Brevet blanc de mathématiques (sujet corrigé)

1) Réponse A. On additionne les exposants : $2^{3}\times 2^{5}=2^{3+5}=2^{8}$.

2) Réponse B. Les diviseurs communs de 24 et 36 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 : le plus grand est 12.

3) Réponse A. $3x=5+7=12$, donc $x=4$. Vérification : $3\times 4-7=12-7=5$.

4) Réponse B. C'est l'identité remarquable $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=x$ et $b=3$.

5) Réponse C. $5^{2}+12^{2}=25+144=169$ et $13^{2}=169$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

6) Réponse B. La série ordonnée comporte 5 valeurs, la médiane est la troisième, soit 8. La valeur $7{,}4$ est la moyenne, c'est le piège de la question.

7) Réponse B. $10^{-3}=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1000}=0{,}001$. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

1) $252=2\times 126=2^{2}\times 63=2^{2}\times 3^{2}\times 7$. Et $360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$.

2) On garde les facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant : $2^{2}\times 3^{2}=4\times 9=36$. Donc le PGCD vaut 36.

3) Chaque bouquet devant être identique et toutes les fleurs utilisées, le nombre de bouquets doit diviser à la fois 252 et 360. Le nombre maximal est donc leur PGCD, soit 36 bouquets.

4) Chaque bouquet contient $\frac{252}{36}=7$ roses et $\frac{360}{36}=10$ tulipes.

5) En divisant numérateur et dénominateur par le PGCD 36 : $\frac{252}{360}=\frac{7}{10}$. Cette fraction est irréductible car 7 et 10 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

1) $(2x-3)(x+5)=2x^{2}+10x-3x-15=2x^{2}+7x-15$.

2) $(3x-2)^{2}=(3x)^{2}-2\times 3x\times 2+2^{2}=9x^{2}-12x+4$.

3) On reconnaît une différence de deux carrés : $4x^{2}-25=(2x)^{2}-5^{2}=(2x-5)(2x+5)$.

4) On reconnaît le développement de $(x+4)^{2}$, car $2\times x\times 4=8x$ et $4^{2}=16$. Donc $x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}$.

5) $5x-2x=9+3$, soit $3x=12$, donc $x=4$. Vérification : $5\times 4-3=17$ et $2\times 4+9=17$.

6) Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $x-2=0$ donne $x=2$, et $x+7=0$ donne $x=-7$. Il y a donc deux solutions : $2$ et $-7$.

1) Le triangle est rectangle en $A$, donc d'après le théorème de Pythagore : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=36+64=100$, d'où $BC=10$ cm.

2) Dans le triangle rectangle en $A$, le côté $[AB]$ est adjacent à l'angle $\widehat{ABC}$ et $[BC]$ est l'hypoténuse : $\cos(\widehat{ABC})=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0{,}6$. Donc $\widehat{ABC}\approx 53{,}1$ degrés.

3) Comme $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Or $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Donc $AN=\frac{1}{3}\times 8=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ cm et $MN=\frac{1}{3}\times 10=\frac{10}{3}\approx 3{,}33$ cm.

4) Le triangle étant rectangle en $A$, son aire vaut $\frac{AB\times AC}{2}=\frac{6\times 8}{2}=24$ centimètres carrés.

5) Le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$ de rapport $\frac{1}{3}$. Les aires étant multipliées par le carré du rapport, l'aire de $AMN$ vaut $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times 24=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ centimètres carrés.

1) $f(x)=5x+20$ et $g(x)=8x$.

2) $f$ est une fonction affine, de coefficient directeur 5 et d'ordonnée à l'origine 20. $g$ est une fonction linéaire, cas particulier de fonction affine avec une ordonnée à l'origine nulle : sa représentation graphique passe par l'origine.

3) Pour 4 séances : $f(4)=20+20=40$ dollars et $g(4)=32$ dollars, la formule $B$ est plus avantageuse. Pour 10 séances : $f(10)=50+20=70$ dollars et $g(10)=80$ dollars, cette fois la formule $A$ est plus avantageuse.

4) $5x+20=8x$ donne $20=3x$, donc $x=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$.

5) Le nombre de séances est un entier. Pour $x=6$ : $f(6)=50$ et $g(6)=48$, la formule $B$ reste meilleure. Pour $x=7$ : $f(7)=55$ et $g(7)=56$, la formule $A$ devient meilleure. C'est donc à partir de 7 séances par mois que la formule $A$ est strictement plus avantageuse.

1) $2+5+6+4+3=20$ : l'effectif total est bien 20 élèves.

2) La moyenne vaut $\frac{8\times 2+10\times 5+12\times 6+14\times 4+16\times 3}{20}=\frac{16+50+72+56+48}{20}=\frac{242}{20}=12{,}1$.

3) L'effectif étant pair, la médiane est la moyenne des dixième et onzième valeurs de la série ordonnée. Les effectifs cumulés valent 2, 7, 13, 17 et 20 : les valeurs de rang 10 et 11 sont toutes deux égales à 12. La médiane est donc 12.

4) L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $16-8=8$.

5) Les élèves ayant au moins 12 sont ceux qui ont 12, 14 ou 16, soit $6+4+3=13$ élèves. La probabilité vaut $\frac{13}{20}=0{,}65$.

6) Seuls les 2 élèves ayant obtenu 8 ont strictement moins de 10. La probabilité vaut $\frac{2}{20}=0{,}1$.

1) Après la première répétition : $x=3\times 2+1=7$. Après la deuxième : $x=7\times 2+1=15$.

2) Après la troisième répétition $x=15\times 2+1=31$, et après la quatrième $x=31\times 2+1=63$. Le programme affiche donc 63.

3) Avec une valeur de départ égale à 5, après une répétition on obtient $5\times 2+1=11$.

4) Le volume d'un cylindre est $\pi r^{2}h=\pi\times 5^{2}\times 12=300\pi$ centimètres cubes, soit environ $942{,}48$ centimètres cubes.

5) Le volume d'une boule est $\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\times 27=36\pi$ centimètres cubes, soit environ $113{,}10$ centimètres cubes.

6) On divise les deux volumes : $\frac{300\pi}{36\pi}=\frac{300}{36}\approx 8{,}33$. Le nombre de boules étant entier, on peut en fabriquer au maximum 8. On remarquera que le facteur $\pi$ se simplifie, ce qui permet de répondre sans aucune valeur approchée.

x = 3
for i in range(4):
    x = x * 2 + 1
print(x)   # affiche 63