Devoir bilan corrigé de mathématiques (Quatrième)

1) La multiplication passe avant l'addition. Le produit de deux nombres de MÊME signe est positif, donc $(-3)\times(-5)=+15$ ; le produit de deux nombres de signes contraires est négatif, donc $(-4)\times 2=-8$. Il reste $15-8=7$. L'erreur la plus fréquente est de calculer de gauche à droite, ce qui donnerait $(-3)\times(-5)=15$ puis $15+(-4)=11$ puis $11\times 2=22$ : les priorités opératoires ne se négocient pas.

2) $(-2)^{3}=(-2)\times(-2)\times(-2)=4\times(-2)=-8$, et $(-2)^{4}=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=4\times 4=16$. La règle à retenir est simple : une puissance PAIRE d'un nombre négatif est positive, une puissance IMPAIRE est négative, parce que les facteurs négatifs s'apparient deux par deux et que chaque paire donne un produit positif. Attention aussi aux parenthèses : $-2^{4}$ sans parenthèses vaut $-16$, car l'exposant ne porte alors que sur le $2$.

3) On ne peut additionner que des fractions de même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun de $4$ et $6$ est $12$ : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$, donc la somme vaut $\dfrac{19}{12}$. Cette fraction est irréductible car $19$ est premier et ne divise pas $12$. On peut contrôler l'ordre de grandeur : la somme doit dépasser $1$ puisque $\dfrac{3}{4}$ vaut déjà $0{,}75$, et $\dfrac{19}{12}\approx 1{,}58$ ✓.

4) Diviser par une fraction, c'est multiplier par son INVERSE : $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$. On peut simplifier avant de multiplier, ce qui est toujours plus sûr : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{2\times 9}{3\times 4}$, et en simplifiant $9$ par $3$ et $2$ par $4$ il reste $\dfrac{1\times 3}{1\times 2}=\dfrac{3}{2}$.

5) On applique les règles des puissances de $10$ : au numérateur, $10^{5}\times 10^{-3}=10^{5+(-3)}=10^{2}$, puis $\dfrac{10^{2}}{10^{4}}=10^{2-4}=10^{-2}$. Le résultat est $10^{-2}$, c'est-à-dire $0{,}01$. On ADDITIONNE les exposants pour un produit et on les SOUSTRAIT pour un quotient : ce sont les deux seules règles nécessaires ici.

6) Une écriture scientifique est de la forme $a\times 10^{n}$ où $a$ a exactement UN chiffre non nul avant la virgule. Pour $0{,}000\,342$, on déplace la virgule de quatre rangs vers la droite, ce qui exige un exposant négatif : $3{,}42\times 10^{-4}$. Pour $45\,600$, on la déplace de quatre rangs vers la gauche, donc un exposant positif : $4{,}56\times 10^{4}$. Le contrôle est immédiat : un nombre plus petit que $1$ a toujours un exposant négatif, un nombre plus grand que $10$ a toujours un exposant positif.

1) On distribue le facteur $3$ sur chacun des deux termes : $3(2x-5)=3\times 2x-3\times 5=6x-15$. Le piège est d'oublier de multiplier le second terme, ce qui donnerait $6x-5$.

2) La double distributivité impose QUATRE produits : $(x+4)(x-7)=x\times x+x\times(-7)+4\times x+4\times(-7)=x^{2}-7x+4x-28$. En réduisant les deux termes en $x$ : $x^{2}-3x-28$. Contrôlez le signe du terme constant, $4\times(-7)=-28$, et non $+28$.

3) Le signe moins devant la seconde parenthèse porte sur TOUT son contenu : $2(x+3)-5(x-1)=2x+6-5x+5$. Le $-5\times(-1)$ donne bien $+5$. En réduisant, $2x-5x=-3x$ et $6+5=11$, donc le résultat est $-3x+11$. Contrôle numérique en prenant $x=1$ : l'expression de départ vaut $2\times 4-5\times 0=8$, et l'expression réduite vaut $-3+11=8$ ✓. Ce contrôle par une valeur particulière détecte presque toutes les erreurs de signe et ne coûte que quelques secondes.

4) On cherche le plus grand facteur commun à $12$ et $18$, c'est-à-dire leur PGCD, qui vaut $6$. Alors $12x+18=6\times 2x+6\times 3=6(2x+3)$. Factoriser par $2$ ou par $3$ serait juste mais incomplet ; l'exercice attend la factorisation maximale.

5) Le facteur commun n'est pas seulement un nombre : les deux termes contiennent aussi la lettre $x$. On factorise donc par $5x$ : $5x^{2}-15x=5x\times x-5x\times 3=5x(x-3)$. Contrôle en développant : $5x\times x=5x^{2}$ et $5x\times(-3)=-15x$ ✓.

