Exercices corrigés : les statistiques descriptives (Seconde)

Somme : $12+7+19+10+16+15=79$, pour $6$ valeurs. Moyenne : $\frac{79}{6}\approx 13{,}17$.

Maximum $3{,}5$, minimum $-7$. Étendue : $3{,}5-(-7)=10{,}5$. Piège : prendre $-4{,}5$ pour le minimum parce qu'il est écrit en premier, ou calculer $3{,}5-7$ en perdant le signe.

Rangée : $9$ ; $9$ ; $12$ ; $15$ ; $17$ ; $20$ ; $24$ ; $28$ ; $31$. Effectif $9$, impair : la médiane est la valeur de rang $\frac{9+1}{2}=5$, soit $17$. Piège : la valeur du milieu de la série NON rangée, la cinquième écrite, qui vaut $31$.

Rangée : $1{,}5$ ; $2$ ; $3{,}5$ ; $4{,}5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $9$. Effectif $8$, pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $4$ et $5$, $\frac{4{,}5+6}{2}=5{,}25$. Piège : prendre les deux valeurs du milieu dans l'ordre d'écriture, $9$ et $4{,}5$, ce qui donne $6{,}75$.

Effectif total : $5+12+14+9=40$. Fréquence de la valeur $3$ : $\frac{14}{40}=0{,}35$, soit $35\ \%$. Piège : diviser par $4$, le nombre de valeurs différentes, au lieu de l'effectif total.

Effectif total : $3+8+6+2+1=20$. Somme pondérée : $0\times 3+1\times 8+2\times 6+3\times 2+4\times 1=0+8+12+6+4=30$. Moyenne : $\frac{30}{20}=1{,}5$. Piège : la moyenne des cinq valeurs, $\frac{0+1+2+3+4}{5}=2$, comme si chaque valeur n'avait été observée qu'une fois. La valeur $0$ ne pèse rien dans la somme, mais ses $3$ observations comptent dans le total.

$n=10$, et $\frac{10}{4}=2{,}5$ n'est pas entier : on prend le rang $3$. $Q_{1}=15$. Piège : interpoler entre les rangs $2$ et $3$ et répondre $14{,}5$ ; avec la convention du cours, un quartile est toujours une valeur de la série.

$\frac{3\times 10}{4}=7{,}5$, donc le rang $8$ : $Q_{3}=29$. Piège : prendre le rang $7$, en arrondissant vers le bas, ce qui donne $26$.

$n=13$. Rang de $Q_{1}$ : $\frac{13}{4}=3{,}25$, donc $4$, et $Q_{1}=5$. Rang de $Q_{3}$ : $\frac{39}{4}=9{,}75$, donc $10$, et $Q_{3}=12$. Écart interquartile : $Q_{3}-Q_{1}=12-5=7$. Piège : confondre avec l'étendue, $19-2=17$.

Centres : $5$, $15$, $25$, $35$. Effectif total : $4+10+5+1=20$. Somme : $5\times 4+15\times 10+25\times 5+35\times 1=20+150+125+35=330$. Moyenne : $\frac{330}{20}=16{,}5$. Piège : utiliser la borne gauche de chaque classe, ce qui donne $11{,}5$. Ce résultat n'est qu'une valeur approchée de la vraie moyenne, puisqu'on ignore comment les valeurs se répartissent dans chaque classe.

La somme des onze notes vaut $4+7+8+10+10+11+12+12+14+16+18=122$. La moyenne vaut donc $\frac{122}{11}\approx 11{,}09$. On notera qu'aucun élève n'a obtenu cette note : la moyenne est le résultat d'un calcul, pas nécessairement une valeur de la série, ce que l'exercice 9 reprendra.

L'effectif $n=11$ est IMPAIR, la médiane est donc la valeur de rang $\frac{11+1}{2}=6$. En comptant dans la liste ordonnée, la sixième note est $11$. La médiane vaut donc $11$ : cinq élèves ont strictement moins de $11$ et cinq strictement plus.

L'étendue vaut $18-4=14$ points. C'est l'indicateur de dispersion le plus rudimentaire : il ne dépend QUE des deux notes extrêmes et ignore complètement les neuf autres, si bien que deux séries très différentes peuvent avoir la même étendue.

