Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Les statistiques donnent trois nombres qui se ressemblent et qui ne disent pas la même chose : la moyenne dit le niveau global, la médiane sépare la classe en deux, l'étendue mesure l'écart entre les extrêmes. Choisir le mauvais coûte toute la question.
Les probabilités arrivent ensuite avec un piège d'un autre genre, celui du bon sens : une pièce n'a pas de mémoire. Cette fiche traite les deux moitiés du chapitre et les huit erreurs qui coûtent des points en contrôle.
Le fil du chapitre
La moyenne, la médiane et l'étendue répondent à trois questions différentes, et la médiane exige un geste que la moyenne n'exige pas : RANGER. Côté probabilités, une fréquence observée n'est pas une probabilité, elle s'en approche seulement quand on répète beaucoup l'expérience.
La somme des fréquences est le contrôle le plus rapide du chapitre : si elle ne fait pas , une catégorie a été oubliée ou l'effectif total est faux.
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et la même médiane sans se ressembler du tout : c'est l'étendue qui les sépare, et c'est pour cela qu'on la demande.
Écrire la somme des produits au numérateur et la somme des effectifs au dénominateur, sur une seule fraction, avant de calculer quoi que ce soit.
La loi des grands nombres parle des fréquences sur des milliers de répétitions, jamais du prochain tirage. Une pièce n'a aucune mémoire.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Série , , , , : la médiane est , la valeur écrite au milieu. »
Ce qu'il faut écrire
« On range d'abord : , , , , . La médiane est la troisième valeur, donc . »
Pourquoi : La médiane est définie par l'ordre, pas par la position dans l'énoncé. Ranger est une étape à part entière, et elle s'écrit sur la copie.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Six valeurs rangées : la médiane est la troisième. »
Ce qu'il faut écrire
« Avec un effectif pair, la médiane est la DEMI-SOMME des deux valeurs centrales, ici la troisième et la quatrième. »
Pourquoi : Avec six valeurs, aucune ne laisse le même nombre de valeurs de chaque côté. La demi-somme est le seul nombre qui le fasse.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Une classe de élèves à de moyenne et une de élèves à : la moyenne d'ensemble est . »
Ce qu'il faut écrire
« : on additionne les TOTAUX et on divise par l'effectif total. »
Pourquoi : La demi-somme donnerait le même poids aux deux classes, alors que l'une compte une fois et demie plus d'élèves. La moyenne d'ensemble est tirée vers le groupe le plus nombreux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Notes de coefficient et de coefficient : la moyenne est . »
Ce qu'il faut écrire
« : un coefficient joue exactement le rôle d'un effectif. »
Pourquoi : Un coefficient signifie que la note compte trois fois, au numérateur comme au dénominateur. Oublier le dénominateur est aussi grave qu'oublier le numérateur.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La série a une étendue plus grande, donc ses valeurs sont plus grandes. »
Ce qu'il faut écrire
« L'étendue mesure la DISPERSION, pas le niveau : deux séries de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes. »
Pourquoi : Étendue et moyenne sont indépendantes l'une de l'autre. Une série resserrée et une série éclatée autour de la même valeur ont la même moyenne et rien d'autre en commun.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La fréquence des garçons est . »
Ce qu'il faut écrire
« est l'EFFECTIF. La fréquence vaut , soit pour cent. »
Pourquoi : Une fréquence est une proportion, donc un nombre compris entre et . Toute fréquence supérieure à est le signe qu'un effectif a été recopié tel quel.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Pile est sorti quatre fois de suite, donc face a plus de chances au prochain lancer. »
Ce qu'il faut écrire
« La probabilité reste : la pièce n'a pas de mémoire. La loi des grands nombres parle des FRÉQUENCES sur des milliers de lancers, pas du prochain. »
Pourquoi : Chaque lancer est indépendant des précédents. Ce qui s'équilibre à long terme, c'est la fréquence sur l'ensemble, et elle s'équilibre par dilution, pas par compensation.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Sur un dé à six faces, . »
Ce qu'il faut écrire
« « Au moins » regroupe , , , et , donc , que l'on peut aussi écrire . »
Pourquoi : Les mots « au moins » et « au plus » désignent un paquet d'issues, jamais une seule. Compter le contraire, ici l'unique face , est presque toujours le chemin le plus court.
