Devoir commun corrigé de mathématiques (Seconde)

La priorité est à la multiplication : $\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$. Il reste $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$. L'erreur classique consiste à calculer $\frac{2}{3}-\frac{3}{4}$ d'abord, ce qui donnerait $-\frac{1}{12}$ puis un résultat faux : dans une expression sans parenthèses, la multiplication passe TOUJOURS avant la soustraction.

On applique les trois règles des puissances : $\left(10^{4}\right)^{2}=10^{4\times 2}=10^{8}$, puis $10^{-3}\times 10^{8}=10^{-3+8}=10^{5}$, puis $\frac{10^{5}}{10^{2}}=10^{5-2}=10^{3}$. Le résultat est $10^{3}$, c'est-à-dire $1\,000$. Retenez le sens de chaque règle : on MULTIPLIE les exposants pour une puissance de puissance, on les ADDITIONNE pour un produit, on les SOUSTRAIT pour un quotient.

On extrait le plus grand carré parfait contenu dans $50$ : $50=25\times 2$, donc $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Il vient $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$. On traite $\sqrt{2}$ exactement comme une lettre : $5$ fois quelque chose moins $3$ fois la même chose font $2$ fois cette chose.

On développe chaque morceau séparément. L'identité du carré donne $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$, et celle de la différence de deux carrés donne $(x+1)(x-1)=x^{2}-1$. Attention au signe moins qui porte sur TOUTE la seconde parenthèse : $4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-1\right)=4x^{2}-12x+9-x^{2}+1=3x^{2}-12x+10$. Oublier de changer le signe du $-1$ est l'erreur la plus fréquente de cette question.

On reconnaît une différence de deux carrés, puisque $9x^{2}=(3x)^{2}$ et $25=5^{2}$. L'identité $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ donne donc $9x^{2}-25=(3x-5)(3x+5)$. On peut contrôler en développant : $(3x-5)(3x+5)=9x^{2}+15x-15x-25=9x^{2}-25$ ✓.

On multiplie les deux membres par $6$, dénominateur commun, ce qui revient au produit en croix : $2(2x-1)=3(x+4)$, soit $4x-2=3x+12$, puis $4x-3x=12+2$ et enfin $x=14$. Contrôle en remplaçant : $\frac{2\times 14-1}{3}=\frac{27}{3}=9$ et $\frac{14+4}{2}=\frac{18}{2}=9$ ✓.

On isole le terme en $x$ : $-3x\geq 1-7$, soit $-3x\geq-6$. On divise par $-3$, et c'est ici que tout se joue : diviser une inégalité par un nombre NÉGATIF en renverse le sens. On obtient donc $x\leq 2$, c'est-à-dire $x\in\left]-\infty\,;\,2\right]$. Contrôle avec une valeur : pour $x=0$, $-3\times 0+7=7\geq 1$ ✓, et $0$ appartient bien à l'intervalle trouvé ; pour $x=3$, $-3\times 3+7=-2$, qui n'est pas supérieur à $1$ ✓.

On remplace, en soignant les signes : $f(-2)=(-2)^{2}-6\times(-2)+5=4+12+5=21$. Le carré d'un nombre négatif est positif, et $-6\times(-2)$ vaut $+12$ : deux pièges de signe dans un seul calcul.

On développe la forme proposée : $(x-3)^{2}-4=x^{2}-6x+9-4=x^{2}-6x+5=f(x)$ ✓. C'est la forme CANONIQUE. On sait la retrouver seule : le coefficient de $x$ vaut $-6$, sa moitié vaut $-3$, on écrit $(x-3)^{2}$ qui vaut $x^{2}-6x+9$, soit $4$ de trop par rapport à $f$, donc on retranche $4$.

Sous la forme $(x-3)^{2}-4$, le carré est toujours positif ou nul et vaut $0$ uniquement pour $x=3$. La fonction atteint donc sa plus petite valeur en $x=3$, et cette valeur est $-4$. Le sommet est $S(3\,;-4)$, et comme le coefficient de $x^{2}$ est POSITIF la parabole est tournée vers le haut : c'est un MINIMUM.

