Exercices corrigés : les statistiques descriptives (Seconde)

a) La somme des onze notes vaut $4+7+8+10+10+11+12+12+14+16+18=122$. La moyenne vaut donc $\frac{122}{11}\approx 11{,}09$.

b) L'effectif $n=11$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{11+1}{2}=6$. En comptant dans la liste ordonnée, la sixième note est $11$. La médiane vaut donc 11 : autant d'élèves ont au moins 11 que d'élèves ont au plus 11.

c) L'étendue vaut $18-4=14$ points. Elle ne dépend que des deux notes extrêmes et ignore complètement les neuf autres.

d) La nouvelle somme vaut $122+20=142$ pour douze élèves, soit une moyenne de $\frac{142}{12}\approx 11{,}83$. L'effectif est maintenant pair, la médiane est la demi-somme des notes de rangs 6 et 7, soit $\frac{11+12}{2}=11{,}5$. La moyenne a augmenté d'environ $0{,}74$ point, la médiane de seulement $0{,}5$ point. Une valeur élevée tire la moyenne davantage que la médiane : c'est la propriété de robustesse de la médiane.

a) L'effectif total vaut $4+7+9+6+4=30$. La somme pondérée des notes vaut $8\times 4+10\times 7+12\times 9+14\times 6+16\times 4=32+70+108+84+64=358$. La moyenne vaut donc $\frac{358}{30}\approx 11{,}93$. L'erreur classique consiste à diviser par 5, le nombre de notes différentes : on obtiendrait $71{,}6$, valeur impossible pour une note sur 20. C'est bien l'effectif total qui sert de diviseur.

b) L'effectif est pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs 15 et 16. Les effectifs cumulés valent 4, puis 11, puis 20 : les rangs 12 à 20 correspondent tous à la note 12. Les rangs 15 et 16 valent donc 12 tous les deux, et la médiane est 12.

c) Le mode est la valeur d'effectif maximal, ici la note 12 avec 9 élèves.

d) Les élèves ayant au moins 12 sont ceux des notes 12, 14 et 16, soit $9+6+4=19$ élèves. La proportion vaut $\frac{19}{30}\approx 0{,}633$, soit environ $63{,}3$ %.

a) L'effectif $n=12$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs 6 et 7, soit $\frac{22+25}{2}=23{,}5$ minutes.

b) Pour $Q_{1}$, on calcule $\frac{12}{4}=3$ : c'est un entier, on prend la valeur de rang 3, soit $Q_{1}=18$ minutes. Pour $Q_{3}$, on calcule $\frac{3\times 12}{4}=9$ : on prend la valeur de rang 9, soit $Q_{3}=30$ minutes.

c) L'écart interquartile vaut $30-18=12$ minutes. Il signifie que la moitié centrale des employés, ceux qui ne sont ni parmi les 25 % les plus rapides ni parmi les 25 % les plus lents, ont des trajets répartis sur une plage de 12 minutes seulement.

d) La somme des douze durées vaut 314 minutes, donc la moyenne vaut $\frac{314}{12}\approx 26{,}17$ minutes, contre une médiane de 23,5 minutes. La moyenne dépasse la médiane de près de 3 minutes à cause de la valeur 55, très supérieure aux autres : elle tire la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane. Pour annoncer à un nouvel employé le trajet auquel il doit s'attendre, la médiane est le meilleur indicateur.

a) Machine A : la somme vaut $49{,}8+50{,}0+50{,}1+49{,}9+50{,}2=250{,}0$, donc la moyenne vaut $50{,}0$ mm. Machine B : la somme vaut $49{,}4+50{,}5+49{,}7+50{,}6+49{,}8=250{,}0$, donc la moyenne vaut aussi $50{,}0$ mm. Les deux machines ont exactement la même moyenne : la moyenne seule ne permet pas de les départager.

b) Machine A, les écarts à la moyenne sont $-0{,}2$ ; $0$ ; $0{,}1$ ; $-0{,}1$ ; $0{,}2$, dont la somme des carrés vaut $0{,}04+0+0{,}01+0{,}01+0{,}04=0{,}10$. La variance vaut $\frac{0{,}10}{5}=0{,}02$ et l'écart-type $\sqrt{0{,}02}\approx 0{,}141$ mm. Machine B, les écarts sont $-0{,}6$ ; $0{,}5$ ; $-0{,}3$ ; $0{,}6$ ; $-0{,}2$, dont la somme des carrés vaut $0{,}36+0{,}25+0{,}09+0{,}36+0{,}04=1{,}10$. La variance vaut $\frac{1{,}10}{5}=0{,}22$ et l'écart-type $\sqrt{0{,}22}\approx 0{,}469$ mm.

