Exercices corrigés : fonctions affines et systèmes (Seconde)

a) Une fonction est affine lorsqu'elle s'écrit $ax+b$, donc lorsque la variable n'apparaît qu'au premier degré et jamais au dénominateur. $f(x)=3x-7$ est affine avec $a=3$ et $b=-7$. $g$ ne l'est pas, à cause du carré. $h$ ne l'est pas, à cause du $x$ au dénominateur. $k(x)=-4$ est affine avec $a=0$ et $b=-4$. Enfin $m(x)=2(x-3)+x=2x-6+x=3x-6$ est bien affine, avec $a=3$ et $b=-6$ : il faut développer avant de conclure, et c'est le cas qui piège le plus souvent.

b) Aucune n'est linéaire : une fonction affine est linéaire quand $b=0$, c'est-à-dire quand sa droite passe par l'origine, ce qui n'est le cas ni de $f$, ni de $k$, ni de $m$. La fonction $k$ est constante, puisque $a=0$. Retenez l'emboîtement : les fonctions linéaires et les fonctions constantes sont des cas particuliers de fonctions affines, pas des catégories séparées.

c) La droite d3 est horizontale, c'est donc $y=3$. La droite d4 passe par l'origine en descendant, c'est $y=-0{,}5x$. Il reste d1 et d2 : d1 monte, donc son coefficient directeur est positif, c'est $y=2x-3$ ; d2 descend et coupe l'axe des ordonnées en $4$, c'est $y=-x+4$. La méthode générale : on trie d'abord par le SIGNE du coefficient directeur, puis on départage par l'ordonnée à l'origine, qui se lit directement.

d) $f(-2)=3\times(-2)-7=-13$ et $f(0)=-7$, ce qui confirme au passage que $b=f(0)$. L'antécédent de $2$ est la solution de $f(x)=2$, soit $3x-7=2$, donc $3x=9$ et $x=3$. Image et antécédent ne se calculent pas de la même façon : l'image est un calcul direct, l'antécédent est une équation à résoudre.

e) La droite d1 a pour équation $y=2x-3$. Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse $0$, soit $(0\ ;\ -3)$. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'ordonnée nulle : $2x-3=0$ donne $x=1{,}5$, soit $(1{,}5\ ;\ 0)$. On lit bien ces deux points sur la figure.

f) Non, sauf si elle est constante. Si $a\neq 0$ et si $f(u)=f(v)$, alors $au+b=av+b$, donc $au=av$, puis $u=v$ en divisant par $a$ qui n'est pas nul : deux valeurs égales ne peuvent venir que du même antécédent. En revanche, une fonction constante prend la même valeur partout, et c'est exactement le cas $a=0$. C'est ce qui rend l'affirmation 5 de l'exercice 8 fausse.

Retenez la lecture graphique dans les deux sens, car les deux sont évaluées : d'une expression vers la droite, $b$ donne le point de départ sur l'axe des ordonnées et $a$ donne la pente, c'est-à-dire de combien on monte quand on avance de $1$ ; de la droite vers l'expression, on lit $b$ à l'intersection avec l'axe des ordonnées, puis on compte un déplacement horizontal et le déplacement vertical correspondant pour obtenir $a$.

a) Le coefficient directeur est le quotient de l'accroissement des images par celui des abscisses : $a=\frac{17-5}{6-2}=\frac{12}{4}=3$. On trouve ensuite $b$ en réinjectant un point : $f(2)=5$ donne $3\times 2+b=5$, donc $b=-1$. Ainsi $f(x)=3x-1$. Vérification avec l'autre point : $f(6)=18-1=17$ ✓. Vérifier avec le point qui n'a PAS servi au calcul est le seul contrôle qui détecte réellement une erreur.