6) Tester une valeur consiste à la SUBSTITUER dans les deux membres et à comparer. Pour $x=-2$, le membre de gauche vaut $3\times(-2)+7=-6+7=1$, et le membre de droite vaut $1$. Les deux membres sont égaux, donc $-2$ est bien solution. C'est une méthode très utile : elle permet de vérifier une réponse obtenue par calcul, et surtout de répondre à une question de ce type sans savoir résoudre l'équation. Attention cependant à la logique : un test réussi PROUVE qu'un nombre est solution, mais un test échoué prouve seulement que CE nombre ne l'est pas, sans rien dire des autres.

1) On isole le terme en $x$ en ajoutant $3$ aux deux membres : $5x=15$, puis on divise par $5$ : $x=3$. Vérification : $5\times 3-3=12$ ✓. Prenez l'habitude de vérifier, cela ne coûte rien et rapporte des points.

2) Il faut d'abord rassembler les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre. En retranchant $9x$ et en retranchant $7$ : $4x-9x=-8-7$, soit $-5x=-15$, donc $x=3$. Vérification : à gauche $4\times 3+7=19$, à droite $9\times 3-8=19$ ✓. On peut aussi retrancher $4x$ des deux côtés pour obtenir $7=5x-8$, ce qui évite les coefficients négatifs et réduit les risques d'erreur.

3) On multiplie les deux membres par $6$, dénominateur commun, ce qui revient au produit en croix : $2(2x-1)=3(x+4)$, soit $4x-2=3x+12$, donc $x=14$. Vérification : $\dfrac{2\times 14-1}{3}=\dfrac{27}{3}=9$ et $\dfrac{14+4}{2}=\dfrac{18}{2}=9$ ✓.

4) On choisit l'inconnue la plus économique : soit $x$ la LARGEUR en centimètres. La longueur vaut alors $x+7$. Le périmètre d'un rectangle est le double de la somme de ses deux dimensions, donc l'équation est $2\left(x+(x+7)\right)=46$, que l'on peut écrire $2(2x+7)=46$. Choisir la largeur plutôt que la longueur évite d'écrire une soustraction et donc une erreur de signe.

5) On développe : $4x+14=46$, donc $4x=32$ et $x=8$. La largeur mesure $8$ cm et la longueur $8+7=15$ cm.

6) L'aire vaut $8\times 15=120\ \mathrm{cm^{2}}$. Contrôle du périmètre : $2\times(8+15)=2\times 23=46$ cm ✓, ce qui confirme la solution. Deux remarques valent d'être faites. D'abord la vérification doit se faire sur l'ÉNONCÉ et non sur l'équation : si l'on s'était trompé en mettant le problème en équation, une vérification dans l'équation fausse n'aurait rien détecté, alors qu'en revenant au texte on contrôle aussi la modélisation. Ensuite l'aire et le périmètre sont indépendants : un rectangle de $12$ cm sur $11$ cm aurait le même périmètre de $46$ cm mais une aire de $132\ \mathrm{cm^{2}}$, plus grande. À périmètre fixé, l'aire est d'autant plus grande que le rectangle est proche d'un carré.

1) Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle RECTANGLE, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ici l'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est $[BC]$, le côté qui lui fait face. On écrit $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4{,}5^{2}+6{,}0^{2}=20{,}25+36=56{,}25$, donc $BC=\sqrt{56{,}25}=7{,}5$ cm. On reconnaît le triangle $3$-$4$-$5$ multiplié par $1{,}5$ : le repérer permet de contrôler le résultat instantanément.

2) Ici on ne sait PAS si le triangle est rectangle, c'est justement la question : on utilise donc la réciproque. On identifie d'abord le plus grand côté, $EF=17$, qui serait l'hypoténuse. On calcule séparément $EF^{2}=289$ et $DE^{2}+DF^{2}=64+225=289$. Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $DEF$ est rectangle, et l'angle droit est au sommet OPPOSÉ au plus grand côté, c'est-à-dire en $D$.

3) Le plus grand côté est $HI=8$, donc $HI^{2}=64$. La somme des carrés des deux autres vaut $GH^{2}+GI^{2}=25+36=61$. Comme $61\neq 64$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée et le triangle $GHI$ n'est PAS rectangle. Notez que $61<64$ : l'angle en $G$ est légèrement obtus. Il faut absolument comparer les deux quantités séparément avant de conclure, et ne jamais écrire l'égalité de Pythagore comme si elle était vraie avant de l'avoir vérifiée.

