Devoir bilan corrigé de mathématiques (Sixième)

1) On pose l'addition en alignant les VIRGULES, ce qui revient à aligner les unités sous les unités et les dixièmes sous les dixièmes. On peut compléter le premier nombre par un zéro, $4{,}70$, pour que les deux aient autant de décimales. On obtient $4{,}70+12{,}85=17{,}55$.

2) Même principe, en écrivant $8$ sous la forme $8{,}00$ : $8{,}00-3{,}46=4{,}54$. Contrôle : la différence ajoutée au nombre retranché doit redonner le premier, et $4{,}54+3{,}46=8{,}00$ ✓.

3) Pour multiplier des décimaux, on calcule d'abord SANS les virgules : $24\times 35=840$. Puis on compte le nombre total de décimales des deux facteurs, ici $1+1=2$, et on les place dans le résultat : $8{,}40$, c'est-à-dire $8{,}4$. On n'aligne pas les virgules dans une multiplication, contrairement à l'addition : c'est la différence la plus importante entre les deux techniques.

4) On divise par un entier, donc la technique est celle de la division posée, en abaissant la virgule au moment où on passe des unités aux dixièmes : $12{,}6\div 4=3{,}15$. Contrôle : $3{,}15\times 4=12{,}60$ ✓.

5) On compare d'abord les parties entières : elles sont égales, toutes deux valent $5$. On compare ensuite les dixièmes : $8$ contre $7$. Comme $8>7$, on conclut $5{,}8>5{,}74$. L'erreur classique consiste à croire que le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand : $5{,}74$ en a plus que $5{,}8$ et il est pourtant plus petit. La méthode sûre est de compléter par des zéros pour avoir autant de décimales, ici $5{,}80$ contre $5{,}74$, et de comparer alors comme des entiers.

6) On complète tous les nombres à trois décimales : $3{,}400$ ; $3{,}040$ ; $3{,}440$ ; $3{,}404$. La comparaison devient immédiate, et l'ordre croissant est $3{,}04<3{,}4<3{,}404<3{,}44$. Notez que $3{,}4$ et $3{,}404$ sont très proches, et que seule l'écriture avec le même nombre de décimales permet de les distinguer sans hésiter. Retenez aussi que $3{,}4$ et $3{,}40$ et $3{,}400$ sont le MÊME nombre : ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change rien.

1) Prendre le quart, c'est diviser par $4$ : $\dfrac{48}{4}=12$.

2) On commence par le cinquième, $\dfrac{45}{5}=9$, puis on en prend trois fois plus : $3\times 9=27$. On peut aussi multiplier d'abord, $3\times 45=135$, puis diviser par $5$, ce qui donne $27$ ✓. Diviser d'abord est presque toujours plus facile de tête.

3) Un stylo coûte $\dfrac{4{,}50}{6}=0{,}75$ dollar. Dix stylos coûtent donc $10\times 0{,}75=7{,}50$ dollars. Ce détour par le prix d'un seul objet s'appelle le retour à l'unité, et il résout presque tous les problèmes de proportionnalité.

4) Simplifier, c'est diviser le numérateur ET le dénominateur par un même nombre. Ici $18$ et $24$ sont tous deux divisibles par $6$ : $\dfrac{18}{24}=\dfrac{18\div 6}{24\div 6}=\dfrac{3}{4}$. On ne peut pas aller plus loin, car $3$ et $4$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$ : la fraction est irréductible. On pouvait aussi simplifier en deux temps, par $2$ puis par $3$, et arriver au même résultat.

5) On met les deux fractions au même dénominateur. Le plus petit multiple commun de $4$ et $6$ est $12$ : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$. Comme $9<10$, on conclut $\dfrac{3}{4}<\dfrac{5}{6}$.

6) La situation est proportionnelle. Par personne il faut $\dfrac{200}{4}=50$ g, donc pour dix personnes $10\times 50=500$ g. On peut contrôler autrement : dix personnes, c'est deux fois et demie quatre personnes, et $500$ est bien deux fois et demie $200$ ✓. Une remarque de bon sens pour finir : dans une recette, toutes les grandeurs ne sont pas proportionnelles au nombre de convives, et le temps de cuisson en particulier ne se multiplie pas par deux et demi.

1) On ajoute d'abord les heures, puis les minutes : $20$ h $+1$ h $=21$ h, et $35+50=85$ minutes. Comme $85$ dépasse $60$, on convertit : $85$ min $=1$ h $25$ min. Le film se termine donc à $21$ h $+1$ h $25=22$ h $25$. Le piège de tout ce chapitre est là : les durées ne se comptent pas en base dix mais en base SOIXANTE, et $35+50$ ne donne pas $85$ minutes affichables.

2) Une heure vaut $60$ minutes, donc $2$ h valent $120$ minutes, auxquelles s'ajoutent les $15$ : $2$ h $15$ min $=135$ minutes.

3) On cherche combien de fois $60$ tient dans $200$ : trois fois, puisque $3\times 60=180$, et il reste $200-180=20$. Donc $200$ min $=3$ h $20$ min.