b) $a=\frac{-2-4}{3-(-1)}=\frac{-6}{4}=-1{,}5$. Puis $g(-1)=4$ donne $-1{,}5\times(-1)+b=4$, soit $1{,}5+b=4$ et $b=2{,}5$. Donc $g(x)=-1{,}5x+2{,}5$. Vérifications : $g(-1)=1{,}5+2{,}5=4$ ✓ et $g(3)=-4{,}5+2{,}5=-2$ ✓. Attention au double signe moins au dénominateur, $3-(-1)=4$ et non $2$ : c'est l'erreur de calcul la plus fréquente de tout l'exercice.

c) Le coefficient directeur est donné, il ne reste que $b$ à trouver : $h(4)=1$ donne $-2\times 4+b=1$, donc $-8+b=1$ et $b=9$. Ainsi $h(x)=-2x+9$. Vérification : $h(4)=-8+9=1$ ✓.

d) Le coefficient directeur d'une droite passant par deux points est le même quotient qu'aux questions précédentes : $a=\frac{-5-7}{4-(-2)}=\frac{-12}{6}=-2$. Avec le point $A$ : $-2\times(-2)+b=7$, soit $4+b=7$ et $b=3$. L'équation réduite est donc $y=-2x+3$. Vérification avec $B$ : $-2\times 4+3=-5$ ✓.

e) Le coefficient directeur $a=3$ répond aux trois questions d'un coup : quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $3$ ; quand $x$ augmente de $5$, $f(x)$ augmente de $5\times 3=15$ ; quand $x$ DIMINUE de $2$, $f(x)$ diminue de $2\times 3=6$. On peut le vérifier : $f(0)=-1$, $f(5)=14$, et $14-(-1)=15$ ✓. C'est l'interprétation la plus utile de $a$, celle qui sert dans tous les problèmes concrets : $a$ est un TAUX, une variation par unité.

f) Non. Si deux fonctions affines coïncident en deux points distincts, leurs coefficients directeurs sont égaux, puisqu'ils se calculent avec le même quotient, et leurs ordonnées à l'origine aussi : les deux fonctions sont donc identiques. Autrement dit, par deux points d'abscisses différentes passe UNE SEULE droite non verticale, ce qui justifie que deux images suffisent à déterminer une fonction affine.

a) Le sens de variation ne dépend que du signe de $a$. Pour $f$, $a=3>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour $g$, $a=-1{,}5<0$ : $g$ est strictement décroissante. Pour $k$, $a=0$ : $k$ est constante, ni croissante ni décroissante au sens strict. Une fonction affine est monotone sur $\mathbb{R}$ TOUT ENTIER, ce qui la distingue de la fonction carré ou de la fonction inverse, dont il faut préciser l'intervalle.

b) Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v$. Alors $f(v)-f(u)=(3v-1)-(3u-1)=3(v-u)$. Comme $u<v$, on a $v-u>0$, et comme $3>0$, le produit $3(v-u)$ est strictement positif. Donc $f(u)<f(v)$ : la fonction conserve l'ordre, elle est strictement croissante. C'est la rédaction attendue en Seconde, et elle se transpose telle quelle à toute fonction affine : la différence $f(v)-f(u)$ vaut toujours $a(v-u)$, donc le sens de variation est bien celui du signe de $a$.

c) $3x-12>0$ équivaut à $3x>12$, puis à $x>4$ en divisant par $3$, qui est positif et ne change donc pas le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est $]4\ ;\ +\infty[$. Le tableau de signes se lit sur cette ligne : $3x-12$ est négatif sur $]-\infty\ ;\ 4[$, nul en $4$, positif sur $]4\ ;\ +\infty[$. Comme $a=3>0$, l'expression est bien du signe de $a$ APRÈS la racine.

d) La racine de $-2x+5$ est donnée par $-2x+5=0$, soit $x=2{,}5$. Ici $a=-2<0$, donc l'expression est POSITIVE avant $2{,}5$ et négative après : $-2x+5>0$ sur $]-\infty\ ;\ 2{,}5[$ et $-2x+5<0$ sur $]2{,}5\ ;\ +\infty[$. Contrôle mental en une seconde : pour $x=0$, l'expression vaut $5$, donc elle est positive à gauche ✓. Ce contrôle par une valeur test est ce qui évite d'inverser un tableau entier.

