Troisième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre la moyenne, la médiane, les quartiles et l'étendue en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : ordonner la série avant tout, et choisir l'indicateur que la question réclame.
Le fil du chapitre
La moyenne et la médiane ne répondent pas à la même question, et une SEULE valeur extrême suffit à les séparer. Le reste des points perdus vient d'une série qu'on n'a pas ORDONNÉE, ou d'une moyenne calculée sans tenir compte des effectifs.
Écrire la ligne du calcul en entier, , avant de donner le résultat : c'est cette ligne qui rapporte le point de méthode, même si la division se trompe.
Le RANG n'est pas la VALEUR : dire « la médiane est » alors que est le numéro de la case est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les valeurs sont , , et , donc la moyenne vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« : chaque valeur pèse autant de fois que son effectif. »
Pourquoi : Le tableau ne liste pas quatre observations mais vingt : diviser par revient à traiter chaque colonne comme un seul individu.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La série est , , , , , donc la médiane est , la valeur du milieu. »
Ce qu'il faut écrire
« J'ordonne d'abord : , , , , . La médiane est la valeur de rang , donc . »
Pourquoi : La médiane partage la série ORDONNÉE en deux moitiés de même effectif. Sur une liste en désordre, la valeur centrale ne partage rien du tout.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Il y a valeurs, donc la médiane vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« La médiane est la demi-somme des valeurs de rangs et , soit dollars. »
Pourquoi : est une position dans la liste, pas une valeur observée. Le contrôle est immédiat : la médiane doit être comprise entre le minimum et le maximum de la série.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La moyenne des salaires vaut dollars, donc un employé gagne environ dollars. »
Ce qu'il faut écrire
« Sept employés sur huit gagnent moins que la moyenne : c'est la MÉDIANE, dollars, qui décrit le salaire habituel. »
Pourquoi : La moyenne additionne toutes les valeurs, donc un seul salaire très élevé la tire vers le haut. La médiane, elle, ne regarde que le rang central et ignore l'amplitude des extrêmes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le groupe A a une moyenne de sur élèves et le groupe B de sur élèves, donc la moyenne globale vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« : on repasse par les totaux, car les deux groupes n'ont pas le même effectif. »
Pourquoi : Une moyenne est une somme divisée par un effectif : pour réunir deux groupes, on additionne les SOMMES et les EFFECTIFS, jamais les moyennes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'étendue vaut dollars, donc les salaires tournent autour de dollars. »
Ce qu'il faut écrire
« L'étendue vaut dollars : elle mesure la DISPERSION, l'écart entre les extrêmes, et ne dit rien sur le niveau des salaires. »
Pourquoi : L'étendue est une différence, pas une valeur de la série. Elle répond à « les valeurs sont-elles resserrées », jamais à « combien gagne-t-on ».
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le tableau donne les valeurs , , , , donc la médiane est entre et , soit . »
Ce qu'il faut écrire
« L'effectif total est , donc la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs et : en cumulant les effectifs, ces deux rangs tombent tous deux sur la valeur , donc la médiane vaut . »
Pourquoi : Le tableau résume vingt observations en quatre colonnes. La médiane porte sur les vingt observations, ce que les effectifs cumulés croissants permettent de retrouver sans tout réécrire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc et vaut la demi-somme des valeurs de rangs et . »
Ce qu'il faut écrire
« est un entier, donc est la valeur de rang , soit dollars. Un quartile est toujours une valeur de la série. »
Pourquoi : La demi-somme est la règle de la MÉDIANE quand l'effectif est pair, pas celle des quartiles. Un quartile, au collège, se lit toujours dans la liste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La médiane vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« La médiane vaut dollars : au moins la moitié des employés gagnent dollars ou moins, et au moins la moitié gagnent dollars ou plus. »
Pourquoi : Le brevet demande presque toujours « interpréter ce résultat dans le contexte » : une valeur nue ne prouve pas qu'on a compris ce qu'elle mesure.
