Exercices corrigés : les statistiques descriptives (Seconde)

a) La somme des onze notes vaut $4+7+8+10+10+11+12+12+14+16+18=122$. La moyenne vaut donc $\frac{122}{11}\approx 11{,}09$. On notera qu'aucun élève n'a obtenu cette note : la moyenne est le résultat d'un calcul, pas nécessairement une valeur de la série, ce que l'exercice 9 reprendra.

b) L'effectif $n=11$ est IMPAIR, la médiane est donc la valeur de rang $\frac{11+1}{2}=6$. En comptant dans la liste ordonnée, la sixième note est $11$. La médiane vaut donc $11$ : autant d'élèves ont au moins $11$ que d'élèves ont au plus $11$, soit cinq de chaque côté.

c) L'étendue vaut $18-4=14$ points. C'est l'indicateur de dispersion le plus rudimentaire : il ne dépend QUE des deux notes extrêmes et ignore complètement les neuf autres, si bien que deux séries très différentes peuvent avoir la même étendue.

d) La nouvelle somme vaut $122+20=142$ pour douze élèves, soit une moyenne de $\frac{142}{12}\approx 11{,}83$. L'effectif étant maintenant PAIR, la médiane est la demi-somme des notes de rangs $6$ et $7$, soit $\frac{11+12}{2}=11{,}5$. La moyenne a donc augmenté d'environ $0{,}74$ point, la médiane de $0{,}5$ point seulement.

L'écart constaté en d) est la propriété la plus importante du chapitre, celle de la ROBUSTESSE de la médiane. Une valeur élevée tire la moyenne davantage que la médiane, parce que la moyenne intègre la valeur elle-même alors que la médiane ne voit qu'un RANG supplémentaire. Ici l'effet reste modeste, le $20$ n'étant pas si éloigné du reste ; l'exercice 10 montrera ce qui se passe avec une valeur vraiment extrême, où l'écart devient spectaculaire. Retenons aussi la règle de rang, qui change selon la parité : valeur du milieu si l'effectif est impair, demi-somme des deux valeurs centrales s'il est pair.

a) L'effectif total vaut $4+7+9+6+4=30$ ✓. La somme PONDÉRÉE des notes vaut $8\times 4+10\times 7+12\times 9+14\times 6+16\times 4=32+70+108+84+64=358$. La moyenne vaut donc $\frac{358}{30}\approx 11{,}93$. L'erreur classique consiste à diviser par $5$, le nombre de notes différentes : on obtiendrait $71{,}6$, valeur impossible pour une note sur $20$, et c'est ce contrôle de plausibilité qui doit alerter. C'est bien l'EFFECTIF TOTAL qui sert de diviseur.

b) L'effectif étant pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $15$ et $16$. On calcule les effectifs CUMULÉS : $4$, puis $11$, puis $20$. Les rangs $12$ à $20$ correspondent donc tous à la note $12$. Les rangs $15$ et $16$ valent ainsi $12$ tous les deux, et la médiane est $12$.

c) Le mode est la valeur d'effectif MAXIMAL, ici la note $12$ avec neuf élèves. C'est le seul indicateur qui s'applique aussi à des données non numériques, comme une couleur ou une matière préférée.

d) Les élèves ayant au moins $12$ sont ceux des notes $12$, $14$ et $16$, soit $9+6+4=19$ élèves. La proportion vaut $\frac{19}{30}\approx 0{,}633$, soit environ $63{,}3\ \%$. L'expression au moins inclut la valeur $12$ elle-même, et l'oublier ferait perdre neuf élèves.

Les trois indicateurs de position coïncident presque ici, avec une moyenne de $11{,}93$, une médiane de $12$ et un mode de $12$, ce qui signale une distribution assez SYMÉTRIQUE. Quand ils divergent nettement, c'est l'information la plus intéressante : une moyenne bien supérieure à la médiane annonce une queue étirée vers le haut, comme le montrera l'exercice 10. Un mot enfin sur les effectifs cumulés, qui sont l'outil décisif de la question b) : ils répondent d'un coup à toutes les questions du type combien d'élèves ont au plus telle note, et l'on gagne à les calculer systématiquement dès qu'un tableau est donné.

a) L'effectif $n=12$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $6$ et $7$, soit $\frac{22+25}{2}=23{,}5$ minutes. La médiane n'appartient donc pas à la série, ce qui est fréquent avec un effectif pair.

