Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal
Cette fiche ne refait pas le cours sur les fonctions affines et les systèmes : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode de résolution à choisir selon la forme du système, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend mot pour mot.
Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.
Le fil du chapitre
Une fonction affine tient tout entière dans deux nombres, et , et tout le chapitre consiste à les retrouver puis à les faire parler : donne le sens de variation, le signe de et le parallélisme, donne l'ordonnée à l'origine. Presque tous les points perdus viennent d'un coefficient directeur calculé à l'envers, d'un signe reporté comme si était toujours positif, ou d'une inéquation quotient résolue en multipliant par une expression dont le signe est inconnu.
Seule une fonction LINÉAIRE traduit une proportionnalité. Avec , doubler ne double pas , et c'est exactement ce que teste la moitié des questions de raisonnement du chapitre.
Le tableau de signes est le seul outil accepté en Seconde pour une inéquation produit ou quotient. Un tableau posé rapporte des points même quand l'intervalle final est faux.
Un couple solution s'écrit toujours entre parenthèses et dans l'ordre alphabétique des inconnues : . Rendre deux nombres sans préciser lequel est coûte un point de forme.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et : . »
Ce qu'il faut écrire
« . »
Pourquoi : Le coefficient directeur répond à la question « de combien monte-t-on quand on avance de un », donc la variation verticale est au NUMÉRATEUR. Le contrôle : avancer de de à fait monter de , donc de pour un pas de .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : si le nombre d'articles double, le prix double aussi. »
Ce qu'il faut écrire
« et : le prix ne double pas, il augmente de . Seule une fonction LINÉAIRE, avec , traduit une proportionnalité. »
Pourquoi : Les frais fixes ne se dupliquent pas quand la quantité double : ils sont payés une seule fois. Le test qui tranche en deux calculs, comparer et , doit devenir un réflexe dès qu'un énoncé parle de doubler ou de tripler.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« s'annule en , donc il est négatif avant et positif après. »
Ce qu'il faut écrire
« , donc est du signe de APRÈS son zéro : positif sur et négatif sur . »
Pourquoi : La forme « négatif puis positif » est celle des exemples de cours, où presque toujours. Le contrôle qui sauve la ligne entière : tester , qui donne , donc l'expression est bien positive à gauche du zéro.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Valeur interdite : . Tableau de signes du quotient : . »
Pourquoi : Multiplier par conserve le sens si et le renverse si : sans discussion, on applique une règle hors de son domaine. Le test en démasque tout, est négatif alors que la réponse fausse inclut .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'inégalité est large, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« annule le dénominateur, la valeur est donc EXCLUE même avec un symbole : . »
Pourquoi : Une valeur interdite ne rend pas l'expression négative, elle la rend INEXISTANTE : elle n'a donc rien à faire dans un ensemble de solutions, quel que soit le sens de l'inégalité. Seul le zéro du NUMÉRATEUR peut voir son crochet se fermer.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : je multiplie la seconde ligne par , ce qui donne . »
Ce qu'il faut écrire
« Je multiplie la seconde ligne ENTIÈRE par : . Une équation se multiplie des deux côtés du signe égal. »
Pourquoi : Une équation est une balance : on ne peut pas tripler un plateau sans tripler l'autre. L'erreur est invisible dans la suite du calcul, puisque tout reste cohérent, et seule la vérification finale dans les deux équations de départ la révèle.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Après combinaison j'obtiens , donc le système n'a pas de solution. »
Ce qu'il faut écrire
« est une égalité VRAIE : les deux équations décrivent la même droite, le système a donc une infinité de solutions, tous les couples vérifiant la première équation. »
Pourquoi : C'est l'égalité FAUSSE, du type , qui signale l'absence de solution, parce qu'aucun couple ne peut la rendre vraie. Le contrôle : deux équations proportionnelles l'une de l'autre, comme et , donnent toujours des droites confondues.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et ont le même coefficient directeur, donc les droites sont parallèles et le système n'a pas de solution. »
Ce qu'il faut écrire
« se réduit en : les deux équations sont identiques, les droites sont CONFONDUES et le système a une infinité de solutions. »
Pourquoi : Le parallélisme se teste sur , mais la distinction entre strictement parallèles et confondues se teste sur . Réduire chaque équation sous la forme AVANT de comparer supprime le piège d'un coup.