Lire ce que la question veut savoir, pas le mot statistique qu'elle emploie.
Si « total », « en tout », « répartir équitablement » → la MOYENNE, car elle conserve la somme
Exemple : la masse salariale totale divisée par le nombre d'employés
Si « la moitié des », « valeur habituelle », « la plupart » → la MÉDIANE, qui partage l'effectif en deux
Exemple : dollars sépare les quatre plus bas des quatre plus hauts
Si « le quart le plus faible », « les pour cent » → les QUARTILES
Exemple : dollars
Si « l'écart entre les extrêmes », « l'amplitude » → l'ÉTENDUE
Exemple : dollars
Si « les valeurs sont-elles resserrées », « comparer deux séries » → la DISPERSION : étendue et écart interquartile, comparés à moyenne égale
Exemple : deux séries de moyenne , l'une d'étendue , l'autre d'étendue
Quand l'énoncé donne une valeur extrême isolée, il attend presque toujours qu'on compare moyenne et médiane : c'est la question d'interprétation classique du brevet.
Compter l'effectif TOTAL , puis regarder sa parité et les quotients.
Si est impair → la médiane est la valeur de rang
Exemple : donne le rang
Si est pair → la médiane est la DEMI-SOMME des valeurs de rangs et
Exemple : donne
Si est un entier → est la valeur de ce rang
Exemple : donne le rang , donc
Si n'est pas entier → est la valeur du rang immédiatement SUPÉRIEUR
Exemple : donne , donc le rang
Si la série est donnée par un tableau d'effectifs → calculer les EFFECTIFS CUMULÉS CROISSANTS et y lire le rang cherché
Exemple : cumuls , , , : le rang tombe sur la valeur
suit exactement les mêmes règles avec à la place de .
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau valeurs-effectifs et demande la moyenne.
Phrase de conclusion
« En moyenne, chaque élève de la classe a frère ou soeur. »
Le piège : Diviser par le nombre de colonnes du tableau au lieu de l'effectif total : le résultat reste plausible, ce qui rend l'erreur difficile à repérer sans le contrôle d'encadrement.
Barème : 0,5 point pour l'effectif total, 1 point pour la somme pondérée, 1 point pour la division et la phrase.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une série et demande médiane, quartiles, ou une comparaison avec la moyenne.
Phrase de conclusion
« La médiane vaut dollars : au moins la moitié des employés gagnent dollars ou moins, et au moins la moitié en gagnent autant ou plus. »
Le piège : Donner le rang au lieu de la valeur. Le contrôle tient en une seconde : la réponse doit porter l'unité de la série, ici des dollars.
Barème : 0,5 point pour la série ordonnée, 1 point par indicateur correctement déterminé, 1 point pour l'interprétation.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'encadrement par le minimum et le maximum
Moyenne, médiane et quartiles sont tous compris entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Une valeur hors de cet intervalle est fausse à coup sûr.
Une moyenne de sur une série qui va de à signale une division par le nombre de colonnes et non par l'effectif total.
L'ordre , médiane,
Les trois indicateurs sont toujours rangés dans cet ordre : médiane . Une inversion signale un rang mal calculé.
Trouver et signale que les deux quartiles ont été échangés.
Le comptage de part et d'autre de la médiane
Compter combien de valeurs sont inférieures ou égales à la médiane annoncée : il doit y en avoir au moins la moitié, et autant de l'autre côté.
Sur huit salaires, quatre doivent être sous et quatre au-dessus. Trouver sept d'un côté signale une médiane fausse.
Le contrôle par la somme totale
Multiplier la moyenne trouvée par l'effectif total : on doit retomber exactement sur la somme des valeurs.
, qui est bien la somme pondérée calculée. Un écart signale une erreur de division.
Une entreprise compte huit personnes. Les salaires mensuels, en dollars, sont : , , , , , , , .
