Sixième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Exercices corrigés : durées, tableaux et graphiques (Sixième)
Ces quinze exercices corrigés couvrent les durées, les tableaux et les graphiques en sixième. Ils s'adressent aux élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.
L'exercice 0.1 ouvre la série par dix calculs directs de durées, comme dans les listes des manuels : conversions d'heures en minutes et de secondes en minutes et secondes, sommes de durées avec et sans retenue de 60 minutes, différence avec une heure cassée en 60 minutes, durée entre deux horaires par l'heure ronde, heure de fin et heure de début, chacun avec un résultat à trouver et vérifié en direct.
Le premier fil de la série : le temps NE SE COMPTE PAS EN BASE DIX. Une heure vaut 60 minutes et non 100, si bien que 2,5 h valent 2 h 30 min et non 2 h 50, et qu'une soustraction posée entre 9 h 30 et 8 h 45 donne un résultat faux. Le corrigé revient à chaque fois à la méthode qui ne trompe pas, celle du passage par l'heure ronde.
Le second fil concerne la lecture de données : une valeur n'a de sens qu'avec son UNITÉ et la case d'où elle vient. Un total de ligne s'additionne, un diagramme dont l'axe ne part pas de zéro se lit autrement, et une courbe tracée entre six relevés ne prouve rien de ce qui s'est passé entre deux mesures.
Série autocorrigéeTape tes réponses et vérifie-les question par question : la page te dit juste ou faux avant d'ouvrir la correction. Avec un compte, chaque bonne réponse du premier coup rapporte des points, et tes réponses justes restent remplies quand tu reviens.
•Pour calculer une durée entre deux heures, on passe par l'heure ronde : de 8 h 45 à 9 h il y a 15 min, puis de 9 h à 9 h 30 il y a 30 min, soit 45 min.
•Ne jamais poser la soustraction de deux horaires comme celle de deux nombres : 9,30−8,45 n'a aucun sens.
•Une durée en écriture décimale se convertit en prenant la fraction de 60 : 0,5 h =30 min, 0,25 h =15 min, 0,75 h =45 min.
•Quand une addition de durées dépasse 60 minutes, on retient 1 heure et on retire 60 minutes.
•Dans un tableau à double entrée, une case se lit en croisant sa LIGNE et sa COLONNE.
•Le total d'une ligne est la SOMME de ses cases ; le total général se retrouve de deux façons, par les lignes ou par les colonnes, ce qui sert de vérification.
•Dans un diagramme en bâtons, les hauteurs ne sont comparables que si l'axe vertical commence à zéro.
•Sur un graphique, on lit d'abord ce que représente chaque axe et dans quelle unité, avant de lire la moindre valeur.
•Les segments qui relient les points d'une courbe de relevés sont un guide pour l'œil, pas une mesure.
Calculs : les durées à calculer
Exercice 0.1 : Convertir et calculer des durées : dix calculs directs
Pour chaque ligne, faites la conversion ou le calcul demandé, sans calculatrice. Une durée demandée en heures et minutes, ou un horaire, se donne en deux champs : les heures, puis les minutes, avec un nombre de minutes compris entre 0 et 59.
Une seule règle pour les dix lignes : le temps se compte par paquets de 60, jamais de 100. On calcule les heures d'un côté et les minutes de l'autre ; dès que les minutes dépassent 59, on forme une heure avec 60 d'entre elles ; et quand il en manque pour soustraire, on casse une heure en 60 minutes. Entre deux horaires, on passe par l'heure ronde.
a) Convertissez 7 h en minutes.
b) Convertissez 205 min en heures et minutes.
c) Convertissez 430 s en minutes et secondes.
d) Convertissez 3 h 40 min en minutes.
e) Calculez 1 h 25 min +2 h 30 min.
f) Calculez 2 h 45 min +1 h 35 min.
g) Calculez 5 h 15 min −1 h 40 min.
h) Calculez la durée qui sépare 10 h 50 de 14 h 05, le même jour.
i) Une activité commence à 13 h 35 et dure 2 h 40 min. À quelle heure finit-elle ?
j) Une activité finit à 12 h 05 et a duré 3 h 40 min. À quelle heure a-t-elle commencé ?
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Réponses
a)7×60=420 min
b)205 min =3 h 25 min
c)430 s =7 min 10 s
d)180+40=220 min
e)3 h 55 min
f)3 h 80 min =4 h 20 min
g)4 h 75 min −1 h 40 min =3 h 35 min
h)10+180+5 min, soit 3 h 15 min
i)16 h 15
j)8 h 25
Le geste qui décide de tout : traiter les minutes à part et les ramener sous 60. Toute erreur du chapitre vient d'un calcul fait comme si une heure valait 100 minutes.
a)
1 h =60 min, donc 7 h =7×60=420 min.
b)
Dans 205, on cherche combien de paquets de 60 : 3×60=180 et il reste 205−180=25. Donc 205 min =3 h 25 min. Piège : lire 205 comme « 2 h 05 », comme si une heure valait 100 minutes.
c)
Même geste avec les secondes : 7×60=420 et il reste 430−420=10. Donc 430 s =7 min 10 s.
d)
3 h =3×60=180 min, puis on ajoute les 40 min : 180+40=220 min. Piège : écrire 340 min en collant les chiffres.
e)
Heures avec heures, minutes avec minutes : 1+2=3 h et 25+30=55 min. Comme 55<60, rien à reporter : 3 h 55 min.
f)
2+1=3 h et 45+35=80 min. Or 80 min =1 h 20 min : on reporte l'heure, ce qui donne 3 h +1 h 20 min =4 h 20 min. Piège : laisser « 3 h 80 min ».
g)
On ne peut pas ôter 40 min de 15 min : on casse une heure. 5 h 15 min =4 h 75 min, puis 4−1=3 h et 75−40=35 min, soit 3 h 35 min. Piège : calculer 40−15=25 et annoncer 4 h 25 min.
h)
Par l'heure ronde : de 10 h 50 à 11 h, 10 min ; de 11 h à 14 h, 3 h ; de 14 h à 14 h 05, 5 min. Total : 3 h 15 min. Piège : poser 14,05−10,50=3,55, qui compte en base dix.
i)
13 h 35+2 h =15 h 35, puis +40 min : 35+40=75 min =1 h 15 min, donc 16 h 15. Autre chemin : 25 min pour atteindre 14 h, il reste 2 h 15 min à ajouter, d'où 16 h 15.
j)
On remonte le temps : 12 h 05−3 h =9 h 05, puis −40 min. On casse une heure : 9 h 05=8 h 65, et 65−40=25. L'activité a commencé à 8 h 25.