La forme canonique est la plus rapide : $(x-3)^{2}-4=0$ donne $(x-3)^{2}=4$, donc $x-3=2$ ou $x-3=-2$, soit $x=5$ ou $x=1$. Ne gardez jamais la seule racine positive, un carré égal à $4$ admet DEUX solutions. Contrôle par la somme et le produit : $1+5=6$, l'opposé du coefficient de $x$ ✓, et $1\times 5=5$, le terme constant ✓.

Chercher les antécédents de $5$, c'est résoudre $f(x)=5$, et non calculer $f(5)$ : c'est la confusion la plus fréquente sur cette notion. On écrit $x^{2}-6x+5=5$, soit $x^{2}-6x=0$, puis on FACTORISE plutôt que de recourir au discriminant : $x(x-6)=0$, donc $x=0$ ou $x=6$. Les antécédents de $5$ sont $0$ et $6$. Contrôle : $f(0)=5$ ✓ et $f(6)=36-36+5=5$ ✓.

La parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des abscisses en $1$ et $5$. Elle est donc SOUS cet axe strictement entre ses deux racines : $f(x)<0$ pour $x\in\left]1\,;\,5\right[$. La règle générale à retenir est que le trinôme est du signe du coefficient de $x^{2}$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.

On soustrait dans le bon sens, l'arrivée moins le départ : $\vec{AB}\left(x_{B}-x_{A}\,;\,y_{B}-y_{A}\right)=\left(3-(-1)\,;\,4-2\right)=(4\,;2)$. Inverser l'ordre donnerait $\vec{BA}$, le vecteur opposé.

Pour le milieu, on MOYENNE au lieu de soustraire : $I\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\,;\,\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)=\left(\frac{-1+3}{2}\,;\,\frac{2+4}{2}\right)=(1\,;3)$. Confondre la formule du milieu et celle du vecteur est une erreur courante : l'une additionne et divise, l'autre soustrait.

La distance se calcule avec le théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées du vecteur : $AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$. On simplifie, car $20=4\times 5$ : $AB=2\sqrt{5}$, soit environ $4{,}47$. Une distance est toujours positive, les carrés s'en chargent.

Trois points sont alignés lorsque deux vecteurs qui les relient sont COLINÉAIRES. On calcule $\vec{AC}(5-(-1)\,;\,-1-2)=(6\,;-3)$, puis le déterminant de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ : $4\times(-3)-2\times 6=-12-12=-24$. Il est non nul, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les trois points ne sont PAS alignés. Le déterminant se calcule en croix, produit de la première abscisse par la seconde ordonnée moins produit de la seconde abscisse par la première ordonnée.

La série comporte $6$ valeurs, de somme $4+7+7+9+12+15=54$, donc la moyenne vaut $\frac{54}{6}=9$. Pour la médiane, l'effectif est PAIR : on prend la demi-somme des deux valeurs centrales, la troisième et la quatrième, soit $\frac{7+9}{2}=8$. Moyenne et médiane diffèrent ici, ce qui est normal, la valeur $15$ tirant la moyenne vers le haut.

Les événements « roi » et « cœur » ne sont pas incompatibles, puisque le roi de cœur appartient aux deux. On ne peut donc pas simplement additionner. La formule à utiliser est $P(R\cup C)=P(R)+P(C)-P(R\cap C)=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$, soit environ $0{,}31$. Oublier de retrancher l'intersection donnerait $\frac{17}{52}$ et compterait le roi de cœur deux fois.

On développe la forme proposée : $-2(x-2)^{2}+18=-2\left(x^{2}-4x+4\right)+18=-2x^{2}+8x-8+18=-2x^{2}+8x+10=f(x)$ ✓. Pour la retrouver seul, on factorise d'abord le coefficient dominant sur les deux premiers termes : $f(x)=-2\left(x^{2}-4x\right)+10$, puis $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$, donc $f(x)=-2\left[(x-2)^{2}-4\right]+10=-2(x-2)^{2}+8+10$. Le piège est de ne pas distribuer le $-2$ sur le $-4$.

