Exercices corrigés : durées, tableaux et graphiques (Sixième)

1) Sur la première horloge, la grande aiguille est sur la cinquième graduation après le $3$, soit $25$ minutes, et la petite aiguille a dépassé le $9$ : il est $9$ h $25$. Sur la seconde, la grande aiguille est sur la deuxième graduation après le $12$, soit $10$ minutes, et la petite est presque sur le $11$ : il est $11$ h $10$. C'est la position de la PETITE aiguille qui donne l'heure, et le fait qu'elle soit entre deux nombres est normal.

2) La randonnée a duré $1$ h $45$ min. Le détail du calcul fait l'objet de la question suivante : on ne pose jamais une soustraction directe entre deux horaires.

3) On avance par étapes en s'arrêtant sur l'heure ronde. De $9$ h $25$ à $10$ h $00$, il s'écoule $35$ minutes, car $60-25=35$. De $10$ h $00$ à $11$ h $10$, il s'écoule $1$ h $10$ min. On additionne : $35$ min $+1$ h $10$ min $=1$ h $45$ min. Cette méthode fonctionne toujours, y compris quand les minutes d'arrivée sont plus petites que celles du départ, ce qui est justement le cas ici.

4) $1$ h $45$ min $=60+45=105$ minutes. On convertit l'heure en minutes AVANT d'additionner, jamais après. Vérification : $105$ minutes, c'est un peu moins de deux heures, ce qui est cohérent avec la lecture des horloges.

5) C'est faux parce que $45$ minutes ne représentent pas $45$ centièmes d'heure. Une heure vaut $60$ minutes, donc $45$ minutes valent $45\div 60=0{,}75$ heure, soit trois quarts d'heure. La bonne écriture décimale est donc $1{,}75$ h. L'écriture $1{,}45$ h correspondrait à $1$ h et $0{,}45\times 60=27$ minutes, c'est-à-dire à une tout autre durée.

6) On part de $9$ h $25$ et on ajoute $2$ h $50$ min. En ajoutant d'abord les heures : $9$ h $25+2$ h $=11$ h $25$. Puis les minutes : $11$ h $25+50$ min $=11$ h $75$ min. Comme $75$ dépasse $60$, on retient une heure : $75-60=15$, donc $12$ h $15$. L'arrivée aurait lieu à $12$ h $15$. La retenue se fait à $60$ et non à $100$, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

1) $3$ h $=3\times 60=180$ minutes. Dans l'autre sens, $240$ min $=240\div 60=4$ heures. On multiplie pour aller vers la petite unité et on divise pour aller vers la grande, exactement comme pour les longueurs, mais avec $60$ à la place de $10$.

2) $2$ h $=2\times 60=120$ minutes, auxquelles s'ajoutent les $15$ minutes : $2$ h $15$ min $=135$ minutes. Il faut convertir la partie en heures AVANT d'ajouter les minutes ; écrire $215$ minutes serait recopier les chiffres au lieu de calculer.

3) On cherche combien de fois $60$ tient dans $500$ : $500=60\times 8+20$. Donc $500$ s $=8$ min $20$ s. C'est une division euclidienne, où le quotient donne les minutes et le reste les secondes. Le reste est bien inférieur à $60$, sinon il resterait une minute entière à extraire.

4) $30$ minutes valent une demi-heure, donc $1$ h $30$ min $=1{,}5$ h. Et $45$ minutes valent trois quarts d'heure, donc $1$ h $45$ min $=1{,}75$ h, car $45\div 60=0{,}75$. On vérifie que $0{,}75\times 60=45$.

5) $0{,}25$ h $=0{,}25\times 60=15$ minutes, car $0{,}25$ est le quart de $1$ et que le quart de $60$ vaut $15$. Ce n'est pas $25$ minutes parce que le chiffre après la virgule compte des CENTIÈMES D'HEURE, pas des minutes. Confondre les deux revient à croire qu'une heure a $100$ minutes.

6) On additionne séparément : $1$ h $+2$ h $=3$ h, et $50$ min $+35$ min $=85$ min. Comme $85$ dépasse $60$, on convertit : $85=60+25$, donc une heure de plus et $25$ minutes. Le résultat est $4$ h $25$ min. Vérification en minutes : $110+155=265$ minutes, et $265=60\times 4+25$, ce qui redonne bien $4$ h $25$ min.