Contrôle : on refait le chemin à l'envers. Pour g), 3 h 35 min +1 h 40 min =4 h 75 min =5 h 15 min ; pour j), 8 h 25+3 h 40 min =11 h 65=12 h 05. Et chaque réponse a moins de 60 minutes.
Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.
Partie A : les bases (/50)
Exercice 1 : Lire l'heure et calculer une durée
Une randonnée part le matin et arrive avant midi. Les deux horloges à aiguilles ci-dessous indiquent l'heure de départ et l'heure d'arrivée. La petite aiguille donne les heures, la grande donne les minutes.
1) Quelle heure indique chacune des deux horloges ?
2) Quelle est la durée de la randonnée ?
3) Détailler la méthode du passage par l'heure ronde.
4) Exprimer cette durée en minutes.
5) Un élève écrit : « la durée est de 1,45 h ». Pourquoi est-ce faux ? Quelle est la bonne écriture décimale ?
6) Si le départ avait eu lieu à la même heure mais que la randonnée avait duré 2 h 50 min, à quelle heure serait-elle arrivée ?
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Réponses
1)9 h 25 et 11 h 10
2)1 h 45 min
3)35 min + 1 h 10 min
4)105 min
5)1,75 h
6)12 h 15
1)
Sur la première horloge, la grande aiguille est sur la cinquième graduation après le 3, soit 25 minutes, et la petite aiguille a dépassé le 9 : il est 9 h 25. Sur la seconde, la grande aiguille est sur la deuxième graduation après le 12, soit 10 minutes, et la petite est presque sur le 11 : il est 11 h 10. C'est la position de la PETITE aiguille qui donne l'heure, et le fait qu'elle soit entre deux nombres est normal.
2)
La randonnée a duré 1 h 45 min. Le détail du calcul fait l'objet de la question suivante : on ne pose jamais une soustraction directe entre deux horaires.
3)
On avance par étapes en s'arrêtant sur l'heure ronde. De 9 h 25 à 10 h 00, il s'écoule 35 minutes, car 60−25=35. De 10 h 00 à 11 h 10, il s'écoule 1 h 10 min. On additionne : 35 min +1 h 10 min =1 h 45 min. Cette méthode fonctionne toujours, y compris quand les minutes d'arrivée sont plus petites que celles du départ, ce qui est justement le cas ici.
4)
1 h 45 min =60+45=105 minutes. On convertit l'heure en minutes AVANT d'additionner, jamais après. Vérification : 105 minutes, c'est un peu moins de deux heures, ce qui est cohérent avec la lecture des horloges.
5)
C'est faux parce que 45 minutes ne représentent pas 45 centièmes d'heure. Une heure vaut 60 minutes, donc 45 minutes valent 45÷60=0,75 heure, soit trois quarts d'heure. La bonne écriture décimale est donc 1,75 h. L'écriture 1,45 h correspondrait à 1 h et 0,45×60=27 minutes, c'est-à-dire à une tout autre durée.
6)
On part de 9 h 25 et on ajoute 2 h 50 min. En ajoutant d'abord les heures : 9 h 25+2 h =11 h 25. Puis les minutes : 11 h 25+50 min =11 h 75 min. Comme 75 dépasse 60, on retient une heure : 75−60=15, donc 12 h 15. L'arrivée aurait lieu à 12 h 15. La retenue se fait à 60 et non à 100, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.
Exercice 2 : Convertir des durées
Les unités de temps ne suivent pas le système décimal : on passe de l'heure à la minute et de la minute à la seconde en multipliant par 60. Toute conversion se fait donc avec 60, jamais avec 10 ni avec 100.
1) Convertir 3 h en minutes, puis 240 minutes en heures.
2) Convertir 2 h 15 min en minutes.
3) Convertir 500 secondes en minutes et secondes.
4) Écrire 1 h 30 min puis 1 h 45 min en écriture décimale d'heures.
5) Combien de minutes valent 0,25 h ? Pourquoi ce n'est pas 25 minutes ?
6) Calculer 1 h 50 min +2 h 35 min.
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Réponses
1)180 min ; 4 h
2)135 min
3)8 min 20 s
4)1,5 h ; 1,75 h
5)15 min
6)4 h 25 min
1)
3 h =3×60=180 minutes. Dans l'autre sens, 240 min =240÷60=4 heures. On multiplie pour aller vers la petite unité et on divise pour aller vers la grande, exactement comme pour les longueurs, mais avec 60 à la place de 10.
2)
2 h =2×60=120 minutes, auxquelles s'ajoutent les 15 minutes : 2 h 15 min =135 minutes. Il faut convertir la partie en heures AVANT d'ajouter les minutes ; écrire 215 minutes serait recopier les chiffres au lieu de calculer.
3)
On cherche combien de fois 60 tient dans 500 : 500=60×8+20. Donc 500 s =8 min 20 s. C'est une division euclidienne, où le quotient donne les minutes et le reste les secondes. Le reste est bien inférieur à 60, sinon il resterait une minute entière à extraire.
