Exercices corrigés : moyenne, médiane et quartiles en Troisième

Somme : $7+12+9+16+10=54$, pour $n=5$ valeurs. Moyenne $=\frac{54}{5}=10{,}8$. Contrôle : $10{,}8$ est bien entre la plus petite valeur, $7$, et la plus grande, $16$.

La plus grande valeur est $8$, la plus petite $-7$. Étendue $=8-(-7)=8+7=15$. Piège : écrire $8-7=1$, en oubliant que soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.

Rangée : $8$ ; $9$ ; $11$ ; $14$ ; $15$ ; $17$ ; $21$. Avec $n=7$, la médiane occupe le rang $\frac{7+1}{2}=4$ : elle vaut $14$, avec trois valeurs de chaque côté. Piège : prendre la valeur du milieu de la liste NON rangée, $11$.

Rangée : $3$ ; $5$ ; $6$ ; $7$ ; $9$ ; $10$ ; $12$ ; $15$. Avec $n=8$, pair, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs : $\frac{7+9}{2}=8$. Piège : donner $7$ ou $9$ seul ; une médiane d'effectif pair n'est pas forcément une valeur de la série.

Effectif total : $4+7+6+2=19$. Somme des valeurs, chacune multipliée par son effectif : $1\times 4+2\times 7+3\times 6+4\times 2=4+14+18+8=44$. Moyenne $=\frac{44}{19}\approx 2{,}32$. Piège : faire $\frac{1+2+3+4}{4}=2{,}5$, la moyenne des quatre VALEURS au lieu de celle des dix-neuf individus.

Effectif total : $4+9+15+7+5=40$. Fréquence de $12$ : $\frac{15}{40}=0{,}375$, soit $37{,}5$ %. Piège : diviser par le nombre de colonnes, $5$, ou ne pas multiplier par $100$.

Rangée : $4$ ; $6$ ; $7$ ; $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $13$ ; $15$ ; $18$ ; $20$, avec $n=11$. $\frac{11}{4}=2{,}75$, donc le rang de $Q_1$ est $3$ : $Q_1=7$. Piège : lire la 3e valeur de la liste NON rangée, $9$, ou confondre le rang $2{,}75$ avec une valeur.

$\frac{3\times 11}{4}=8{,}25$, donc le rang de $Q_3$ est $9$ : dans la série rangée, $Q_3=15$. Le rang s'arrondit toujours vers le haut, jamais au plus proche.

Rangée : $22$ ; $25$ ; $28$ ; $31$ ; $34$ ; $36$ ; $40$ ; $45$, avec $n=8$. $\frac{8}{4}=2$ tombe juste, donc $Q_1$ est la 2e valeur, $25$ ; $\frac{3\times 8}{4}=6$, donc $Q_3$ est la 6e valeur, $36$. Écart interquartile : $36-25=11$. Piège : passer au rang $3$ quand $\frac{n}{4}$ est déjà entier.

Le dernier cumulé donne $n=30$, pair : la médiane est la moyenne des 15e et 16e valeurs. Le cumulé vaut $14$ à la valeur $1$, puis $23$ à la valeur $2$ : les rangs $15$ à $23$ sont tous occupés par $2$. Médiane $=\frac{2+2}{2}=2$. Piège : répondre $1$ parce que $14$ est proche de $15$, ou donner un effectif cumulé au lieu d'une valeur.

L'effectif total est la somme des effectifs : $2+3+5+6+4+3+2=25$ élèves. Ce nombre sera le dénominateur de tout ce qui suit, et il n'a rien à voir avec les sept notes différentes du tableau.

On multiplie chaque note par son effectif, on ajoute, puis on divise par $25$ : $6\times 2+8\times 3+10\times 5+12\times 6+14\times 4+16\times 3+18\times 2 =12+24+50+72+56+48+36=298$. La moyenne vaut $\dfrac{298}{25}=11{,}92$. Contrôle de vraisemblance : la moyenne doit tomber entre la plus petite et la plus grande note, donc entre $6$ et $18$, et plutôt vers le milieu puisque la note $12$ est la plus fréquente.

Six élèves sur vingt-cinq ont eu $12$, donc la fréquence vaut $\dfrac{6}{25}=0{,}24$, soit $24$ pour cent.