1) On croise la ligne « Sixième » et la colonne « Jeudi » : la case contient $31$. Lire une case, c'est toujours suivre une ligne et une colonne jusqu'à leur intersection, et la valeur trouvée s'exprime dans l'unité annoncée par le titre du tableau, ici un nombre d'élèves.

2) On peut utiliser la colonne du mardi, dont le total est $56$ : les Sixième comptent $17$ élèves et les Quatrième $15$, donc les Cinquième sont $56-17-15=24$. On peut aussi utiliser la ligne des Cinquième, dont le total est $90$ : $90-18-22-26=24$. Les deux chemins donnent $24$, ce qui prouve que la valeur est correcte. Un tableau complet contient toujours plus d'informations qu'il n'en faut, et cette redondance sert de vérification.

3) Le total du jeudi est la somme de la colonne : $31+22+20=73$ élèves.

4) Par les colonnes : $53+56+73+58=240$. Par les lignes : $90+90+60=240$. Les deux résultats coïncident, ce qui confirme l'ensemble du tableau. Si les deux totaux avaient été différents, cela aurait signalé une erreur quelque part, sans dire encore laquelle.

5) La fréquentation la plus forte est celle du jeudi, avec $73$ élèves ; la plus faible est celle du lundi, avec $53$ élèves. On compare les totaux de colonnes et non les cases individuelles : la case la plus grande du tableau est celle des Sixième du jeudi, mais elle ne dit rien du jour le plus chargé à elle seule.

6) Les Sixième totalisent $90$ visites sur $240$, soit une part de $\frac{90}{240}$. On simplifie en divisant par $30$ : $\frac{90}{240}=\frac{3}{8}$. Cela représente donc trois huitièmes des visites, c'est-à-dire $37{,}5$ pour cent, un peu plus du tiers et un peu moins de la moitié.

1) On lit la valeur inscrite au sommet du bâton de novembre : $24$ livres. On pourrait aussi suivre le sommet du bâton jusqu'à l'axe vertical, gradué de $3$ en $3$, et compter huit graduations : $8\times 3=24$. Les deux lectures doivent donner le même nombre, et c'est une bonne façon de contrôler.

2) Le bâton le plus haut est celui de novembre, avec $24$ livres ; le plus bas est celui de septembre, avec $12$ livres. Comparer les hauteurs est légitime ici précisément parce que l'axe part de zéro : si l'axe commençait à $10$, le bâton de novembre paraîtrait sept fois plus haut que celui de septembre, ce qui serait trompeur.

3) L'écart vaut $24-15=9$ livres. La question demande « combien de plus », donc une différence, et la réponse est un nombre de livres, pas un mois.

4) Le total est $12+18+24+15+21$. On regroupe astucieusement : $12+18=30$, $24+15=39$, puis $30+39=69$ et enfin $69+21=90$. Il y a donc $90$ livres empruntés sur les cinq mois.

5) NON, $90<100$ : le total ne dépasse pas $100$ livres, il lui manque $10$ emprunts. Attention à ne pas confondre cette question avec la valeur d'un seul mois : aucun mois ne dépasse $24$, et pourtant le total en est proche de $100$.

6) La moitié de $24$ vaut $24\div 2=12$ livres. Le bâton de février aurait donc exactement la même hauteur que celui de septembre, c'est-à-dire quatre graduations de $3$ au-dessus de l'axe. Retenir que « deux fois moins » signifie diviser par $2$, alors que « deux de moins » signifierait soustraire $2$ : les deux formulations donnent ici $12$ et $22$, deux réponses très différentes.

1) On repère $12$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'au point marqué, puis on lit sur l'axe vertical : la température était de $18$ °C. L'unité fait partie de la réponse : répondre « $18$ » sans préciser les degrés, c'est répondre à moitié.

2) Le point le plus haut de la courbe correspond à $15$ h, avec une température de $21$ °C. Le maximum de la journée n'a donc pas lieu à midi, mais en milieu d'après-midi, ce qui est le cas réel : le sol continue de chauffer après le passage du Soleil au plus haut.