4)
30 minutes valent une demi-heure, donc 1 h 30 min =1,5 h. Et 45 minutes valent trois quarts d'heure, donc 1 h 45 min =1,75 h, car 45÷60=0,75. On vérifie que 0,75×60=45.
5)
0,25 h =0,25×60=15 minutes, car 0,25 est le quart de 1 et que le quart de 60 vaut 15. Ce n'est pas 25 minutes parce que le chiffre après la virgule compte des CENTIÈMES D'HEURE, pas des minutes. Confondre les deux revient à croire qu'une heure a 100 minutes.
6)
On additionne séparément : 1 h +2 h =3 h, et 50 min +35 min =85 min. Comme 85 dépasse 60, on convertit : 85=60+25, donc une heure de plus et 25 minutes. Le résultat est 4 h 25 min. Vérification en minutes : 110+155=265 minutes, et 265=60×4+25, ce qui redonne bien 4 h 25 min.
Exercice 3 : Lire et compléter un tableau à double entrée
Le tableau suivant donne le nombre d'élèves venus au centre de documentation pendant une semaine, par niveau et par jour. Trois cases ont été effacées.
Lundi
Mardi
Jeudi
Vendredi
Total
Sixième
23
17
31
19
90
Cinquième
18
?
22
26
90
Quatrième
12
15
20
13
60
Total
53
56
?
58
?
1) Combien d'élèves de Sixième sont venus le jeudi ?
2) Retrouver le nombre d'élèves de Cinquième venus le mardi. Expliquer la méthode.
3) Retrouver le total du jeudi.
4) Retrouver le total général de deux façons différentes.
5) Quel jour la fréquentation a-t-elle été la plus forte ? La plus faible ?
6) Quelle part des visites de la semaine les élèves de Sixième représentent-ils ?
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Réponses
1)31
2)24
3)73
4)240, par lignes et par colonnes
5)Jeudi ; lundi
6)24090=83
1)
On croise la ligne « Sixième » et la colonne « Jeudi » : la case contient 31. Lire une case, c'est toujours suivre une ligne et une colonne jusqu'à leur intersection, et la valeur trouvée s'exprime dans l'unité annoncée par le titre du tableau, ici un nombre d'élèves.
2)
On peut utiliser la colonne du mardi, dont le total est 56 : les Sixième comptent 17 élèves et les Quatrième 15, donc les Cinquième sont 56−17−15=24. On peut aussi utiliser la ligne des Cinquième, dont le total est 90 : 90−18−22−26=24. Les deux chemins donnent 24, ce qui prouve que la valeur est correcte. Un tableau complet contient toujours plus d'informations qu'il n'en faut, et cette redondance sert de vérification.
3)
Le total du jeudi est la somme de la colonne : 31+22+20=73 élèves.
4)
Par les colonnes : 53+56+73+58=240. Par les lignes : 90+90+60=240. Les deux résultats coïncident, ce qui confirme l'ensemble du tableau. Si les deux totaux avaient été différents, cela aurait signalé une erreur quelque part, sans dire encore laquelle.
5)
La fréquentation la plus forte est celle du jeudi, avec 73 élèves ; la plus faible est celle du lundi, avec 53 élèves. On compare les totaux de colonnes et non les cases individuelles : la case la plus grande du tableau est celle des Sixième du jeudi, mais elle ne dit rien du jour le plus chargé à elle seule.
6)
Les Sixième totalisent 90 visites sur 240, soit une part de 24090. On simplifie en divisant par 30 : 24090=83. Cela représente donc trois huitièmes des visites, c'est-à-dire 37,5 pour cent, un peu plus du tiers et un peu moins de la moitié.
Exercice 4 : Lire un diagramme en bâtons
Le diagramme ci-dessous donne le nombre de livres empruntés au centre de documentation, mois par mois. Chaque bâton porte sa valeur, et l'axe vertical commence bien à zéro : les hauteurs sont donc directement comparables.
1) Combien de livres ont été empruntés en novembre ?
2) Quel mois a connu le plus d'emprunts ? Le moins ?
3) Combien y a-t-il eu d'emprunts de plus en novembre qu'en décembre ?
4) Combien de livres ont été empruntés au total sur les cinq mois ?
5) Le total dépasse-t-il 100 livres ?
6) En février, il y a eu deux fois moins d'emprunts qu'en novembre. Combien cela fait-il ? À quelle hauteur faudrait-il tracer le bâton ?
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Réponses
1)24
2)Novembre ; septembre
3)9 livres
4)90 livres
5)Non
6)12 livres
1)
On lit la valeur inscrite au sommet du bâton de novembre : 24 livres. On pourrait aussi suivre le sommet du bâton jusqu'à l'axe vertical, gradué de 3 en 3, et compter huit graduations : 8×3=24. Les deux lectures doivent donner le même nombre, et c'est une bonne façon de contrôler.
2)
Le bâton le plus haut est celui de novembre, avec 24 livres ; le plus bas est celui de septembre, avec 12 livres. Comparer les hauteurs est légitime ici précisément parce que l'axe part de zéro : si l'axe commençait à 10, le bâton de novembre paraîtrait sept fois plus haut que celui de septembre, ce qui serait trompeur.
3)
L'écart vaut 24−15=9 livres. La question demande « combien de plus », donc une différence, et la réponse est un nombre de livres, pas un mois.
4)
Le total est 12+18+24+15+21. On regroupe astucieusement : 12+18=30, 24+15=39, puis 30+39=69 et enfin 69+21=90. Il y a donc 90 livres empruntés sur les cinq mois.
5)
NON, 90<100 : le total ne dépasse pas 100 livres, il lui manque 10 emprunts. Attention à ne pas confondre cette question avec la valeur d'un seul mois : aucun mois ne dépasse 24, et pourtant le total en est proche de 100.
