2, et ils sont de part et d'autre du V.

Quelle méthode choisir

Le verbe de la question choisit la méthode

Lire le mot clé de l'énoncé avant de regarder l'expression de la fonction.

  • Si « calculer l'image de aa », « déterminer f(a)f(a) » → substitution directe, une seule réponse

    Exemple : f(x)=x2−1f(x)=x^{2}-1 donne f(3)=8f(3)=8

  • Si « déterminer les antécédents de kk », « résoudre f(x)=kf(x)=k » → équation à résoudre, en cherchant TOUTES les solutions

    Exemple : x2=9x^{2}=9 donne x=3x=3 ou x=−3x=-3

    conclure par « le nombre kk a deux antécédents » et non par une valeur seule

  • Si « déterminer l'ensemble de définition » → lister toutes les conditions, les combiner, écrire une réunion d'intervalles

    Exemple : [2 ;5[ ∪ ]5 ;+∞[[2\,;5[\,\cup\,]5\,;+\infty[

  • Si « démontrer que ff est croissante sur II » → prendre a<ba<b QUELCONQUES dans II, étudier le signe de f(b)−f(a)f(b)-f(a)

    Exemple : f(b)−f(a)=(b−a)(a+b−4)f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-4)

  • Si « résoudre graphiquement f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x) » → lire les ABSCISSES des xx où la courbe de ff est au-dessus de celle de gg

    Exemple : S=[−2 ;3]S=[-2\,;3]

  • Si « comparer ff et gg » sans graphique → étudier le signe de la différence f(x)−g(x)f(x)-g(x), après factorisation

    Exemple : f(x)−g(x)=(x−1)(x−4)f(x)-g(x)=(x-1)(x-4)

Si l'énoncé fournit un graphique, la réponse attendue est une lecture, avec les traits de construction laissés visibles. Si l'énoncé fournit une expression, la réponse attendue est un calcul.

Comparer deux quantités selon la forme du problème

Regarder ce qu'on compare et sous quelle forme les données arrivent.

  • Si deux expressions littérales dont la différence se factorise → signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x) par tableau de signes

    Exemple : x2−5x+4=(x−1)(x−4)x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)

  • Si les fonctions de référence xx, x2x^{2} et x\sqrt{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ → utiliser l'ordre connu, en distinguant ]0 ;1[]0\,;1[ et ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[

    Exemple : 0,25<0,5<0,7070{,}25<0{,}5<0{,}707 contre 2<42<4

  • Si une inéquation contenant 1x\frac{1}{x} → tableau de signes après avoir tout ramené d'un côté, jamais de multiplication par xx

    Exemple : 1x−2>0\frac{1}{x}-2>0 donne 1−2xx>0\frac{1-2x}{x}>0

  • Si deux courbes tracées → position relative, et lecture des abscisses des points d'intersection

    Exemple : au-dessus sur [−2 ;3][-2\,;3]

Comparer deux nombres, c'est étudier le SIGNE de leur différence. C'est la seule méthode qui ne demande jamais de savoir lequel est le plus grand à l'avance.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer un sens de variation avec la définition

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé écrit « démontrer », « justifier » ou « prouver » à propos d'un sens de variation. Une lecture graphique ne suffit alors pas.

  1. 1 Poser le cadre : « soient aa et bb deux réels de II tels que a<ba<b ». Cette phrase est notée, et elle fixe que aa et bb sont quelconques.
  2. 2 Calculer la différence f(b)−f(a)f(b)-f(a) et la réduire, sans conclure quoi que ce soit à ce stade.
  3. 3 FACTORISER cette différence, en faisant apparaître le facteur b−ab-a ou a−ba-b, qui porte l'hypothèse a<ba<b.
  4. 4 Déterminer le signe de chaque facteur en utilisant à la fois a<ba<b et l'appartenance à l'intervalle II : c'est ici que l'intervalle sert enfin.
  5. 5 Conclure sur le signe de la différence, puis traduire ce signe en sens de variation.

Phrase de conclusion

« Pour tous réels aa et bb de [2 ;+∞[[2\,;+\infty[ tels que a<ba<b, on a f(b)−f(a)>0f(b)-f(a)>0, donc f(a)<f(b)f(a)<f(b) : la fonction ff est croissante sur [2 ;+∞[[2\,;+\infty[. »

Le piège : Oublier d'utiliser l'intervalle. Sans lui, le signe du second facteur reste indéterminé et la démonstration ne conclut rien, même si tous les calculs sont justes.

Barème : Souvent 1 point pour la phrase d'introduction, 1 point pour la différence calculée, 1 point pour la factorisation, 1 point pour le signe et la conclusion.