e) On résout $ax+b=0$. Comme $a\neq 0$, on peut diviser : $ax=-b$ puis $x=-\frac{b}{a}$, et cette solution est unique. Pour $5x+3$, la racine vaut $-\frac{3}{5}=-0{,}6$. Vérification : $5\times(-0{,}6)+3=-3+3=0$ ✓. Le signe moins de la formule est la source d'erreur classique : la racine de $5x+3$ n'est pas $0{,}6$, et la valeur test $x=0$, qui donne $3>0$, confirme que la racine est bien à gauche de zéro.

f) Pour $x=4$ : $-7\times 4+21=-28+21=-7$, donc négatif. Pour $x=1$ : $-7+21=14$, donc positif. La racine est $\frac{21}{7}=3$, et comme $a=-7<0$, l'expression est positive AVANT $3$ : elle est strictement positive sur $]-\infty\ ;\ 3[$. Les deux valeurs testées encadrent la racine et confirment le changement de signe.

Le tableau de l'énoncé se complète ainsi : $3x-12$ a $a>0$, est croissante, et sa racine est $4$ ; $-2x+5$ a $a<0$, est décroissante, et sa racine est $2{,}5$ ; $5x+3$ a $a>0$, est croissante, et sa racine est $-0{,}6$. Une seule règle gouverne les trois colonnes, et il faut savoir la dire en une phrase : une expression du premier degré change de signe une fois et une seule, en sa racine, et elle prend le signe de $a$ après cette racine. Tout l'exercice 4 n'est que l'application répétée de cette phrase.

a) Les deux facteurs s'annulent en $x=3$ et $x=1$. Le facteur $2x-6$, de coefficient directeur positif, est négatif avant $3$ et positif après ; le facteur $-x+1$, de coefficient directeur négatif, est positif avant $1$ et négatif après. Le produit est donc négatif sur $]-\infty\ ;\ 1[$ (négatif par positif), positif sur $]1\ ;\ 3[$ (négatif par négatif) et négatif sur $]3\ ;\ +\infty[$. L'inégalité étant LARGE, les deux racines sont acceptées : l'ensemble des solutions est $[1\ ;\ 3]$. Contrôle par une valeur test : pour $x=2$, on obtient $(-2)\times(-1)=2>0$ ✓.

b) La valeur interdite est donnée par $2x-1=0$, soit $x=0{,}5$. Le numérateur $x+3$ s'annule en $-3$ et est positif après ; le dénominateur $2x-1$ est positif après $0{,}5$. Le quotient est donc positif sur $]-\infty\ ;\ -3[$ (négatif par négatif), négatif sur $]-3\ ;\ 0{,}5[$, et positif sur $]0{,}5\ ;\ +\infty[$. L'ensemble des solutions est $]-3\ ;\ 0{,}5[$. Un quotient se traite exactement comme un produit, à une différence près : la valeur interdite est toujours exclue, même si l'inégalité est large.

c) Le facteur $(x+2)^{2}$ est un carré : il est POSITIF partout, et nul seulement en $-2$. Le signe du produit est donc celui de $3-x$, sauf en $-2$ où le produit est nul. Or $3-x\leq 0$ équivaut à $x\geq 3$. L'ensemble des solutions est donc $\{-2\}\cup[3\ ;\ +\infty[$, et oublier le point isolé $-2$ est l'erreur attendue : un carré ne change pas de signe, mais il s'annule, et cela suffit à rendre le produit nul.

