Troisième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre les probabilités et les arbres à deux épreuves en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : dessiner l'arbre, puis multiplier le long des chemins et additionner entre eux.
Le fil du chapitre
Une probabilité se compte sur les ISSUES, jamais sur les objets. Et dans un arbre, on MULTIPLIE le long d'un chemin et on ADDITIONNE entre les chemins : inverser les deux opérations est l'erreur qui coûte le plus cher dans ce chapitre.
Écrire le dénominateur en premier, « il y a issues en tout », force à vérifier l'équiprobabilité avant de compter les cas favorables.
Un arbre se dessine TOUJOURS, même quand l'énoncé ne le demande pas : il vaut souvent un point de méthode et il supprime l'essentiel des erreurs de comptage.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Deux rouges : . »
Ce qu'il faut écrire
« Deux rouges : . »
Pourquoi : Un chemin décrit deux conditions qui doivent être réalisées ENSEMBLE : on multiplie. Le contrôle est immédiat, une probabilité ne dépasse jamais .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Une rouge et une verte, dans n'importe quel ordre : . »
Ce qu'il faut écrire
« Deux chemins réalisent cet événement, donc on ADDITIONNE : . »
Pourquoi : Deux chemins sont deux façons ALTERNATIVES de réaliser l'événement : l'une OU l'autre, donc on additionne. Multiplier reviendrait à exiger les deux à la fois, ce qui est impossible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Sans remise, deux rouges : . »
Ce qu'il faut écrire
« Sans remise, il reste boules dont rouges, donc . »
Pourquoi : Retirer une boule change la composition de l'urne. Le dénominateur passe de à , et le numérateur de la couleur tirée diminue lui aussi d'une unité.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La somme de deux dés donne un nombre entre et , soit issues, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Les issues du couple de dés sont équiprobables, et d'entre elles donnent : . »
Pourquoi : Les sommes ne sont pas équiprobables : il n'y a qu'une façon d'obtenir et six façons d'obtenir . La formule ne s'applique qu'aux issues élémentaires, ici les couples de faces.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Au moins une verte : je calcule VR, RV et VV, puis j'additionne les trois. »
Ce qu'il faut écrire
« Le contraire de « au moins une verte » est « aucune verte », c'est-à-dire deux rouges : . »
Pourquoi : « Au moins un » recouvre presque tous les chemins : le contraire n'en recouvre qu'un seul. Un seul calcul remplace trois, et l'oubli devient impossible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« J'ai lancé le dé fois et j'ai obtenu fois le , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« La fréquence observée vaut , mais pour un dé équilibré . La fréquence s'approche de la probabilité quand le nombre de lancers augmente. »
Pourquoi : La probabilité est une valeur théorique, la fréquence un résultat d'expérience. Elles se rapprochent avec un grand nombre d'essais, mais elles ne sont jamais confondues.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« Une probabilité est toujours comprise entre et : un résultat supérieur à signale une addition faite là où il fallait multiplier. »
Pourquoi : Le nombre de cas favorables ne peut pas dépasser le nombre total de cas. Ce contrôle prend une seconde et attrape la moitié des erreurs du chapitre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La roue a secteurs colorés, donc chaque couleur a une probabilité de . »
Ce qu'il faut écrire
« Les secteurs n'ont pas la même taille : le rouge occupe la moitié de la roue, donc , et les trois autres se partagent le reste. »
Pourquoi : L'équiprobabilité porte sur des issues de MÊME poids. Sur une roue, c'est l'angle ou l'aire qui décide, pas le nombre de couleurs.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Depuis le noeud rouge, je mets pour rouge et pour verte. »
Ce qu'il faut écrire
« Depuis le noeud rouge, il reste rouges et vertes sur boules : et , dont la somme vaut bien . »
Pourquoi : Depuis un noeud, une seule des branches se réalise, et l'une d'elles se réalise forcément : leurs probabilités se partagent donc exactement l'unité.
Repérer combien de chemins de l'arbre réalisent l'événement demandé.
Si un SEUL chemin (« rouge puis verte », dans cet ordre) → MULTIPLIER les probabilités du chemin
Exemple :
Si PLUSIEURS chemins (« une de chaque couleur », sans ordre imposé) → calculer chaque chemin, puis ADDITIONNER
Exemple :
Si « au moins un », « au moins une fois » → passer par l'événement CONTRAIRE :
Exemple :
le contraire de « au moins un » est « aucun », jamais « tous »
Si « les deux de la même couleur » → additionner les deux chemins homogènes
Exemple :
Si l'énoncé donne des effectifs observés et non un modèle → il s'agit d'une FRÉQUENCE, pas d'une probabilité
Exemple : succès sur essais donnent une fréquence de
Si aucun arbre n'apparaît évident, revenir au comptage des issues élémentaires : un tableau à double entrée fait le travail pour deux dés ou deux tirages.
Chercher dans l'énoncé les mots « remet », « replace », « simultanément », « en même temps ».