4) Le théorème et sa réciproque partent de points de départ opposés. Le THÉORÈME suppose connu que le triangle est rectangle et permet alors de calculer une longueur manquante : c'est un outil de calcul. La RÉCIPROQUE part de trois longueurs connues et permet de démontrer que le triangle est rectangle, ou de démontrer qu'il ne l'est pas : c'est un outil de démonstration. Confondre les deux est l'erreur la plus lourdement sanctionnée du chapitre, parce qu'elle consiste à supposer vrai ce qu'on doit prouver.

5) L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au pied du mur, et dont l'hypoténuse est l'échelle elle-même, puisqu'elle est le côté opposé à cet angle droit. Donc $4{,}0^{2}=1{,}2^{2}+h^{2}$, soit $h^{2}=16-1{,}44=14{,}56$ et $h=\sqrt{14{,}56}\approx 3{,}8$ m. L'erreur à éviter absolument est de placer l'échelle comme un côté de l'angle droit : c'est toujours l'objet incliné qui est l'hypoténuse.

6) L'échelle semble TROP REDRESSÉE, et l'on peut le justifier sans trigonométrie. La règle pratique des professionnels veut que le pied soit écarté du quart de la longueur de l'échelle, soit ici $\dfrac{4{,}0}{4}=1{,}0$ m, ce qui correspond à environ $75^{\circ}$. Avec un écart de $1{,}2$ m, on est donc au-delà de cette limite... et pourtant l'échelle est trop redressée, non trop couchée : il faut y regarder de plus près. Comparons plutôt les proportions : la hauteur atteinte, $3{,}8$ m, vaut plus de trois fois l'écart au mur, $1{,}2$ m, alors qu'un angle de $75^{\circ}$ correspond à un rapport de $3{,}7$ et un angle de $65^{\circ}$ à un rapport de $2{,}1$. Le rapport obtenu ici, $\dfrac{3{,}8}{1{,}2}\approx 3{,}2$, tombe donc entre les deux : l'échelle est correctement placée, avec un angle voisin de $72^{\circ}$. La leçon est qu'une règle mémorisée, comme celle du quart, ne remplace pas une comparaison de proportions, et que le raisonnement doit toujours l'emporter sur la recette.

1) Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, les points $A$, $N$, $C$ le sont aussi, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont PARALLÈLES par hypothèse : la configuration de Thalès en triangle est donc réunie. Le théorème donne alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$. Il faut écrire les rapports dans le même ordre pour les trois, en partant toujours du sommet commun $A$ : c'est la source d'erreur principale du chapitre.

2) Le premier rapport se calcule directement : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3{,}0}{4{,}5}=\dfrac{2}{3}$. Le triangle $AMN$ est donc une réduction du triangle $ABC$ de rapport $\dfrac{2}{3}$.

3) Toutes les longueurs sont multipliées par le même rapport : $AN=\dfrac{2}{3}\times 6{,}0=4{,}0$ cm et $MN=\dfrac{2}{3}\times 7{,}5=5{,}0$ cm. On peut contrôler par Pythagore dans le triangle $AMN$, qui est aussi rectangle en $A$ : $3{,}0^{2}+4{,}0^{2}=9+16=25=5{,}0^{2}$ ✓.

4) Les deux triangles sont rectangles en $A$, donc leurs aires se calculent avec les deux côtés de l'angle droit. Pour $ABC$ : $\dfrac{4{,}5\times 6{,}0}{2}=13{,}5\ \mathrm{cm^{2}}$. Pour $AMN$ : $\dfrac{3{,}0\times 4{,}0}{2}=6{,}0\ \mathrm{cm^{2}}$. Le rapport des aires vaut $\dfrac{6{,}0}{13{,}5}=\dfrac{4}{9}$, c'est-à-dire $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}$. Voilà le point essentiel : dans une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ mais les aires par $k^{2}$. Répondre $\dfrac{2}{3}$ pour le rapport des aires est l'erreur classique, et elle se détecte immédiatement en calculant les deux aires.

5) Vu depuis l'angle $\widehat{ABC}$, le côté $[AB]$ est le côté ADJACENT et $[BC]$ est l'hypoténuse. On utilise donc le cosinus : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4{,}5}{7{,}5}=0{,}6$, d'où $\widehat{ABC}\approx 53{,}1^{\circ}$. Le choix entre cosinus, sinus et tangente se fait toujours en identifiant d'abord QUELS côtés sont en jeu par rapport à l'angle considéré.

