Exercices corrigés : fonctions affines et systèmes (Seconde)

$m=\frac{5-(-4)}{4-1}=\frac{9}{3}=3$. Piège : $5-4=1$, qui donne $\frac{1}{3}$.

$m=\frac{-4-2}{5-(-3)}=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4}$. Piège : renverser le quotient, $\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}$ ; les ordonnées vont EN HAUT.

$h(-6)=\frac{3}{4}\times(-6)-2=-\frac{18}{4}-2=-\frac{9}{2}-\frac{4}{2}=-\frac{13}{2}=-6{,}5$.

On résout $-\frac{2}{5}x+3=7$ : $-\frac{2}{5}x=4$, donc $x=4\times\left(-\frac{5}{2}\right)=-10$. Piège : multiplier par $-\frac{2}{5}$ au lieu de diviser, ce qui donne $-1{,}6$. Contrôle : $k(-10)=4+3=7$.

On résout $\frac{x}{3}+\frac{5}{2}=0$ : $\frac{x}{3}=-\frac{5}{2}$, donc $x=-\frac{15}{2}=-7{,}5$. Contrôle : $u(-7{,}5)=-2{,}5+2{,}5=0$.

$v$ s'annule en $x_{0}=\frac{8}{5}=1{,}6$ et $a=-5<0$ : $v(x)$ est positif avant $1{,}6$ et négatif après. Or tout l'intervalle $[2\,;5]$ est après $1{,}6$, donc $v(x)$ y est strictement négatif. Contrôle : $v(2)=-2$ et $v(5)=-17$. Piège : conclure « négatif car $a<0$ » sans situer le zéro ; sur $[0\,;5]$, la même expression changerait de signe.

$E$ est sur la droite : $1=\frac{2}{3}\times 6+p=4+p$, donc $p=-3$. L'équation est $y=\frac{2}{3}x-3$.

Entre $-1$ et $2$ : $a=\frac{2-8}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2$ ; entre $2$ et $7$ : $\frac{-8-2}{7-2}=\frac{-10}{5}=-2$, le même taux, comme il se doit pour une fonction affine. Puis $g(-1)=-2\times(-1)+b=2+b=8$, donc $b=6$ : $g(x)=-2x+6$.

$a=\frac{f(2)-f(-4)}{2-(-4)}=\frac{-6-9}{6}=-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}$. Puis $f(2)=-\frac{5}{2}\times 2+b=-5+b=-6$, donc $b=-1$ : $f(x)=-\frac{5}{2}x-1$. Contrôle : $f(-4)=10-1=9$.

$m=\frac{1-5}{4-(-2)}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$. Avec $P$ : $5=-\frac{2}{3}\times(-2)+p=\frac{4}{3}+p$, donc $p=5-\frac{4}{3}=\frac{11}{3}$. Piège : $-\frac{2}{3}\times(-2)=+\frac{4}{3}$ ; avec $-\frac{4}{3}$, on trouve $p=\frac{19}{3}$ et la droite ne passe plus par $Q$. Contrôle avec $Q$ : $-\frac{2}{3}\times 4+\frac{11}{3}=\frac{3}{3}=1$.

Une fonction est affine lorsqu'elle s'écrit $ax+b$, donc lorsque la variable n'apparaît qu'au premier degré et jamais au dénominateur. $f(x)=3x-7$ est affine avec $a=3$ et $b=-7$. $g$ ne l'est pas, à cause du carré. $h$ ne l'est pas, à cause du $x$ au dénominateur. $k(x)=-4$ est affine avec $a=0$ et $b=-4$. Enfin $m(x)=2(x-3)+x=2x-6+x=3x-6$ est bien affine, avec $a=3$ et $b=-6$ : il faut développer avant de conclure, et c'est le cas qui piège le plus souvent.

Aucune n'est linéaire : une fonction affine est linéaire quand $b=0$, c'est-à-dire quand sa droite passe par l'origine, ce qui n'est le cas ni de $f$, ni de $k$, ni de $m$. La fonction $k$ est constante, puisque $a=0$. Retenez l'emboîtement : les fonctions linéaires et les fonctions constantes sont des cas particuliers de fonctions affines, pas des catégories séparées.

La droite d3 est horizontale, c'est donc $y=3$. La droite d4 passe par l'origine en descendant, c'est $y=-0{,}5x$. Il reste d1 et d2 : d1 monte, donc son coefficient directeur est positif, c'est $y=2x-3$ ; d2 descend et coupe l'axe des ordonnées en $4$, c'est $y=-x+4$. La méthode générale : on trie d'abord par le SIGNE du coefficient directeur, puis on départage par l'ordonnée à l'origine, qui se lit directement.

$f(-2)=3\times(-2)-7=-13$ et $f(0)=-7$, ce qui confirme au passage que $b=f(0)$. L'antécédent de $2$ est la solution de $f(x)=2$, soit $3x-7=2$, donc $3x=9$ et $x=3$. Image et antécédent ne se calculent pas de la même façon : l'image est un calcul direct, l'antécédent est une équation à résoudre.