La nouvelle somme vaut $122+20=142$ pour douze élèves, soit une moyenne de $\frac{142}{12}\approx 11{,}83$. L'effectif étant maintenant PAIR, la médiane est la demi-somme des notes de rangs $6$ et $7$, soit $\frac{11+12}{2}=11{,}5$. La moyenne a donc augmenté d'environ $0{,}74$ point, la médiane de $0{,}5$ point seulement.

L'effectif total vaut $4+7+9+6+4=30$ ✓. La somme PONDÉRÉE des notes vaut $8\times 4+10\times 7+12\times 9+14\times 6+16\times 4=32+70+108+84+64=358$. La moyenne vaut donc $\frac{358}{30}\approx 11{,}93$. L'erreur classique consiste à diviser par $5$, le nombre de notes différentes : on obtiendrait $71{,}6$, valeur impossible pour une note sur $20$, et c'est ce contrôle de plausibilité qui doit alerter. C'est bien l'EFFECTIF TOTAL qui sert de diviseur.

L'effectif étant pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $15$ et $16$. On calcule les effectifs CUMULÉS : $4$, puis $11$, puis $20$. Les rangs $12$ à $20$ correspondent donc tous à la note $12$. Les rangs $15$ et $16$ valent ainsi $12$ tous les deux, et la médiane est $12$.

Le mode est la valeur d'effectif MAXIMAL, ici la note $12$ avec neuf élèves. C'est le seul indicateur qui s'applique aussi à des données non numériques, comme une couleur ou une matière préférée.

Les élèves ayant au moins $12$ sont ceux des notes $12$, $14$ et $16$, soit $9+6+4=19$ élèves. La proportion vaut $\frac{19}{30}\approx 0{,}633$, soit environ $63{,}3\ \%$. L'expression au moins inclut la valeur $12$ elle-même, et l'oublier ferait perdre neuf élèves.

L'effectif $n=12$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $6$ et $7$, soit $\frac{22+25}{2}=23{,}5$ minutes. La médiane n'appartient donc pas à la série, ce qui est fréquent avec un effectif pair.

Pour $Q_{1}$, on calcule $\frac{12}{4}=3$ : le résultat étant ENTIER, on prend la valeur de rang $3$, soit $Q_{1}=18$ minutes. Pour $Q_{3}$, on calcule $\frac{3\times 12}{4}=9$ : on prend la valeur de rang $9$, soit $Q_{3}=30$ minutes. Lorsque le calcul ne tombe pas juste, on arrondit au rang supérieur, comme le veut la convention du cours.

L'écart interquartile vaut $Q_{3}-Q_{1}=30-18=12$ minutes. Il signifie que la MOITIÉ CENTRALE des employés, ceux qui ne sont ni parmi les $25\ \%$ les plus rapides ni parmi les $25\ \%$ les plus lents, ont des trajets répartis sur une plage de douze minutes seulement. À comparer avec l'étendue, $55-12=43$ minutes, plus de trois fois supérieure : l'écart interquartile ignore volontairement les extrêmes.

La somme des douze durées vaut $314$ minutes, donc la moyenne vaut $\frac{314}{12}\approx 26{,}17$ minutes, contre une médiane de $23{,}5$ minutes. La moyenne dépasse la médiane de près de trois minutes, à cause de la valeur $55$, très supérieure aux autres : elle tire la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane.

Machine A : la somme vaut $49{,}8+50{,}0+50{,}1+49{,}9+50{,}2=250{,}0$, donc la moyenne vaut $50{,}0$ mm. Machine B : la somme vaut $49{,}4+50{,}5+49{,}7+50{,}6+49{,}8=250{,}0$, donc la moyenne vaut AUSSI $50{,}0$ mm. Les deux machines ont exactement la même moyenne, parfaitement centrée sur la cible : la moyenne seule ne permet donc pas de les départager.