6)
La moitié de 24 vaut 24÷2=12 livres. Le bâton de février aurait donc exactement la même hauteur que celui de septembre, c'est-à-dire quatre graduations de 3 au-dessus de l'axe. Retenir que « deux fois moins » signifie diviser par 2, alors que « deux de moins » signifierait soustraire 2 : les deux formulations donnent ici 12 et 22, deux réponses très différentes.
Exercice 5 : Interpréter une courbe de relevés
Un capteur a relevé la température extérieure toutes les trois heures, de 6 h à 21 h. Les six mesures ont été placées dans un repère, puis reliées par des segments.
1) Quelle était la température à 12 h ?
2) À quelle heure la température est-elle la plus élevée ? Quelle est alors sa valeur ?
3) De combien de degrés la température a-t-elle augmenté entre 6 h et 15 h ?
4) Entre quelles heures consécutives la baisse est-elle la plus forte ?
5) Peut-on affirmer que la température valait 19 °C à 13 h ?
6) Pourquoi relie-t-on les points par des segments alors que le capteur n'a fait que six mesures ?
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Réponses
1)18 °C
2)15 h, 21 °C
3)13 °C
4)Entre 18 h et 21 h
5)Non : estimation seulement
6)Guide pour l'œil
1)
On repère 12 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'au point marqué, puis on lit sur l'axe vertical : la température était de 18 °C. L'unité fait partie de la réponse : répondre « 18 » sans préciser les degrés, c'est répondre à moitié.
2)
Le point le plus haut de la courbe correspond à 15 h, avec une température de 21 °C. Le maximum de la journée n'a donc pas lieu à midi, mais en milieu d'après-midi, ce qui est le cas réel : le sol continue de chauffer après le passage du Soleil au plus haut.
3)
À 6 h la température valait 8 °C, à 15 h elle valait 21 °C. L'augmentation est de 21−8=13 °C. On soustrait la valeur de départ à celle d'arrivée, dans cet ordre, sinon on obtient −13, qui décrirait une baisse.
4)
On calcule chaque variation : de 6 h à 9 h, +4 ; de 9 h à 12 h, +6 ; de 12 h à 15 h, +3 ; de 15 h à 18 h, −5 ; de 18 h à 21 h, −6. La baisse la plus forte a donc lieu entre 18 h et 21 h, avec 6 °C de moins. Sur le graphique, c'est le segment le plus penché vers le bas, et c'est ce que l'œil voit avant même de calculer.
5)
NON, on ne peut pas l'AFFIRMER. Le capteur n'a rien mesuré à 13 h : le segment tracé entre le point de 12 h et celui de 15 h suppose que la température monte régulièrement, ce qui n'est qu'une hypothèse. On peut seulement dire qu'elle valait probablement entre 18 °C et 21 °C. La lecture d'un point situé entre deux mesures donne une ESTIMATION, jamais une certitude.
6)
On relie les points pour rendre l'évolution lisible d'un seul coup d'œil : la montée du matin et la baisse du soir sautent alors aux yeux. Les segments servent donc de guide pour l'œil, pas de mesure. C'est pour cette raison qu'un graphique de ce type porte toujours ses points de mesure bien visibles : ce sont eux, et eux seuls, qui sont des données.
Partie B : problèmes et raisonnement (/50)
Exercice 6 : Problème : lire un horaire de trains
Le tableau ci-dessous est l'horaire de trois trains qui desservent la même ligne. Chaque colonne suit un train, chaque ligne correspond à une gare.
Train A
Train B
Train C
Départ Ville-Nord
7 h 12
9 h 05
11 h 40
Bourg-Centre
7 h 48
9 h 47
12 h 22
Val-Fleuri
8 h 25
10 h 20
12 h 58
Arrivée Ville-Sud
9 h 05
11 h 02
13 h 35
1) Combien de temps dure le trajet complet du train A ?
2) Calculer la durée du trajet complet des trains B et C. Lequel des trois trains est le plus rapide ?
3) Un voyageur doit être à Val-Fleuri avant 10 h 30. Quels trains peut-il prendre depuis Ville-Nord ?
4) Combien de temps le train A met-il pour aller de Bourg-Centre à Val-Fleuri ?
5) Un voyageur arrive à Ville-Nord à 9 h 10. Combien de temps devra-t-il attendre son train ?
6) Le train B part avec 25 minutes de retard mais roule à la même vitesse. À quelle heure arrive-t-il à Ville-Sud ?
Voir la correction
Réponses
1)1 h 53 min
2)B 1 h 57, C 1 h 55 : A le plus rapide
3)Trains A et B
4)37 min
5)2 h 30 min
6)11 h 27
1)
Le train A part à 7 h 12 et arrive à 9 h 05. On passe par les heures rondes : de 7 h 12 à 8 h il y a 48 minutes, puis de 8 h à 9 h 05 il y a 1 h 05 min. Total : 48 min +1 h 05 min =1 h 53 min. Poser 9,05−7,12 n'aurait aucun sens, car les minutes ne sont pas des centièmes d'heure.
2)
Train B : de 9 h 05 à 10 h, 55 minutes ; de 10 h à 11 h 02, 1 h 02 min ; total 1 h 57 min. Train C : de 11 h 40 à 12 h, 20 minutes ; de 12 h à 13 h 35, 1 h 35 min ; total 1 h 55 min. Le plus rapide est donc le train A, avec 1 h 53 min, suivi de C puis de B. Les trois durées sont proches, et seul le calcul permet de les départager : la comparaison des horaires affichés ne dit rien, puisque les départs sont différents.
3)
Le train A arrive à Val-Fleuri à 8 h 25 et le train B à 10 h 20 : les deux conviennent, car ces deux horaires précèdent 10 h 30. Le train C, qui arrive à 12 h 58, est trop tardif. On lit la LIGNE de Val-Fleuri, et non celle de l'arrivée finale : c'est l'erreur que fait qui ne regarde que la dernière ligne du tableau.