3) À $6$ h la température valait $8$ °C, à $15$ h elle valait $21$ °C. L'augmentation est de $21-8=13$ °C. On soustrait la valeur de départ à celle d'arrivée, dans cet ordre, sinon on obtient $-13$, qui décrirait une baisse.

4) On calcule chaque variation : de $6$ h à $9$ h, $+4$ ; de $9$ h à $12$ h, $+6$ ; de $12$ h à $15$ h, $+3$ ; de $15$ h à $18$ h, $-5$ ; de $18$ h à $21$ h, $-6$. La baisse la plus forte a donc lieu entre $18$ h et $21$ h, avec $6$ °C de moins. Sur le graphique, c'est le segment le plus penché vers le bas, et c'est ce que l'œil voit avant même de calculer.

5) NON, on ne peut pas l'AFFIRMER. Le capteur n'a rien mesuré à $13$ h : le segment tracé entre le point de $12$ h et celui de $15$ h suppose que la température monte régulièrement, ce qui n'est qu'une hypothèse. On peut seulement dire qu'elle valait probablement entre $18$ °C et $21$ °C. La lecture d'un point situé entre deux mesures donne une ESTIMATION, jamais une certitude.

6) On relie les points pour rendre l'évolution lisible d'un seul coup d'œil : la montée du matin et la baisse du soir sautent alors aux yeux. Les segments servent donc de guide pour l'œil, pas de mesure. C'est pour cette raison qu'un graphique de ce type porte toujours ses points de mesure bien visibles : ce sont eux, et eux seuls, qui sont des données.

1) Le train A part à $7$ h $12$ et arrive à $9$ h $05$. On passe par les heures rondes : de $7$ h $12$ à $8$ h il y a $48$ minutes, puis de $8$ h à $9$ h $05$ il y a $1$ h $05$ min. Total : $48$ min $+1$ h $05$ min $=1$ h $53$ min. Poser $9{,}05-7{,}12$ n'aurait aucun sens, car les minutes ne sont pas des centièmes d'heure.

2) Train B : de $9$ h $05$ à $10$ h, $55$ minutes ; de $10$ h à $11$ h $02$, $1$ h $02$ min ; total $1$ h $57$ min. Train C : de $11$ h $40$ à $12$ h, $20$ minutes ; de $12$ h à $13$ h $35$, $1$ h $35$ min ; total $1$ h $55$ min. Le plus rapide est donc le train A, avec $1$ h $53$ min, suivi de C puis de B. Les trois durées sont proches, et seul le calcul permet de les départager : la comparaison des horaires affichés ne dit rien, puisque les départs sont différents.

3) Le train A arrive à Val-Fleuri à $8$ h $25$ et le train B à $10$ h $20$ : les deux conviennent, car ces deux horaires précèdent $10$ h $30$. Le train C, qui arrive à $12$ h $58$, est trop tardif. On lit la LIGNE de Val-Fleuri, et non celle de l'arrivée finale : c'est l'erreur que fait qui ne regarde que la dernière ligne du tableau.

4) Le train A quitte Bourg-Centre à $7$ h $48$ et atteint Val-Fleuri à $8$ h $25$. De $7$ h $48$ à $8$ h il y a $12$ minutes, puis $25$ minutes de plus, soit $37$ minutes en tout. On travaille sur deux cases d'une même colonne : une durée partielle se lit toujours dans une seule colonne, puisqu'elle concerne un seul train.

5) À $9$ h $10$, le train B est déjà parti, puisqu'il quittait Ville-Nord à $9$ h $05$, cinq minutes plus tôt. Le voyageur devra donc prendre le train C, qui part à $11$ h $40$. L'attente dure de $9$ h $10$ à $11$ h $40$, c'est-à-dire $2$ h $30$ min. Rater un train de cinq minutes coûte ici deux heures et demie : les horaires ne se lisent pas « à peu près ».

