Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Le ratio est la notation qui piège le plus au collège, parce qu'elle ressemble à une fraction sans en être une. Écrire ne veut pas dire « trois cinquièmes » : cela veut dire trois parts d'un côté, cinq de l'autre, donc huit parts en tout.
Une fois cette lecture acquise, les partages, les échelles et les pourcentages deviennent le même geste : compter les parts, calculer la valeur d'une part, puis multiplier. Cette fiche range les huit erreurs qui coûtent des points.
Le fil du chapitre
Un ratio compare deux PARTS entre elles, jamais une part au total. La fraction du total que représente la première est , et non : c'est cette seule confusion qui fait rater la plupart des partages.
Dessiner les parts en petits rectangles avant de calculer. Sur un ratio on en trace huit, et l'erreur du devient impossible.
La valeur d'une part est le seul nombre à calculer. Tout le reste n'est qu'une multiplication, et le contrôle final tient en une addition.
La conversion se fait APRÈS la multiplication, jamais avant : cm, que l'on traduit ensuite en m.
Un taux d'évolution se calcule toujours par rapport à la valeur de DÉPART : .
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Dans un ratio , le premier reçoit du total. »
Ce qu'il faut écrire
« Il reçoit du total, car il y a parts en tout. Le ratio compare les deux parts entre elles, pas au total. »
Pourquoi : La notation ressemble à une fraction sans en être une. Le dénominateur d'une fraction est le TOUT, alors que le second terme d'un ratio n'est que l'autre part.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« à partager selon : pour le premier. »
Ce qu'il faut écrire
« est la valeur d'UNE part, donc le premier reçoit et le second . »
Pourquoi : On divise par le nombre TOTAL de parts, pas par le nombre de parts d'un seul. Le contrôle par l'addition finale attrape systématiquement cette erreur.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le ratio donne parts. »
Ce qu'il faut écrire
« Il donne parts : tous les termes entrent dans la somme, sans exception. »
Pourquoi : Deux termes suffisent dans la plupart des exercices vus avant, donc l'œil s'arrête au deuxième. Écrire l'addition en entier avant de diviser supprime l'oubli.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , en enlevant de chaque côté. »
Ce qu'il faut écrire
« : on DIVISE les deux termes par le même nombre, ici , comme pour une fraction. »
Pourquoi : Un ratio garde son sens quand on multiplie ou divise les deux termes, jamais quand on ajoute ou retranche. Le test est immédiat : vaut , qui n'est pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Sur un plan au , un mur de cm mesure cm, soit m. »
Ce qu'il faut écrire
« cm valent m : on applique l'échelle d'abord, puis on convertit, et cm font m. »
Pourquoi : La multiplication par l'échelle et la conversion d'unité sont deux gestes différents, faits sur deux lignes différentes. Les enchaîner de tête fait sauter l'un des deux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« À l'échelle , une pièce de cm² sur le plan a une aire réelle de cm². »
Ce qu'il faut écrire
« L'aire est multipliée par , donc elle vaut cm², soit m². »
Pourquoi : Une aire est un produit de deux longueurs, et chacune est multipliée par . Le facteur intervient donc deux fois, et trois fois pour un volume.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Sur élèves, sont en quatrième : cela fait pour cent. »
Ce qu'il faut écrire
« pour cent : on divise la PARTIE par le TOUT, et un pourcentage d'une partie ne dépasse jamais . »
Pourquoi : Le quotient se lit dans l'ordre « partie sur tout ». Un pourcentage supérieur à pour une sous-partie est impossible : c'est le contrôle immédiat.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le premier reçoit dans un partage , donc le total vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« Une part vaut , donc le total vaut . »
Pourquoi : On repasse toujours par la valeur d'une part, dans un sens comme dans l'autre. Multiplier par l'autre terme du ratio ne correspond à aucune grandeur du problème.
On regarde ce qui est connu : le total, une part, ou seulement le ratio.
Si le TOTAL et le ratio sont donnés → additionner les termes, diviser le total par cette somme, multiplier par chaque terme
Exemple : selon donnent et
Si UNE PART et le ratio sont donnés → diviser cette part par son terme pour obtenir la valeur d'une part, puis remonter au total
Exemple : pour le terme donnent une part de , donc un total de
on repasse toujours par la valeur d'une part, jamais directement d'une part à l'autre
Si la question demande une FRACTION du total → écrire le terme sur la somme des termes
Exemple : dans , le premier représente du total
Si la question demande un POURCENTAGE → diviser la partie par le tout, puis multiplier par
Exemple : pour cent
Si l'énoncé donne deux ratios et demande s'ils sont égaux → faire le produit en croix, ou simplifier les deux
Exemple : et sont égaux car
Quelle que soit la branche, on termine par le contrôle : la somme des parts obtenues doit redonner le total annoncé.
On repère d'abord le SENS du passage, puis la grandeur concernée.
Si on va du plan vers la réalité, pour une longueur → multiplier par , puis convertir l'unité
Exemple : cm au donnent cm, soit m
Si on va de la réalité vers le plan, pour une longueur → convertir dans la même unité, puis diviser par
Exemple : m au donnent cm
Si la grandeur est une AIRE → utiliser , dans le sens choisi
Exemple : cm² au donnent cm², soit m²
on peut aussi calculer les deux longueurs réelles, puis leur produit : les deux méthodes doivent coïncider
Si la grandeur est un VOLUME → utiliser
Exemple : au , un volume est multiplié par
La conversion d'unité vient toujours APRÈS l'application de l'échelle, sur une ligne à part. Mélanger les deux est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un total et un ratio à deux ou trois termes, et demande la valeur de chaque part.