6) Première façon, par la somme des angles : dans tout triangle les angles totalisent $180^{\circ}$, et l'angle en $A$ vaut $90^{\circ}$, donc $\widehat{ACB}=180-90-53{,}1=36{,}9^{\circ}$. Seconde façon, par le cosinus : vu depuis $\widehat{ACB}$, le côté adjacent est $[AC]$, donc $\cos\widehat{ACB}=\dfrac{6{,}0}{7{,}5}=0{,}8$ et $\widehat{ACB}\approx 36{,}9^{\circ}$ ✓. Les deux méthodes concordent. On remarquera que les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont toujours COMPLÉMENTAIRES, et que le cosinus de l'un est le sinus de l'autre : ici $\cos\widehat{ABC}=0{,}6=\sin\widehat{ACB}$.

1) Augmenter de $15\ \%$ revient à multiplier par $1+\dfrac{15}{100}=1{,}15$. Le nouveau prix vaut donc $80\times 1{,}15=92$ dollars. On peut aussi calculer la hausse puis l'ajouter, $80\times 0{,}15=12$ puis $80+12=92$ ✓, mais le coefficient multiplicateur est plus rapide et beaucoup plus sûr dès qu'il y a plusieurs variations.

2) Baisser de $15\ \%$ revient à multiplier par $1-0{,}15=0{,}85$. Attention, cette baisse s'applique au prix ACTUEL, soit $92$ dollars, et non au prix initial : $92\times 0{,}85=78{,}20$ dollars.

3) On ne revient PAS au prix de départ, on obtient $78{,}20$ dollars au lieu de $80$. La raison est que les deux pourcentages ne portent pas sur la même base : la hausse de $15\ \%$ s'applique à $80$ et vaut $12$ dollars, tandis que la baisse de $15\ \%$ s'applique à $92$ et vaut $13{,}80$ dollars, donc davantage. Le coefficient global s'obtient en MULTIPLIANT les deux coefficients : $1{,}15\times 0{,}85=0{,}9775$, ce qui correspond à une baisse globale de $2{,}25\ \%$. Retenez cette règle générale : une hausse suivie d'une baisse du même pourcentage donne toujours une BAISSE, jamais un retour au point de départ, et l'ordre des deux opérations n'y change rien puisque la multiplication est commutative.

4) Il faut d'abord convertir la durée en heures décimales : $2$ h $15$ min $=2+\dfrac{15}{60}=2{,}25$ h. Attention, $2$ h $15$ ne s'écrit pas $2{,}15$ h, c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. La vitesse moyenne vaut alors $v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{180}{2{,}25}=80$ km/h.

5) On inverse la relation : $t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{300}{80}=3{,}75$ h. On reconvertit en minutes la partie décimale : $0{,}75\times 60=45$ min, donc il faut $3$ h $45$ min. On peut contrôler par proportionnalité : $300$ km, c'est $\dfrac{300}{180}=\dfrac{5}{3}$ fois plus que $180$ km, donc la durée doit être $\dfrac{5}{3}$ fois plus longue, soit $2{,}25\times\dfrac{5}{3}=3{,}75$ h ✓.

6) La situation est proportionnelle : la masse de farine est proportionnelle au nombre de personnes. On calcule la masse par personne, $\dfrac{450}{6}=75$ g, puis on multiplie par $10$ : il faut $750$ g. On peut aussi passer par le coefficient $\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$ et écrire $450\times\dfrac{5}{3}=750$ g ✓. Une dernière remarque de bon sens, qui distingue les mathématiques de la cuisine : toutes les grandeurs d'une recette ne sont pas proportionnelles au nombre de convives, le temps de cuisson en particulier ne double pas quand on double les quantités.

1) On additionne les effectifs : $1+3+5+7+4+3+2=25$ ✓. Cette vérification est le premier réflexe devant un tableau d'effectifs, car si le total est faux tous les indicateurs le seront.

2) La moyenne d'une série groupée est la somme des produits note par effectif, divisée par l'effectif total. Le numérateur vaut $6\times 1+8\times 3+10\times 5+12\times 7+14\times 4+16\times 3+18\times 2=6+24+50+84+56+48+36=304$. La moyenne vaut donc $\dfrac{304}{25}=12{,}16$. L'erreur à éviter est de faire la moyenne des sept notes distinctes, $\dfrac{84}{7}=12$, ce qui reviendrait à donner le même poids à une note obtenue par un seul élève et à une note obtenue par sept.

3) L'effectif étant IMPAIR, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{25+1}{2}=13$. On construit les effectifs cumulés croissants : $1$, $4$, $9$, $16$, $20$, $23$, $25$. Le rang $13$ est atteint dans la tranche qui va du rang $10$ au rang $16$, celle de la note $12$ : la médiane vaut donc $12$. Interprétation : au moins la moitié de la classe a obtenu $12$ ou moins, et au moins la moitié a obtenu $12$ ou plus.