Les élèves ayant au moins $12$ sont ceux qui ont eu $12$, $14$, $16$ ou $18$, soit $6+4+3+2=15$ élèves. Cela fait $\dfrac{15}{25}=0{,}6$, soit $60$ pour cent. Lire « au moins $12$ » comme « strictement plus que $12$ » ferait tomber à $9$ élèves, soit $36$ pour cent : la différence entre les deux lectures est énorme, et c'est le mot « au moins » qui la décide.

L'étendue vaut $18-6=12$ points.

Il trouve $\dfrac{84}{7}=12$. Le résultat n'est pas absurde, il est simplement faux : ce calcul est la moyenne des sept VALEURS possibles, pas celle des vingt-cinq élèves. Il traite la note $18$, obtenue par deux élèves, sur le même pied que la note $12$, obtenue par six. La moyenne d'une série se calcule toujours sur les individus, jamais sur les cases du tableau.

L'effectif vaut $n=11$, un nombre impair. La médiane est donc la valeur de rang $\dfrac{11+1}{2}=6$, c'est-à-dire la sixième en partant de la plus petite : $12$ ; $14$ ; $15$ ; $15$ ; $16$ ; puis $17$. La médiane vaut $17$ secondes. Elle partage la série en deux moitiés de cinq valeurs chacune.

L'étendue vaut $25-12=13$ secondes.

La somme des temps vaut $12+14+15+15+16+17+18+18+19+21+25=190$, donc la moyenne vaut $\dfrac{190}{11}\approx 17{,}3$ secondes. Elle est légèrement SUPÉRIEURE à la médiane $17$, ce qui trahit la présence d'une valeur haute isolée, ici le $25$.

Il reste dix valeurs, un effectif PAIR : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $5$ et $6$, soit $\dfrac{16+17}{2}=16{,}5$ secondes. L'étendue devient $21-12=9$ secondes. La somme tombe à $190-25=165$, donc la moyenne vaut $\dfrac{165}{10}=16{,}5$ secondes.

C'est l'ÉTENDUE, qui perd $4$ secondes sur $13$, soit environ $31$ pour cent. La moyenne perd $0{,}8$ seconde et la médiane $0{,}5$. L'étendue ne regarde que les deux extrêmes : elle est donc entièrement à la merci d'une seule valeur, et c'est pourquoi on ne s'en contente jamais pour décrire une série.

La médiane vaut $17$, et les temps inférieurs ou égaux à $17$ sont $12$, $14$, $15$, $15$, $16$ et $17$, soit six coureurs. Attention : la médiane ne partage pas en deux groupes de cinq et cinq avec elle-même en dehors, elle appartient à la série. Cinq coureurs sont strictement en dessous, cinq strictement au-dessus, et un est exactement dessus.

L'effectif est $n=25$. Un quart de $25$ vaut $\dfrac{25}{4}=6{,}25$ : le rang cherché est donc le premier entier supérieur ou égal, c'est-à-dire le rang $7$. Il reste à lire la septième valeur de la série ordonnée. Les effectifs cumulés valent $2$ jusqu'à la note $6$, puis $5$ jusqu'à $8$, puis $10$ jusqu'à $10$ : le rang $7$ tombe donc dans le paquet des $10$. Ainsi $Q_1=10$.

La médiane occupe le rang $\dfrac{25+1}{2}=13$. Les effectifs cumulés valent $10$ jusqu'à la note $10$ et $16$ jusqu'à la note $12$ : le rang $13$ tombe dans le paquet des $12$, donc la médiane vaut $12$.

Trois quarts de $25$ font $\dfrac{75}{4}=18{,}75$, donc le rang $19$. Les effectifs cumulés valent $16$ jusqu'à $12$ et $20$ jusqu'à $14$ : le rang $19$ tombe dans le paquet des $14$, donc $Q_3=14$.

L'écart interquartile vaut $Q_3-Q_1=14-10=4$ points. Interprétation : au moins la moitié des élèves, ceux qui occupent le cœur du classement, ont obtenu une note comprise entre $10$ et $14$. Cet écart est un indicateur de dispersion beaucoup plus solide que l'étendue, car il ignore les quelques valeurs extrêmes des deux bords.

La médiane vaut $12$ et la moyenne $11{,}92$. Elles sont presque égales, ce qui indique une série assez symétrique, sans valeur aberrante d'un côté. Quand les deux s'écartent nettement, comme à l'exercice 6, c'est le signe qu'une poignée de valeurs tire la moyenne.