Machine A : les écarts à la moyenne sont $-0{,}2$ ; $0$ ; $0{,}1$ ; $-0{,}1$ ; $0{,}2$, dont la somme des CARRÉS vaut $0{,}04+0+0{,}01+0{,}01+0{,}04=0{,}10$. La variance vaut $\frac{0{,}10}{5}=0{,}02$ et l'écart type $\sqrt{0{,}02}\approx 0{,}141$ mm. Machine B : les écarts sont $-0{,}6$ ; $0{,}5$ ; $-0{,}3$ ; $0{,}6$ ; $-0{,}2$, dont la somme des carrés vaut $0{,}36+0{,}25+0{,}09+0{,}36+0{,}04=1{,}10$. La variance vaut $\frac{1{,}10}{5}=0{,}22$ et l'écart type $\sqrt{0{,}22}\approx 0{,}469$ mm.

La machine A est nettement plus FIABLE : son écart type est plus de trois fois plus petit, donc ses pièces s'écartent bien moins du diamètre visé. La fiabilité d'un procédé se juge sur la DISPERSION, pas sur la moyenne, et c'est tout l'objet de cet exercice.

Pour la machine A, tous les diamètres sont compris entre $49{,}8$ et $50{,}2$, donc dans l'intervalle demandé : AUCUNE pièce hors tolérance. Pour la machine B, $49{,}4$ est en dessous de $49{,}5$ et $50{,}6$ est au-dessus de $50{,}5$ : deux pièces sur cinq sont hors tolérance, soit $40\ \%$ de la production.

Le centre d'une classe est la demi-somme de ses bornes : $\frac{0+5}{2}=2{,}5$ ; $7{,}5$ ; $12{,}5$ et $17{,}5$ minutes. La somme pondérée vaut alors $2{,}5\times 12+7{,}5\times 25+12{,}5\times 18+17{,}5\times 5=30+187{,}5+225+87{,}5=530$. La moyenne vaut donc $\frac{530}{60}\approx 8{,}83$ minutes.

L'effectif total est $60$, la médiane se situe donc entre les rangs $30$ et $31$. Les effectifs CUMULÉS valent $12$, puis $37$ : les rangs $13$ à $37$ appartiennent tous à la classe $[5\,;\,10[$. Les rangs $30$ et $31$ y tombent, la classe médiane est donc $[5\,;\,10[$. On ne peut pas donner de valeur précise, seulement une classe.

Parce qu'on ne dispose PAS des valeurs individuelles. On fait comme si les douze patients de la première classe avaient tous attendu exactement $2{,}5$ minutes, ce qui est faux en général : certains ont attendu une minute, d'autres quatre. Le regroupement en classes a DÉTRUIT l'information exacte, et la moyenne calculée n'est exacte que si, dans chaque classe, la moyenne des valeurs est égale au centre, par exemple quand les valeurs y sont réparties uniformément ou symétriquement.

Les patients ayant attendu moins de dix minutes sont ceux des deux premières classes, soit $12+25=37$ patients. La proportion vaut $\frac{37}{60}\approx 0{,}617$, soit environ $61{,}7\ \%$. La borne fonctionne ici sans ambiguïté, la classe $[5\,;\,10[$ étant ouverte à droite : les patients ayant attendu exactement dix minutes sont dans la classe suivante.

Ajouter un point revient à la transformation $y=x+1$. La moyenne devient $11+1=12$. L'écart type reste $2{,}5$ : toutes les notes se DÉCALENT de la même quantité, donc les écarts entre elles, et à la moyenne, sont rigoureusement inchangés.

Ici $y=1{,}2x$. La moyenne devient $1{,}2\times 11=13{,}2$ et l'écart type devient $1{,}2\times 2{,}5=3$. Multiplier ÉTIRE la série tout entière, donc augmente la dispersion dans le même rapport.

Avec $y=1{,}5x-4$, la moyenne devient $1{,}5\times 11-4=16{,}5-4=12{,}5$. L'écart type devient $|1{,}5|\times 2{,}5=3{,}75$ : la constante $-4$ n'intervient PAS dans l'écart type, seul le coefficient multiplicateur compte. La valeur absolue est nécessaire, car un coefficient négatif retournerait la série sans réduire sa dispersion.