b) Pour $Q_{1}$, on calcule $\frac{12}{4}=3$ : le résultat étant ENTIER, on prend la valeur de rang $3$, soit $Q_{1}=18$ minutes. Pour $Q_{3}$, on calcule $\frac{3\times 12}{4}=9$ : on prend la valeur de rang $9$, soit $Q_{3}=30$ minutes. Lorsque le calcul ne tombe pas juste, on arrondit au rang supérieur, comme le rappellera la convention du cours.

c) L'écart interquartile vaut $Q_{3}-Q_{1}=30-18=12$ minutes. Il signifie que la MOITIÉ CENTRALE des employés, ceux qui ne sont ni parmi les $25\ \%$ les plus rapides ni parmi les $25\ \%$ les plus lents, ont des trajets répartis sur une plage de douze minutes seulement. À comparer avec l'étendue, $55-12=43$ minutes, plus de trois fois supérieure : l'écart interquartile ignore volontairement les extrêmes.

d) La somme des douze durées vaut $314$ minutes, donc la moyenne vaut $\frac{314}{12}\approx 26{,}17$ minutes, contre une médiane de $23{,}5$ minutes. La moyenne dépasse la médiane de près de trois minutes, à cause de la valeur $55$, très supérieure aux autres : elle tire la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane.

La question d) donne un conseil pratique qu'il faut savoir formuler : pour annoncer à un nouvel employé le trajet auquel il doit s'attendre, la MÉDIANE est le meilleur indicateur, car elle décrit le cas typique et non un cas moyen déformé par une exception. La règle générale se retient ainsi : la moyenne convient quand la distribution est à peu près symétrique, la médiane s'impose dès qu'elle est étirée d'un côté. Le simple fait de comparer les deux, ce qui coûte un calcul, suffit à diagnostiquer la situation : un écart notable entre moyenne et médiane est le signal qu'une valeur extrême est à l'œuvre.

a) Machine A : la somme vaut $49{,}8+50{,}0+50{,}1+49{,}9+50{,}2=250{,}0$, donc la moyenne vaut $50{,}0$ mm. Machine B : la somme vaut $49{,}4+50{,}5+49{,}7+50{,}6+49{,}8=250{,}0$, donc la moyenne vaut AUSSI $50{,}0$ mm. Les deux machines ont exactement la même moyenne, parfaitement centrée sur la cible : la moyenne seule ne permet donc pas de les départager.

b) Machine A : les écarts à la moyenne sont $-0{,}2$ ; $0$ ; $0{,}1$ ; $-0{,}1$ ; $0{,}2$, dont la somme des CARRÉS vaut $0{,}04+0+0{,}01+0{,}01+0{,}04=0{,}10$. La variance vaut $\frac{0{,}10}{5}=0{,}02$ et l'écart type $\sqrt{0{,}02}\approx 0{,}141$ mm. Machine B : les écarts sont $-0{,}6$ ; $0{,}5$ ; $-0{,}3$ ; $0{,}6$ ; $-0{,}2$, dont la somme des carrés vaut $0{,}36+0{,}25+0{,}09+0{,}36+0{,}04=1{,}10$. La variance vaut $\frac{1{,}10}{5}=0{,}22$ et l'écart type $\sqrt{0{,}22}\approx 0{,}469$ mm.

c) La machine A est nettement plus FIABLE : son écart type est plus de trois fois plus petit, donc ses pièces s'écartent bien moins du diamètre visé. La fiabilité d'un procédé se juge sur la DISPERSION, pas sur la moyenne, et c'est tout l'objet de cet exercice.

d) Pour la machine A, tous les diamètres sont compris entre $49{,}8$ et $50{,}2$, donc dans l'intervalle demandé : AUCUNE pièce hors tolérance. Pour la machine B, $49{,}4$ est en dessous de $49{,}5$ et $50{,}6$ est au-dessus de $50{,}5$ : deux pièces sur cinq sont hors tolérance, soit $40\ \%$ de la production.

