Brevet blanc de mathématiques (sujet corrigé)

1) Réponse A. Pour un PRODUIT de puissances de même base, on additionne les exposants : $2^{3}\times 2^{5}=2^{3+5}=2^{8}=256$. La réponse B multiplie les exposants, ce qui correspondrait à $\left(2^{3}\right)^{5}$, et la réponse C multiplie aussi les bases, ce qui n'est jamais permis. Contrôle en calculant : $8\times 32=256=2^{8}$ ✓.

2) Réponse B. Les diviseurs communs de $24$ et $36$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$ : le plus grand est $12$. La réponse C, $72$, est le PPCM et non le PGCD, et l'on repère l'erreur d'un coup d'œil : le PGCD ne peut jamais DÉPASSER le plus petit des deux nombres.

3) Réponse A. On isole : $3x=5+7=12$, donc $x=4$. Vérification en remplaçant dans l'équation de départ, ce qui prend cinq secondes : $3\times 4-7=12-7=5$ ✓.

4) Réponse B. C'est l'identité remarquable $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=x$ et $b=3$, d'où $x^{2}+6x+9$. La réponse A oublie le double produit, ce qui est l'erreur la plus répandue du collège ; on la démonte en testant $x=1$, qui donne $16$ pour l'expression vraie et $10$ pour la réponse A ✗.

5) Réponse C. On teste la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore sur le plus grand côté : $5^{2}+12^{2}=25+144=169$ et $13^{2}=169$. L'égalité étant vérifiée, le triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au côté de $13$ cm.

6) Réponse B. La série ordonnée comporte $5$ valeurs, un nombre impair, donc la médiane est la valeur du milieu, c'est-à-dire la troisième : $8$. La valeur $7{,}4$ proposée en A est la MOYENNE, $\frac{3+5+8+9+12}{5}=\frac{37}{5}$, et c'est le piège de la question : moyenne et médiane sont deux indicateurs différents qui coïncident rarement.

7) Réponse B. $10^{-3}=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1\,000}=0{,}001$. Un exposant négatif ne rend PAS le nombre négatif, il l'inverse : c'est la même confusion que celle relevée en 4) sur une autre règle. Le nombre de zéros après la virgule vaut l'exposant moins un, ici deux zéros puis le $1$.

Le QCM se joue sur la vitesse et sur la résistance aux distracteurs, qui ne sont jamais choisis au hasard : chacune des mauvaises réponses proposées ici correspond à une erreur identifiable et fréquente. Comme rien n'est à rédiger, chaque point s'obtient en moins d'une minute, ce qui en fait l'exercice le plus rentable de l'épreuve. Le seul vrai risque est de s'y attarder : une question qui ne vient pas en une minute se laisse et se reprend à la fin, aucune réponse fausse n'étant pénalisée.

1) On divise successivement par les nombres premiers, en commençant par $2$ : $252=2\times 126=2\times 2\times 63=2^{2}\times 63$, puis $63=9\times 7=3^{2}\times 7$. Donc $252=2^{2}\times 3^{2}\times 7$. De même $360=2\times 180=4\times 90=8\times 45=2^{3}\times 45$, et $45=9\times 5$, d'où $360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$. Contrôle indispensable : $4\times 9\times 7=252$ ✓ et $8\times 9\times 5=360$ ✓.

2) On garde les facteurs premiers COMMUNS affectés du plus PETIT exposant. Le facteur $2$ apparaît à la puissance $2$ dans l'un et $3$ dans l'autre, on garde $2^{2}$ ; le facteur $3$ apparaît à la puissance $2$ dans les deux, on garde $3^{2}$ ; les facteurs $7$ et $5$ ne sont pas communs et disparaissent. Donc $\text{PGCD}(252\,;\,360)=2^{2}\times 3^{2}=4\times 9=36$.

3) Chaque bouquet devant être IDENTIQUE et toutes les fleurs devant être utilisées, le nombre de bouquets doit diviser à la fois $252$ et $360$ : c'est donc un diviseur commun. Comme on en veut le maximum, c'est le PGCD, soit $36$ bouquets. C'est le raisonnement attendu, et il faut l'écrire : répondre $36$ sans justifier pourquoi le PGCD répond à la question coûte des points.

4) Chaque bouquet contient $\frac{252}{36}=7$ roses et $\frac{360}{36}=10$ tulipes. Vérification globale : $36\times 7=252$ ✓ et $36\times 10=360$ ✓, toutes les fleurs sont bien employées.

5) En divisant numérateur et dénominateur par le PGCD, on obtient d'un coup la fraction irréductible : $\frac{252}{360}=\frac{252\div 36}{360\div 36}=\frac{7}{10}$. Elle est bien irréductible, car $7$ et $10$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$, ce qu'on voit sur leurs décompositions, $7$ et $2\times 5$, qui n'ont aucun facteur en commun.