Repérer ce que l'énoncé fournit sur la droite ou sur la situation.
Si deux points sont donnés → , puis
Exemple : et donnent et
Si un point et le coefficient directeur sont donnés → remplacer dans pour trouver
Exemple : et donnent
Si un tableau de valeurs est donné → vérifier D'ABORD que les accroissements sont proportionnels, sinon la fonction n'est pas affine
Exemple : des écarts , , pour un pas constant interdisent la conclusion
c'est la seule branche où la réponse peut être « ce n'est pas une fonction affine »
Si la droite est parallèle à une droite connue → reprendre le même , puis calculer avec le point donné
Exemple : parallèle à passant par :
Si l'énoncé décrit un tarif en français → les frais fixes donnent , le prix par unité donne
Exemple : dollars d'abonnement plus dollars par séance :
Toute fonction affine trouvée se vérifie sur un troisième point ou sur une valeur de l'énoncé qui n'a pas servi à la déterminer.
Regarder les coefficients des deux inconnues dans les deux équations.
Si une inconnue est déjà isolée, ou a un coefficient égal à ou → SUBSTITUTION : isoler cette inconnue, puis la remplacer dans l'autre équation
Exemple : donne
Si deux coefficients sont opposés, ou le deviennent en multipliant une ligne → COMBINAISON : additionner les deux lignes entières après multiplication
Exemple : et s'additionnent en
Si le calcul aboutit à une égalité FAUSSE du type → aucune solution : les droites sont strictement parallèles
Exemple : et
Si le calcul aboutit à → une infinité de solutions : les droites sont confondues
Exemple : et
Si l'énoncé fournit un graphique et demande une résolution graphique → lire les coordonnées du point d'intersection, et le préciser comme valeur approchée
Exemple : intersection lue en
Quelle que soit la méthode, le couple trouvé se vérifie dans les DEUX équations de départ. Cette vérification est souvent explicitement demandée, et toujours notée quand elle l'est.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé compare deux formules, cherche un seuil de rentabilité ou demande à partir de quand une offre devient avantageuse.
Phrase de conclusion
« Le tarif de groupe est plus avantageux dès que , donc à partir de personnes. »
Le piège : Rendre comme réponse finale. La question porte sur un nombre de personnes, donc sur un entier : la réponse attendue est , et l'arrondi doit être justifié.
Barème : Souvent 1 point pour l'inconnue nommée, 1 point par expression de tarif, 1 point pour l'inéquation, 1 point pour la conclusion en français.
Quand l'utiliser : Dès qu'un problème conduit à deux équations à deux inconnues, en particulier les problèmes de billetterie, de mélange ou d'âge.
Phrase de conclusion
« Le couple vérifie les deux équations : il y a donc billets plein tarif et billets à tarif réduit. »
Le piège : Remplacer l'expression isolée dans son équation d'origine. On obtient alors , ce qui ne prouve rien et fait croire à tort à une infinité de solutions.
Barème : Souvent 1 point pour les inconnues nommées, 2 points pour le système posé, 2 points pour la résolution, 1 point pour la vérification et la phrase.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Réinjecter le couple dans les deux équations
Remplacer les deux valeurs trouvées dans chacune des équations de DÉPART, pas dans une ligne intermédiaire. Les deux égalités doivent être vraies.
donne et : les deux équations sont vérifiées.
Le troisième point
Après avoir déterminé une fonction affine avec deux points, tester une troisième donnée de l'énoncé qui n'a pas servi au calcul.
Si et que l'énoncé dit aussi , le contrôle passe. S'il dit , la fonction n'est pas affine ou une donnée a été mal lue.
Tester un point dans chaque intervalle du tableau
Choisir un nombre simple dans chaque zone du tableau de signes, y compris entre les deux zéros, et vérifier le signe annoncé.
Pour , le test en donne : la zone centrale est bien négative, donc exclue d'une inéquation de signe positif.
Le retour au contexte
Vérifier que la réponse a du sens dans la situation : un nombre de personnes est un entier positif, un prix est positif, un effectif ne dépasse pas le total annoncé.
Un nombre de billets plein tarif égal à signale une erreur de données ou de calcul, jamais une réponse à rendre telle quelle.
Un spectacle propose deux tarifs : dollars le billet plein tarif et dollars le billet à tarif réduit.