On lit le mot de la question : « en moyenne », « la moitié », « écart », « le plus fréquent ».
Si la question dit « en moyenne » ou demande un niveau global → moyenne pondérée : somme des produits divisée par la somme des effectifs
Exemple :
Si la question parle de « la moitié des élèves » ou d'une valeur qui sépare en deux → médiane : ranger, puis prendre la valeur de rang
Exemple : sur valeurs, la médiane est la treizième
les effectifs cumulés donnent le rang cherché sans écrire toute la liste
Si la question parle d'ÉCART, de dispersion ou d'homogénéité → étendue : plus grande valeur moins plus petite
Exemple :
Si la question demande une part, une proportion ou un pourcentage → fréquence : effectif de la catégorie divisé par l'effectif total
Exemple : , soit pour cent
Une moyenne et une médiane différentes ne se contredisent pas : quand quelques valeurs extrêmes tirent la moyenne, la médiane, elle, ne bouge pas.
On compte d'abord toutes les issues possibles, puis on regarde la formulation de l'événement.
Si l'événement désigne une seule issue et toutes sont équiprobables →
Exemple : obtenir un avec un dé :
Si l'événement regroupe plusieurs issues → compter les issues favorables et diviser par le nombre total
Exemple : obtenir un nombre pair :
Si l'énoncé dit « au moins », « au plus » ou « au moins un » → passer par l'événement contraire :
Exemple : au moins sur un dé :
le contraire compte souvent une seule issue, ce qui rend le calcul immédiat
Si l'énoncé donne des résultats d'expériences répétées → c'est une FRÉQUENCE, pas une probabilité : elle s'en approche sans l'égaler
Exemple : piles sur lancers donnent une fréquence de
Toute probabilité trouvée doit être comprise entre et . Un résultat en dehors signale un dénominateur qui n'est pas le nombre total d'issues.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau de valeurs avec leurs effectifs et demande les indicateurs.
Phrase de conclusion
« La moyenne est de , la médiane de et l'étendue de : la moitié de la classe a au plus , mais quelques très bonnes notes tirent la moyenne vers le haut. »
Le piège : Calculer la moyenne des valeurs distinctes en oubliant les effectifs. Chaque valeur doit être comptée autant de fois qu'elle apparaît.
Barème : 0,5 point pour l'effectif total, 1 point pour la moyenne, 1 point pour la médiane justifiée par les effectifs cumulés, 0,5 pour l'étendue.
Quand l'utiliser : L'énoncé décrit un tirage au hasard et demande la probabilité d'un événement.
Phrase de conclusion
« La probabilité de tirer une copie ayant au moins vaut , soit pour cent. »
Le piège : Oublier de dire que la situation est équiprobable. Sans cette phrase, la formule des issues favorables n'est pas justifiée et le point de raisonnement est perdu.
Barème : 0,5 point pour l'équiprobabilité annoncée, 1 point pour le comptage des issues favorables, 0,5 pour la fraction et son interprétation.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La moyenne encadrée par les extrêmes
Comparer la moyenne trouvée à la plus petite et à la plus grande valeur de la série : elle doit être strictement entre les deux.
entre et : plausible. Un serait impossible et signalerait une division par un mauvais effectif.
La somme des fréquences
Additionner toutes les fréquences calculées : le total doit valoir exactement , ou pour cent.
: le tableau est complet. Une somme de signale une catégorie oubliée.
La médiane recomptée des deux côtés
Vérifier qu'il y a autant de valeurs strictement au-dessous qu'au-dessus de la médiane annoncée, effectifs compris.
Sur valeurs, la médiane laisse valeurs de chaque côté. Un décompte de et signale un rang mal calculé.