La décomposition en facteurs premiers donne tout en une fois, et c'est ce qui la rend supérieure à la recherche des diviseurs un par un. Elle fournit le PGCD par les plus petits exposants communs, mais aussi le PPCM par les plus GRANDS exposants de tous les facteurs présents, ici $2^{3}\times 3^{2}\times 5\times 7=2\,520$. On vérifie au passage la relation qui les lie, souvent demandée : $\text{PGCD}\times\text{PPCM}=36\times 2\,520=90\,720=252\times 360$ ✓. Enfin, elle rend la fraction irréductible sans tâtonner, alors que simplifier par étapes successives, d'abord par $2$, puis par $2$, puis par $9$, aboutit au même endroit en trois fois plus de temps et avec trois fois plus de risques d'erreur.

1) On développe en multipliant chaque terme du premier facteur par chaque terme du second, soit quatre produits : $(2x-3)(x+5)=2x\times x+2x\times 5-3\times x-3\times 5=2x^{2}+10x-3x-15=2x^{2}+7x-15$. Contrôle en $x=1$ : l'expression de départ vaut $(-1)\times 6=-6$ et le résultat $2+7-15=-6$ ✓.

2) On applique $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=3x$ et $b=2$ : $(3x-2)^{2}=(3x)^{2}-2\times 3x\times 2+2^{2}=9x^{2}-12x+4$. Le carré porte sur le COEFFICIENT aussi, donc $(3x)^{2}=9x^{2}$ et non $3x^{2}$, erreur classique.

3) On reconnaît une DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS, puisque $4x^{2}=(2x)^{2}$ et $25=5^{2}$ : $4x^{2}-25=(2x)^{2}-5^{2}=(2x-5)(2x+5)$. L'identité $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ est la seule qui permette de factoriser une différence, et il n'existe aucune identité analogue pour une somme de carrés.

4) On reconnaît le développement de $(x+4)^{2}$ : le terme constant $16$ est le carré de $4$, et le double produit $2\times x\times 4=8x$ correspond bien au terme du milieu. Donc $x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}$. La vérification du double produit n'est pas facultative, c'est elle qui distingue un carré parfait d'un trinôme quelconque.

5) On regroupe les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre : $5x-2x=9+3$, soit $3x=12$ et $x=4$. Vérification dans l'équation de départ, membre par membre : $5\times 4-3=17$ et $2\times 4+9=17$ ✓.

6) Un produit de facteurs est nul SI ET SEULEMENT SI l'un au moins des facteurs est nul : $x-2=0$ donne $x=2$, et $x+7=0$ donne $x=-7$. Il y a donc deux solutions, $2$ et $-7$. Développer avant de résoudre serait une faute de méthode, car on perdrait la forme factorisée qui donne les solutions gratuitement.

Les six questions se répartissent en deux mouvements inverses qu'il faut savoir distinguer à la lecture de la consigne. DÉVELOPPER, aux questions 1 et 2, transforme un produit en somme et sert à comparer ou à simplifier. FACTORISER, aux questions 3 et 4, transforme une somme en produit et sert à résoudre, comme le montre la question 6. Un contrôle universel existe pour les quatre premières : on remplace $x$ par une valeur simple, en général $1$ ou $2$, dans l'expression de départ et dans le résultat, et les deux doivent coïncider. Ce contrôle prend dix secondes et détecte quasiment toutes les erreurs de signe.

1) Le triangle étant rectangle en $A$, le théorème de Pythagore donne $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$, d'où $BC=\sqrt{100}=10$ cm. On reconnaît le triplet $(6\,;\,8\,;\,10)$, qui est le triplet $(3\,;\,4\,;\,5)$ doublé, ce qui explique que tous les calculs de l'exercice tombent juste.

2) Dans le triangle rectangle en $A$, le côté $[AB]$ est ADJACENT à l'angle $\widehat{ABC}$ et $[BC]$ est l'hypoténuse, c'est donc le cosinus qu'il faut employer : $\cos\widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0{,}6$, d'où $\widehat{ABC}\approx 53{,}1$ degrés. Le choix de la fonction se fait toujours ainsi, en identifiant d'abord quels côtés on connaît par rapport à l'angle cherché.

3) Comme $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le théorème de Thalès donne les trois rapports égaux $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Or $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Donc $AN=\frac{1}{3}\times 8=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ cm et $MN=\frac{1}{3}\times 10=\frac{10}{3}\approx 3{,}33$ cm. Contrôle de plausibilité : les deux longueurs doivent être plus petites que $AC$ et $BC$, et elles le sont ✓.