4) On peut décomposer le trajet. De $8$ h $47$ à $9$ h, il s'écoule $13$ minutes. De $9$ h à $11$ h, il s'écoule $2$ heures. De $11$ h à $11$ h $12$, il s'écoule $12$ minutes. Total : $2$ h $+13+12$ min $=2$ h $25$ min. On peut aussi tout convertir en minutes depuis minuit, $11\times 60+12=672$ et $8\times 60+47=527$, puis soustraire : $672-527=145$ minutes, soit $2$ h $25$ ✓. La méthode par décomposition est plus rapide, celle par conversion est plus sûre.

5) Trois fois $45$ font $135$ minutes. On convertit : $135=2\times 60+15$, donc la durée totale est $2$ h $15$ min.

6) Une journée compte $24$ heures, chaque heure $60$ minutes, chaque minute $60$ secondes. Donc $24\times 60\times 60=24\times 3\,600=86\,400$ secondes. C'est un nombre qu'il vaut la peine de retenir, car il revient souvent : une journée fait un peu moins de cent mille secondes.

1) Le périmètre est la longueur du contour : deux longueurs et deux largeurs, soit $2\times(7{,}5+4)=2\times 11{,}5=23$ cm.

2) L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux dimensions : $7{,}5\times 4=30\ \mathrm{cm^{2}}$. Notez bien les unités : le périmètre est une longueur et s'exprime en centimètres, l'aire est une surface et s'exprime en centimètres CARRÉS. Ce sont deux grandeurs de natures différentes, et l'on ne peut jamais les comparer.

3) Le carré a quatre côtés égaux, donc son périmètre vaut $4\times 6=24$ cm et son aire $6\times 6=36\ \mathrm{cm^{2}}$. Comparez avec le rectangle : il a un périmètre presque identique, $23$ contre $24$ cm, et pourtant une aire nettement plus petite, $30$ contre $36\ \mathrm{cm^{2}}$. C'est un fait important à retenir : deux figures de même périmètre n'ont PAS la même aire, et parmi tous les rectangles de périmètre donné, c'est le carré qui a la plus grande aire.

4) Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle : son aire vaut donc la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit, soit $\dfrac{6\times 8}{2}=24\ \mathrm{cm^{2}}$.

5) L'aire vaut $25\times 16=400\ \mathrm{m^{2}}$. Comme un are vaut $100\ \mathrm{m^{2}}$, cela fait $\dfrac{400}{100}=4$ ares. L'are et l'hectare, qui vaut $10\,000\ \mathrm{m^{2}}$, servent à mesurer les terrains, et il faut savoir passer de l'un à l'autre.

6) C'est la conversion la plus délicate du chapitre. Un mètre vaut $100$ cm, mais un mètre CARRÉ ne vaut pas $100\ \mathrm{cm^{2}}$ : il vaut $100\times 100=10\,000\ \mathrm{cm^{2}}$, car il faut convertir les deux dimensions. Donc $2{,}5\ \mathrm{m^{2}}=2{,}5\times 10\,000=25\,000\ \mathrm{cm^{2}}$. Pour se convaincre du facteur $10\,000$, il suffit d'imaginer un carré de $1$ m de côté quadrillé en carrés de $1$ cm : il y a cent lignes de cent carrés. La même logique donnera plus tard le facteur $1\,000\,000$ pour les mètres cubes.

1) Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : $5\times 4\times 3=60\ \mathrm{cm^{3}}$. L'ordre des trois facteurs n'a aucune importance.

2) Un cube a ses douze arêtes égales, donc son volume vaut $4\times 4\times 4=64\ \mathrm{cm^{3}}$.

3) Un litre valant mille centimètres cubes, on divise par $1\,000$ : $\dfrac{60}{1\,000}=0{,}06$ L. C'est très peu, environ un seizième de litre, ce qui est cohérent avec un objet qui tient dans la main.

4) La contenance vaut $50\times 30\times 40=60\,000\ \mathrm{cm^{3}}$, soit $\dfrac{60\,000}{1\,000}=60$ L. Toutes les dimensions doivent être dans la même unité AVANT de multiplier.

5) L'eau forme elle-même un pavé droit, dont la base est le fond de l'aquarium et dont la hauteur est celle de l'eau. Le fond a une aire de $50\times 30=1\,500\ \mathrm{cm^{2}}$, et $45$ L font $45\,000\ \mathrm{cm^{3}}$. La hauteur vaut donc $\dfrac{45\,000}{1\,500}=30$ cm. Contrôle : $45$ L, c'est les trois quarts des $60$ L de l'aquarium, et $30$ cm sont bien les trois quarts de la hauteur totale de $40$ cm ✓.

6) Deux façons de faire, et il vaut la peine de connaître les deux. Par les volumes : le pavé fait $8\times 6\times 4=192\ \mathrm{cm^{3}}$ et chaque petit cube $2\times 2\times 2=8\ \mathrm{cm^{3}}$, donc $\dfrac{192}{8}=24$ cubes. Par le rangement : le long de l'arête de $8$ cm on aligne $4$ cubes, le long de celle de $6$ cm on en aligne $3$, et sur la hauteur de $4$ cm on en empile $2$, soit $4\times 3\times 2=24$ cubes ✓. Le second raisonnement est le plus sûr, car il vérifie que les cubes tiennent réellement : si une dimension n'était pas un multiple de $2$, le calcul par les volumes donnerait un résultat trop grand, impossible à réaliser. Par exemple dans un pavé de $8$ sur $6$ sur $5$, le volume donnerait $30$ cubes alors qu'on n'en range que $24$, la dernière couche ne tenant pas.