c) La machine A est nettement plus fiable : son écart-type est plus de trois fois plus petit, donc ses pièces s'écartent bien moins du diamètre visé. La fiabilité d'un procédé se juge sur la dispersion, pas sur la moyenne.

d) Pour la machine A, tous les diamètres sont entre $49{,}8$ et $50{,}2$, donc dans l'intervalle demandé : aucune pièce hors tolérance. Pour la machine B, $49{,}4$ est en dessous de $49{,}5$ et $50{,}6$ est au-dessus de $50{,}5$ : deux pièces sur cinq sont hors tolérance, soit 40 % de la production.

a) Les centres sont $2{,}5$ ; $7{,}5$ ; $12{,}5$ et $17{,}5$ minutes. La somme pondérée vaut $2{,}5\times 12+7{,}5\times 25+12{,}5\times 18+17{,}5\times 5=30+187{,}5+225+87{,}5=530$. La moyenne vaut donc $\frac{530}{60}\approx 8{,}83$ minutes.

b) L'effectif total est 60, la médiane se situe entre les rangs 30 et 31. Les effectifs cumulés valent 12, puis 37 : les rangs 13 à 37 appartiennent à la classe $[5\ ;\ 10[$. La classe médiane est donc $[5\ ;\ 10[$.

c) Parce qu'on ne dispose pas des valeurs individuelles. On fait comme si les 12 patients de la première classe avaient tous attendu exactement $2{,}5$ minutes, ce qui est faux en général. Le regroupement en classes a détruit l'information exacte ; la moyenne calculée serait la vraie moyenne seulement si, dans chaque classe, les valeurs se répartissaient symétriquement autour du centre.

d) Les patients ayant attendu moins de 10 minutes sont ceux des deux premières classes, soit $12+25=37$ patients. La proportion vaut $\frac{37}{60}\approx 0{,}617$, soit environ $61{,}7$ %.

a) Ajouter 1 point revient à la transformation $y=x+1$. La moyenne devient $11+1=12$. L'écart-type reste $2{,}5$ : toutes les notes se décalent de la même quantité, donc les écarts entre elles sont inchangés.

b) Ici $y=1{,}2x$. La moyenne devient $1{,}2\times 11=13{,}2$ et l'écart-type devient $1{,}2\times 2{,}5=3$. Multiplier étire la série, donc augmente la dispersion.

c) Avec $y=1{,}5x-4$, la moyenne devient $1{,}5\times 11-4=16{,}5-4=12{,}5$. L'écart-type devient $|1{,}5|\times 2{,}5=3{,}75$ : la constante $-4$ n'intervient pas dans l'écart-type, seul le coefficient multiplicateur compte.

d) Soit $y_{i}=x_{i}+b$. La nouvelle moyenne vaut $\bar{y}=\bar{x}+b$. Chaque écart à la moyenne devient $y_{i}-\bar{y}=\left(x_{i}+b\right)-\left(\bar{x}+b\right)=x_{i}-\bar{x}$ : il est rigoureusement inchangé. La somme des carrés des écarts, donc la variance et l'écart-type, sont donc identiques. C'est pour cette raison qu'un « bonus » uniforme ne réduit jamais l'hétérogénéité d'une classe.

a) Groupe A : la somme vaut 50, donc la moyenne vaut 10. Groupe B : la somme vaut $2+6+10+14+18=50$, donc la moyenne vaut aussi 10.

b) Les deux groupes ont cinq élèves, la médiane est la valeur de rang 3. Elle vaut 10 dans les deux cas. Moyenne et médiane sont donc identiques : deux indicateurs de position sur deux ne voient aucune différence.

c) Groupe A : toutes les notes valent la moyenne, tous les écarts sont nuls, donc la variance et l'écart-type valent 0. Groupe B : les écarts sont $-8$ ; $-4$ ; $0$ ; $4$ ; $8$, dont la somme des carrés vaut $64+16+0+16+64=160$. La variance vaut $\frac{160}{5}=32$ et l'écart-type $\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$.