4) Le triangle étant rectangle en $A$, les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur : $\mathcal{A}=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{6\times 8}{2}=24$ centimètres carrés. C'est le seul cas où l'aire s'obtient sans tracer de hauteur.

5) Le triangle $AMN$ est une RÉDUCTION du triangle $ABC$ de rapport $\frac{1}{3}$, ce qu'établit la question 3. Or les aires sont multipliées par le CARRÉ du rapport, et non par le rapport : l'aire de $AMN$ vaut $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times 24=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ centimètres carrés. Répondre $\frac{24}{3}=8$ est l'erreur que la question cherche à détecter.

Le facteur carré de la question 5 n'est pas une règle arbitraire, et le comprendre évite de l'oublier : une aire est un produit de DEUX longueurs, chacune multipliée par le rapport $\frac{1}{3}$, d'où le facteur $\frac{1}{9}$. Le même raisonnement donne le CUBE du rapport pour les volumes, soit $\frac{1}{27}$ ici. On peut d'ailleurs vérifier le résultat autrement, puisque $AMN$ est lui aussi rectangle en $A$ : son aire vaut $\frac{AM\times AN}{2}=\frac{2\times\frac{8}{3}}{2}=\frac{8}{3}$ ✓, exactement la même valeur. Cette double vérification est typique de ce que le barème du brevet valorise.

1) La formule $A$ facture un montant FIXE de $20$ dollars plus $5$ dollars par séance : $f(x)=5x+20$. La formule $B$ ne facture que les séances : $g(x)=8x$. Poser correctement ces deux expressions est l'étape qui décide de tout le reste de l'exercice.

2) La fonction $f$ est AFFINE, de coefficient directeur $5$ et d'ordonnée à l'origine $20$. La fonction $g$ est LINÉAIRE, cas particulier de fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle : sa représentation graphique passe donc par l'origine, ce qui traduit qu'aucune séance ne coûte zéro dollar.

3) Pour $4$ séances : $f(4)=20+20=40$ dollars et $g(4)=32$ dollars, la formule $B$ est plus avantageuse de $8$ dollars. Pour $10$ séances : $f(10)=50+20=70$ dollars et $g(10)=80$ dollars, cette fois c'est la formule $A$ qui l'emporte, de $10$ dollars. Le classement s'est donc inversé entre les deux cas, ce qui prouve qu'un croisement a eu lieu.

4) $5x+20=8x$ donne $20=8x-5x=3x$, donc $x=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$. Ce nombre n'est pas entier, ce qui est normal : il indique où les deux droites se coupent, mais pas nécessairement un nombre de séances réalisable.

5) Le nombre de séances étant forcément un ENTIER, on encadre. Pour $x=6$ : $f(6)=50$ et $g(6)=48$, la formule $B$ reste meilleure. Pour $x=7$ : $f(7)=55$ et $g(7)=56$, la formule $A$ devient meilleure. C'est donc à partir de $7$ séances par mois que la formule $A$ est strictement plus avantageuse. Il faut tester les deux entiers encadrant $6{,}67$, un seul ne prouvant rien.

La question 5 est celle qui départage les copies, parce qu'elle demande de REVENIR AU CONTEXTE après un calcul purement mathématique. La valeur $\frac{20}{3}$ répond à la question mathématique, pas à la question posée, qui porte sur des séances entières. Le même raisonnement s'applique à tous les problèmes de comparaison de tarifs, très fréquents au brevet, et l'on peut retenir la structure : poser les deux fonctions, calculer sur deux exemples encadrant le croisement, résoudre l'égalité, puis conclure sur les entiers. Notons enfin que l'abonnement de $20$ dollars n'est rentabilisé qu'au bout de sept séances, soit près de deux par semaine : c'est le genre de commentaire qui montre qu'on a compris la situation et non seulement calculé.

1) On additionne les effectifs : $2+5+6+4+3=20$ ✓, l'effectif total est bien de $20$ élèves. Ce contrôle doit toujours ouvrir un exercice de statistiques, car une erreur de lecture du tableau y fausserait toutes les questions suivantes.

2) La moyenne PONDÉRÉE multiplie chaque note par son effectif : $\frac{8\times 2+10\times 5+12\times 6+14\times 4+16\times 3}{20}=\frac{16+50+72+56+48}{20}=\frac{242}{20}=12{,}1$. L'erreur à éviter est de faire la moyenne des cinq notes sans les pondérer, ce qui donnerait $\frac{60}{5}=12$, une valeur proche mais fausse.