4)
Le train A quitte Bourg-Centre à 7 h 48 et atteint Val-Fleuri à 8 h 25. De 7 h 48 à 8 h il y a 12 minutes, puis 25 minutes de plus, soit 37 minutes en tout. On travaille sur deux cases d'une même colonne : une durée partielle se lit toujours dans une seule colonne, puisqu'elle concerne un seul train.
5)
À 9 h 10, le train B est déjà parti, puisqu'il quittait Ville-Nord à 9 h 05, cinq minutes plus tôt. Le voyageur devra donc prendre le train C, qui part à 11 h 40. L'attente dure de 9 h 10 à 11 h 40, c'est-à-dire 2 h 30 min. Rater un train de cinq minutes coûte ici deux heures et demie : les horaires ne se lisent pas « à peu près ».
6)
Le train B partirait à 9 h 05+25 min =9 h 30. Comme le trajet dure toujours 1 h 57 min, il arriverait à 9 h 30+1 h 57 min. On ajoute les heures : 10 h 30 ; puis les minutes : 30+57=87 minutes, ce qui dépasse 60, donc une heure de plus et 87−60=27 minutes. L'arrivée aurait lieu à 11 h 27. On retrouve bien 25 minutes de plus que l'horaire prévu de 11 h 02, ce qui vérifie le calcul.
Exercice 7 : Problème : une enquête sur les moyens de transport
Un professeur a demandé à 120 élèves comment ils venaient au collège. Les réponses sont : 45 à pied, 36 en bus, 24 en voiture et 15 à vélo.
1) Vérifier que chaque élève interrogé a bien donné une réponse et une seule.
2) Quelle fraction des élèves interrogés vient à pied ? Simplifier cette fraction.
3) Exprimer cette part en pourcentage.
4) Quel pourcentage des élèves vient à vélo ? Et en bus ?
5) Le collège compte 400 élèves. Estimer combien d'entre eux viennent à pied.
6) Le journal du collège titre : « la moitié des élèves vient à pied ». Ce titre est-il exact ?
Voir la correction
Réponses
1)45 + 36 + 24 + 15 = 120
2)83
3)37,5 %
4)12,5 % ; 30 %
5)Environ 150 élèves
6)Non : 45 et non 60
1)
On additionne les quatre effectifs : 45+36+24+15. En regroupant, 45+15=60 et 36+24=60, donc le total vaut 120. Il correspond exactement au nombre d'élèves interrogés : personne n'a été oublié et personne n'a répondu deux fois. Cette vérification est la première chose à faire devant une enquête, avant tout calcul de part.
2)
La part des élèves à pied est 12045. On simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre : par 15, on obtient 83. On peut aussi simplifier en deux temps, par 5 puis par 3 : 12045=249=83. Le résultat est le même, car simplifier ne change pas la valeur d'une fraction.
3)
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. On cherche donc le nombre qui joue pour 100 le rôle que 45 joue pour 120. Comme 83=10037,5, la part des élèves venant à pied est de 37,5 pour cent. On peut le retrouver en calculant 45÷120=0,375, puis en multipliant par 100.
4)
À vélo : 12015=81, soit 12,5 pour cent. En bus : 12036=103, soit 30 pour cent. On peut contrôler l'ensemble en ajoutant les quatre pourcentages : 37,5+30+20+12,5=100, ce qui est bien la totalité des élèves interrogés.
5)
Si la classe interrogée est représentative du collège, la même part de 83 s'applique aux 400 élèves : 400÷8=50, puis 50×3=150 élèves. C'est une ESTIMATION et non un comptage : elle suppose que les 120 élèves interrogés ressemblent aux 400, ce qui n'est pas garanti si l'enquête n'a porté que sur une classe d'un même quartier.
6)
NON, le titre n'est pas exact. La moitié correspondrait à 21=84, alors que la part réelle est 83, soit 37,5 pour cent. Il faudrait 60 élèves à pied pour parler de moitié, contre 45 observés. Le titre correct serait « plus du tiers des élèves vient à pied », puisque 31 vaut environ 33 pour cent.
Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger
Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.
1) « 2,5 h =2 h 50 min. »
2) « 90 minutes valent 1 h 30, donc 130 minutes valent 2 h 30. »
3) « Entre 8 h 45 et 9 h 30, il s'écoule 85 minutes, car 930−845=85. »
4) « Dans un tableau à double entrée, le total d'une ligne s'obtient en multipliant ses cases. »
5) « Deux diagrammes en bâtons se comparent toujours à l'œil, même si leurs axes verticaux ne commencent pas au même endroit. »
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Réponses
1)2 h 30 min
2)2 h 10 min
3)45 min
4)La somme des cases
5)Mêmes axes, partant de zéro
1)
FAUX. Le chiffre après la virgule compte des DIXIÈMES D'HEURE, pas des minutes. Or 0,5 h vaut la moitié de 60 minutes, soit 30 minutes. Énoncé correct : « 2,5 h =2 h 30 min ». La durée 2 h 50 min s'écrirait, elle, 2 h +50÷60 h, c'est-à-dire environ 2,83 h.
2)
FAUX. La première partie de la phrase est juste, la seconde ne l'est pas : 130 minutes se convertissent par une division euclidienne par 60, et 130=60×2+10, donc 130 min =2 h 10 min. L'auteur a cru pouvoir ajouter 40 minutes de part et d'autre en gardant la même écriture, alors que la conversion ne fonctionne pas ainsi. Énoncé correct : « 130 minutes valent 2 h 10 min ».
3)
FAUX, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. Un horaire n'est pas un nombre : 8 h 45 ne vaut pas 845. La bonne méthode passe par l'heure ronde : de 8 h 45 à 9 h, 15 minutes, puis de 9 h à 9 h 30, 30 minutes, soit 45 minutes en tout. Énoncé correct : « entre 8 h 45 et 9 h 30, il s'écoule 45 minutes ». On peut vérifier en convertissant : 9×60+30=570 et 8×60+45=525, et 570−525=45.
