Devoir bilan corrigé de mathématiques (Cinquième)

1) Additionner deux nombres négatifs, c'est cumuler deux dettes : $(-7)+(-5)=-12$. Pour la seconde, soustraire un nombre revient à ajouter son OPPOSÉ : $(-3)-(-8)=(-3)+(+8)=+5$. La règle des deux signes qui se suivent est celle-ci : moins un nombre négatif donne plus, donc $-(-8)$ vaut $+8$.

2) Chez les nombres négatifs, l'ordre est INVERSÉ par rapport aux positifs : plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. Ici $4{,}5$ est plus grand que $4{,}05$, donc $-4{,}5$ est plus PETIT que $-4{,}05$, et l'on écrit $-4{,}5<-4{,}05$. La méthode sûre consiste à placer les deux nombres sur une droite graduée : celui qui est le plus à gauche est le plus petit. Le piège de cet exercice est que $4{,}5$ et $4{,}05$ n'ont pas le même nombre de décimales ; on compare en écrivant $4{,}50$ et $4{,}05$.

3) On ne peut additionner que des fractions de même dénominateur. Comme $6$ est un multiple de $3$, il suffit de transformer la première : $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$, donc la somme vaut $\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$. On n'additionne JAMAIS les dénominateurs entre eux.

4) Le plus petit dénominateur commun de $4$ et $3$ est $12$ : $\dfrac{7}{4}=\dfrac{21}{12}$ et $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$, donc la différence vaut $\dfrac{13}{12}$. Contrôle d'ordre de grandeur : $\dfrac{7}{4}$ vaut $1{,}75$ et $\dfrac{2}{3}$ environ $0{,}67$, la différence doit donc valoir environ $1{,}08$, et $\dfrac{13}{12}\approx 1{,}08$ ✓.

5) Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on les met au même dénominateur. Le plus petit commun multiple de $5$ et $8$ est $40$ : $\dfrac{3}{5}=\dfrac{24}{40}$ et $\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{40}$. Comme $24<25$, on conclut $\dfrac{3}{5}<\dfrac{5}{8}$. On ne compare jamais les numérateurs de deux fractions de dénominateurs différents : $3<5$ ne prouve rien du tout.

6) Prendre une fraction d'un nombre, c'est MULTIPLIER : $\dfrac{3}{4}\times 60=\dfrac{3\times 60}{4}=\dfrac{180}{4}=45$. Il est souvent plus simple de diviser d'abord : le quart de $60$ vaut $15$, donc les trois quarts valent $3\times 15=45$ ✓. Les deux chemins donnent le même résultat, et le second se fait de tête.

1) On ne regroupe que les termes SEMBLABLES, c'est-à-dire ceux qui contiennent la même lettre. Les termes en $x$ donnent $5x-2x=3x$, et les nombres seuls donnent $3+7=10$. Le résultat est $3x+10$. On ne peut pas aller plus loin : $3x$ et $10$ ne sont pas semblables, et écrire $13x$ serait faux.

2) La distributivité impose de multiplier le facteur par CHACUN des termes : $4(x+3)=4\times x+4\times 3=4x+12$. Oublier le second produit est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

3) Même principe, en soignant le signe : $7(2x-5)=7\times 2x-7\times 5=14x-35$.

4) L'exposant ne porte que sur $x$, pas sur le $3$. On calcule donc d'abord le carré : $x^{2}=(-2)^{2}=4$, puis on multiplie : $3\times 4=12$. Le résultat est POSITIF, car le carré d'un nombre négatif est toujours positif. Répondre $-12$ revient à avoir calculé $3\times(-2)$ puis élevé au carré, ce qui n'est pas l'expression demandée.

5) On remplace $x$ par $5$ dans le membre de gauche : $2\times 5+1=10+1=11$. Le membre de droite vaut $11$. Les deux membres sont égaux, donc $5$ est bien solution de l'équation. Tester une valeur est une méthode de vérification très utile, et elle ne demande aucune technique de résolution.

6) Le périmètre d'un rectangle est la somme de ses quatre côtés, soit deux largeurs et deux longueurs : $P=x+(x+4)+x+(x+4)$. En réduisant, on obtient $4x+8$. On peut aussi écrire $P=2\left(x+(x+4)\right)=2(2x+4)=4x+8$ ✓, ce qui est la forme habituelle et donne le même résultat. Un contrôle numérique confirme : pour $x=3$, le rectangle mesure $3$ sur $7$, son périmètre vaut $2\times 10=20$, et la formule donne $4\times 3+8=20$ ✓.

1) On passe par le prix d'UN croissant, ce qu'on appelle le retour à l'unité : $\dfrac{5{,}20}{4}=1{,}30$ dollar. Sept croissants coûtent donc $7\times 1{,}30=9{,}10$ dollars. On peut aussi utiliser le coefficient $\dfrac{7}{4}=1{,}75$ et écrire $5{,}20\times 1{,}75=9{,}10$ ✓.