La probabilité entre zéro et un
Toute probabilité doit tomber dans cet intervalle, et la somme des probabilités de toutes les issues doit valoir .
est acceptable. Un signale que le numérateur et le dénominateur ont été échangés.
Dans une classe, les notes se répartissent ainsi : cinq élèves ont , huit ont , sept ont , trois ont et deux ont .
Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue, puis la fréquence des notes supérieures ou égales à . On tire ensuite une copie au hasard : donner la probabilité qu'elle porte au moins .
Étape 1
Effectif total : élèves.
Pourquoi
Ce nombre sert de dénominateur à la moyenne, à toutes les fréquences et à la probabilité. Le calculer une fois au début évite de le recalculer faux trois fois plus loin.
Étape 2
Moyenne : .
Pourquoi
Chaque note est comptée autant de fois qu'elle apparaît, ce qui est exactement le sens du mot « pondérée ». La fraction s'écrit en entier avant tout calcul, numérateur et dénominateur ensemble.
Étape 3
Médiane : l'effectif est impair, donc le rang cherché est . Effectifs cumulés : puis , donc la treizième valeur est un .
Pourquoi
Les effectifs cumulés évitent d'écrire les vingt-cinq notes à la main. On s'arrête dès que le cumul atteint ou dépasse le rang cherché, et la valeur correspondante est la médiane.
Étape 4
Étendue : .
Pourquoi
L'étendue ne demande que les deux extrêmes, jamais les effectifs. Elle mesure l'écart entre la meilleure et la moins bonne note, et rien d'autre.
Étape 5
Notes supérieures ou égales à : élèves, donc une fréquence de , soit pour cent.
Pourquoi
On regroupe les trois catégories concernées avant de diviser. Diviser catégorie par catégorie puis additionner donnerait le même résultat, mais avec trois occasions d'arrondir de travers.
Étape 6
Probabilité : les copies sont équiprobables, donc .
Pourquoi
La phrase d'équiprobabilité justifie l'emploi de la formule des issues favorables. Ici la probabilité coïncide avec la fréquence, parce que le tirage porte sur la classe entière.
Étape 7
Contrôle : est bien entre et , la médiane laisse douze notes de chaque côté, et est bien entre et .
Pourquoi
Les trois contrôles se font sans refaire un seul calcul. Le fait que la médiane soit inférieure à la moyenne s'explique aussi : les deux notes de tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane.
Conclusion rédigée
« La moyenne de la classe est de , la médiane de et l'étendue de . La probabilité de tirer une copie ayant au moins vaut , soit pour cent. »
L'erreur classique sur cet exercice : Calculer la moyenne comme , en oubliant les effectifs. Chaque note doit peser autant de fois qu'il y a d'élèves qui l'ont obtenue.
Oui, toujours, et c'est la première étape. La médiane est définie par l'ordre : c'est la valeur qui partage la série rangée en deux moitiés de même effectif. La prendre au milieu d'une liste non rangée donne un nombre qui ne veut rien dire.
La moyenne mesure le niveau global et tient compte de toutes les valeurs, donc quelques valeurs extrêmes la déplacent. La médiane sépare la série en deux moitiés de même effectif et ne bouge presque pas quand une valeur extrême change. Les deux peuvent donc être très différentes.
On additionne les totaux de points de chaque classe, puis on divise par l'effectif total. Trente élèves à douze et vingt élèves à quinze donnent trois cent soixante plus trois cents, soit six cent soixante points pour cinquante élèves, donc treize virgule deux. La demi-somme des moyennes serait fausse.
Non. Chaque lancer est indépendant des précédents et la probabilité reste un demi. La loi des grands nombres décrit la fréquence observée sur des milliers de lancers, qui se rapproche de un demi par dilution, et ne dit rien du prochain lancer.
On passe par l'événement contraire. Sur un dé à six faces, obtenir au moins deux exclut seulement la face un : la probabilité vaut donc un moins un sixième, soit cinq sixièmes. Compter le contraire est presque toujours plus rapide que compter toutes les issues favorables.