4)
FAUX. Le total d'une ligne est la SOMME de ses cases, jamais leur produit. Sur le tableau de l'exercice 3, la ligne des Quatrième donne 12+15+20+13=60, alors que le produit de ces quatre nombres dépasserait 46000, ce qui n'aurait aucun sens pour un nombre d'élèves. Énoncé correct : « le total d'une ligne est la somme de ses cases ».
5)
FAUX. Un diagramme dont l'axe vertical ne commence pas à zéro exagère les écarts : deux valeurs de 95 et 100 paraissent aller du simple au double si l'axe démarre à 90. Comparer deux diagrammes à l'œil suppose donc de vérifier d'abord que leurs axes commencent au même endroit ET utilisent la même graduation. Énoncé correct : « deux diagrammes ne se comparent à l'œil que si leurs axes verticaux partent de zéro avec la même échelle ». Sinon, il faut revenir aux nombres.
Exercice 9 : Problème : la journée de Léa
Léa se lève à 6 h 45 et part au collège à 7 h 30. Les cours ont lieu de 8 h à 16 h, avec une pause déjeuner de 11 h 45 à 12 h 55. Elle rentre chez elle à 16 h 40, consacre 1 h 20 min à ses devoirs et se couche à 21 h 30.
1) Combien de temps s'écoule entre son lever et son départ ?
2) Combien de temps Léa passe-t-elle au collège, de 8 h à 16 h ?
3) Quelle est la durée de la pause déjeuner ?
4) Quelle est la durée réelle des cours dans la journée ?
5) Combien de temps s'écoule entre son retour à la maison et son coucher ? Quelle part de ce temps est consacrée aux devoirs ?
6) Léa se lève de nouveau à 6 h 45 le lendemain. Combien de temps a-t-elle dormi ?
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Réponses
1)45 min
2)480 min
3)70 min
4)6 h 50 min
5)290 min ; 29080
6)9 h 15 min
1)
De 6 h 45 à 7 h, il s'écoule 15 minutes, puis de 7 h à 7 h 30, 30 minutes de plus. La durée est donc de 45 minutes. On passe par l'heure ronde parce que les minutes d'arrivée, 30, sont plus petites que celles du départ, 45.
2)
De 8 h à 16 h, il s'écoule exactement 8 heures, soit 8×60=480 minutes. Ici la soustraction directe des heures est possible parce que les deux horaires tombent pile, sans minutes.
3)
De 11 h 45 à 12 h, il y a 15 minutes, puis de 12 h à 12 h 55, 55 minutes. La pause dure donc 15+55=70 minutes, c'est-à-dire 1 h 10 min. Attention à écrire le résultat proprement : « 70 minutes » et « 1 h 10 » désignent la même durée, mais « 1 h 70 » n'existe pas.
4)
Les cours occupent la journée sauf la pause : 480−70=410 minutes. En heures et minutes, 410=60×6+50, donc 6 h 50 min de cours effectifs. C'est 1 h 10 min de moins que les huit heures de présence, un écart qu'on oublie facilement si l'on répond sans retirer la pause.
5)
De 16 h 40 à 17 h, il y a 20 minutes, puis de 17 h à 21 h 30, 4 h 30 min : au total 4 h 50 min, soit 290 minutes. Les devoirs en occupent 1 h 20 min, c'est-à-dire 80 minutes. La part consacrée aux devoirs est donc 29080, un peu plus du quart de ce temps libre.
6)
Léa se couche à 21 h 30 et se lève à 6 h 45 : la durée traverse minuit, il faut donc la couper en deux morceaux. De 21 h 30 à minuit, il y a 2 h 30 min. De minuit à 6 h 45, il y a 6 h 45 min. Le total vaut 2 h 30 min +6 h 45 min =8 h 75 min, et comme 75 dépasse 60, cela fait 9 h 15 min de sommeil. Oublier de couper à minuit conduit à une soustraction impossible, ou pire, à un résultat négatif que l'on garde sans réfléchir.
Exercice 10 : Problème : un vol avec décalage horaire
Un avion décolle à 20 h 15, heure locale de départ, pour un vol de 7 h 05 min. À l'arrivée, l'heure locale est en avance de 6 heures sur celle du départ. Le schéma fait correspondre les deux heures locales : quand il est midi à un bout, il est 18 h à l'autre.
1) À quelle heure l'avion se pose-t-il, si l'on garde l'heure du lieu de départ ?
2) Quelle heure locale est-il alors à l'arrivée ?
3) Au moment du décollage, quelle heure locale est-il déjà à destination ?
4) Vérifier la réponse de la question 2 en repartant du résultat de la question 3.
5) Le vol retour dure 8 h 10 min et décolle à 13 h 40, heure locale du lieu d'arrivée. À quelle heure se pose-t-il, en heure locale de départ ?
6) Sur les horaires affichés, le vol retour semble durer 2 h 10 min. Comment l'expliquer ?
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Réponses
1)3 h 20, le lendemain
2)9 h 20
3)2 h 15
4)2 h 15 + 7 h 05 = 9 h 20
5)15 h 50
6)Deux fuseaux : 2 h 10 + 6 h
1)
On ajoute la durée à l'heure de décollage : 20 h 15+7 h 05 min. Les heures : 20+7=27. Les minutes : 15+5=20. On obtient 27 h 20, ce qui dépasse 24 h : l'avion se pose donc le LENDEMAIN à 27−24=3 h 20. Une heure supérieure à 24 signale toujours un changement de jour, et c'est une réponse incomplète tant qu'on ne l'a pas dit.
2)
L'heure locale d'arrivée est en avance de 6 heures : il faut donc ajouter 6 h à 3 h 20, ce qui donne 9 h 20, toujours le lendemain. C'est cette heure-là que le passager lira sur les panneaux de l'aéroport en descendant de l'avion.