2) Prendre $25\ \%$, c'est prendre $\dfrac{25}{100}$, c'est-à-dire le QUART : $\dfrac{84}{4}=21$. Reconnaître que $25\ \%$ est un quart, $50\ \%$ une moitié et $10\ \%$ un dixième permet de faire la plupart de ces calculs de tête.

3) Deux chemins mènent au résultat. Le premier calcule la réduction puis la retranche : $60\times 0{,}30=18$ dollars de remise, donc $60-18=42$ dollars. Le second, plus direct, remarque qu'après une réduction de $30\ \%$ il reste $70\ \%$ du prix : $60\times 0{,}70=42$ dollars ✓. La seconde méthode est préférable, car elle évite l'erreur qui consiste à oublier de soustraire et à répondre $18$.

4) La masse de riz est proportionnelle au nombre de personnes. Par personne il faut $\dfrac{300}{4}=75$ g, donc pour six personnes $6\times 75=450$ g. Contrôle de bon sens : six personnes, c'est une fois et demie quatre personnes, et $450$ est bien une fois et demie $300$ ✓.

5) Il faut convertir la durée en heures, puisque la vitesse est en kilomètres par HEURE : $40$ min $=\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$ h. La distance vaut alors $18\times\dfrac{2}{3}=12$ km. On peut raisonner autrement, sans fraction : en une heure il fait $18$ km, donc en $20$ min il fait $6$ km, et en $40$ min deux fois plus, soit $12$ km ✓.

6) On calcule $250\times\dfrac{60}{100}=250\times 0{,}6=150$ élèves. Contrôle : $60\ \%$ est un peu plus de la moitié, et $150$ est bien un peu plus que $125$ ✓. Un dernier mot sur la lecture d'un pourcentage : dire que $60\ \%$ des élèves font du sport ne dit rien du nombre total, et deux collèges avec le même pourcentage peuvent avoir des effectifs sportifs très différents. Un pourcentage est une PROPORTION, jamais un nombre.

1) La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180^{\circ}$. Le troisième angle mesure donc $180-47-68=180-115=65^{\circ}$.

2) Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont ÉGAUX. Ils se partagent donc ce qui reste après l'angle au sommet : $180-40=140^{\circ}$ à répartir en deux, soit $\dfrac{140}{2}=70^{\circ}$ chacun. Contrôle : $40+70+70=180$ ✓.

3) Non, c'est impossible. L'inégalité triangulaire exige que le plus grand côté soit plus court que la somme des deux autres. Or $3+4=7$, et $7<9$ : les deux petits côtés mis bout à bout n'atteignent même pas le troisième. Concrètement, si l'on ouvre au maximum l'angle entre les côtés de $3$ et $4$ cm, on obtient un segment de $7$ cm, insuffisant pour rejoindre les extrémités d'un côté de $9$ cm.

4) Oui, c'est possible : $5+7=12$, et $12>11$. Le triangle existe, mais il sera très APLATI, puisque la somme des deux petits côtés ne dépasse le grand que d'un centimètre. C'est un bon repère : plus l'écart est faible, plus le triangle est plat, et l'égalité correspondrait à trois points alignés.

5) Les angles $a$ et $63^{\circ}$ sont adjacents et leurs côtés extérieurs sont dans le prolongement l'un de l'autre le long de la droite $(d_{1})$ : ils forment donc un angle plat et sont SUPPLÉMENTAIRES. D'où $a=180-63=117^{\circ}$.

6) L'angle $b$ et l'angle de $63^{\circ}$ sont ALTERNES-INTERNES : ils sont situés de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites parallèles. Or deux angles alternes-internes déterminés par deux droites PARALLÈLES et une sécante sont égaux, donc $b=63^{\circ}$. Il faut bien voir que cette propriété exige le parallélisme : si les deux droites ne l'étaient pas, les deux angles seraient différents, et c'est d'ailleurs ce qui permet de démontrer un parallélisme en sens inverse. On retiendra la méthode de reconnaissance : les angles alternes-internes forment un Z avec la sécante, les angles correspondants forment un F.

1) L'aire d'un parallélogramme est le produit d'une base par la hauteur RELATIVE à cette base : $8\times 5=40\ \mathrm{cm^{2}}$. Attention, la hauteur n'est pas la longueur du côté oblique : c'est la distance entre la base et le côté qui lui est parallèle, mesurée perpendiculairement, comme le montre le trait vertical de la figure.

2) L'aire d'un triangle est la MOITIÉ du produit de la base par la hauteur : $\dfrac{8\times 5}{2}=20\ \mathrm{cm^{2}}$. On remarque que c'est exactement la moitié de l'aire du parallélogramme, et ce n'est pas un hasard : tout parallélogramme se coupe en deux triangles superposables par une de ses diagonales. La figure met les deux solides côte à côte pour rendre cette relation visible.

3) L'aire d'un disque vaut $\pi r^{2}=3{,}14\times 4^{2}=3{,}14\times 16=50{,}24\ \mathrm{cm^{2}}$. Le piège est de multiplier avant d'élever au carré : l'exposant ne porte que sur le rayon.