La droite d1 a pour équation $y=2x-3$. Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse $0$, soit $(0\ ;\ -3)$. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'ordonnée nulle : $2x-3=0$ donne $x=1{,}5$, soit $(1{,}5\ ;\ 0)$. On lit bien ces deux points sur la figure.

Non, sauf si elle est constante. Si $a\neq 0$ et si $f(u)=f(v)$, alors $au+b=av+b$, donc $au=av$, puis $u=v$ en divisant par $a$ qui n'est pas nul : deux valeurs égales ne peuvent venir que du même antécédent. En revanche, une fonction constante prend la même valeur partout, et c'est exactement le cas $a=0$. C'est ce qui rend l'affirmation 5 de l'exercice 8 fausse.

Le coefficient directeur est le quotient de l'accroissement des images par celui des abscisses : $a=\frac{17-5}{6-2}=\frac{12}{4}=3$. On trouve ensuite $b$ en réinjectant un point : $f(2)=5$ donne $3\times 2+b=5$, donc $b=-1$. Ainsi $f(x)=3x-1$. Vérification avec l'autre point : $f(6)=18-1=17$ ✓. Vérifier avec le point qui n'a PAS servi au calcul est le seul contrôle qui détecte réellement une erreur.

$a=\frac{-2-4}{3-(-1)}=\frac{-6}{4}=-1{,}5$. Puis $g(-1)=4$ donne $-1{,}5\times(-1)+b=4$, soit $1{,}5+b=4$ et $b=2{,}5$. Donc $g(x)=-1{,}5x+2{,}5$. Vérifications : $g(-1)=1{,}5+2{,}5=4$ ✓ et $g(3)=-4{,}5+2{,}5=-2$ ✓. Attention au double signe moins au dénominateur, $3-(-1)=4$ et non $2$ : c'est l'erreur de calcul la plus fréquente de tout l'exercice.

Le coefficient directeur est donné, il ne reste que $b$ à trouver : $h(4)=1$ donne $-2\times 4+b=1$, donc $-8+b=1$ et $b=9$. Ainsi $h(x)=-2x+9$. Vérification : $h(4)=-8+9=1$ ✓.

Le coefficient directeur d'une droite passant par deux points est le même quotient qu'aux questions précédentes : $a=\frac{-5-7}{4-(-2)}=\frac{-12}{6}=-2$. Avec le point $A$ : $-2\times(-2)+b=7$, soit $4+b=7$ et $b=3$. L'équation réduite est donc $y=-2x+3$. Vérification avec $B$ : $-2\times 4+3=-5$ ✓.

Le coefficient directeur $a=3$ répond aux trois questions d'un coup : quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $3$ ; quand $x$ augmente de $5$, $f(x)$ augmente de $5\times 3=15$ ; quand $x$ DIMINUE de $2$, $f(x)$ diminue de $2\times 3=6$. On peut le vérifier : $f(0)=-1$, $f(5)=14$, et $14-(-1)=15$ ✓. C'est l'interprétation la plus utile de $a$, celle qui sert dans tous les problèmes concrets : $a$ est un TAUX, une variation par unité.

Non. Si deux fonctions affines coïncident en deux points distincts, leurs coefficients directeurs sont égaux, puisqu'ils se calculent avec le même quotient, et leurs ordonnées à l'origine aussi : les deux fonctions sont donc identiques. Autrement dit, par deux points d'abscisses différentes passe UNE SEULE droite non verticale, ce qui justifie que deux images suffisent à déterminer une fonction affine.

Le sens de variation ne dépend que du signe de $a$. Pour $f$, $a=3>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour $g$, $a=-1{,}5<0$ : $g$ est strictement décroissante. Pour $k$, $a=0$ : $k$ est constante, ni croissante ni décroissante au sens strict. Une fonction affine est monotone sur $\mathbb{R}$ TOUT ENTIER, ce qui la distingue de la fonction carré ou de la fonction inverse, dont il faut préciser l'intervalle.

Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v$. Alors $f(v)-f(u)=(3v-1)-(3u-1)=3(v-u)$. Comme $u<v$, on a $v-u>0$, et comme $3>0$, le produit $3(v-u)$ est strictement positif. Donc $f(u)<f(v)$ : la fonction conserve l'ordre, elle est strictement croissante. C'est la rédaction attendue en Seconde, et elle se transpose telle quelle à toute fonction affine : la différence $f(v)-f(u)$ vaut toujours $a(v-u)$, donc le sens de variation est bien celui du signe de $a$.

$3x-12>0$ équivaut à $3x>12$, puis à $x>4$ en divisant par $3$, qui est positif et ne change donc pas le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est $]4\ ;\ +\infty[$. Le tableau de signes se lit sur cette ligne : $3x-12$ est négatif sur $]-\infty\ ;\ 4[$, nul en $4$, positif sur $]4\ ;\ +\infty[$. Comme $a=3>0$, l'expression est bien du signe de $a$ APRÈS la racine.