3)
Au décollage il est 20 h 15 sur place, donc 20 h 15+6 h =26 h 15, c'est-à-dire 2 h 15 le lendemain à destination. Le décalage s'applique à n'importe quel instant, y compris au moment du départ : ce n'est pas quelque chose qui arrive à l'atterrissage.
4)
En partant de 2 h 15, heure de destination, et en ajoutant la durée réelle du vol : 2 h 15+7 h 05 min =9 h 20. On retrouve exactement la réponse de la question 2. Les deux chemins, convertir puis ajouter ou ajouter puis convertir, donnent le même résultat, et le vérifier est la meilleure protection contre une erreur de décalage.
5)
Le vol retour décolle à 13 h 40 et dure 8 h 10 min : il se pose à 21 h 50, heure du lieu qu'il vient de quitter, car 13+8=21 et 40+10=50. Comme le lieu d'arrivée est en RETARD de 6 heures, on soustrait : 21 h 50−6 h =15 h 50. L'avion se pose donc à 15 h 50, heure locale d'arrivée, le jour même.
6)
Parce que les deux horaires affichés ne sont pas mesurés sur la même horloge : le départ, 13 h 40, est donné dans le fuseau de départ, et l'arrivée, 15 h 50, dans celui d'arrivée, qui est en retard de 6 heures. L'écart apparent vaut 2 h 10 min, mais il faut lui rendre les 6 heures de décalage : 2 h 10 min +6 h =8 h 10 min, ce qui est bien la durée réelle. Une durée ne se calcule entre deux horaires que s'ils sont lus sur la même horloge.
Partie C : les classiques (/50)
Exercice 11 : La durée d'une playlist
Nina prépare une playlist de cinq chansons pour un trajet. Le tableau donne la durée de chacune. Une minute vaut 60 secondes : les secondes se regroupent par paquets de 60, jamais de 100.
Chanson
1
2
3
4
5
Durée
3 min 42 s
4 min 18 s
2 min 55 s
3 min 36 s
5 min 09 s
1) Convertissez en secondes la durée de la chanson 1, puis celle de la chanson 5.
2) Calculez la durée totale de la playlist, en minutes et secondes.
3) Exprimez cette durée totale en secondes.
4) Le trajet dure 25 minutes. Quelle durée de musique Nina doit-elle encore ajouter pour couvrir tout le trajet ?
5) Nina écoute la playlist en boucle pendant 1 heure. Combien de fois l'entend-elle en entier ? Combien de temps dure le morceau de la dernière écoute ?
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Réponses
1)222 s ; 309 s
2)19 min 40 s
3)1 180 s
4)5 min 20 s
5)3 écoutes, reste 1 min
1)
Chanson 1 : 3×60+42=180+42=222 s. Chanson 5 : 5×60+9=300+9=309 s.
2)
On additionne séparément. Minutes : 3+4+2+3+5=17 min. Secondes : 42+18+55+36+9=160 s. Or 160=2×60+40 : 2 minutes de plus et 40 secondes. Total : 19 min 40 s. Écrire « 17 min 160 s » n'est pas faux, mais ce n'est pas terminé.
3)
19×60+40=1140+40=1180 s.
4)
De 19 min 40 s à 20 min, il manque 20 s ; de 20 min à 25 min, 5 min. Il faut ajouter 5 min 20 s. En secondes : 25×60=1500 s, et 1500−1180=320 s, soit 5 min 20 s.
5)
Une heure vaut 3600 s. 3600=1180×3+60 : trois écoutes complètes, puis 60 s, c'est-à-dire 1 minute de la quatrième écoute. C'est une division euclidienne : le quotient compte les écoutes entières, le reste la durée qui dépasse.
Exercice 12 : Années, siècles et âges
Le premier siècle va de l'an 1 à l'an 100, le deuxième de l'an 101 à l'an 200, et ainsi de suite. Un siècle dure 100 ans. L'année 1789 appartient donc au 18e siècle, pas au 17e.
1) En quel siècle se trouve l'année 1789 ? Et l'année 1492 ?
2) En quel siècle se trouve l'année 2000 ? Et l'année 2001 ?
3) Combien d'années séparent 1492 de 2026 ?
4) Un château construit en 1350 est restauré 475 ans plus tard. En quelle année ? En quel siècle ?
5) Une personne est née en mars 2014. Quel âge a-t-elle en décembre 2026 ? Et en janvier 2026 ?
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Réponses
1)18e ; 15e siècle
2)20e ; 21e siècle
3)534 ans
4)1825, 19e siècle
5)12 ans ; 11 ans
1)
1789 est après la fin du 17e siècle, en 1700, et avant la fin du 18e, en 1800 : c'est le 18e siècle. De même, 1492 est entre 1401 et 1500 : 15e siècle. Règle pratique : on ajoute 1 au nombre de centaines, 17+1=18 et 14+1=15.
2)
L'année 2000 est la DERNIÈRE année du 20e siècle, qui va de 1901 à 2000. L'année 2001 est la première du 21e siècle. La règle « centaines plus un » ne marche pas pour les années qui se terminent par 00 : c'est le piège des multiples de 100.
3)
2026−1492=534 ans.
4)
1350+475=1825. Cette année est entre 1801 et 1900 : 19e siècle.
5)
En décembre 2026, son anniversaire de mars est passé : 2026−2014=12 ans. En janvier 2026, il n'est pas encore arrivé : elle a encore 11 ans. Une simple soustraction des années ne suffit pas, il faut regarder si l'anniversaire est passé.
Exercice 13 : Compter les jours sur un calendrier
Nombre de jours des mois : janvier 31, février 28 (année non bissextile), mars 31, avril 30, décembre 31. Quand on compte les jours d'une période « du ... au ... inclus », le premier et le dernier jour comptent tous les deux.
1) Des vacances vont du samedi 20 décembre au dimanche 4 janvier inclus. Combien de jours durent-elles ?