Si « on remet la boule dans l'urne » ou « on relance le dé » → AVEC remise : les probabilités du second niveau sont identiques à celles du premier
Exemple : puis encore
Si « on ne remet pas la boule », « on tire successivement sans remise » → SANS remise : un de moins au total, et un de moins dans la couleur déjà tirée
Exemple : puis
Si « on tire deux boules SIMULTANÉMENT » → traiter comme un tirage sans remise
Exemple : les deux boules sont forcément différentes objets
seul l'ordre disparaît, la composition change comme sans remise
Si l'énoncé ne précise rien mais l'objet ne peut pas être repris (une carte gardée en main) → SANS remise
Exemple : distribuer deux cartes d'un jeu
Dans les deux cas, la somme des branches partant d'un même noeud vaut : c'est le contrôle qui attrape un dénominateur oublié.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une expérience à deux épreuves et demande la probabilité d'un événement.
Phrase de conclusion
« La probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur vaut , soit . »
Le piège : Écrire les probabilités sur les noeuds au lieu des branches : on ne sait plus alors ce qu'on multiplie, et le correcteur ne peut pas suivre.
Barème : 1 point pour l'arbre correctement pondéré, 1 point pour l'identification des chemins, 1 point pour le calcul et la conclusion.
Quand l'utiliser : L'énoncé contient « au moins un », « au moins une fois », « pas tous ».
Phrase de conclusion
« La probabilité d'obtenir au moins une boule verte vaut , soit . »
Le piège : Écrire que le contraire de « au moins une verte » est « au moins une rouge » : le vrai contraire est « aucune verte », donc « les deux rouges ».
Barème : 1 point pour le contraire correctement identifié, 1 point pour son calcul, 0,5 point pour la soustraction et la conclusion.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La somme de tous les chemins vaut
Additionner les probabilités des quatre chemins de l'arbre : le total doit valoir exactement . C'est le contrôle le plus complet du chapitre.
. Un total de signale un chemin mal calculé.
Chaque noeud fait
Vérifier, noeud par noeud, que les probabilités des branches qui en partent totalisent avant même de multiplier.
au noeud rouge. Trouver signale un dénominateur ou un numérateur oublié.
L'encadrement entre et
Relire chaque probabilité annoncée : aucune ne peut être négative ni dépasser , et une probabilité proche de doit correspondre à un événement presque certain.
Trouver pour deux rouges signale une addition faite le long d'un chemin.
Le contrôle par le complément
Calculer l'événement et son contraire séparément : la somme des deux doit valoir .
pour deux rouges et pour au moins une verte : le total fait , les deux calculs se confirment mutuellement.
Une urne contient boules indiscernables au toucher : rouges et vertes. On tire une boule, on la garde, puis on en tire une seconde.
1. Construire l'arbre pondéré de cette expérience.
2. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule verte.
Étape 1
Premier tirage : et . Leur somme vaut .
Pourquoi
On vérifie la somme dès le premier noeud : une erreur de composition d'urne se voit immédiatement, avant d'avoir construit tout l'arbre.
Étape 2
Second tirage après une rouge : il reste rouges et vertes sur , donc et . Après une verte : rouges et verte sur , donc et .
Pourquoi
Sans remise, DEUX nombres changent : le total passe de à , et la couleur déjà tirée perd une unité. Oublier le second est l'erreur la plus fréquente.
Étape 3
Chemins : , , , .
Pourquoi
On multiplie le long de chaque chemin, et on garde les fractions sur sans simplifier tout de suite : le contrôle par la somme est alors immédiat.
Étape 4
Contrôle : .
Pourquoi
Ce contrôle coûte cinq secondes et valide tout l'arbre d'un coup. S'il échoue, l'erreur est dans un des quatre produits, et il faut la trouver avant de répondre.
Étape 5
Même couleur : les chemins et , donc .
Pourquoi
Deux chemins réalisent l'événement, donc on ADDITIONNE. La simplification finale et l'écriture décimale sont attendues par le barème.
Étape 6
Au moins une verte : le contraire est « aucune verte », c'est-à-dire . Donc .
Pourquoi
Un seul calcul remplace trois additions de chemins. Le contrôle est gratuit : et totalisent bien .
Conclusion rédigée
« La probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur vaut , soit , et celle d'obtenir au moins une boule verte vaut , soit . »
L'erreur classique sur cet exercice : Garder et au second niveau, comme s'il y avait remise : la somme des quatre chemins vaudrait encore , donc le contrôle global ne suffit pas ici. C'est la relecture du mot « on la garde » qui tranche.
On multiplie le long d'un chemin de l'arbre, parce que les deux étapes doivent se produire ensemble. On additionne entre plusieurs chemins, parce qu'ils sont des façons différentes d'obtenir le même résultat. Multiplier deux chemins donnerait un nombre beaucoup trop petit.
Deux nombres changent au second tirage. Le total diminue d'une unité, puisqu'une boule est sortie de l'urne, et l'effectif de la couleur déjà tirée diminue lui aussi d'une unité. Oublier ce second changement est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
On passe par l'événement contraire, qui est aucun succès, et on soustrait sa probabilité à un. Cela remplace plusieurs additions de chemins par un seul calcul, et supprime le risque d'oublier un cas. Attention, le contraire de au moins un n'est pas tous, c'est aucun.
Parce que les issues élémentaires sont les trente-six couples de faces, pas les onze sommes. Il n'existe qu'une seule façon d'obtenir deux, alors qu'il en existe six pour obtenir sept. La formule du quotient ne s'applique qu'aux issues qui ont réellement le même poids.
La fréquence est un résultat observé lors d'une expérience, calculée en divisant le nombre de succès par le nombre d'essais. La probabilité est une valeur théorique, prévue par le modèle. Plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité, sans jamais lui être forcément égale.