1) Un carré possède QUATRE axes de symétrie : les deux médianes, qui passent par les milieux de deux côtés opposés, et les deux diagonales. La figure du corrigé les montre tous les quatre en pointillé. On les trouve en cherchant tous les pliages qui superposent exactement la figure sur elle-même.

2) Un rectangle non carré n'en possède que DEUX : ses deux médianes. Ses diagonales ne sont PAS des axes de symétrie, contrairement à ce qu'on croit souvent : en pliant le rectangle le long d'une diagonale, les deux moitiés ne se superposent pas. C'est exactement ce que le carré possède en plus, et c'est ce qui le distingue.

3) Un triangle équilatéral possède TROIS axes de symétrie, un par sommet, chacun passant par le sommet et le milieu du côté opposé. Un cercle en possède une INFINITÉ : toute droite passant par son centre est un axe de symétrie. C'est un bon exemple du fait qu'un nombre d'axes n'est pas forcément fini.

4) Deux angles supplémentaires ont une somme de $180^{\circ}$, ce qui correspond à un angle plat. Le second mesure donc $180-118=62^{\circ}$.

5) Deux angles complémentaires ont une somme de $90^{\circ}$, ce qui correspond à un angle droit. Le second mesure donc $90-37=53^{\circ}$. Ne confondez pas les deux mots : COMPLÉMENTAIRES pour $90^{\circ}$, SUPPLÉMENTAIRES pour $180^{\circ}$. Un moyen de s'en souvenir est que « supplémentaire » est le mot le plus long et correspond au plus grand des deux angles.

6) Un angle de $118^{\circ}$ est plus grand que $90^{\circ}$ et plus petit que $180^{\circ}$ : il est OBTUS. Un angle de $37^{\circ}$ est plus petit que $90^{\circ}$ : il est AIGU. Le vocabulaire complet à connaître est celui-ci : nul pour $0^{\circ}$, aigu entre $0$ et $90$, droit pour exactement $90$, obtus entre $90$ et $180$, plat pour exactement $180$. On remarquera au passage un fait utile : deux angles complémentaires sont forcément tous deux aigus, alors que deux angles supplémentaires comptent au plus un angle obtus.

1) On lit sur le graphique ou dans le tableau : la température maximale est de $12\ \mathrm{^{\circ}C}$, atteinte à $15$ h, et la minimale de $-2\ \mathrm{^{\circ}C}$, à $6$ h. La courbe monte jusqu'au milieu de l'après-midi puis redescend, ce qui est le comportement habituel d'une journée.

2) L'amplitude est la différence entre le maximum et le minimum : $12-(-2)=12+2=14\ \mathrm{^{\circ}C}$. C'est ici que les nombres négatifs demandent de l'attention : soustraire $-2$ revient à AJOUTER $2$. Répondre $10$ serait l'erreur classique, celle qui oublie le signe.

3) La température est encore négative à $6$ h, avec $-2\ \mathrm{^{\circ}C}$, et déjà positive à $9$ h, avec $3\ \mathrm{^{\circ}C}$ : elle est donc passée par zéro ENTRE $6$ h et $9$ h. Le graphique le montre bien, la ligne brisée coupant l'axe des abscisses dans cet intervalle. On ne peut pas dire l'heure exacte : les relevés ne sont faits que toutes les trois heures, et la ligne qui les relie n'est qu'une commodité de lecture, pas une mesure.

4) On additionne les six valeurs puis on divise par six : $(-2)+3+9+12+7+1=30$, donc la moyenne vaut $\dfrac{30}{6}=5\ \mathrm{^{\circ}C}$. Il faut bien compter le $-2$ comme négatif dans la somme.

5) De $-2$ à $12$, l'augmentation est de $12-(-2)=14\ \mathrm{^{\circ}C}$. C'est la même valeur que l'amplitude, parce que le minimum de la journée se produit précisément à $6$ h et le maximum à $15$ h.

6) Non, la température n'est pas proportionnelle à l'heure, et on peut le justifier de deux façons. D'abord par le graphique : les points ne sont PAS alignés, et une situation de proportionnalité se représente toujours par des points alignés avec l'origine. Ensuite par le calcul : de $6$ h à $9$ h la température varie de $5$ degrés, mais de $12$ h à $15$ h elle ne varie que de $3$ degrés, alors que la durée est la même. Un argument suffit d'ailleurs à conclure définitivement : à $6$ h la température est négative, or dans une situation de proportionnalité toutes les valeurs sont des multiples d'un même coefficient et gardent le même signe. On notera enfin que la température ne PEUT PAS être proportionnelle à l'heure, car le zéro de l'échelle Celsius est un choix arbitraire et non une absence de température.