Le contraste entre les deux machines illustre pourquoi l'écart type est l'indicateur central du contrôle qualité industriel. Une machine parfaitement centrée mais dispersée produit des rebuts, alors qu'une machine légèrement décentrée mais régulière peut être corrigée d'un simple réglage. On notera au passage la raison d'être des CARRÉS dans la définition : sans eux, les écarts positifs et négatifs se compenseraient exactement, la somme des écarts à la moyenne valant toujours zéro, et l'indicateur serait inutilisable. Élever au carré rend tous les écarts positifs, et la racine finale ramène le résultat dans l'unité de départ, ici le millimètre.

a) Le centre d'une classe est la demi-somme de ses bornes : $\frac{0+5}{2}=2{,}5$ ; $7{,}5$ ; $12{,}5$ et $17{,}5$ minutes. La somme pondérée vaut alors $2{,}5\times 12+7{,}5\times 25+12{,}5\times 18+17{,}5\times 5=30+187{,}5+225+87{,}5=530$. La moyenne vaut donc $\frac{530}{60}\approx 8{,}83$ minutes.

b) L'effectif total est $60$, la médiane se situe donc entre les rangs $30$ et $31$. Les effectifs CUMULÉS valent $12$, puis $37$ : les rangs $13$ à $37$ appartiennent tous à la classe $[5\,;\,10[$. Les rangs $30$ et $31$ y tombent, la classe médiane est donc $[5\,;\,10[$. On ne peut pas donner de valeur précise, seulement une classe.

c) Parce qu'on ne dispose PAS des valeurs individuelles. On fait comme si les douze patients de la première classe avaient tous attendu exactement $2{,}5$ minutes, ce qui est faux en général : certains ont attendu une minute, d'autres quatre. Le regroupement en classes a DÉTRUIT l'information exacte, et la moyenne calculée ne serait la vraie moyenne que si, dans chaque classe, les valeurs se répartissaient symétriquement autour du centre.

d) Les patients ayant attendu moins de dix minutes sont ceux des deux premières classes, soit $12+25=37$ patients. La proportion vaut $\frac{37}{60}\approx 0{,}617$, soit environ $61{,}7\ \%$. La borne fonctionne ici sans ambiguïté, la classe $[5\,;\,10[$ étant ouverte à droite : les patients ayant attendu exactement dix minutes sont dans la classe suivante.

Le regroupement en classes est un COMPROMIS qu'il faut savoir apprécier. Il rend les données lisibles et permet un histogramme, mais il coûte de la précision, comme le montre c). Le choix du nombre de classes est donc un arbitrage : trop peu de classes écrasent l'information, trop de classes reproduisent le désordre des données brutes. Une conséquence pratique mérite d'être connue : sur des données groupées, on ne peut plus calculer d'écart type exact ni de médiane exacte, seulement des approximations. Si l'on dispose des valeurs individuelles, il ne faut donc jamais les grouper avant de calculer, mais seulement pour représenter.

a) Ajouter un point revient à la transformation $y=x+1$. La moyenne devient $11+1=12$. L'écart type reste $2{,}5$ : toutes les notes se DÉCALENT de la même quantité, donc les écarts entre elles, et à la moyenne, sont rigoureusement inchangés.

b) Ici $y=1{,}2x$. La moyenne devient $1{,}2\times 11=13{,}2$ et l'écart type devient $1{,}2\times 2{,}5=3$. Multiplier ÉTIRE la série tout entière, donc augmente la dispersion dans le même rapport.

c) Avec $y=1{,}5x-4$, la moyenne devient $1{,}5\times 11-4=16{,}5-4=12{,}5$. L'écart type devient $|1{,}5|\times 2{,}5=3{,}75$ : la constante $-4$ n'intervient PAS dans l'écart type, seul le coefficient multiplicateur compte. La valeur absolue est nécessaire, car un coefficient négatif retournerait la série sans réduire sa dispersion.

d) Soit $y_{i}=x_{i}+b$. La nouvelle moyenne vaut $\bar{y}=\frac{\sum(x_{i}+b)}{n}=\frac{\sum x_{i}+nb}{n}=\bar{x}+b$. Chaque écart à la moyenne devient alors $y_{i}-\bar{y}=\left(x_{i}+b\right)-\left(\bar{x}+b\right)=x_{i}-\bar{x}$ : il est rigoureusement INCHANGÉ, le $b$ se simplifiant. La somme des carrés des écarts, donc la variance et l'écart type, sont donc identiques.