d) On ne compare pas à $1$, on ramène tout d'un même côté : $\frac{4-x}{x+5}-1\geq 0$, soit $\frac{4-x-(x+5)}{x+5}\geq 0$, c'est-à-dire $\frac{-2x-1}{x+5}\geq 0$. La valeur interdite est $-5$. Le numérateur $-2x-1$ s'annule en $-0{,}5$ et est positif AVANT ; le dénominateur est positif après $-5$. Le quotient est donc positif sur $]-5\ ;\ -0{,}5]$, la borne $-0{,}5$ étant incluse puisqu'elle annule le numérateur, et $-5$ exclue. Vérification : pour $x=-1$, le quotient de départ vaut $\frac{5}{4}=1{,}25\geq 1$ ✓ ; pour $x=0$, il vaut $\frac{4}{5}=0{,}8<1$, donc $0$ est bien exclu ✓.

e) Parce qu'on ignore le signe de $x+5$ : il est positif pour $x>-5$ et négatif pour $x<-5$. Or multiplier une inéquation par un nombre négatif en RENVERSE le sens. Sans discuter deux cas, la manipulation est donc illégitime, et elle donnerait ici $4-x\geq x+5$, soit $x\leq -0{,}5$, c'est-à-dire un ensemble qui contient $-10$ alors que $-10$ ne convient pas : $\frac{4+10}{-5}=-2{,}8$, qui n'est pas supérieur à $1$. Ramener à zéro et dresser un tableau évite complètement cette discussion.

f) $x^{2}<9$ s'écrit $x^{2}-9<0$, soit $(x-3)(x+3)<0$ par l'identité remarquable. Le produit de ces deux facteurs est négatif entre les racines : l'ensemble des solutions est $]-3\ ;\ 3[$. L'erreur classique consiste à écrire $x<3$ en prenant la racine carrée, ce qui oublie toute la moitié négative et accepte à tort $x=-10$.

La figure du corrigé montre pourquoi le tableau de signes fonctionne : les deux droites de la question a) coupent l'axe des abscisses en $1$ et en $3$, et ces deux abscisses découpent la droite réelle en trois zones dans lesquelles aucun des deux facteurs ne change de signe ; le signe du produit est porté dans chacune des trois zones. C'est tout le principe, et il vaut pour n'importe quel nombre de facteurs : on repère les racines, on découpe, on détermine le signe de chaque facteur dans chaque zone, on multiplie les signes. Deux réflexes à garder : une valeur test dans chaque zone pour se contrôler, et un regard sur les bornes selon que l'inégalité est stricte ou large.

a) La première équation donne déjà $y$ en fonction de $x$ : on la reporte dans la seconde. $3x+2(2x-1)=12$ devient $3x+4x-2=12$, soit $7x=14$ et $x=2$. On revient alors à la première équation : $y=2\times 2-1=3$. Le couple solution est $(2\ ;\ 3)$. Vérification dans la SECONDE équation, celle qui n'a pas servi en dernier : $3\times 2+2\times 3=6+6=12$ ✓.

b) Aucune inconnue n'est isolée : on combine. En multipliant la seconde équation par $2$, on obtient $4x-10y=-8$, qui a le même coefficient devant $x$ que la première. En soustrayant cette nouvelle équation de la première, les termes en $x$ disparaissent : $(3y)-(-10y)=18-(-8)$, soit $13y=26$ et $y=2$. On reporte : $4x+3\times 2=18$ donne $4x=12$ et $x=3$. Le couple solution est $(3\ ;\ 2)$. Vérification dans la seconde équation d'origine : $2\times 3-5\times 2=6-10=-4$ ✓.

c) Chacune des deux équations est celle d'une droite. Résoudre le système, c'est chercher les points communs à ces deux droites, et le résultat signifie donc qu'elles se coupent en un seul point, de coordonnées $(3\ ;\ 2)$. Un système à solution unique correspond toujours à deux droites SÉCANTES.

d) On isole $y$. De $4x+3y=18$ on tire $3y=-4x+18$, puis $y=-\frac{4}{3}x+6$. De $2x-5y=-4$ on tire $-5y=-2x-4$, puis $y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}$. Les coefficients directeurs, $-\frac{4}{3}$ et $\frac{2}{5}$, sont différents : les droites ne sont pas parallèles, ce qui confirme l'existence d'une solution unique sans même la calculer.

