Brevet blanc de mathématiques au format 2026 (sujet corrigé)

Réponse A. Pour un PRODUIT de puissances de même base, on additionne les exposants : $2^{3}\times 2^{5}=2^{3+5}=2^{8}$. La réponse B multiplie les exposants, ce qui correspondrait à $\left(2^{3}\right)^{5}$, et la réponse C multiplie aussi les bases, ce qui n'est jamais permis. Contrôle de tête : $8\times 32=256=2^{8}$ ✓.

$\frac{2}{3}\times\frac{9}{4}=\frac{2\times 9}{3\times 4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$, soit $1{,}5$. De tête, on simplifie AVANT de multiplier : $9$ et $3$ se simplifient en $3$, puis $2$ et $4$ en $\frac{1}{2}$, ce qui laisse $\frac{3\times 1}{1\times 2}=\frac{3}{2}$ sans aucun grand nombre. Réduire au même dénominateur est le geste de l'ADDITION, inutile ici et source d'erreurs.

On isole $x$ : $3x=5+7=12$, donc $x=4$. Vérification en cinq secondes : $3\times 4-7=12-7=5$ ✓. L'erreur fréquente est d'écrire $3x=5-7$ : le $-7$ qui passe dans l'autre membre devient $+7$.

Réponse B. C'est l'identité remarquable $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=x$ et $b=3$, d'où $x^{2}+6x+9$. La réponse A oublie le double produit, l'erreur la plus répandue du collège ; on la démonte en testant $x=1$, qui donne $16$ pour l'expression de départ et $10$ pour la réponse A ✗.

De tête : $10\ \%$ de $240$ font $24$, et $5\ \%$ en font la moitié, $12$. Donc $15\ \%$ de $240$ font $24+12=36$, et le nouveau prix est $240+36=276$ €. Autre voie : augmenter de $15\ \%$, c'est multiplier par $1{,}15$. Le piège est de répondre $36$ €, qui est l'AUGMENTATION et non le nouveau prix.

Faux. Une heure compte $60$ minutes et non $100$ : $15$ min font $\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$ d'heure, donc $1$ h $15$ min $=1{,}25$ h. Inversement, $1{,}15$ h vaut $1$ h $9$ min, puisque $0{,}15\times 60=9$. Cette confusion fausse ensuite tous les calculs de vitesse.

On RANGE d'abord la série : $3$ ; $5$ ; $8$ ; $9$ ; $12$. Elle a $5$ valeurs, un nombre impair, donc la médiane est la troisième : $8$. Prendre la valeur du milieu de la liste NON rangée donnerait $9$, et c'est le piège. La moyenne, $\frac{37}{5}=7{,}4$, est un autre indicateur, qui ne coïncide pas avec la médiane.

Réponse B. Les multiples de $3$ compris entre $1$ et $6$ sont $3$ et $6$ : deux issues favorables sur six issues équiprobables, d'où $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Oublier le $6$, qui est pourtant $3\times 2$, conduit à la réponse A.

Vrai. On applique la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore en isolant le plus grand côté : d'une part $13^{2}=169$, d'autre part $5^{2}+12^{2}=25+144=169$. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle, et son angle droit fait face au côté de $13$ cm.

Réponse C. Après $6$ rotations de $60$ degrés, le lutin a fait un tour complet, $6\times 60=360$, et revient à son point de départ : la figure a six côtés égaux et six angles égaux, c'est un hexagone régulier. Le piège est la réponse A : le lutin tourne de l'angle EXTÉRIEUR de la figure, pas de son angle intérieur. Pour tracer un triangle équilatéral, dont les angles intérieurs mesurent $60$ degrés, il faudrait répéter $3$ fois et tourner de $120$ degrés.

L'IMAGE de $4$ se lit en partant de l'axe des abscisses : depuis $x=4$, on monte jusqu'à la droite et on lit l'ordonnée, $f(4)=1$. L'ANTÉCÉDENT de $4$ se lit dans l'autre sens : depuis $4$ sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la droite et on lit l'abscisse, $-2$, puisque $f(-2)=4$. La question demande les deux pour le même nombre $4$ justement pour repérer qui confond les deux sens de lecture.

Le triangle étant rectangle en $A$, le théorème de Pythagore donne $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$, d'où $BC=\sqrt{100}=10$ cm. On reconnaît le triplet $(6\,;\,8\,;\,10)$, qui est le triplet $(3\,;\,4\,;\,5)$ doublé, ce qui explique que tous les calculs de l'exercice tombent juste.

Dans le triangle rectangle en $A$, le côté $[AB]$ est ADJACENT à l'angle $\widehat{ABC}$ et $[BC]$ est l'hypoténuse, c'est donc le cosinus qu'il faut employer : $\cos\widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0{,}6$, d'où $\widehat{ABC}\approx 53{,}1$ degrés. Le choix de la fonction se fait toujours ainsi, en identifiant d'abord quels côtés on connaît par rapport à l'angle cherché.