Résoudre une inéquation contenant la fonction inverse

Quand l'utiliser : Dès qu'une inconnue apparaît au dénominateur et que l'énoncé demande un ensemble de solutions.

  1. 1 Écrire la valeur interdite sur une ligne dédiée : « la fonction n'est pas définie en 00 ».
  2. 2 Tout ramener dans le membre de gauche pour obtenir une comparaison à 00, sans jamais multiplier par xx.
  3. 3 Réduire au même dénominateur pour obtenir un unique quotient, puis factoriser le numérateur.
  4. 4 Construire le tableau de signes du quotient, avec une ligne pour le numérateur, une pour le dénominateur et une pour le quotient.
  5. 5 Lire l'ensemble solution, en excluant systématiquement la valeur interdite, quel que soit le sens de l'inégalité.

Phrase de conclusion

« Le tableau montre que 1−2xx\frac{1-2x}{x} est strictement positif sur ]0 ;0,5[]0\,;0{,}5[, donc S= ]0 ;0,5[S=\,]0\,;0{,}5[. »

Le piège : Multiplier les deux membres par xx pour se débarrasser du dénominateur. Le signe de xx étant inconnu, l'opération n'est pas légitime et fait entrer tous les négatifs dans la solution.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Le coût par personne d'une sortie scolaire

Une sortie coûte 120120 dollars de location d'autocar, plus 55 dollars par élève.

Le coût par élève, en dollars, est donné par f(x)=5+120xf(x)=5+\frac{120}{x}, où xx est le nombre d'élèves.

1. Donner l'ensemble de définition de ff dans le contexte du problème.

2. Démontrer que ff est décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, et interpréter.

3. Déterminer à partir de combien d'élèves le coût par élève ne dépasse pas 1313 dollars.

51015202530354010203040506070Cfnombre d'élèvescoût (dollars)
Le coût par élève descend quand le nombre d'élèves augmente, sans jamais passer sous les 55 dollars du trajet par élève.

Étape 1

L'expression exige x≠0x\neq 0, et le contexte impose que xx soit un entier strictement positif. Mathématiquement, on étudie ff sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

Pourquoi

Deux contraintes se superposent, celle de l'écriture et celle de la situation. Séparer les deux est ce que le correcteur attend : l'étude se fait sur un intervalle, la réponse finale se lit en nombres entiers.

Étape 2

Soient aa et bb deux réels de ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ tels que a<ba<b. Alors f(b)−f(a)=120b−120a=120a−120bab=120(a−b)abf(b)-f(a)=\frac{120}{b}-\frac{120}{a}=\frac{120a-120b}{ab}=\frac{120(a-b)}{ab}.

Pourquoi

Le 55 disparaît dans la différence, ce qui montre qu'une constante n'influence pas les variations. La mise au même dénominateur est l'étape qui fait apparaître le facteur a−ba-b, porteur de l'hypothèse.

Étape 3

Comme a<ba<b, on a a−b<0a-b<0. Comme a>0a>0 et b>0b>0, on a ab>0ab>0. Donc 120(a−b)ab<0\frac{120(a-b)}{ab}<0, c'est-à-dire f(b)<f(a)f(b)<f(a).

Pourquoi

C'est ici que l'intervalle sert : sans a>0a>0 et b>0b>0, le signe de abab resterait inconnu et la démonstration ne conclurait rien. Chaque hypothèse de l'énoncé doit se retrouver dans une ligne du raisonnement.

Étape 4

Pour tous a<ba<b de ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, f(a)>f(b)f(a)>f(b) : la fonction ff est donc décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. Autrement dit, plus il y a d'élèves, moins la sortie coûte par élève.

Pourquoi

L'interprétation en français est demandée dans presque tous les énoncés de ce type, et elle est notée séparément. Elle prouve qu'on a compris le sens du résultat et pas seulement le calcul.

Étape 5

On résout f(x)≤13f(x)\leq 13, soit 5+120x≤135+\frac{120}{x}\leq 13, soit 120x≤8\frac{120}{x}\leq 8. Sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, xx est strictement positif, donc on peut multiplier par xx sans changer le sens : 120≤8x120\leq 8x, donc x≥15x\geq 15.

Pourquoi

La multiplication par xx n'est légitime que parce qu'on a ANNONCÉ que x>0x>0. Cette phrase d'autorisation est exactement ce que le correcteur cherche, et son absence coûte le point même quand le résultat est juste.

Étape 6

Le nombre d'élèves étant entier, il faut donc au moins 1515 élèves. Contrôle : f(15)=5+12015=5+8=13f(15)=5+\frac{120}{15}=5+8=13, et f(14)=5+12014≈13,57>13f(14)=5+\frac{120}{14}\approx 13{,}57>13.