Soit $y_{i}=x_{i}+b$. La nouvelle moyenne vaut $\bar{y}=\frac{\sum(x_{i}+b)}{n}=\frac{\sum x_{i}+nb}{n}=\bar{x}+b$. Chaque écart à la moyenne devient alors $y_{i}-\bar{y}=\left(x_{i}+b\right)-\left(\bar{x}+b\right)=x_{i}-\bar{x}$ : il est rigoureusement INCHANGÉ, le $b$ se simplifiant. La somme des carrés des écarts, donc la variance et l'écart type, sont donc identiques.

Groupe A : la somme vaut $50$, donc la moyenne vaut $10$. Groupe B : la somme vaut $2+6+10+14+18=50$, donc la moyenne vaut AUSSI $10$. Le premier indicateur ne distingue donc pas les deux groupes.

Les deux groupes comptent cinq élèves, effectif impair : la médiane est la valeur de rang $3$. Elle vaut $10$ dans les deux cas. Moyenne et médiane sont donc identiques : DEUX indicateurs de position sur deux ne voient aucune différence, alors que les deux groupes n'ont visiblement rien à voir.

Groupe A : toutes les notes valent exactement la moyenne, tous les écarts sont nuls, donc la variance et l'écart type valent $0$. Groupe B : les écarts sont $-8$ ; $-4$ ; $0$ ; $4$ ; $8$, dont la somme des carrés vaut $64+16+0+16+64=160$. La variance vaut $\frac{160}{5}=32$ et l'écart type $\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$.

Seul l'ÉCART TYPE, indicateur de dispersion, distingue les deux groupes. Le groupe A est parfaitement homogène ; le groupe B contient à la fois un élève à $2$ et un élève à $18$, soit seize points d'écart sur vingt. C'est donc le groupe B qui demande le plus de différenciation pédagogique : le même cours ne peut pas convenir aux deux extrémités, alors qu'il conviendrait à tout le groupe A.

Parce que ce calcul donne le MÊME POIDS aux deux groupes, alors qu'ils n'ont pas le même effectif. La moyenne d'une réunion de groupes est une moyenne PONDÉRÉE par les effectifs, et non une moyenne des moyennes. Le calcul proposé traiterait dix élèves comme s'ils pesaient autant que vingt.

La somme des notes du groupe $1$ vaut $10\times 12=120$ et celle du groupe $2$ vaut $20\times 15=300$. La somme totale vaut $420$ pour $30$ élèves, donc la moyenne vaut $\frac{420}{30}=14$. On revient donc toujours à la définition : somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total.

Le groupe $2$ compte DEUX FOIS plus d'élèves que le groupe $1$, sa moyenne pèse donc deux fois plus dans le résultat. La valeur exacte devait ainsi se situer au tiers du chemin depuis $15$ vers $12$, et non à mi-chemin. On retrouve bien $15-\frac{1}{3}\times 3=15-1=14$ ✓, sans avoir eu besoin de refaire le calcul complet.

On cherche $n$ tel que $\frac{12n+300}{n+20}=13{,}5$. En multipliant en croix : $12n+300=13{,}5(n+20)=13{,}5n+270$, soit $300-270=13{,}5n-12n$, donc $30=1{,}5n$ et $n=20$. Il aurait donc fallu que le groupe $1$ compte vingt élèves, autant que le groupe $2$.

Faux. La moyenne est le résultat d'un CALCUL et n'a aucune raison de figurer dans la série. Dans l'exercice 1, elle vaut environ $11{,}09$, valeur qu'aucun élève n'a obtenue. Un contre-exemple encore plus net : la moyenne de $0$ et $1$ vaut $0{,}5$, qui n'est ni l'un ni l'autre. La moyenne, et la médiane d'un effectif pair, peuvent ne pas être des valeurs de la série ; le mode, les quartiles (avec la convention du cours), le minimum et le maximum en sont toujours.

Faux. Un écart type nul signifie que tous les écarts à la moyenne sont nuls, c'est-à-dire que toutes les valeurs sont ÉGALES. C'est le cas du groupe A de l'exercice 7, qui compte pourtant cinq élèves. Une série vide, elle, n'a même pas de moyenne, donc pas d'écart type : la division par l'effectif serait impossible.