Il a confondu le RANG et la VALEUR. Le nombre $6{,}25$ est le quart de l'effectif, il sert à trouver la position $7$ dans le classement ; ce n'est pas une note, et d'ailleurs aucun élève n'a eu $6{,}25$. Le fait que $6$ soit aussi une note du tableau rend la confusion particulièrement facile ici, et c'est pour cela que l'énoncé est construit ainsi.

On repasse des cumulés aux effectifs par des soustractions successives : $2$, puis $5-2=3$, puis $10-5=5$, puis $16-10=6$, puis $20-16=4$, puis $23-20=3$, puis $25-23=2$. On retrouve bien la série de l'exercice 1. Le passage dans un sens est une addition, dans l'autre une soustraction : c'est la seule chose à savoir.

Le cumulé associé à $10$ vaut $10$ : dix élèves ont obtenu au plus $10$. Celui associé à $14$ vaut $20$ : vingt élèves ont obtenu au plus $14$.

C'est le complémentaire du précédent : $25-10=15$ élèves ont obtenu strictement plus que $10$. Passer par le contraire évite d'additionner quatre effectifs et divise le risque d'erreur.

La médiane occupe le rang $13$. On cherche la première note dont le cumulé atteint ou dépasse $13$ : le cumulé vaut $10$ à la note $10$, puis $16$ à la note $12$. La médiane est donc $12$. La lecture se fait d'un coup d'œil, sans reconstituer la liste des vingt-cinq notes.

Pour $Q_1$, rang $7$ : le premier cumulé atteignant $7$ est $10$, à la note $10$, donc $Q_1=10$. Pour $Q_3$, rang $19$ : le premier cumulé atteignant $19$ est $20$, à la note $14$, donc $Q_3=14$. On retrouve l'exercice 3 en trois secondes.

Parce que « avoir obtenu au plus $18$ » est vrai pour tous les élèves, la note $18$ étant la plus haute de la série. Le dernier cumulé compte donc toute la classe : il vaut $25$. C'est aussi le contrôle à faire systématiquement pour vérifier qu'aucun effectif n'a été oublié en route.

Série A : $9+10+11+12+13=55$, donc la moyenne vaut $\dfrac{55}{5}=11$. Série B : $1+5+11+17+21=55$, donc la moyenne vaut aussi $11$. Les deux moyennes sont identiques.

Les deux séries comptent cinq valeurs, un effectif impair : la médiane est la troisième valeur de chacune, soit $11$ pour A et $11$ pour B. Les deux médianes sont identiques elles aussi.

Série A : $13-9=4$. Série B : $21-1=20$. Les étendues sont dans un rapport de $1$ à $5$.

Que deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne ET la même médiane tout en n'ayant rien à voir. La série A est groupée autour de $11$, la série B est étalée du simple au vingtuple. Un indicateur de position, moyenne ou médiane, ne dit rien de la DISPERSION : il faut lui adjoindre une étendue ou un écart interquartile. C'est exactement la raison pour laquelle le programme de troisième demande les deux familles d'indicateurs, et non une seule.

Une étendue nulle signifie que toutes les valeurs sont égales. Il n'y a donc qu'une seule possibilité : $11$ ; $11$ ; $11$ ; $11$ ; $11$. Sa moyenne vaut bien $11$, ainsi que sa médiane.

Oui. Il suffit que trois valeurs au moins soient petites et qu'une valeur soit très grande : par exemple $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $49$. La somme vaut $55$, donc la moyenne vaut $11$, et la troisième valeur est $2$, donc la médiane vaut $2$. Une moyenne peut ainsi être plus de cinq fois plus grande que la médiane, et c'est exactement la situation des salaires de l'exercice 6.

La somme vaut $2400+2500+2600+2600+2800+2900+3100+3400+12\,000=34\,300$ dollars. La moyenne vaut donc $\dfrac{34\,300}{9}\approx 3811$ dollars.

L'effectif est $n=9$, impair : la médiane occupe le rang $\dfrac{9+1}{2}=5$. La cinquième valeur est $2800$. Le salaire médian vaut donc $2800$ dollars.

Les salaires inférieurs à $3811$ dollars sont $2400$, $2500$, $2600$, $2600$, $2800$, $2900$, $3100$ et $3400$ : huit salariés sur neuf, soit environ $89$ pour cent. Une phrase comme « le salaire moyen est de $3811$ dollars » laisserait croire qu'environ la moitié des gens gagnent plus, alors qu'ils ne sont qu'un seul.