1. Calculer le salaire moyen, puis déterminer la médiane, et .
2. Quel indicateur décrit le mieux le salaire d'un employé ? Justifier.
3. Le dirigeant, qui gagne dollars, quitte l'entreprise. Recalculer la moyenne et la médiane des sept salaires restants.
Étape 1
Série ordonnée : , , , , , , , . Effectif total : .
Pourquoi
On ordonne AVANT tout, même pour calculer la moyenne : la liste ordonnée servira ensuite pour la médiane et les quartiles, et la réécrire une seule fois évite trois erreurs de recopie.
Étape 2
Moyenne : dollars.
Pourquoi
On additionne les huit valeurs, sans regrouper. Contrôle : , ce qui confirme la division d'un seul coup.
Étape 3
Médiane : est pair, donc c'est la demi-somme des valeurs de rangs et : dollars.
Pourquoi
On annonce le calcul du rang avant de lire la valeur. Écrire « rang » n'a aucun sens : il n'existe pas de quatrième virgule cinquième salaire.
Étape 4
Quartiles : , donc est la valeur de rang , soit dollars. , donc est la valeur de rang , soit dollars.
Pourquoi
Les deux quotients tombent sur des entiers, donc les quartiles se lisent directement. L'écart interquartile vaut dollars, ce qui montre que la moitié centrale des salaires est très resserrée.
Étape 5
Interprétation : sept employés sur huit gagnent moins que la moyenne. C'est donc la MÉDIANE, dollars, qui décrit le salaire d'un employé.
Pourquoi
La moyenne est tirée vers le haut par le seul salaire de dollars. La médiane, elle, ne dépend que du rang central : c'est ce qui la rend robuste, et c'est exactement ce que la question demande d'expliquer.
Étape 6
Sans le dirigeant : moyenne dollars, médiane égale à la valeur de rang , soit dollars.
Pourquoi
La moyenne perd près de dollars, la médiane seulement : la comparaison chiffrée est la meilleure justification possible de la question 2, et elle vaut le point d'interprétation.
Conclusion rédigée
« Le salaire moyen vaut dollars, la médiane dollars, avec et dollars. La médiane décrit mieux le salaire d'un employé, car sept salariés sur huit gagnent moins que la moyenne. Sans le dirigeant, la moyenne tombe à environ dollars alors que la médiane ne descend qu'à dollars. »
L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer une médiane de en donnant le rang au lieu de la valeur, ou une médiane de en prenant la dernière valeur de la liste non ordonnée. Le contrôle d'encadrement, entre et , ne suffit pas ici : c'est le comptage de quatre valeurs de chaque côté qui tranche.
La moyenne additionne toutes les valeurs et les répartit équitablement, donc une valeur très grande la tire vers le haut. La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : elle ignore l'amplitude des extrêmes et décrit mieux une situation habituelle.
On range d'abord la série dans l'ordre croissant. On prend ensuite les deux valeurs situées au milieu, celles de rang n sur deux et n sur deux plus un, et on calcule leur demi-somme. La médiane obtenue peut donc ne pas être une valeur de la série, ce qui est parfaitement normal.
On calcule le quart de l'effectif total. Si le résultat est un nombre entier, le premier quartile est la valeur de ce rang dans la série ordonnée. Sinon, on prend la valeur du rang immédiatement supérieur. Un quartile est toujours une valeur observée, jamais une demi-somme.
Parce que les deux groupes n'ont en général pas le même effectif, et qu'une moyenne ne retient pas cette information. Il faut repasser par les totaux : on additionne les sommes des deux groupes, on additionne les effectifs, puis on divise l'une par l'autre.
Elle mesure la dispersion totale, c'est-à-dire l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle ne dit rien du niveau des valeurs ni de leur répartition, et une seule donnée extrême suffit à la faire exploser. L'écart interquartile, lui, ignore les quarts extrêmes et résiste mieux.