La conséquence pédagogique de d) mérite d'être énoncée, car elle est souvent méconnue : un bonus UNIFORME ne réduit jamais l'hétérogénéité d'une classe, il déplace tout le monde sans rien rapprocher. Seule une transformation de coefficient inférieur à $1$ resserrerait les notes, en les rapprochant de leur moyenne. On retiendra les deux règles de base sous forme d'un slogan : la moyenne subit TOUTE la transformation, $\bar{y}=a\bar{x}+b$, alors que l'écart type ne subit que le coefficient, $\sigma_{y}=|a|\sigma_{x}$. Ces formules évitent de tout recalculer, ce qui est précieux quand la série compte trente valeurs.

a) Groupe A : la somme vaut $50$, donc la moyenne vaut $10$. Groupe B : la somme vaut $2+6+10+14+18=50$, donc la moyenne vaut AUSSI $10$. Le premier indicateur ne distingue donc pas les deux groupes.

b) Les deux groupes comptent cinq élèves, effectif impair : la médiane est la valeur de rang $3$. Elle vaut $10$ dans les deux cas. Moyenne et médiane sont donc identiques : DEUX indicateurs de position sur deux ne voient aucune différence, alors que les deux groupes n'ont visiblement rien à voir.

c) Groupe A : toutes les notes valent exactement la moyenne, tous les écarts sont nuls, donc la variance et l'écart type valent $0$. Groupe B : les écarts sont $-8$ ; $-4$ ; $0$ ; $4$ ; $8$, dont la somme des carrés vaut $64+16+0+16+64=160$. La variance vaut $\frac{160}{5}=32$ et l'écart type $\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$.

d) Seul l'ÉCART TYPE, indicateur de dispersion, distingue les deux groupes. Le groupe A est parfaitement homogène ; le groupe B contient à la fois un élève à $2$ et un élève à $18$, soit seize points d'écart sur vingt. C'est donc le groupe B qui demande le plus de différenciation pédagogique : le même cours ne peut pas convenir aux deux extrémités, alors qu'il conviendrait à tout le groupe A.

Cet exercice est construit pour établir un fait unique, et il vaut d'être retenu tel quel : une moyenne annoncée SANS indicateur de dispersion ne dit presque rien d'une série. Deux classes à $10$ de moyenne peuvent réclamer des stratégies opposées, l'une un approfondissement collectif, l'autre un travail par groupes de niveau. C'est pour cette raison que tout compte rendu statistique sérieux fournit un couple, position et dispersion, soit moyenne et écart type, soit médiane et écart interquartile. Notons enfin le cas extrême du groupe A : un écart type nul caractérise exactement une série CONSTANTE, ce que l'exercice 9 rappellera.

a) Parce que ce calcul donne le MÊME POIDS aux deux groupes, alors qu'ils n'ont pas le même effectif. La moyenne d'une réunion de groupes est une moyenne PONDÉRÉE par les effectifs, et non une moyenne des moyennes. Le calcul proposé traiterait dix élèves comme s'ils pesaient autant que vingt.

b) La somme des notes du groupe $1$ vaut $10\times 12=120$ et celle du groupe $2$ vaut $20\times 15=300$. La somme totale vaut $420$ pour $30$ élèves, donc la moyenne vaut $\frac{420}{30}=14$. On revient donc toujours à la définition : somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total.

c) Le groupe $2$ compte DEUX FOIS plus d'élèves que le groupe $1$, sa moyenne pèse donc deux fois plus dans le résultat. La valeur exacte devait ainsi se situer au tiers du chemin depuis $15$ vers $12$, et non à mi-chemin. On retrouve bien $15-\frac{1}{3}\times 3=15-1=14$ ✓, sans avoir eu besoin de refaire le calcul complet.

d) On cherche $n$ tel que $\frac{12n+300}{n+20}=13{,}5$. En multipliant en croix : $12n+300=13{,}5(n+20)=13{,}5n+270$, soit $300-270=13{,}5n-12n$, donc $30=1{,}5n$ et $n=20$. Il aurait donc fallu que le groupe $1$ compte vingt élèves, autant que le groupe $2$.