Sans le dirigeant, la somme vaut $34\,300-12\,000=22\,300$ dollars pour huit personnes, donc une moyenne de $\dfrac{22\,300}{8}=2787{,}5$ dollars. L'effectif $8$ est pair, la médiane est la demi-somme des rangs $4$ et $5$, soit $\dfrac{2600+2800}{2}=2700$ dollars.

La MÉDIANE, sans hésitation. La moyenne a chuté de $3811$ à $2788$ dollars, soit plus de mille dollars, en retirant une seule personne sur neuf ; la médiane n'a bougé que de $2800$ à $2700$ dollars. Une seule valeur extrême déplace la moyenne parce que la moyenne additionne les montants, alors que la médiane ne regarde que les rangs. C'est la raison pour laquelle les statistiques officielles sur les revenus publient toujours une médiane.

Avec le dirigeant, l'étendue vaut $12\,000-2400=9600$ dollars. Sans lui, elle tombe à $3400-2400=1000$ dollars. Elle est divisée par près de dix par le retrait d'un seul individu, ce qui montre à nouveau qu'elle ne mesure pas la dispersion de l'ENSEMBLE mais l'écart entre les deux bords.

$8+14+10+6+2=40$ élèves.

Le centre d'une classe est la demi-somme de ses deux bornes : $5$ pour $[0;10[$, $15$ pour $[10;20[$, $25$ pour $[20;30[$, $35$ pour $[30;40[$ et $45$ pour $[40;50[$.

On traite les centres comme des valeurs, avec les effectifs pour poids : $5\times 8+15\times 14+25\times 10+35\times 6+45\times 2=40+210+250+210+90=800$. La durée moyenne vaut donc environ $\dfrac{800}{40}=20$ minutes.

La médiane occupe les rangs $20$ et $21$, l'effectif étant pair. Les effectifs cumulés valent $8$ pour la première classe et $22$ pour les deux premières : les rangs $20$ et $21$ tombent donc tous deux dans la classe $[10;20[$. La médiane appartient à cet intervalle, et on ne peut pas en dire plus à partir de données groupées.

Moins de vingt minutes concerne les deux premières classes, soit $8+14=22$ élèves, c'est-à-dire $\dfrac{22}{40}=0{,}55$, soit $55$ pour cent.

Parce que remplacer chaque durée par le centre de sa classe est une approximation : un élève de la classe $[10;20[$ peut mettre $11$ minutes comme $19$, et on lui attribue $15$. L'erreur commise sur chaque élève vaut au plus $5$ minutes, mais elle se compense en partie d'un élève à l'autre. Pour connaître la moyenne exacte, il faudrait les quarante durées, que le regroupement a fait perdre : c'est le prix de la lisibilité d'un histogramme.

FAUX. Ce que l'affirmation décrit est le milieu de l'étendue, qui n'a pas de nom au programme et ne se calcule jamais. La médiane est la valeur qui partage la série ORDONNÉE en deux moitiés de même effectif. Sur $2400$ ; $2500$ ; $2600$ ; $2600$ ; $2800$ ; $2900$ ; $3100$ ; $3400$ ; $12\,000$, la médiane vaut $2800$ alors que la demi-somme des extrêmes vaudrait $7200$.

FAUX. On divise par l'effectif TOTAL, c'est-à-dire par la somme des effectifs. Sur les vingt-cinq notes de l'exercice 1, diviser par $7$ donne $12$ au lieu de $11{,}92$, et l'écart serait bien plus grand avec des effectifs plus déséquilibrés.

FAUX. Les séries $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $13$ et $1$ ; $5$ ; $11$ ; $17$ ; $21$ ont toutes deux pour moyenne $11$ et pour médiane $11$, mais leurs étendues valent $4$ et $20$. Énoncé correct : la moyenne est un indicateur de position, elle ne renseigne pas sur la dispersion.

FAUX. Le nombre $6{,}25$ est le quart de l'effectif, donc un RANG à arrondir à $7$, pas une valeur. Énoncé correct : $Q_1$ est la valeur qui occupe le rang $7$ dans la série ordonnée, ici la note $10$.