6) Le train B partirait à $9$ h $05+25$ min $=9$ h $30$. Comme le trajet dure toujours $1$ h $57$ min, il arriverait à $9$ h $30+1$ h $57$ min. On ajoute les heures : $10$ h $30$ ; puis les minutes : $30+57=87$ minutes, ce qui dépasse $60$, donc une heure de plus et $87-60=27$ minutes. L'arrivée aurait lieu à $11$ h $27$. On retrouve bien $25$ minutes de plus que l'horaire prévu de $11$ h $02$, ce qui vérifie le calcul.

1) On additionne les quatre effectifs : $45+36+24+15$. En regroupant, $45+15=60$ et $36+24=60$, donc le total vaut $120$. Il correspond exactement au nombre d'élèves interrogés : personne n'a été oublié et personne n'a répondu deux fois. Cette vérification est la première chose à faire devant une enquête, avant tout calcul de part.

2) La part des élèves à pied est $\frac{45}{120}$. On simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre : par $15$, on obtient $\frac{3}{8}$. On peut aussi simplifier en deux temps, par $5$ puis par $3$ : $\frac{45}{120}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$. Le résultat est le même, car simplifier ne change pas la valeur d'une fraction.

3) Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$. On cherche donc le nombre qui joue pour $100$ le rôle que $45$ joue pour $120$. Comme $\frac{3}{8}=\frac{37{,}5}{100}$, la part des élèves venant à pied est de $37{,}5$ pour cent. On peut le retrouver en calculant $45\div 120=0{,}375$, puis en multipliant par $100$.

4) À vélo : $\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$, soit $12{,}5$ pour cent. En bus : $\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$, soit $30$ pour cent. On peut contrôler l'ensemble en ajoutant les quatre pourcentages : $37{,}5+30+20+12{,}5=100$, ce qui est bien la totalité des élèves interrogés.

5) Si la classe interrogée est représentative du collège, la même part de $\frac{3}{8}$ s'applique aux $400$ élèves : $400\div 8=50$, puis $50\times 3=150$ élèves. C'est une ESTIMATION et non un comptage : elle suppose que les $120$ élèves interrogés ressemblent aux $400$, ce qui n'est pas garanti si l'enquête n'a porté que sur une classe d'un même quartier.

6) NON, le titre n'est pas exact. La moitié correspondrait à $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$, alors que la part réelle est $\frac{3}{8}$, soit $37{,}5$ pour cent. Il faudrait $60$ élèves à pied pour parler de moitié, contre $45$ observés. Le titre correct serait « plus du tiers des élèves vient à pied », puisque $\frac{1}{3}$ vaut environ $33$ pour cent.

1) FAUX. Le chiffre après la virgule compte des DIXIÈMES D'HEURE, pas des minutes. Or $0{,}5$ h vaut la moitié de $60$ minutes, soit $30$ minutes. Énoncé correct : « $2{,}5$ h $=2$ h $30$ min ». La durée $2$ h $50$ min s'écrirait, elle, $2$ h $+50\div 60$ h, c'est-à-dire environ $2{,}83$ h.

2) FAUX. La première partie de la phrase est juste, la seconde ne l'est pas : $130$ minutes se convertissent par une division euclidienne par $60$, et $130=60\times 2+10$, donc $130$ min $=2$ h $10$ min. L'auteur a cru pouvoir ajouter $40$ minutes de part et d'autre en gardant la même écriture, alors que la conversion ne fonctionne pas ainsi. Énoncé correct : « $130$ minutes valent $2$ h $10$ min ».

3) FAUX, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. Un horaire n'est pas un nombre : $8$ h $45$ ne vaut pas $845$. La bonne méthode passe par l'heure ronde : de $8$ h $45$ à $9$ h, $15$ minutes, puis de $9$ h à $9$ h $30$, $30$ minutes, soit $45$ minutes en tout. Énoncé correct : « entre $8$ h $45$ et $9$ h $30$, il s'écoule $45$ minutes ». On peut vérifier en convertissant : $9\times 60+30=570$ et $8\times 60+45=525$, et $570-525=45$.

4) FAUX. Le total d'une ligne est la SOMME de ses cases, jamais leur produit. Sur le tableau de l'exercice 3, la ligne des Quatrième donne $12+15+20+13=60$, alors que le produit de ces quatre nombres dépasserait $46\,000$, ce qui n'aurait aucun sens pour un nombre d'élèves. Énoncé correct : « le total d'une ligne est la somme de ses cases ».