d) Seul l'écart-type, indicateur de dispersion, distingue les deux groupes. Le groupe A est parfaitement homogène ; le groupe B contient à la fois un élève à 2 et un élève à 18, écart de 16 points sur 20. C'est le groupe B qui demande le plus de différenciation : le même cours ne peut pas convenir aux deux extrémités. Une moyenne annoncée sans indicateur de dispersion ne dit presque rien d'une classe.

a) Parce que ce calcul donne le même poids aux deux groupes, alors qu'ils n'ont pas le même effectif. La moyenne d'une réunion de groupes est une moyenne pondérée par les effectifs, pas une moyenne des moyennes.

b) La somme des notes du groupe 1 vaut $10\times 12=120$ et celle du groupe 2 vaut $20\times 15=300$. La somme totale vaut 420 pour 30 élèves, donc la moyenne vaut $\frac{420}{30}=14$.

c) Le groupe 2 compte deux fois plus d'élèves que le groupe 1 : sa moyenne pèse deux fois plus dans le résultat. La valeur exacte devait donc se situer au tiers du chemin depuis 15 vers 12, et non à mi-chemin. On retrouve bien $15-\frac{1}{3}\times 3=14$.

d) On cherche $n$ tel que $\frac{12n+300}{n+20}=13{,}5$. En multipliant en croix : $12n+300=13{,}5n+270$, soit $30=1{,}5n$ et $n=20$. La moyenne des moyennes n'est correcte que lorsque les groupes ont le même effectif, ce que ce calcul confirme.

a) Faux. La moyenne est le résultat d'un calcul et n'a aucune raison de figurer dans la série. Dans l'exercice 1, la moyenne vaut environ $11{,}09$, valeur qu'aucun élève n'a obtenue. Un contre-exemple encore plus net : la moyenne de 0 et 1 vaut $0{,}5$.

b) Faux. Un écart-type nul signifie que tous les écarts à la moyenne sont nuls, c'est-à-dire que toutes les valeurs sont égales. C'est le cas du groupe A de l'exercice 7, qui compte pourtant cinq élèves. Une série vide n'a d'ailleurs pas de moyenne, donc pas d'écart-type.

c) Faux. La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif, pas de même somme. Dans la série $1$ ; $2$ ; $100$, la médiane vaut 2 : la partie basse a pour somme 1 et la partie haute 100.

d) Faux : l'écart-type ne change pas du tout. Ajouter la même constante à toutes les valeurs décale la moyenne d'autant, donc laisse chaque écart à la moyenne inchangé, comme démontré à l'exercice 6. C'est la moyenne, et elle seule, qui augmente de 3.

a) Entreprise A : la somme vaut 500, donc la moyenne vaut 50 milliers de dollars ; la médiane est la demi-somme des rangs 5 et 6, soit $\frac{38+39}{2}=38{,}5$. Entreprise B : la somme vaut 480, donc la moyenne vaut 48 ; la médiane est $\frac{47+48}{2}=47{,}5$.

b) L'affirmation est exacte au sens littéral : 50 est bien supérieur à 48. Elle n'est pas honnête, car cette moyenne est presque entièrement portée par un unique salaire de 154, sans doute celui du dirigeant. Neuf employés sur dix de l'entreprise A gagnent moins que la moyenne annoncée, et même moins que le plus bas salaire de l'entreprise B.

c) La médiane est l'indicateur pertinent, car elle n'est pas affectée par la valeur extrême. Elle vaut $38{,}5$ chez A contre $47{,}5$ chez B, soit 9 000 dollars d'écart annuel en faveur de B. Un nouvel employé a donc tout intérêt à postuler chez B, alors même que A affiche la meilleure moyenne.

d) Sans le salaire de 154, la somme de l'entreprise A vaut $500-154=346$ pour neuf employés, soit une moyenne de $\frac{346}{9}\approx 38{,}44$, et la médiane devient la valeur de rang 5, soit 38. La moyenne s'effondre de $50$ à environ $38{,}44$ tandis que la médiane bouge à peine, de $38{,}5$ à $38$. Une seule donnée sur dix déplaçait donc la moyenne de plus de 11 000 dollars : c'est exactement ce que mesure la sensibilité de la moyenne aux valeurs extrêmes.