La réponse de d) confirme la règle générale et clôt l'exercice : la moyenne des moyennes n'est correcte QUE lorsque les groupes ont le même effectif. Dès qu'ils diffèrent, il faut pondérer. Ce piège est extrêmement répandu hors du lycée, notamment dans les comparaisons de taux entre régions ou établissements de tailles très inégales, où une petite unité aux résultats extrêmes peut fausser un classement entier si l'on oublie de pondérer. Le réflexe protecteur consiste à toujours revenir aux EFFECTIFS et aux sommes plutôt qu'à combiner des moyennes déjà calculées.

a) Faux. La moyenne est le résultat d'un CALCUL et n'a aucune raison de figurer dans la série. Dans l'exercice 1, elle vaut environ $11{,}09$, valeur qu'aucun élève n'a obtenue. Un contre-exemple encore plus net : la moyenne de $0$ et $1$ vaut $0{,}5$, qui n'est ni l'un ni l'autre. Seul le MODE est toujours une valeur de la série, par construction.

b) Faux. Un écart type nul signifie que tous les écarts à la moyenne sont nuls, c'est-à-dire que toutes les valeurs sont ÉGALES. C'est le cas du groupe A de l'exercice 7, qui compte pourtant cinq élèves. Une série vide, elle, n'a même pas de moyenne, donc pas d'écart type : la division par l'effectif serait impossible.

c) Faux. La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même EFFECTIF, et non de même somme. Dans la série $1$ ; $2$ ; $100$, la médiane vaut $2$ : la partie basse a pour somme $1$ et la partie haute $100$, ce qui est très loin d'un partage équitable. C'est d'ailleurs pourquoi la médiane est robuste, elle ne regarde que les rangs.

d) Faux : l'écart type ne change PAS DU TOUT. Ajouter la même constante à toutes les valeurs décale la moyenne d'autant, donc laisse chaque écart à la moyenne inchangé, comme démontré à l'exercice 6. C'est la moyenne, et elle seule, qui augmente de trois.

Ces quatre erreurs se ramènent à deux confusions qu'il vaut la peine de nommer. Les affirmations a) et c) confondent un indicateur avec une PROPRIÉTÉ qu'il n'a pas : la moyenne n'est pas une valeur observée, la médiane n'équilibre pas les sommes. Les affirmations b) et d) portent sur l'écart type et confondent DISPERSION et POSITION : un écart type nul décrit une série constante et non vide, et un décalage global ne change aucune dispersion. Le remède commun est de revenir chaque fois à la DÉFINITION plutôt qu'à une intuition : l'écart type se définit à partir des écarts à la moyenne, et cette seule formule répond aux deux dernières questions.

a) Entreprise A : la somme vaut $500$, donc la moyenne vaut $50$ milliers de dollars ; la médiane est la demi-somme des rangs $5$ et $6$, soit $\frac{38+39}{2}=38{,}5$. Entreprise B : la somme vaut $480$, donc la moyenne vaut $48$ ; la médiane est $\frac{47+48}{2}=47{,}5$. L'écart entre moyenne et médiane est de $11{,}5$ chez A contre seulement $0{,}5$ chez B, ce qui signale déjà une anomalie chez A.

b) L'affirmation est EXACTE au sens littéral : $50$ est bien supérieur à $48$. Elle n'est pas HONNÊTE, car cette moyenne est presque entièrement portée par un unique salaire de $154$, sans doute celui du dirigeant. Neuf employés sur dix de l'entreprise A gagnent moins que la moyenne annoncée, et surtout tous les neuf gagnent moins que le plus BAS salaire de l'entreprise B, qui est de $44$.

c) La MÉDIANE est l'indicateur pertinent, car elle n'est pas affectée par la valeur extrême. Elle vaut $38{,}5$ chez A contre $47{,}5$ chez B, soit neuf mille dollars d'écart annuel en faveur de B. Un nouvel employé a donc tout intérêt à postuler chez B, alors même que A affiche la meilleure moyenne.

d) Sans le salaire de $154$, la somme de l'entreprise A vaut $500-154=346$ pour neuf employés, soit une moyenne de $\frac{346}{9}\approx 38{,}44$, et la médiane devient la valeur de rang $5$, soit $38$. La moyenne s'effondre de $50$ à environ $38{,}44$, tandis que la médiane ne bouge qu'à peine, de $38{,}5$ à $38$.