5) FAUX. Un diagramme dont l'axe vertical ne commence pas à zéro exagère les écarts : deux valeurs de $95$ et $100$ paraissent aller du simple au double si l'axe démarre à $90$. Comparer deux diagrammes à l'œil suppose donc de vérifier d'abord que leurs axes commencent au même endroit ET utilisent la même graduation. Énoncé correct : « deux diagrammes ne se comparent à l'œil que si leurs axes verticaux partent de zéro avec la même échelle ». Sinon, il faut revenir aux nombres.

1) De $6$ h $45$ à $7$ h, il s'écoule $15$ minutes, puis de $7$ h à $7$ h $30$, $30$ minutes de plus. La durée est donc de $45$ minutes. On passe par l'heure ronde parce que les minutes d'arrivée, $30$, sont plus petites que celles du départ, $45$.

2) De $8$ h à $16$ h, il s'écoule exactement $8$ heures, soit $8\times 60=480$ minutes. Ici la soustraction directe des heures est possible parce que les deux horaires tombent pile, sans minutes.

3) De $11$ h $45$ à $12$ h, il y a $15$ minutes, puis de $12$ h à $12$ h $55$, $55$ minutes. La pause dure donc $15+55=70$ minutes, c'est-à-dire $1$ h $10$ min. Attention à écrire le résultat proprement : « $70$ minutes » et « $1$ h $10$ » désignent la même durée, mais « $1$ h $70$ » n'existe pas.

4) Les cours occupent la journée sauf la pause : $480-70=410$ minutes. En heures et minutes, $410=60\times 6+50$, donc $6$ h $50$ min de cours effectifs. C'est $1$ h $10$ min de moins que les huit heures de présence, un écart qu'on oublie facilement si l'on répond sans retirer la pause.

5) De $16$ h $40$ à $17$ h, il y a $20$ minutes, puis de $17$ h à $21$ h $30$, $4$ h $30$ min : au total $4$ h $50$ min, soit $290$ minutes. Les devoirs en occupent $1$ h $20$ min, c'est-à-dire $80$ minutes. La part consacrée aux devoirs est donc $\frac{80}{290}$, un peu plus du quart de ce temps libre.

6) Léa se couche à $21$ h $30$ et se lève à $6$ h $45$ : la durée traverse minuit, il faut donc la couper en deux morceaux. De $21$ h $30$ à minuit, il y a $2$ h $30$ min. De minuit à $6$ h $45$, il y a $6$ h $45$ min. Le total vaut $2$ h $30$ min $+6$ h $45$ min $=8$ h $75$ min, et comme $75$ dépasse $60$, cela fait $9$ h $15$ min de sommeil. Oublier de couper à minuit conduit à une soustraction impossible, ou pire, à un résultat négatif que l'on garde sans réfléchir.

1) On ajoute la durée à l'heure de décollage : $20$ h $15+7$ h $05$ min. Les heures : $20+7=27$. Les minutes : $15+5=20$. On obtient $27$ h $20$, ce qui dépasse $24$ h : l'avion se pose donc le LENDEMAIN à $27-24=3$ h $20$. Une heure supérieure à $24$ signale toujours un changement de jour, et c'est une réponse incomplète tant qu'on ne l'a pas dit.

2) L'heure locale d'arrivée est en avance de $6$ heures : il faut donc ajouter $6$ h à $3$ h $20$, ce qui donne $9$ h $20$, toujours le lendemain. C'est cette heure-là que le passager lira sur les panneaux de l'aéroport en descendant de l'avion.

3) Au décollage il est $20$ h $15$ sur place, donc $20$ h $15+6$ h $=26$ h $15$, c'est-à-dire $2$ h $15$ le lendemain à destination. Le décalage s'applique à n'importe quel instant, y compris au moment du départ : ce n'est pas quelque chose qui arrive à l'atterrissage.