4) L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $18-6=12$. C'est un indicateur de DISPERSION, et non de position : il ne dit rien de la valeur des notes, seulement de leur écartement.

5) Toutes les issues sont équiprobables puisque l'élève est choisi au hasard. Les notes supérieures ou égales à $14$ concernent $4+3+2=9$ élèves, donc $P=\dfrac{9}{25}=0{,}36$. Les notes strictement inférieures à $10$ concernent $1+3=4$ élèves, donc $P=\dfrac{4}{25}=0{,}16$. Attention au mot STRICTEMENT : la note $10$ est exclue, alors qu'elle aurait été incluse avec « inférieure ou égale ».

6) Sur les six faces, les nombres pairs sont $2$, $4$ et $6$, donc $P(\text{pair})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$. Les multiples de $3$ sont $3$ et $6$, donc $P(\text{multiple de }3)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. Pour la réunion, on ne peut PAS additionner les deux probabilités, car le $6$ est à la fois pair et multiple de $3$ : il serait compté deux fois. On dénombre donc directement les issues favorables, $\{2\,;3\,;4\,;6\}$, ce qui donne $P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. On vérifie que l'addition naïve aurait donné $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$, une valeur trop grande d'exactement $\dfrac{1}{6}$, la probabilité du $6$ compté en trop.

1) Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur. La base étant un carré de côté $6$ cm, son aire vaut $6^{2}=36\ \mathrm{cm^{2}}$. Donc $V=\dfrac{36\times 10}{3}=120\ \mathrm{cm^{3}}$. Le tiers n'est pas une convention arbitraire : trois pyramides de ce type remplissent exactement le prisme de même base et de même hauteur.

2) Le cône obéit à la même formule, avec une base circulaire d'aire $\pi r^{2}=3{,}14\times 3^{2}=28{,}26\ \mathrm{cm^{2}}$. Donc $V=\dfrac{28{,}26\times 10}{3}=94{,}2\ \mathrm{cm^{3}}$.

3) La PYRAMIDE a le plus grand volume, $120$ contre $94{,}2\ \mathrm{cm^{3}}$. Le résultat peut surprendre parce que le diamètre du cône, $6$ cm, est égal au côté du carré : on pourrait croire les deux bases équivalentes. En réalité le disque est INSCRIT dans le carré, il en occupe donc une fraction $\dfrac{\pi r^{2}}{(2r)^{2}}=\dfrac{\pi}{4}\approx 78{,}5\ \%$, et l'on retrouve bien $120\times 0{,}785=94{,}2$ ✓. Les hauteurs étant égales, le rapport des volumes est exactement celui des aires de base.

4) Dans une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^{2}$ et les VOLUMES par $k^{3}$. Ici $k=\dfrac{1}{2}$, donc le volume est multiplié par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}$ : la pyramide réduite a un volume de $\dfrac{120}{8}=15\ \mathrm{cm^{3}}$. On peut vérifier directement, la base réduite mesurant $3$ cm de côté et la hauteur $5$ cm : $\dfrac{9\times 5}{3}=15\ \mathrm{cm^{3}}$ ✓. Répondre $60$ est l'erreur classique, celle qui oublie le cube.

5) La fonction calcule $\dfrac{c\times c\times h}{3}=\dfrac{6\times 6\times 10}{3}=120$. L'appel renvoie donc $120$, exactement le volume de la question 1 : la fonction n'est que la traduction de la formule.

6) La fonction part de $\mathtt{h=1}$ et augmente $\mathtt{h}$ de $1$ tant que le volume reste inférieur à $200$. Le volume valant $\dfrac{36h}{3}=12h$, la condition $12h\geq 200$ donne $h\geq\dfrac{200}{12}\approx 16{,}7$ : le premier entier qui convient est $17$, et l'appel renvoie donc $17$. On peut le vérifier aux bornes : pour $h=16$ le volume vaut $192$, encore insuffisant, et pour $h=17$ il vaut $204$, qui dépasse bien $200$. Quant au danger de cette boucle, il est réel : la condition d'arrêt repose entièrement sur le fait que le volume finit par dépasser l'objectif. C'est vrai ici puisque le volume croît sans limite avec la hauteur, mais si l'on avait écrit une fonction cherchant à dépasser un objectif INATTEIGNABLE, la condition resterait vraie indéfiniment et le programme ne s'arrêterait jamais. Toute boucle $\mathtt{while}$ doit donc être écrite en s'assurant que sa condition finira par devenir fausse, ou être protégée par une limite supplémentaire.