Une seule donnée sur dix déplaçait donc la moyenne de plus de onze mille dollars, contre cinq cents dollars pour la médiane : c'est exactement ce que mesure la SENSIBILITÉ de la moyenne aux valeurs extrêmes, et l'exercice 1 en donnait déjà une version atténuée. Sur le fond, l'exercice montre qu'une statistique peut être rigoureusement exacte et néanmoins trompeuse, dès lors qu'on choisit l'indicateur qui arrange plutôt que celui qui décrit. C'est la raison pour laquelle les organismes statistiques publient systématiquement le salaire MÉDIAN et non le salaire moyen, et pourquoi une annonce vantant un revenu moyen sans mentionner la distribution doit toujours être lue avec méfiance.

a) Minimum $21$, maximum $44$. L'effectif $15$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\frac{15+1}{2}=8$, soit $30$ cm.

b) $\frac{15}{4}=3{,}75$ : on arrondit au rang SUPÉRIEUR, le rang $4$, donc $Q_{1}=26$. $\frac{3\times 15}{4}=11{,}25$ : rang $12$, donc $Q_{3}=35$. Prendre le rang $3$ ou le rang $11$ donnerait des valeurs pour lesquelles moins de $25\ \%$ ou moins de $75\ \%$ des plants sont en dessous.

c) Étendue : $44-21=23$ cm. Écart interquartile : $Q_{3}-Q_{1}=35-26=9$ cm. Le diagramme en boîte se trace avec ces cinq nombres : moustaches de $21$ à $26$ et de $35$ à $44$, boîte de $26$ à $35$ coupée en $30$.

d) Au centre, on compare les écarts interquartiles : $9$ pour A, $32-25=7$ pour B. La moitié centrale des plants de B est plus RESSERRÉE : B est plus homogène au centre. En revanche l'étendue de B vaut $50-18=32$, contre $23$ pour A : B a des extrêmes plus éloignés. Les deux indicateurs ne disent pas la même chose, et c'est pour cela qu'on trace la boîte entière.

e) Par définition de $Q_{3}$, au moins $75\ \%$ des plants de B mesurent au plus $32$ cm. Pour A, moins de $25\ \%$ des valeurs sont STRICTEMENT inférieures à $Q_{1}=26$, puisque $Q_{1}$ est la plus petite valeur qui atteint les $25\ \%$ : au moins $75\ \%$ des plants mesurent donc au moins $26$ cm. Ici, $12$ plants sur $15$, soit $80\ \%$.

Le fil : un diagramme en boîte résume une série par cinq nombres. On y lit la position par la médiane, la dispersion centrale par la boîte, les extrêmes par les moustaches, et chaque quartile se traduit en une phrase « au moins $25\ \%$ » ou « au moins $75\ \%$ ».

a) La fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total $50$ : $\frac{8}{50}=0{,}16$ ; $0{,}36$ ; $0{,}26$ ; $0{,}14$ ; $0{,}08$. Contrôle : la somme vaut $1$ ✓.

b) On additionne au fur et à mesure : $0{,}16$ ; $0{,}16+0{,}36=0{,}52$ ; $0{,}78$ ; $0{,}92$ ; $1$. La dernière fréquence cumulée vaut toujours $1$.

c) La médiane est la première valeur dont la fréquence cumulée atteint $0{,}5$ : c'est $1$ (fréquence cumulée $0{,}52$). $Q_{1}$ est la première valeur atteignant $0{,}25$ : encore $1$. $Q_{3}$ est la première atteignant $0{,}75$ : c'est $2$ ($0{,}78$). Les fréquences cumulées évitent de chercher les rangs $25$ et $26$ dans une liste de $50$ valeurs.

d) Au plus deux : on lit la fréquence cumulée en $2$, soit $0{,}78$, donc $78\ \%$. Au moins trois : c'est le contraire, $1-0{,}78=0{,}22$, soit $22\ \%$.

e) Moyenne : $\frac{0\times 8+1\times 18+2\times 13+3\times 7+4\times 4}{50}=\frac{0+18+26+21+16}{50}=\frac{81}{50}=1{,}62$. On peut aussi pondérer par les fréquences : $0\times 0{,}16+1\times 0{,}36+2\times 0{,}26+3\times 0{,}14+4\times 0{,}08=1{,}62$ ✓.

À retenir : les fréquences cumulées répondent d'un coup à toutes les questions « au plus », et leur complément à $1$ répond aux questions « au moins ».

a) Somme pondérée : $9\times 1+13\times 2+11\times 3=9+26+33=68$, pour une somme des coefficients de $1+2+3=6$. Moyenne : $\frac{68}{6}\approx 11{,}33$. Diviser par $3$, le nombre de notes, donnerait $22{,}67$, une moyenne impossible sur $20$.

b) Avec une note $x$ de coefficient $2$ : $\frac{68+2x}{8}=12$, donc $68+2x=96$, $2x=28$ et $x=14$. Contrôle : $\frac{68+28}{8}=\frac{96}{8}=12$ ✓.