2) Un élève calcule 31−20=11 jours en décembre, puis ajoute 4 jours de janvier. Quel total trouve-t-il ? Pourquoi est-ce faux ?
3) Le 20 décembre est un samedi. Quel jour de la semaine sera le 20 janvier suivant ?
4) Un médicament se prend un jour sur deux, en commençant le 1er mars. À quelle date a lieu la dixième prise ?
5) Combien de jours s'écoulent du 15 février au 15 avril d'une année non bissextile ?
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Réponses
1)16 jours
2)15 : il oublie le 20
3)Mardi
4)19 mars
5)59 jours
1)
En décembre, du 20 au 31 inclus : 31−20+1=12 jours. En janvier, du 1er au 4 : 4 jours. Total : 12+4=16 jours.
2)
Il trouve 11+4=15 jours, un de moins. La différence 31−20 compte les jours qui SÉPARENT le 20 du 31, sans compter le 20 lui-même, qui est pourtant un jour de vacances. C'est le problème des piquets et des intervalles : entre le jour 20 et le jour 31, il y a 11 intervalles, mais 12 jours.
3)
Du 20 décembre au 20 janvier, il s'écoule 31 jours, le nombre de jours de décembre. 31=7×4+3 : quatre semaines ramènent au samedi, puis on avance de 3 jours, dimanche, lundi, mardi. Le 20 janvier est un mardi.
4)
Les prises ont lieu les 1, 3, 5, 7... mars : chaque prise est 2 jours après la précédente. Entre la première et la dixième, il y a 9 intervalles de 2 jours, soit 18 jours. La dixième prise tombe le 1+18=19 mars. Le piège est de compter 10×2=20 jours et de répondre le 21.
5)
Du 15 février au 15 mars : 28 jours, la durée de février. Du 15 mars au 15 avril : 31 jours, la durée de mars. Total : 28+31=59 jours.
Exercice 14 : Problème : les tarifs de la piscine
Le tableau à double entrée donne les tarifs d'une piscine, en dollars. La carte de 10 entrées est valable tout l'été, pour une seule personne.
Entrée simple
Carte de 10 entrées
Enfant
3,50
28,00
Adulte
5,80
48,00
1) Quel est le prix d'une entrée simple pour un adulte ?
2) Deux adultes et trois enfants viennent une fois, en entrées simples. Combien paient-ils ?
3) Avec la carte de 10 entrées, combien coûte une entrée enfant ? Combien économise-t-on par entrée par rapport à l'entrée simple ?
4) Léo, qui est enfant, vient 7 fois pendant l'été. Combien lui coûtent 7 entrées simples ? Vaut-il mieux prendre la carte ?
5) À partir de combien d'entrées la carte enfant devient-elle strictement plus avantageuse que les entrées simples ?
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Réponses
1)5,80 dollars
2)22,10 dollars
3)2,80 ; économie 0,70
4)24,50 dollars : pas de carte
5)9 entrées
1)
On croise la ligne « Adulte » et la colonne « Entrée simple » : 5,80 dollars.
La carte enfant coûte 28 dollars pour 10 entrées : 28÷10=2,80 dollars l'entrée. L'économie par entrée vaut 3,50−2,80=0,70 dollar.
4)
7×3,50=24,50 dollars, moins que les 28 dollars de la carte. Léo a intérêt à payer ses entrées une à une : la carte n'est rentable que si l'on utilise assez d'entrées.
5)
Avec 8 entrées simples : 8×3,50=28 dollars, exactement le prix de la carte, aucun des deux n'est plus avantageux. Avec 9 entrées : 9×3,50=31,50 dollars, plus que la carte. La carte devient strictement plus avantageuse à partir de 9 entrées.
Exercice 15 : Problème : à quelle heure commencer le gâteau ?
Une recette de gâteau d'anniversaire se déroule en quatre étapes : préparation 35 min, cuisson 45 min, refroidissement 1 h 20 min, décoration 25 min. On veut servir le gâteau à 16 h 30.
1) Quelle est la durée totale de la recette, en minutes, puis en heures et minutes ?
2) À quelle heure faut-il commencer, au plus tard ?
3) En commençant à cette heure-là, à quelle heure le gâteau sort-il du four ?
4) Le cuisinier commence finalement à 13 h 50. À quelle heure le gâteau sera-t-il prêt ?
5) On s'aperçoit que la recette demande aussi 1,5 h de repos de la pâte entre la préparation et la cuisson. Pour servir à 16 h 30, à quelle heure aurait-il fallu commencer ?
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Réponses
1)185 min = 3 h 05 min
2)13 h 25
3)14 h 45
4)16 h 55
5)11 h 55
1)
1 h 20 min =80 min. Total : 35+45+80+25=185 min. Et 185=3×60+5 : 3 h 05 min.
2)
On remonte le temps : 16 h 30−3 h =13 h 30, puis 13 h 30−5 min =13 h 25. Il faut commencer au plus tard à 13 h 25.
3)
13 h 25+35 min =14 h 00 : fin de la préparation. 14 h 00+45 min =14 h 45 : le gâteau sort du four.
4)
Il commence 25 min plus tard que prévu, puisque de 13 h 25 à 13 h 50 il y a 25 min. Il sera donc prêt 25 min après 16 h 30 : de 16 h 30 à 17 h il y a 30 min, donc 16 h 30+25 min =16 h 55.
5)
1,5 h, c'est une heure et demie, 1 h 30 min, et non 1 h 50 min. La recette dure alors 3 h 05 min +1 h 30 min =4 h 35 min. En remontant depuis 16 h 30 : 16 h 30−4 h =12 h 30, puis 12 h 30−35 min =11 h 55. Il aurait fallu commencer à 11 h 55.
Il manque quelque chose dans cette série ?Un type d'exercice que ton prof donne, un énoncé qui te bloque, une erreur repérée : dis-le-moi, je lis chaque demande.
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