4) Le périmètre d'un cercle vaut $2\pi r=2\times 3{,}14\times 4=25{,}12$ cm. Ne confondez pas les deux formules : l'aire contient un carré et s'exprime en centimètres carrés, le périmètre est linéaire et s'exprime en centimètres. Un contrôle utile : le périmètre d'un cercle vaut un peu plus de trois fois son diamètre, ici un peu plus de $24$ cm ✓.

5) L'aire d'un losange est la moitié du produit de ses diagonales : $\dfrac{12\times 7}{2}=42\ \mathrm{cm^{2}}$. Cette formule vient du fait que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : le losange s'inscrit exactement dans un rectangle de côtés $12$ et $7$ dont il occupe la moitié.

6) Dans un parallélogramme, les angles OPPOSÉS sont égaux et les angles CONSÉCUTIFS sont supplémentaires. L'angle opposé à celui de $65^{\circ}$ mesure donc $65^{\circ}$, et les deux autres mesurent $180-65=115^{\circ}$ chacun. Contrôle par la somme des angles d'un quadrilatère, qui vaut $360^{\circ}$ : $65+115+65+115=360$ ✓.

1) Le volume d'un prisme droit est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur : $15\times 9=135\ \mathrm{cm^{3}}$. Cette formule vaut pour tous les prismes droits, quelle que soit la forme de la base, et le cylindre n'en est qu'un cas particulier à base circulaire.

2) La base du cylindre est un disque d'aire $\pi r^{2}=3{,}14\times 3^{2}=3{,}14\times 9=28{,}26\ \mathrm{cm^{2}}$. Le volume vaut donc $28{,}26\times 10=282{,}6\ \mathrm{cm^{3}}$.

3) Un litre valant mille centimètres cubes, on divise par $1\,000$ : $\dfrac{282{,}6}{1\,000}=0{,}282\,6$ L, soit un peu plus d'un quart de litre. Ce repère est utile : une boîte de conserve courante mesure environ $8$ cm de diamètre sur $10$ cm de haut, ce qui donne bien un demi-litre environ.

4) Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : $40\times 25\times 30=30\,000\ \mathrm{cm^{3}}$, soit $30$ L. Toutes les longueurs doivent être dans la MÊME unité avant de multiplier.

5) Les trois quarts de $30$ L font $30\times\dfrac{3}{4}=22{,}5$ L. On peut le voir autrement : le quart vaut $7{,}5$ L, donc les trois quarts en valent trois fois plus.

6) À $5$ L par minute, il faut $\dfrac{22{,}5}{5}=4{,}5$ minutes, soit $4$ minutes et $30$ secondes. Attention à la conversion de la partie décimale : $4{,}5$ minutes ne se lisent pas « $4$ minutes $5$ » mais « $4$ minutes $30$ », puisque $0{,}5$ minute vaut la moitié de $60$ secondes. C'est la même vigilance que pour les durées en heures, où $2{,}5$ h valent $2$ h $30$ et non $2$ h $5$.

1) On additionne les effectifs : $4+7+5+3+1=20$ ✓. C'est le premier réflexe devant un tableau, car un total faux rendrait tous les calculs suivants faux.

2) La moyenne d'une série groupée n'est pas la moyenne des valeurs du tableau : chaque valeur doit être PONDÉRÉE par son effectif. Le total des frères et sœurs vaut $0\times 4+1\times 7+2\times 5+3\times 3+4\times 1=0+7+10+9+4=30$. La moyenne vaut donc $\dfrac{30}{20}=1{,}5$. Notez qu'une moyenne peut très bien ne pas être un nombre entier, même quand toutes les valeurs le sont : il n'existe évidemment aucun élève ayant un frère et demi.

3) « Au plus un » signifie $0$ ou $1$, donc $4+7=11$ élèves. Le vocabulaire est ici toute la difficulté : « au plus » veut dire inférieur ou égal, « au moins » veut dire supérieur ou égal, et confondre les deux inverse complètement la réponse.

4) L'effectif étant PAIR, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales, celles de rang $10$ et $11$. Les effectifs cumulés valent $4$, $11$, $16$, $19$, $20$ : les rangs $5$ à $11$ correspondent tous à la valeur $1$, donc les rangs $10$ et $11$ valent tous deux $1$, et la médiane est $1$. On remarquera qu'elle diffère de la moyenne, $1{,}5$ : les quelques familles nombreuses tirent la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane, qui ne dépend que du rang central.

5) L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $4-0=4$. C'est un indicateur de dispersion, il mesure l'écartement de la série et non sa position.

6) « Au moins deux » regroupe les valeurs $2$, $3$ et $4$, soit $5+3+1=9$ élèves sur $20$. La probabilité vaut donc $\dfrac{9}{20}=0{,}45$, c'est-à-dire $45$ pour cent. On peut contrôler par l'événement contraire : la probabilité d'avoir au plus un frère ou une sœur vaut $\dfrac{11}{20}=0{,}55$, et $0{,}45+0{,}55=1$ ✓. Ce contrôle par le complémentaire vaut toujours la peine, car la somme des probabilités de tous les cas possibles fait exactement $1$.