Le carré $(x-2)^{2}$ est positif ou nul, et $-2$ fois ce carré est donc négatif ou nul. La quantité $-2(x-2)^{2}+18$ est par conséquent toujours inférieure ou égale à $18$, avec égalité uniquement pour $x=2$. Le sommet est $S(2\,;18)$ et, le coefficient de $x^{2}$ étant NÉGATIF, la parabole est tournée vers le bas : $18$ est un MAXIMUM.

Le tableau de variations se lit directement sur la forme canonique. La fonction est strictement CROISSANTE sur $\left]-\infty\,;\,2\right]$, où elle monte jusqu'à $18$, puis strictement DÉCROISSANTE sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$, où elle redescend vers $-\infty$. Le sommet sépare les deux branches, et la droite verticale d'équation $x=2$ est l'axe de symétrie de la parabole.

On part de la forme canonique : $-2(x-2)^{2}+18=0$ donne $(x-2)^{2}=9$, donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$, soit $x=5$ ou $x=-1$. Contrôle par la somme et le produit des racines : $-1+5=4=-\frac{8}{-2}$ ✓ et $-1\times 5=-5=\frac{10}{-2}$ ✓. Pour le signe, le coefficient de $x^{2}$ étant négatif, $f$ est NÉGATIVE à l'extérieur des racines et POSITIVE entre elles : $f(x)<0$ sur $\left]-\infty\,;-1\right[$ et sur $\left]5\,;+\infty\right[$, $f(x)>0$ sur $\left]-1\,;5\right[$, et $f$ s'annule en $-1$ et en $5$.

On ne divise pas, on ramène tout d'un côté : $-2x^{2}+8x+10\geq 10$ équivaut à $-2x^{2}+8x\geq 0$, soit $-2x(x-4)\geq 0$. En divisant par $-2$, ce qui RENVERSE le sens, on obtient $x(x-4)\leq 0$. Ce produit est du signe du trinôme $x^{2}-4x$, de racines $0$ et $4$ et de coefficient dominant positif : il est donc négatif ou nul ENTRE les racines. L'ensemble des solutions est $\left[0\,;4\right]$. Contrôle : $f(0)=10$ ✓, $f(4)=-32+32+10=10$ ✓ et $f(2)=18\geq 10$ ✓, tandis que $f(-1)=0<10$ ✓.

Graphiquement, résoudre $f(x)\geq 10$ revient à chercher les abscisses des points de la parabole situés AU-DESSUS de la droite horizontale d'équation $y=10$, ou sur elle. La figure montre que la parabole coupe cette droite en deux points, d'abscisses $0$ et $4$, et qu'elle lui est supérieure exactement entre ces deux abscisses. On remarquera que $0$ et $4$ sont symétriques par rapport à $x=2$, ce qui était prévisible : toute droite horizontale coupe la parabole en deux points symétriques par rapport à son axe. Cette symétrie fournit d'ailleurs un contrôle gratuit sur toute résolution de ce type, puisque la demi-somme des deux solutions doit redonner l'abscisse du sommet, et $\frac{0+4}{2}=2$ ✓.

Le critère à connaître est le suivant : $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB}=\vec{DC}$. Attention à l'ordre des lettres, c'est $\vec{DC}$ et non $\vec{CD}$, car on parcourt le quadrilatère dans le même sens. On calcule $\vec{AB}(5-1\,;4-2)=(4\,;2)$ et $\vec{DC}(4-0\,;-1-(-3))=(4\,;2)$. Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, ils sont donc égaux, et $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Le centre d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales, et chaque diagonale coupe l'autre en son milieu. Première façon, le milieu de $[AC]$ : $\left(\frac{1+4}{2}\,;\,\frac{2+(-1)}{2}\right)=(2{,}5\,;0{,}5)$. Seconde façon, le milieu de $[BD]$ : $\left(\frac{5+0}{2}\,;\,\frac{4+(-3)}{2}\right)=(2{,}5\,;0{,}5)$. Les deux calculs donnent le même point ✓, ce qui confirme au passage le résultat de la question 1 : si les milieux des diagonales n'avaient pas coïncidé, le quadrilatère n'aurait pas été un parallélogramme.