Comme $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le théorème de Thalès donne les trois rapports égaux $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Or $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Donc $AN=\frac{1}{3}\times 8=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ cm et $MN=\frac{1}{3}\times 10=\frac{10}{3}\approx 3{,}33$ cm. Contrôle de plausibilité : les deux longueurs doivent être plus petites que $AC$ et $BC$, et elles le sont ✓.

Le triangle étant rectangle en $A$, les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur : $\mathcal{A}=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{6\times 8}{2}=24$ centimètres carrés. C'est le seul cas où l'aire s'obtient sans tracer de hauteur.

Le triangle $AMN$ est une RÉDUCTION du triangle $ABC$ de rapport $\frac{1}{3}$, ce qu'établit la question c). Or les aires sont multipliées par le CARRÉ du rapport, et non par le rapport : l'aire de $AMN$ vaut $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times 24=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ centimètres carrés. Répondre $\frac{24}{3}=8$ est l'erreur que la question cherche à détecter.

On développe en multipliant chaque terme du premier facteur par chaque terme du second, soit quatre produits : $(2x-3)(x+5)=2x\times x+2x\times 5-3\times x-3\times 5=2x^{2}+10x-3x-15=2x^{2}+7x-15$. Contrôle en $x=1$ : l'expression de départ vaut $(-1)\times 6=-6$ et le résultat $2+7-15=-6$ ✓.

On applique $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=3x$ et $b=2$ : $(3x-2)^{2}=(3x)^{2}-2\times 3x\times 2+2^{2}=9x^{2}-12x+4$. Le carré porte sur le COEFFICIENT aussi, donc $(3x)^{2}=9x^{2}$ et non $3x^{2}$, erreur classique.

On reconnaît une DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS, puisque $4x^{2}=(2x)^{2}$ et $25=5^{2}$ : $4x^{2}-25=(2x)^{2}-5^{2}=(2x-5)(2x+5)$. L'identité $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ est la seule qui permette de factoriser une différence, et il n'existe aucune identité analogue pour une somme de carrés.

Un produit de facteurs est nul SI ET SEULEMENT SI l'un au moins des facteurs est nul : $x-2=0$ donne $x=2$, et $x+7=0$ donne $x=-7$. Il y a donc deux solutions, $2$ et $-7$. Développer avant de résoudre serait une faute de méthode, car on perdrait la forme factorisée qui donne les solutions gratuitement.

La formule $A$ facture un montant FIXE de $20$ euros plus $5$ euros par séance : $f(x)=5x+20$. La formule $B$ ne facture que les séances : $g(x)=8x$. Poser correctement ces deux expressions est l'étape qui décide de tout le reste de l'exercice.

La fonction $f$ est AFFINE, de coefficient directeur $5$ et d'ordonnée à l'origine $20$. La fonction $g$ est LINÉAIRE, cas particulier de fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle : sa représentation graphique passe donc par l'origine, ce qui traduit que zéro séance coûte zéro euro.

Pour $4$ séances : $f(4)=20+20=40$ euros et $g(4)=32$ euros, la formule $B$ est plus avantageuse de $8$ euros. Pour $10$ séances : $f(10)=50+20=70$ euros et $g(10)=80$ euros, cette fois c'est la formule $A$ qui l'emporte, de $10$ euros. Le classement s'est donc inversé entre les deux cas, ce qui prouve qu'un croisement a eu lieu.

$5x+20=8x$ donne $20=8x-5x=3x$, donc $x=\frac{20}{3}\approx 6{,}67$. Ce nombre n'est pas entier, ce qui est normal : il indique où les deux droites se coupent, mais pas nécessairement un nombre de séances réalisable.

Le nombre de séances étant forcément un ENTIER, on encadre. Pour $x=6$ : $f(6)=50$ et $g(6)=48$, la formule $B$ reste meilleure. Pour $x=7$ : $f(7)=55$ et $g(7)=56$, la formule $A$ devient meilleure. C'est donc à partir de $7$ séances par mois que la formule $A$ est strictement plus avantageuse. Il faut tester les deux entiers encadrant $6{,}67$, un seul ne prouvant rien.

On contrôle d'abord l'effectif total, $2+5+6+4+3=20$ ✓ : une erreur de lecture du tableau fausserait toutes les questions suivantes. La moyenne PONDÉRÉE multiplie chaque note par son effectif : $\frac{8\times 2+10\times 5+12\times 6+14\times 4+16\times 3}{20}=\frac{16+50+72+56+48}{20}=\frac{242}{20}=12{,}1$. L'erreur à éviter est de faire la moyenne des cinq notes sans les pondérer, ce qui donnerait $\frac{60}{5}=12$, une valeur proche mais fausse.