c) Pour $14$ : $68+2x=112$ donne $x=22$, supérieur à $20$ : impossible. La meilleure moyenne s'obtient avec $20$ : $\frac{68+40}{8}=\frac{108}{8}=13{,}5$.

d) $\frac{68+4x}{10}=12$ donne $4x=52$ et $x=13$. Un coefficient plus fort rend l'objectif plus facile à atteindre, car la bonne note pèse davantage.

e) La nouvelle moyenne $\frac{68+2x}{8}$ est au moins égale à $\frac{68}{6}$ si et seulement si $x\ge\frac{68}{6}\approx 11{,}33$. Une note au moins égale à la moyenne actuelle ne la fait jamais baisser, quel que soit son coefficient. Contrôle avec $x=11$ : $\frac{90}{8}=11{,}25<11{,}33$, la moyenne baisse ✓.

Le point de méthode : on raisonne sur la SOMME des points et la somme des coefficients, jamais sur des moyennes partielles, et l'équation obtenue est du premier degré.

a) Somme pondérée : $7\times 1+8\times 2+9\times 4+10\times 6+11\times 4+12\times 2+13\times 1=7+16+36+60+44+24+13=200$. Moyenne : $\frac{200}{20}=10$ milliers d'heures. La série est symétrique autour de $10$, ce qui était visible dans le tableau.

b) Écarts à la moyenne au carré, pondérés : $9\times 1+4\times 2+1\times 4+0\times 6+1\times 4+4\times 2+9\times 1=42$. Variance : $\frac{42}{20}=2{,}1$. Écart-type : $\sigma=\sqrt{2{,}1}\approx 1{,}45$ millier d'heures.

c) $2\sigma\approx 2{,}90$, donc l'intervalle est environ $[7{,}10\ ;\ 12{,}90]$.

d) Les valeurs de $8$ à $12$ sont dans l'intervalle, mais pas $7$ ni $13$ : $2+4+6+4+2=18$ ampoules sur $20$, soit $90\ \%$. Pour $[\bar{x}-\sigma\ ;\ \bar{x}+\sigma]\approx[8{,}55\ ;\ 11{,}45]$ : les valeurs $9$, $10$, $11$, soit $14$ ampoules, $70\ \%$. L'écart-type donne ainsi une ÉCHELLE : la plupart des valeurs sont à moins de deux écarts-types de la moyenne.

e) La somme augmente de $10$ : $210$, donc $\bar{x}=10{,}5$. Pour l'écart-type, on passe par la moyenne des carrés : initialement $\sum n_{i}x_{i}^{2}=20\times(2{,}1+10^{2})=2\,042$ ; on retire $7^{2}=49$ et on ajoute $17^{2}=289$, soit $2\,282$. Variance : $\frac{2\,282}{20}-10{,}5^{2}=114{,}1-110{,}25=3{,}85$, et $\sigma\approx 1{,}96$. Une seule valeur éloignée augmente l'écart-type de plus d'un tiers, alors que la moyenne ne bouge que de $0{,}5$.

Ce problème montre à quoi sert l'écart-type en pratique : il fixe l'unité dans laquelle mesurer l'écart à la moyenne, et une valeur à plus de deux écarts-types doit toujours être vérifiée.

a) $3+a+7+b+2=25$, donc $a+b=13$.

b) La somme des notes vaut $25\times 11{,}92=298$. Donc $8\times 3+10a+12\times 7+14b+16\times 2=298$, soit $24+10a+84+14b+32=298$ et $10a+14b=158$.

c) De $a=13-b$ : $10(13-b)+14b=158$, soit $130+4b=158$, $b=7$ et $a=6$. Contrôle : $3+6+7+7+2=25$ ✓ et $24+60+84+98+32=298$, $\frac{298}{25}=11{,}92$ ✓. Des effectifs doivent être des entiers positifs : c'est le cas ici, sinon le tableau serait incohérent.

d) Effectif impair : médiane de rang $13$. Effectifs cumulés : $3$, $9$, $16$ : les rangs $10$ à $16$ ont la note $12$. La médiane vaut $12$.

e) Au moins $12$ : $7+7+2=16$ élèves sur $25$, soit $\frac{16}{25}=64\ \%$.

Ce problème relie deux chapitres : une moyenne connue fournit une équation sur les effectifs, et deux informations donnent un système du premier degré.