Le vecteur directeur $\vec{AB}(4\,;2)$ a une abscisse non nulle, donc la droite n'est pas verticale et admet une équation réduite $y=mx+p$. Le coefficient directeur vaut $m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{2}{4}=0{,}5$. On détermine $p$ en écrivant que $A$ appartient à la droite : $2=0{,}5\times 1+p$, donc $p=1{,}5$. Une équation est $y=0{,}5x+1{,}5$, que l'on peut aussi écrire $x-2y+3=0$. Contrôle avec $B$ : $0{,}5\times 5+1{,}5=4$ ✓.

L'axe des abscisses est la droite d'équation $y=0$. On résout donc $0{,}5x+1{,}5=0$, soit $x=-3$. Le point cherché est $(-3\,;0)$. Une erreur fréquente consiste à annuler $x$ au lieu de $y$ : l'axe des ABSCISSES est l'axe horizontal, ses points ont une ordonnée nulle.

Un parallélogramme est un losange lorsque deux côtés consécutifs ont la même longueur. On calcule $AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}$ et, avec $\vec{AD}(0-1\,;-3-2)=(-1\,;-5)$, on obtient $AD=\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{26}$. Comme $\sqrt{20}\neq\sqrt{26}$, les côtés consécutifs n'ont pas la même longueur : $ABCD$ n'est PAS un losange. Il suffit d'un contre-exemple, inutile de tester les quatre côtés.

L'aire d'un parallélogramme construit sur deux vecteurs est la valeur absolue de leur déterminant : $\text{aire}=\left|\det\left(\vec{AB},\vec{AD}\right)\right|=\left|4\times(-5)-2\times(-1)\right|=\left|-20+2\right|=18$ unités d'aire. On peut contrôler par la formule « base fois hauteur » : la base $AB=\sqrt{20}\approx 4{,}47$, et la hauteur correspondante vaut donc $\frac{18}{\sqrt{20}}\approx 4{,}02$, ce qui est bien inférieur à $AD=\sqrt{26}\approx 5{,}10$ comme le veut la géométrie, la hauteur étant toujours plus courte que le côté oblique ✓.

Le triangle est rectangle en $A$, donc l'hypoténuse est $[BC]$, le côté opposé à l'angle droit. Le théorème de Pythagore donne $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$, donc $BC=10$ cm. On reconnaît le triangle $6$-$8$-$10$, qui est le triangle $3$-$4$-$5$ agrandi d'un facteur $2$ : le repérer fait gagner du temps.

Dans le triangle rectangle en $A$, vu depuis l'angle $\widehat{ABC}$, le côté $[AC]$ est le côté OPPOSÉ et $[BC]$ l'hypoténuse. On utilise donc le sinus : $\sin\widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=0{,}8$, d'où $\widehat{ABC}=\arcsin(0{,}8)\approx 53{,}1^{\circ}$. Le choix de la fonction trigonométrique se fait TOUJOURS en identifiant d'abord quels côtés sont en jeu par rapport à l'angle considéré.

Première façon, par la trigonométrie : vu depuis $\widehat{ACB}$, le côté $[AC]$ est ADJACENT, donc $\cos\widehat{ACB}=\frac{AC}{BC}=0{,}8$ et $\widehat{ACB}\approx 36{,}9^{\circ}$. Seconde façon, par la somme des angles : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires, donc $\widehat{ACB}=90^{\circ}-53{,}1^{\circ}=36{,}9^{\circ}$. Les deux méthodes concordent ✓. On notera que le même rapport $0{,}8$ est le sinus d'un angle et le cosinus de l'autre : c'est exactement ce que traduit la complémentarité.

L'aire se calcule de deux façons, et l'égalité des deux expressions donne la hauteur. En prenant $[AB]$ et $[AC]$ comme base et hauteur, perpendiculaires puisque l'angle est droit en $A$ : $\text{aire}=\frac{6\times 8}{2}=24$ cm². En prenant $[BC]$ comme base et $[AH]$ comme hauteur : $\text{aire}=\frac{BC\times AH}{2}=\frac{10\times AH}{2}=5\,AH$. On en déduit $5\,AH=24$, donc $AH=4{,}8$ cm. Cette technique du DOUBLE CALCUL DE L'AIRE est à retenir, elle donne n'importe quelle hauteur sans trigonométrie.