Pourquoi

Le retour aux entiers est la question du contexte, et tester la valeur juste en dessous vérifie que le seuil est bien le plus petit possible. C'est le contrôle qui distingue une réponse trouvée d'une réponse démontrée.

Conclusion rédigée

La fonction ff est décroissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ : le coût par élève diminue quand le groupe grandit, et il ne dépasse plus 1313 dollars dès que la sortie compte au moins 1515 élèves.

L'erreur classique sur cet exercice : Multiplier par xx sans avoir annoncé que x>0x>0, ou pire, écrire 120x≤8\frac{120}{x}\leq 8 donc x≤15x\leq 15 en gardant le sens de l'inégalité au passage à l'inverse. Le contrôle sur f(14)f(14) élimine immédiatement cette seconde version.

À savoir par cœur

  • • f(a)f(a) est l'image de aa ; les antécédents de kk sont les solutions de f(x)=kf(x)=k. Une image, plusieurs antécédents possibles.
  • • Sous une racine : condition LARGE, l'expression doit être positive ou nulle. Au dénominateur : exclusion STRICTE.
  • • Quand plusieurs conditions coexistent, elles s'ajoutent : l'ensemble de définition est leur intersection, écrite en intervalles.
  • • Croissante sur II : pour TOUS a<ba<b de II, f(a)≤f(b)f(a)\leq f(b). Deux valeurs ne démontrent rien.
  • • Un sens de variation s'annonce toujours avec son intervalle.
  • • La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ;0[]-\infty\,;0[ ET sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, jamais sur la réunion des deux.
  • • Sur ]0 ;1[]0\,;1[ : x2<x<xx^{2}<x<\sqrt{x}. Sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[ : x<x<x2\sqrt{x}<x<x^{2}. L'ordre s'inverse en 11.
  • • Résoudre graphiquement, c'est lire des ABSCISSES, jamais des ordonnées.
  • • Valeur absolue, pour k>0k>0 : ∣x−a∣=k|x-a|=k donne DEUX solutions, a−ka-k et a+ka+k ; ∣x−a∣<k|x-a|<k donne l'intervalle ]a−k ;a+k[]a-k\,;a+k[ ; ∣x−a∣>k|x-a|>k donne une RÉUNION de deux intervalles.

Questions fréquentes

Quelle différence entre une image et un antécédent ?

L'image d'un nombre est le résultat obtenu en le remplaçant dans la fonction : il n'y en a qu'une. Un antécédent d'un nombre est une valeur qui donne ce nombre en sortie : il peut y en avoir plusieurs, ou aucune. Dans l'écriture f de trois égale cinq, trois est l'antécédent et cinq est l'image.

Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction en Seconde ?

On repère tous les dénominateurs et toutes les racines carrées de l'expression. Chaque dénominateur impose une valeur interdite, chaque racine impose que son contenu soit positif ou nul. Ces conditions s'appliquent toutes en même temps, et la réponse s'écrit en intervalles, avec une réunion s'il y a une valeur exclue à l'intérieur.

Comment démontrer qu'une fonction est croissante en Seconde ?

On prend deux réels quelconques de l'intervalle, notés a et b, avec a plus petit que b. On calcule la différence des images, on la factorise pour faire apparaître b moins a, puis on détermine son signe en utilisant l'hypothèse et l'intervalle. Deux valeurs numériques ne démontrent jamais une variation.

Pourquoi la fonction inverse n'est pas décroissante sur son ensemble de définition ?

Parce que la décroissance exige que l'ordre soit renversé pour tous les couples de nombres de l'ensemble, et ce n'est plus le cas quand on traverse zéro. Moins un est plus petit que un, pourtant l'inverse de moins un vaut moins un, qui est plus petit que un. On dit donc décroissante sur chacun des deux intervalles.

Peut-on multiplier une inéquation par x pour supprimer le dénominateur ?

Non, tant que le signe de x est inconnu, car multiplier par un nombre négatif retourne l'inégalité. On ramène tout d'un même côté, on réduit au même dénominateur, puis on étudie le signe du quotient dans un tableau. La multiplication n'est autorisée qu'après avoir annoncé explicitement que x est strictement positif.

La fonction valeur absolue est-elle au programme de Seconde ?

Oui, depuis la rentrée 2026. Elle rejoint les fonctions carré et inverse parmi les fonctions de référence : il faut connaître sa courbe en forme de V, son signe et ses variations, et résoudre, sur la courbe comme par le calcul, des équations et des inéquations du type valeur absolue de x moins a égale k. La parité des fonctions et l'étude des fonctions racine carrée et cube sortent en revanche du programme de Seconde.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Généralités sur les fonctions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 17 exercices corrigés
  • 170 points
  • 225 minutes
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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-fonctions. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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