L'effectif étant PAIR, la médiane est la moyenne des dixième et onzième valeurs de la série ordonnée. On calcule les effectifs CUMULÉS : $2$, puis $7$, puis $13$, puis $17$, puis $20$. Le rang $10$ et le rang $11$ tombent tous deux dans la tranche qui va du rang $8$ au rang $13$, c'est-à-dire celle de la note $12$. La médiane vaut donc $12$.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $16-8=8$. Elle mesure la DISPERSION, pas la position, et ne dit rien de la façon dont les notes se répartissent entre ces deux bornes.

Les élèves ayant au moins $12$ sont ceux qui ont obtenu $12$, $14$ ou $16$, soit $6+4+3=13$ élèves. Comme le choix est fait au hasard parmi $20$ élèves équiprobables, la probabilité vaut $\frac{13}{20}=0{,}65$, soit $65\ \%$.

Strictement moins de $10$ exclut la note $10$ elle-même : seuls les $2$ élèves ayant obtenu $8$ conviennent. La probabilité vaut $\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0{,}1$. Contrôle de cohérence : les deux probabilités calculées portent sur des événements disjoints, et il reste bien $\frac{5}{20}$ pour les élèves ayant exactement $10$, la somme $0{,}65+0{,}1+0{,}25$ valant $1$ ✓.

On divise successivement par les nombres premiers, en commençant par $2$ : $252=2\times 126=2\times 2\times 63=2^{2}\times 63$, puis $63=9\times 7=3^{2}\times 7$. Donc $252=2^{2}\times 3^{2}\times 7$. De même $360=2\times 180=4\times 90=8\times 45=2^{3}\times 45$, et $45=9\times 5$, d'où $360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$. Contrôle indispensable : $4\times 9\times 7=252$ ✓ et $8\times 9\times 5=360$ ✓.

On garde les facteurs premiers COMMUNS affectés du plus PETIT exposant. Le facteur $2$ apparaît à la puissance $2$ dans l'un et $3$ dans l'autre, on garde $2^{2}$ ; le facteur $3$ apparaît à la puissance $2$ dans les deux, on garde $3^{2}$ ; les facteurs $7$ et $5$ ne sont pas communs et disparaissent. Donc $\text{PGCD}(252\,;\,360)=2^{2}\times 3^{2}=4\times 9=36$.

Chaque bouquet devant être IDENTIQUE et toutes les fleurs devant être utilisées, le nombre de bouquets doit diviser à la fois $252$ et $360$ : c'est donc un diviseur commun. Comme on en veut le maximum, c'est le PGCD, soit $36$ bouquets. C'est le raisonnement attendu, et il faut l'écrire : répondre $36$ sans justifier pourquoi le PGCD répond à la question coûte des points.

Chaque bouquet contient $\frac{252}{36}=7$ roses et $\frac{360}{36}=10$ tulipes. Vérification globale : $36\times 7=252$ ✓ et $36\times 10=360$ ✓, toutes les fleurs sont bien employées.

En divisant numérateur et dénominateur par le PGCD, on obtient d'un coup la fraction irréductible : $\frac{252}{360}=\frac{252\div 36}{360\div 36}=\frac{7}{10}$. Elle est bien irréductible, car $7$ et $10$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$, ce qu'on voit sur leurs décompositions, $7$ et $2\times 5$, qui n'ont aucun facteur en commun.

On applique la transformation pas à pas, en partant de $x=3$. Après la première répétition : $x=3\times 2+1=7$. Après la deuxième : $x=7\times 2+1=15$. Il faut écrire chaque étape, car le barème d'un exercice de trace d'exécution porte précisément là-dessus.

On poursuit : après la troisième répétition $x=15\times 2+1=31$, et après la quatrième $x=31\times 2+1=63$. Le programme affiche donc $63$. On remarquera que chaque valeur est le double de la précédente plus un, ce qui les fait croître très vite : de $3$ à $63$ en quatre étapes seulement.

Avec une valeur de départ égale à $5$, une seule répétition donne $5\times 2+1=11$. La question isole volontairement une étape unique pour vérifier qu'on a compris l'instruction elle-même et pas seulement recopié l'enchaînement.

Le volume d'un cylindre est $\pi r^{2}h=\pi\times 5^{2}\times 12=\pi\times 25\times 12=300\pi$ centimètres cubes, soit environ $942{,}48$ centimètres cubes. On donne la valeur EXACTE avec le $\pi$ avant d'arrondir, car c'est elle qui servira à la question f).

Le volume d'une boule est $\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\times 3^{3}=\frac{4}{3}\pi\times 27=36\pi$ centimètres cubes, soit environ $113{,}10$ centimètres cubes. Attention à ne pas confondre $r^{3}$ avec $3r$ : le cube porte sur le rayon, $27$ et non $9$.

On divise les deux volumes, et le facteur $\pi$ SE SIMPLIFIE : $\frac{300\pi}{36\pi}=\frac{300}{36}=\frac{25}{3}\approx 8{,}33$. Le nombre de boules étant nécessairement entier, on peut en fabriquer au maximum $8$. Répondre $8{,}33$ boules n'a aucun sens physique, et arrondir à $9$ serait pire encore puisque la matière manquerait.