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, donc Pythagore donne $BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{36-23{,}04}=\sqrt{12{,}96}=3{,}6$ cm. De même dans $ACH$ : $CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{64-23{,}04}=\sqrt{40{,}96}=6{,}4$ cm. Le contrôle est immédiat et obligatoire, puisque $H$ appartient à $[BC]$ : $BH+CH=3{,}6+6{,}4=10=BC$ ✓. On peut aussi retenir les relations métriques $AB^{2}=BH\times BC$, ici $36=3{,}6\times 10$ ✓, et $AC^{2}=CH\times BC$, ici $64=6{,}4\times 10$ ✓.

La droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, donc le théorème de Thalès s'applique dans la configuration en triangle : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Le rapport de réduction vaut $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. On en déduit $AN=\frac{1}{3}\times 8=\frac{8}{3}\approx 2{,}7$ cm et $MN=\frac{1}{3}\times 10=\frac{10}{3}\approx 3{,}3$ cm. Pour l'aire, le piège est de multiplier par le rapport : dans une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ mais les aires par $k^{2}$. L'aire de $AMN$ vaut donc $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times 24=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}\approx 2{,}7$ cm². Contrôle direct, le triangle $AMN$ étant lui aussi rectangle en $A$ : $\frac{AM\times AN}{2}=\frac{2\times\frac{8}{3}}{2}=\frac{8}{3}$ ✓.

On additionne les effectifs. Classe A : $1+2+3+4+5+4+3+2+1=25$ ✓. Classe B : $1+3+4+3+3+3+3+3+2=25$ ✓. Cette vérification n'est pas une formalité : si l'effectif total est faux, tous les indicateurs le seront, et c'est le premier réflexe à avoir devant un tableau d'effectifs.

La moyenne d'une série groupée est la somme des produits note par effectif, divisée par l'effectif total. Classe A : $6+16+30+44+60+52+42+32+18=300$, donc $\bar{x}_{A}=\frac{300}{25}=12$. Classe B : $4+18+36+33+36+39+45+51+38=300$, donc $\bar{x}_{B}=\frac{300}{25}=12$. Les deux classes ont EXACTEMENT la même moyenne. L'erreur à éviter est de moyenner les neuf notes distinctes en oubliant de les pondérer par leurs effectifs.

La médiane partage l'effectif en deux parts égales. L'effectif étant IMPAIR, elle est la valeur de rang $\frac{25+1}{2}=13$. On construit les effectifs cumulés croissants. Pour A : $1,3,6,10,15,19,22,24,25$ ; le rang $13$ tombe dans la tranche qui va du rang $11$ au rang $15$, celle de la note $12$, donc $\text{Me}_{A}=12$. Pour B : $1,4,8,11,14,17,20,23,25$ ; le rang $13$ tombe dans la tranche des rangs $12$ à $14$, celle de la note $12$, donc $\text{Me}_{B}=12$. Les médianes sont elles aussi identiques.

Le premier quartile est la valeur de rang $\frac{25}{4}=6{,}25$, donc de rang $7$ après arrondi À L'ENTIER SUPÉRIEUR, règle qu'il ne faut pas confondre avec un arrondi ordinaire. Le troisième quartile est de rang $\frac{3\times 25}{4}=18{,}75$, donc de rang $19$. Pour A, le rang $7$ est dans la tranche $7$-$10$ de la note $11$ et le rang $19$ dans la tranche $16$-$19$ de la note $13$ : $Q_{1}^{A}=11$ et $Q_{3}^{A}=13$. Pour B, le rang $7$ est dans la tranche $5$-$8$ de la note $9$ et le rang $19$ dans la tranche $18$-$20$ de la note $15$ : $Q_{1}^{B}=9$ et $Q_{3}^{B}=15$.