Un soir, billets ont été vendus pour une recette totale de dollars.
1. Déterminer le nombre de billets vendus à chaque tarif.
2. La salle propose aussi un tarif de groupe : dollars de forfait plus dollars par personne. À partir de combien de personnes ce tarif est-il plus avantageux que le plein tarif ?
Étape 1
Soit le nombre de billets plein tarif et le nombre de billets à tarif réduit. Le système s'écrit
Pourquoi
Nommer les inconnues avec leur unité est noté à part, et cela fixe l'ordre dans lequel le couple final sera écrit. La première équation compte des billets, la seconde compte des dollars : mélanger les deux est l'erreur qui rend le système faux dès la mise en place.
Étape 2
La première équation donne . On remplace dans la seconde : .
Pourquoi
On isole dans l'équation la plus simple, celle dont les coefficients valent , et on remplace dans l'AUTRE. Substituer dans son équation d'origine donnerait , ce qui ne fait pas avancer d'une ligne.
Étape 3
, donc , donc .
Pourquoi
La parenthèse autour de est indispensable : sans elle, seul le est multiplié par et le résultat est faux. Détailler la distribution sur une ligne dédiée protège de cette erreur.
Étape 4
On revient à . Le couple solution est donc .
Pourquoi
Une seule inconnue trouvée ne répond pas à la question : le retour en arrière est explicitement au barème. Le couple s'écrit entre parenthèses, dans l'ordre où les inconnues ont été nommées.
Étape 5
Vérification : , et . Les deux équations sont vérifiées.
Pourquoi
La vérification porte sur les équations de DÉPART : elle attrape aussi bien une erreur de calcul qu'une erreur de mise en équation, ce que ne fait aucun contrôle intermédiaire.
Étape 6
Soit le nombre de personnes. Le tarif de groupe coûte dollars et le plein tarif dollars. On résout , soit , soit .
Pourquoi
« Plus avantageux » se traduit par une inégalité STRICTE : pour , les deux tarifs coûtent exactement dollars et aucun n'est avantageux. Le sens de l'inégalité est ici la moitié de la question.
Étape 7
Le nombre de personnes étant entier, le tarif de groupe devient plus avantageux à partir de personnes. Contrôle : contre , et .
Pourquoi
Le retour aux entiers est la question du contexte, et tester la valeur d'égalité en plus de la valeur seuil prouve que le seuil trouvé est bien le plus petit possible.
Conclusion rédigée
Il a été vendu billets plein tarif et billets à tarif réduit ; le tarif de groupe devient plus avantageux à partir de personnes.
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre dollars à la question 2, c'est-à-dire donner le prix au point d'égalité au lieu du nombre de personnes. L'énoncé demande « à partir de combien de personnes » : la réponse est un effectif, jamais une somme d'argent.
On divise la différence des ordonnées par la différence des abscisses, prises dans le même ordre pour les deux. Les ordonnées vont au numérateur, car le coefficient directeur mesure de combien on monte quand on avance de un. Une fois ce nombre trouvé, on obtient l'ordonnée à l'origine en remplaçant l'un des deux points.
Une fonction affine devient une proportionnalité seulement quand son ordonnée à l'origine est nulle, c'est-à-dire quand elle est linéaire. Avec des frais fixes, doubler la quantité ne double pas le prix, puisque les frais ne sont payés qu'une fois. Le test rapide consiste à comparer l'image de deux avec le double de l'image de un.
Non, tant que le signe du dénominateur est inconnu, car multiplier par un nombre négatif retourne l'inégalité. On ramène tout d'un même côté, on réduit au même dénominateur, puis on étudie le signe du quotient dans un tableau. Les valeurs qui annulent le dénominateur restent exclues des solutions.
Cela signifie que les deux équations décrivent la même droite : le système a une infinité de solutions, tous les couples qui vérifient l'une des deux équations. C'est l'égalité fausse, du type zéro égale cinq, qui signale l'absence de solution, avec deux droites strictement parallèles.
On réduit d'abord les deux équations sous la forme y égale a x plus b. Si les coefficients directeurs diffèrent, les droites se coupent en un point. S'ils sont égaux et que les ordonnées à l'origine diffèrent, les droites sont strictement parallèles. Si les deux couples sont égaux, les droites sont confondues.