La racine de $-2x+5$ est donnée par $-2x+5=0$, soit $x=2{,}5$. Ici $a=-2<0$, donc l'expression est POSITIVE avant $2{,}5$ et négative après : $-2x+5>0$ sur $]-\infty\ ;\ 2{,}5[$ et $-2x+5<0$ sur $]2{,}5\ ;\ +\infty[$. Contrôle mental en une seconde : pour $x=0$, l'expression vaut $5$, donc elle est positive à gauche ✓. Ce contrôle par une valeur test est ce qui évite d'inverser un tableau entier.

On résout $ax+b=0$. Comme $a\neq 0$, on peut diviser : $ax=-b$ puis $x=-\frac{b}{a}$, et cette solution est unique. Pour $5x+3$, la racine vaut $-\frac{3}{5}=-0{,}6$. Vérification : $5\times(-0{,}6)+3=-3+3=0$ ✓. Le signe moins de la formule est la source d'erreur classique : la racine de $5x+3$ n'est pas $0{,}6$, et la valeur test $x=0$, qui donne $3>0$, confirme que la racine est bien à gauche de zéro.

Pour $x=4$ : $-7\times 4+21=-28+21=-7$, donc négatif. Pour $x=1$ : $-7+21=14$, donc positif. La racine est $\frac{21}{7}=3$, et comme $a=-7<0$, l'expression est positive AVANT $3$ : elle est strictement positive sur $]-\infty\ ;\ 3[$. Les deux valeurs testées encadrent la racine et confirment le changement de signe.

Les deux facteurs s'annulent en $x=3$ et $x=1$. Le facteur $2x-6$, de coefficient directeur positif, est négatif avant $3$ et positif après ; le facteur $-x+1$, de coefficient directeur négatif, est positif avant $1$ et négatif après. Le produit est donc négatif sur $]-\infty\ ;\ 1[$ (négatif par positif), positif sur $]1\ ;\ 3[$ (négatif par négatif) et négatif sur $]3\ ;\ +\infty[$. L'inégalité étant LARGE, les deux racines sont acceptées : l'ensemble des solutions est $[1\ ;\ 3]$. Contrôle par une valeur test : pour $x=2$, on obtient $(-2)\times(-1)=2>0$ ✓.

La valeur interdite est donnée par $2x-1=0$, soit $x=0{,}5$. Le numérateur $x+3$ s'annule en $-3$ et est positif après ; le dénominateur $2x-1$ est positif après $0{,}5$. Le quotient est donc positif sur $]-\infty\ ;\ -3[$ (négatif par négatif), négatif sur $]-3\ ;\ 0{,}5[$, et positif sur $]0{,}5\ ;\ +\infty[$. L'ensemble des solutions est $]-3\ ;\ 0{,}5[$. Un quotient se traite exactement comme un produit, à une différence près : la valeur interdite est toujours exclue, même si l'inégalité est large.

Le facteur $(x+2)^{2}$ est un carré : il est POSITIF partout, et nul seulement en $-2$. Le signe du produit est donc celui de $3-x$, sauf en $-2$ où le produit est nul. Or $3-x\leq 0$ équivaut à $x\geq 3$. L'ensemble des solutions est donc $\{-2\}\cup[3\ ;\ +\infty[$, et oublier le point isolé $-2$ est l'erreur attendue : un carré ne change pas de signe, mais il s'annule, et cela suffit à rendre le produit nul.

On ne compare pas à $1$, on ramène tout d'un même côté : $\frac{4-x}{x+5}-1\geq 0$, soit $\frac{4-x-(x+5)}{x+5}\geq 0$, c'est-à-dire $\frac{-2x-1}{x+5}\geq 0$. La valeur interdite est $-5$. Le numérateur $-2x-1$ s'annule en $-0{,}5$ et est positif AVANT ; le dénominateur est positif après $-5$. Le quotient est donc positif sur $]-5\ ;\ -0{,}5]$, la borne $-0{,}5$ étant incluse puisqu'elle annule le numérateur, et $-5$ exclue. Vérification : pour $x=-1$, le quotient de départ vaut $\frac{5}{4}=1{,}25\geq 1$ ✓ ; pour $x=0$, il vaut $\frac{4}{5}=0{,}8<1$, donc $0$ est bien exclu ✓.

Parce qu'on ignore le signe de $x+5$ : il est positif pour $x>-5$ et négatif pour $x<-5$. Or multiplier une inéquation par un nombre négatif en RENVERSE le sens. Sans discuter deux cas, la manipulation est donc illégitime, et elle donnerait ici $4-x\geq x+5$, soit $x\leq -0{,}5$, c'est-à-dire un ensemble qui contient $-10$ alors que $-10$ ne convient pas : $\frac{4+10}{-5}=-2{,}8$, qui n'est pas supérieur à $1$. Ramener à zéro et dresser un tableau évite complètement cette discussion.

$x^{2}<9$ s'écrit $x^{2}-9<0$, soit $(x-3)(x+3)<0$ par l'identité remarquable. Le produit de ces deux facteurs est négatif entre les racines : l'ensemble des solutions est $]-3\ ;\ 3[$. L'erreur classique consiste à écrire $x<3$ en prenant la racine carrée, ce qui oublie toute la moitié négative et accepte à tort $x=-10$.