Phrase de conclusion
« Le ciment pèse kg, le sable kg et le gravier kg, et kg. »
Le piège : Diviser le total par un seul terme du ratio. La somme finale ne tombe alors jamais juste, ce qui rend le contrôle indispensable.
Barème : 0,5 point pour le nombre de parts, 0,5 pour la valeur d'une part, 1 point pour les trois masses, 0,5 pour le contrôle.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une échelle et des dimensions mesurées sur un plan, puis demande des longueurs ou une aire réelles.
Phrase de conclusion
« La dalle mesure réellement m sur m, donc son aire vaut m². »
Le piège : Multiplier une aire par au lieu de . Le contrôle par le produit des deux longueurs réelles détecte l'erreur immédiatement.
Barème : 0,5 point pour le sens de l'échelle, 1 point pour les longueurs converties, 1 point pour l'aire justifiée.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La somme des parts redonne le total
Additionner toutes les parts calculées : le résultat doit être exactement le total de l'énoncé, à l'unité près.
kg : le partage tient. Une somme de signale une valeur de part fausse ou un terme oublié.
Chaque part est plus petite que le total
Comparer chaque part au total : aucune ne peut l'atteindre, et la plus grande correspond au plus grand terme du ratio.
Dans un partage de , une part de est impossible. C'est le signe qu'on a multiplié au lieu de diviser.
L'aire calculée de deux façons
Calculer l'aire réelle en multipliant l'aire du plan par , puis en multipliant les deux longueurs réelles. Les deux doivent coïncider.
cm² cm² m², et m² : les deux méthodes se confirment.
Un pourcentage de partie reste sous cent
Vérifier qu'un pourcentage décrivant une sous-partie ne dépasse jamais , et que la somme des pourcentages de toutes les parties vaut .
pour cent, pour cent et pour cent pour le ratio : leur somme vaut bien .
Un béton est composé de ciment, de sable et de gravier dans le ratio . On en prépare kg.
Calculer la masse de chaque constituant et le pourcentage de sable, puis, la dalle étant dessinée au et mesurant cm sur cm sur le plan, donner ses dimensions et son aire réelles.
Étape 1
Nombre de parts : .
Pourquoi
Tous les termes entrent dans la somme, y compris le troisième. Écrire l'addition en entier avant de diviser est ce qui empêche d'en oublier un.
Étape 2
Valeur d'une part : kg.
Pourquoi
C'est le seul vrai calcul du partage. Tout ce qui suit n'est qu'une multiplication, et une erreur ici se voit tout de suite au contrôle final.
Étape 3
Ciment : kg. Sable : kg. Gravier : kg.
Pourquoi
Chaque masse porte son unité dès l'écriture. Le plus grand terme du ratio doit donner la plus grande masse, ce qui est un contrôle gratuit.
Étape 4
Contrôle : kg, qui est bien le total annoncé.
Pourquoi
Cette addition attrape à elle seule les deux erreurs les plus fréquentes du chapitre, le terme oublié et la division par un seul terme.
Étape 5
Pourcentage de sable : , soit pour cent.
Pourquoi
On divise la PARTIE par le TOUT, dans cet ordre. Le résultat, , correspond bien au terme sur les parts : les deux lectures se confirment.
Étape 6
Dimensions réelles : cm m, et cm m.
Pourquoi
On multiplie d'abord, on convertit ensuite, sur deux gestes séparés. Convertir avant l'échelle est l'erreur qui donne des murs de mille mètres.
Étape 7
Aire réelle : m². Contrôle par l'échelle : cm² cm² m².
Pourquoi
Les deux méthodes doivent donner le même nombre. Si elles diffèrent, c'est que l'échelle a été appliquée une seule fois à l'aire au lieu de deux.
Conclusion rédigée
« Le béton contient kg de ciment, kg de sable et kg de gravier, le sable en représentant pour cent. La dalle mesure réellement m sur m, soit une aire de m². »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire que le sable représente du béton, parce que le ratio contient un et un . Il en représente , car le partage compte parts en tout.
Non. Le ratio trois pour cinq signifie trois parts d'un côté et cinq de l'autre, donc huit parts en tout. La fraction du total que représente le premier est trois huitièmes, pas trois cinquièmes. Le second terme d'un ratio n'est pas le total, c'est seulement l'autre part.
On additionne d'abord tous les termes du ratio pour obtenir le nombre de parts. On divise ensuite le total par ce nombre : c'est la valeur d'une part. Il ne reste qu'à multiplier cette valeur par chaque terme, puis à vérifier que la somme des parts redonne le total.
Comme une fraction : on divise les deux termes par un même nombre. Douze pour dix-huit devient deux pour trois en divisant par six. On ne soustrait jamais un même nombre aux deux termes, car cela change complètement le rapport entre les parts.
Par cinquante au carré, soit deux mille cinq cents. Une aire est un produit de deux longueurs, et chacune est multipliée par cinquante. Huit centimètres carrés sur le plan représentent donc vingt mille centimètres carrés, c'est-à-dire deux mètres carrés.
On divise la partie par le tout, puis on multiplie par cent. Quatre-vingt-dix élèves sur deux cent quarante donnent trente-sept virgule cinq pour cent. Un pourcentage décrivant une sous-partie ne peut jamais dépasser cent : c'est le contrôle immédiat.