e) En multipliant la première équation par $2$, on obtient $6x-2y=10$. En l'additionnant à la seconde, $-6x+2y=1$, tout disparaît et il reste $0=11$, ce qui est faux. Le système n'a donc AUCUNE solution. Graphiquement, les formes réduites sont $y=3x-5$ et $y=3x+0{,}5$ : même coefficient directeur, ordonnées à l'origine différentes, donc deux droites strictement parallèles, qui ne se rencontrent jamais.

f) La seconde équation est exactement le triple de la première : $3(x+2y)=3\times 4$ donne bien $3x+6y=12$. Les deux équations décrivent donc la MÊME droite, et le système a une infinité de solutions : tous les couples $(x\ ;\ y)$ tels que $y=-\frac{1}{2}x+2$, par exemple $(0\ ;\ 2)$, $(4\ ;\ 0)$ ou $(2\ ;\ 1)$. Une combinaison donnerait ici $0=0$, égalité vraie mais sans information, et c'est précisément la signature de ce cas.

Les trois issues rencontrées dans cet exercice sont les seules possibles, et la question d) montre comment les distinguer AVANT tout calcul : on met les deux équations sous forme réduite et on compare. Coefficients directeurs différents, les droites sont sécantes et la solution est unique ; coefficients directeurs égaux mais ordonnées à l'origine différentes, aucune solution ; les deux égaux, une infinité. Une combinaison qui aboutit à une égalité fausse signale le deuxième cas, une combinaison qui aboutit à $0=0$ signale le troisième.

a) Les deux droites se coupent en un point d'abscisse $12$. Avant ce point la droite du tarif B est au-dessus de celle du tarif A, après elle est en dessous : le tarif B devient plus avantageux à partir de la treizième séance. Lire une comparaison sur un graphique, c'est toujours regarder quelle courbe est EN DESSOUS, jamais laquelle monte le plus vite.

b) Avec le tarif A, le prix vaut $f(x)=12x$ : c'est une fonction LINÉAIRE, sa droite passe par l'origine, ce qui traduit le fait qu'aucune séance ne coûte zéro dollar. Avec le tarif B, le prix vaut $g(x)=7x+60$ : c'est une fonction affine non linéaire, dont l'ordonnée à l'origine $60$ est exactement le prix de l'abonnement, payé même sans venir. Les frais fixes d'un problème se lisent toujours dans $b$, le prix unitaire dans $a$.

c) On résout $12x=7x+60$, soit $5x=60$ et $x=12$. Le prix commun vaut alors $12\times 12=144$ dollars, ce que confirme l'autre expression : $7\times 12+60=84+60=144$ ✓. La valeur lue au a) est donc exacte.

d) L'inéquation est $7x+60<12x$, soit $60<5x$, puis $x>12$ en divisant par $5$, qui est positif. Comme un nombre de séances est un entier, le tarif B est strictement moins cher à partir de $13$ séances. Pour exactement $12$ séances les deux tarifs coûtent la même chose, et l'inégalité STRICTE exclut cette valeur : la distinction entre $x>12$ et $x\geq 12$ est ici porteuse de sens, pas une subtilité d'écriture.

e) Face au tarif A : $90<12x$ donne $x>7{,}5$, donc à partir de $8$ séances. Face au tarif B : $90<7x+60$ donne $30<7x$, soit $x>\frac{30}{7}\approx 4{,}29$, donc à partir de $5$ séances. Le tarif C devient donc intéressant très vite face à B, et un peu plus tard face à A.

f) Comparons les trois. Pour $x\leq 7$, le tarif A est le moins cher : à $7$ séances il coûte $84$ dollars, contre $109$ pour B et $90$ pour C. Pour $x\geq 8$, c'est le tarif C : à $8$ séances il coûte $90$ dollars, contre $96$ pour A et $116$ pour B. La surprise est que le tarif B n'est JAMAIS le moins cher des trois : il est battu par A tant que $x\leq 12$, et par C dès que $x\geq 5$, et ces deux intervalles recouvrent tous les cas. Le graphique du corrigé le montre d'un coup d'oeil : la droite du tarif B n'est jamais la plus basse des trois.