Faux. La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même EFFECTIF, et non de même somme. Dans la série $1$ ; $2$ ; $100$, la médiane vaut $2$ : la partie basse a pour somme $1$ et la partie haute $100$, ce qui est très loin d'un partage équitable. C'est d'ailleurs pourquoi la médiane est robuste, elle ne regarde que les rangs.

Faux : l'écart type ne change PAS DU TOUT. Ajouter la même constante à toutes les valeurs décale la moyenne d'autant, donc laisse chaque écart à la moyenne inchangé, comme démontré à l'exercice 6. C'est la moyenne, et elle seule, qui augmente de trois.

Entreprise A : la somme vaut $500$, donc la moyenne vaut $50$ milliers de dollars ; la médiane est la demi-somme des rangs $5$ et $6$, soit $\frac{38+39}{2}=38{,}5$. Entreprise B : la somme vaut $480$, donc la moyenne vaut $48$ ; la médiane est $\frac{47+48}{2}=47{,}5$. L'écart entre moyenne et médiane est de $11{,}5$ chez A contre seulement $0{,}5$ chez B, ce qui signale déjà une anomalie chez A.

L'affirmation est EXACTE au sens littéral : $50$ est bien supérieur à $48$. Elle n'est pas HONNÊTE, car cette moyenne est presque entièrement portée par un unique salaire de $154$, sans doute celui du dirigeant. Neuf employés sur dix de l'entreprise A gagnent moins que la moyenne annoncée, et surtout tous les neuf gagnent moins que le plus BAS salaire de l'entreprise B, qui est de $44$.

La MÉDIANE est l'indicateur pertinent, car elle n'est pas affectée par la valeur extrême. Elle vaut $38{,}5$ chez A contre $47{,}5$ chez B, soit neuf mille dollars d'écart annuel en faveur de B. Un nouvel employé a donc tout intérêt à postuler chez B, alors même que A affiche la meilleure moyenne.

Sans le salaire de $154$, la somme de l'entreprise A vaut $500-154=346$ pour neuf employés, soit une moyenne de $\frac{346}{9}\approx 38{,}44$, et la médiane devient la valeur de rang $5$, soit $38$. La moyenne s'effondre de $50$ à environ $38{,}44$, tandis que la médiane ne bouge qu'à peine, de $38{,}5$ à $38$.

Minimum $21$, maximum $44$. L'effectif $15$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\frac{15+1}{2}=8$, soit $30$ cm.

$\frac{15}{4}=3{,}75$ : on arrondit au rang SUPÉRIEUR, le rang $4$, donc $Q_{1}=26$. $\frac{3\times 15}{4}=11{,}25$ : rang $12$, donc $Q_{3}=35$. Prendre le rang $3$ ou le rang $11$ donnerait des valeurs pour lesquelles moins de $25\ \%$ ou moins de $75\ \%$ des plants sont en dessous.

Étendue : $44-21=23$ cm. Écart interquartile : $Q_{3}-Q_{1}=35-26=9$ cm. Le diagramme en boîte se trace avec ces cinq nombres : moustaches de $21$ à $26$ et de $35$ à $44$, boîte de $26$ à $35$ coupée en $30$.

Au centre, on compare les écarts interquartiles : $9$ pour A, $32-25=7$ pour B. La moitié centrale des plants de B est plus RESSERRÉE : B est plus homogène au centre. En revanche l'étendue de B vaut $50-18=32$, contre $23$ pour A : B a des extrêmes plus éloignés. Les deux indicateurs ne disent pas la même chose, et c'est pour cela qu'on trace la boîte entière.

Par définition de $Q_{3}$, au moins $75\ \%$ des plants de B mesurent au plus $32$ cm. Pour A, moins de $25\ \%$ des valeurs sont STRICTEMENT inférieures à $Q_{1}=26$, puisque $Q_{1}$ est la plus petite valeur qui atteint les $25\ \%$ : au moins $75\ \%$ des plants mesurent donc au moins $26$ cm. Le décompte donne la proportion effective : $12$ plants sur $15$, soit $80\ \%$.