4) En partant de $2$ h $15$, heure de destination, et en ajoutant la durée réelle du vol : $2$ h $15+7$ h $05$ min $=9$ h $20$. On retrouve exactement la réponse de la question 2. Les deux chemins, convertir puis ajouter ou ajouter puis convertir, donnent le même résultat, et le vérifier est la meilleure protection contre une erreur de décalage.

5) Le vol retour décolle à $13$ h $40$ et dure $8$ h $10$ min : il se pose à $21$ h $50$, heure du lieu qu'il vient de quitter, car $13+8=21$ et $40+10=50$. Comme le lieu d'arrivée est en RETARD de $6$ heures, on soustrait : $21$ h $50-6$ h $=15$ h $50$. L'avion se pose donc à $15$ h $50$, heure locale d'arrivée, le jour même.

6) Parce que les deux horaires affichés ne sont pas mesurés sur la même horloge : le départ, $13$ h $40$, est donné dans le fuseau de départ, et l'arrivée, $15$ h $50$, dans celui d'arrivée, qui est en retard de $6$ heures. L'écart apparent vaut $2$ h $10$ min, mais il faut lui rendre les $6$ heures de décalage : $2$ h $10$ min $+6$ h $=8$ h $10$ min, ce qui est bien la durée réelle. Une durée ne se calcule entre deux horaires que s'ils sont lus sur la même horloge.

1) Chanson 1 : $3\times 60+42=180+42=222$ s. Chanson 5 : $5\times 60+9=300+9=309$ s.

2) On additionne séparément. Minutes : $3+4+2+3+5=17$ min. Secondes : $42+18+55+36+9=160$ s. Or $160=2\times 60+40$ : $2$ minutes de plus et $40$ secondes. Total : $19$ min $40$ s. Écrire « $17$ min $160$ s » n'est pas faux, mais ce n'est pas terminé.

3) $19\times 60+40=1\,140+40=1\,180$ s.

4) De $19$ min $40$ s à $20$ min, il manque $20$ s ; de $20$ min à $25$ min, $5$ min. Il faut ajouter $5$ min $20$ s. En secondes : $25\times 60=1\,500$ s, et $1\,500-1\,180=320$ s, soit $5$ min $20$ s.

5) Une heure vaut $3\,600$ s. $3\,600=1\,180\times 3+60$ : trois écoutes complètes, puis $60$ s, c'est-à-dire $1$ minute de la quatrième écoute. C'est une division euclidienne : le quotient compte les écoutes entières, le reste la durée qui dépasse.

1) $1789$ est après la fin du $17^{\text{e}}$ siècle, en $1700$, et avant la fin du $18^{\text{e}}$, en $1800$ : c'est le $18^{\text{e}}$ siècle. De même, $1492$ est entre $1401$ et $1500$ : $15^{\text{e}}$ siècle. Règle pratique : on ajoute $1$ au nombre de centaines, $17+1=18$ et $14+1=15$.

2) L'année $2000$ est la DERNIÈRE année du $20^{\text{e}}$ siècle, qui va de $1901$ à $2000$. L'année $2001$ est la première du $21^{\text{e}}$ siècle. La règle « centaines plus un » ne marche pas pour les années qui se terminent par $00$ : c'est le piège des multiples de $100$.

3) $2026-1492=534$ ans.

4) $1350+475=1825$. Cette année est entre $1801$ et $1900$ : $19^{\text{e}}$ siècle.

5) En décembre $2026$, son anniversaire de mars est passé : $2026-2014=12$ ans. En janvier $2026$, il n'est pas encore arrivé : elle a encore $11$ ans. Une simple soustraction des années ne suffit pas, il faut regarder si l'anniversaire est passé.

1) En décembre, du $20$ au $31$ inclus : $31-20+1=12$ jours. En janvier, du $1^{\text{er}}$ au $4$ : $4$ jours. Total : $12+4=16$ jours.

2) Il trouve $11+4=15$ jours, un de moins. La différence $31-20$ compte les jours qui SÉPARENT le $20$ du $31$, sans compter le $20$ lui-même, qui est pourtant un jour de vacances. C'est le problème des piquets et des intervalles : entre le jour $20$ et le jour $31$, il y a $11$ intervalles, mais $12$ jours.