Cet exercice contient la leçon la plus utile du chapitre pour la vie courante : le point d'intersection de deux droites ne dit rien du meilleur choix tant qu'on n'a pas regardé TOUTES les offres. La comparaison deux à deux de la question a), qui est celle que l'on fait spontanément, désigne un gagnant, $B$ après $12$ séances, qui se révèle perdant dès qu'une troisième offre entre dans le tableau. Méthode à retenir pour l'examen : traduire chaque offre par une fonction affine, comparer par des inéquations plutôt que par des valeurs isolées, et conclure par un intervalle d'entiers.

a) Les deux coefficients directeurs valent $2$ : les droites sont parallèles. Les ordonnées à l'origine, $-3$ et $1$, sont différentes : elles sont donc strictement parallèles, sans point commun. Le système formé par ces deux équations n'a aucune solution.

b) Il faut d'abord passer aux formes réduites. De $3x-2y=6$ on tire $y=\frac{3}{2}x-3$. De $-6x+4y=5$ on tire $4y=6x+5$, puis $y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{4}$. Mêmes coefficients directeurs, ordonnées à l'origine différentes : les droites sont strictement parallèles. On pouvait le voir autrement : multiplier la première équation par $-2$ donne $-6x+4y=-12$, qui a le même membre de gauche que la seconde mais un membre de droite différent, $-12$ contre $5$. C'est la signature algébrique du parallélisme strict.

c) Elles sont parallèles lorsque $m=2m-3$, soit $m=3$. Pour cette valeur, les deux droites sont $y=3x+1$ et $y=3x-4$ : les ordonnées à l'origine, $1$ et $-4$, diffèrent, donc elles ne sont PAS confondues. Elles sont strictement parallèles, et pour toute autre valeur de $m$ elles sont sécantes.

d) On passe aux formes réduites : la première équation donne $y=-mx+3$, la seconde $2y=-4x+7$, soit $y=-2x+3{,}5$. Le système n'a aucune solution lorsque les droites sont strictement parallèles, c'est-à-dire lorsque $-m=-2$ et que les ordonnées à l'origine diffèrent. Or $m=2$ donne bien $3\neq 3{,}5$ : pour $m=2$, et seulement pour cette valeur, le système est sans solution. Pour tout autre $m$, les droites sont sécantes et la solution est unique. Notez qu'aucune valeur de $m$ ne rend les droites confondues, puisque cela exigerait aussi $3=3{,}5$.

e) Pour $m=1$, le système devient $y=-x+3$ et $y=-2x+3{,}5$. On égalise : $-x+3=-2x+3{,}5$ donne $x=0{,}5$, puis $y=-0{,}5+3=2{,}5$. Vérifications dans les équations d'origine : $1\times 0{,}5+2{,}5=3$ ✓ et $4\times 0{,}5+2\times 2{,}5=2+5=7$ ✓. Le couple solution est $(0{,}5\ ;\ 2{,}5)$.

f) Non, jamais. Résoudre un tel système, c'est chercher les points communs à deux droites. Si les droites sont distinctes, elles ont au plus un point commun, car deux points distincts déterminent une seule droite ; si elles sont confondues, tous leurs points sont communs et il y en a une infinité. Il n'existe donc que trois nombres possibles de solutions : zéro, une, ou une infinité. Exactement deux est impossible.

La méthode générale, valable pour toute discussion selon un paramètre, tient en trois temps : mettre les deux équations sous forme réduite, écrire l'égalité des coefficients directeurs, puis vérifier séparément si les ordonnées à l'origine coïncident pour la valeur trouvée. Le premier temps est celui qu'on saute le plus volontiers, et c'est celui qui décide de tout : comparer directement les coefficients de deux équations écrites sous la forme $ax+by=c$ conduit à des conclusions fausses dès que les équations ne sont pas proportionnellement écrites.