3) L'effectif étant PAIR, la médiane est la moyenne des dixième et onzième valeurs de la série ordonnée. On calcule les effectifs CUMULÉS : $2$, puis $7$, puis $13$, puis $17$, puis $20$. Le rang $10$ et le rang $11$ tombent tous deux dans la tranche qui va du rang $8$ au rang $13$, c'est-à-dire celle de la note $12$. La médiane vaut donc $12$.

4) L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $16-8=8$. Elle mesure la DISPERSION, pas la position, et ne dit rien de la façon dont les notes se répartissent entre ces deux bornes.

5) Les élèves ayant au moins $12$ sont ceux qui ont obtenu $12$, $14$ ou $16$, soit $6+4+3=13$ élèves. Comme le choix est fait au hasard parmi $20$ élèves équiprobables, la probabilité vaut $\frac{13}{20}=0{,}65$, soit $65\ \%$.

6) Strictement moins de $10$ exclut la note $10$ elle-même : seuls les $2$ élèves ayant obtenu $8$ conviennent. La probabilité vaut $\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0{,}1$. Contrôle de cohérence : les deux probabilités calculées portent sur des événements disjoints, et il reste bien $\frac{5}{20}$ pour les élèves ayant exactement $10$, la somme $0{,}65+0{,}1+0{,}25$ valant $1$ ✓.

Le vocabulaire est le vrai piège de cet exercice, et il vaut la peine de le fixer. AU MOINS $12$ signifie $12$ compris, donc $\geq 12$ ; STRICTEMENT MOINS de $10$ exclut le $10$, donc $<10$ ; AU PLUS $14$ signifierait $\leq 14$. Une erreur d'une seule tranche change complètement le résultat, ici de $13$ à $7$ élèves. Sur le fond, on notera que la moyenne, $12{,}1$, et la médiane, $12$, sont très proches, ce qui indique une distribution assez SYMÉTRIQUE ; un écart important entre les deux aurait signalé des notes extrêmes tirant la moyenne d'un côté.

1) On applique la transformation pas à pas, en partant de $x=3$. Après la première répétition : $x=3\times 2+1=7$. Après la deuxième : $x=7\times 2+1=15$. Il faut écrire chaque étape, car le barème d'un exercice de trace d'exécution porte précisément là-dessus.

2) On poursuit : après la troisième répétition $x=15\times 2+1=31$, et après la quatrième $x=31\times 2+1=63$. Le programme affiche donc $63$. On remarquera que chaque valeur est le double de la précédente plus un, ce qui les fait croître très vite : de $3$ à $63$ en quatre étapes seulement.

3) Avec une valeur de départ égale à $5$, une seule répétition donne $5\times 2+1=11$. La question isole volontairement une étape unique pour vérifier qu'on a compris l'instruction elle-même et pas seulement recopié l'enchaînement.

4) Le volume d'un cylindre est $\pi r^{2}h=\pi\times 5^{2}\times 12=\pi\times 25\times 12=300\pi$ centimètres cubes, soit environ $942{,}48$ centimètres cubes. On donne la valeur EXACTE avec le $\pi$ avant d'arrondir, car c'est elle qui servira à la question 6.

5) Le volume d'une boule est $\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\times 3^{3}=\frac{4}{3}\pi\times 27=36\pi$ centimètres cubes, soit environ $113{,}10$ centimètres cubes. Attention à ne pas confondre $r^{3}$ avec $3r$ : le cube porte sur le rayon, $27$ et non $9$.

6) On divise les deux volumes, et le facteur $\pi$ SE SIMPLIFIE : $\frac{300\pi}{36\pi}=\frac{300}{36}=\frac{25}{3}\approx 8{,}33$. Le nombre de boules étant nécessairement entier, on peut en fabriquer au maximum $8$. Répondre $8{,}33$ boules n'a aucun sens physique, et arrondir à $9$ serait pire encore puisque la matière manquerait.

Deux remarques de méthode. D'abord, la simplification du $\pi$ à la question 6 permet de répondre SANS aucune valeur approchée, donc sans risque d'arrondi : c'est un réflexe à prendre chaque fois qu'un rapport de volumes ou d'aires est demandé. Ensuite, la partie A et la partie B n'ont aucun lien entre elles, ce qui est fréquent au brevet, où un même exercice regroupe parfois deux thèmes sans rapport pour équilibrer le barème. Il ne faut donc pas chercher un lien qui n'existe pas, ni s'inquiéter d'un changement brutal de sujet. Contrôle final sur la question 6 : $8$ boules représentent $8\times 36\pi=288\pi$ centimètres cubes, ce qui est bien inférieur aux $300\pi$ disponibles, avec un reste de $12\pi\approx 37{,}70$ centimètres cubes de matière inutilisée ✓.

x = 3
for i in range(4):
    x = x * 2 + 1
print(x)   # affiche 63