FAUX, sauf si les deux groupes ont le même effectif. Avec $18$ élèves de moyenne $12{,}5$ et $12$ élèves de moyenne $15$, la moyenne des moyennes donnerait $13{,}75$, alors que la vraie moyenne vaut $\dfrac{18\times 12{,}5+12\times 15}{30}=\dfrac{405}{30}=13{,}5$. Énoncé correct : on additionne les SOMMES, pas les moyennes, puis on divise par l'effectif total.

La somme d'un groupe est sa moyenne multipliée par son effectif : $18\times 12{,}5=225$ pour le premier, et $12\times 15=180$ pour le second. Cette étape est le cœur du problème : une moyenne n'est pas additive, une somme l'est.

La classe totalise $225+180=405$ points pour $30$ élèves, donc une moyenne de $\dfrac{405}{30}=13{,}5$.

La moyenne des deux moyennes vaudrait $\dfrac{12{,}5+15}{2}=13{,}75$, soit $0{,}25$ de plus. L'écart vient de ce que ce calcul donne le même poids aux deux groupes alors que le premier compte six élèves de plus. Une moyenne de moyennes n'est correcte que si les effectifs sont égaux.

Vers $12{,}5$, la moyenne du groupe le plus NOMBREUX. C'est général : la moyenne globale est toujours comprise entre les deux moyennes, et elle se rapproche de celle du groupe qui pèse le plus lourd. Ici $13{,}5$ est bien entre $12{,}5$ et $15$, et plus près de $12{,}5$.

Si le second groupe compte $m$ élèves, la moyenne vaut $\dfrac{225+15m}{18+m}$. On veut $\dfrac{225+15m}{18+m}=13{,}75$, donc $225+15m=13{,}75(18+m)=247{,}5+13{,}75m$, puis $1{,}25m=22{,}5$ et $m=18$. Il faudrait donc dix-huit élèves dans le second groupe, c'est-à-dire autant que dans le premier : on retombe sur la condition de la question 3.

Le troisième groupe apporte $10\times 9=90$ points. Le total devient $405+90=495$ points pour $40$ élèves, soit une moyenne de $\dfrac{495}{40}=12{,}375$. Ajouter dix élèves faibles fait perdre plus d'un point à la classe : la moyenne est bien plus fragile qu'elle n'en a l'air.

La somme des coefficients vaut $1+1+2=4$. La moyenne vaut donc $M=\dfrac{11\times 1+14\times 1+x\times 2}{4}=\dfrac{25+2x}{4}$. Diviser par $3$, le nombre de notes, serait l'erreur classique : on divise par la somme des COEFFICIENTS.

On résout $\dfrac{25+2x}{4}\ge 13$, soit $25+2x\ge 52$, puis $2x\ge 27$ et $x\ge 13{,}5$. Il lui faut au moins $13{,}5$. Vérification : avec $13{,}5$, la moyenne vaut $\dfrac{25+27}{4}=\dfrac{52}{4}=13$ exactement.

On résout $\dfrac{25+2x}{4}\ge 14$, soit $25+2x\ge 56$, puis $2x\ge 31$ et $x\ge 15{,}5$. Gagner un point de moyenne lui coûte deux points sur le devoir : c'est exactement l'effet du coefficient $2$ sur une somme de coefficients de $4$.

Au mieux, il obtient $20$ : la moyenne vaut alors $\dfrac{25+40}{4}=\dfrac{65}{4}=16{,}25$. Même un $20$ ne peut pas le mener plus haut, parce que ses deux premières notes sont déjà comptabilisées.

Au pire, il obtient $0$ : la moyenne vaut alors $\dfrac{25}{4}=6{,}25$. Sa moyenne finale est donc nécessairement comprise entre $6{,}25$ et $16{,}25$, un intervalle de $10$ points, soit la moitié de l'échelle : le devoir sur table pèse pour moitié, ce qui est la lecture directe du rapport $\dfrac{2}{4}$.

La somme des coefficients devient $1+1+4=6$ et la moyenne $\dfrac{25+4x}{6}$. On résout $\dfrac{25+4x}{6}\ge 13$, soit $25+4x\ge 78$, puis $4x\ge 53$ et $x\ge 13{,}25$. Il lui faut un quart de point de moins qu'à la question 2. Le coefficient plus lourd rend le devoir plus DÉCISIF, ce qui joue dans les deux sens : la fourchette des moyennes possibles s'étend alors de $\dfrac{25}{6}\approx 4{,}17$ à $\dfrac{105}{6}=17{,}5$.