Exercices corrigés : proportionnalité et pourcentages (Cinquième)

1) On divise chaque prix par la masse correspondante : $7\div 2=3{,}5$, puis $17{,}5\div 5=3{,}5$, puis $28\div 8=3{,}5$, puis $42\div 12=3{,}5$. Les quatre quotients sont égaux, donc le tableau est bien un tableau de proportionnalité. Il faut vérifier TOUTES les colonnes : une seule qui donnerait un autre quotient suffirait à tout casser.

2) Le coefficient vaut $3{,}5$. Il se lit comme un prix par kilogramme : un kilogramme coûte $3{,}5$ dollars. C'est ce qu'on appelle un prix unitaire, et c'est toujours ainsi qu'un coefficient de proportionnalité s'interprète, comme la valeur correspondant à UNE unité.

3) $8\div 2=4$ tandis que $17\div 5=3{,}4$. Ces deux quotients diffèrent, donc le tableau de l'étal 2 n'est PAS proportionnel. Un seul contre-exemple suffit pour répondre non, alors qu'il faut vérifier toutes les colonnes pour répondre oui : les deux questions ne demandent pas le même travail.

4) On multiplie par le coefficient : $20\times 3{,}5=70$ dollars. On peut aussi utiliser la linéarité, souvent plus rapide : $20=12+8$, donc le prix vaut $42+28=70$ dollars. Les deux méthodes doivent donner le même nombre, c'est la vérification.

5) Ici on remonte, donc on DIVISE par le coefficient : $63\div 3{,}5=18$ kilogrammes. Contrôle : $18\times 3{,}5=63$, c'est bien cela. L'erreur classique est de multiplier par $3{,}5$ dans les deux sens ; il faut se demander à chaque fois si l'on descend de la masse vers le prix, ou si l'on remonte.

6) De $2$ à $5$ kilogrammes, le prix passe de $8$ à $17$, soit $9$ dollars pour $3$ kilogrammes, donc $3$ dollars par kilogramme. De $5$ à $8$, il passe de $17$ à $26$, encore $9$ dollars pour $3$ kilogrammes. Chaque kilogramme supplémentaire coûte donc bien $3$ dollars, mais le tableau n'est pas proportionnel pour autant : à $0$ kilogramme, le prix serait de $2$ dollars. Cet étal facture $2$ dollars d'emballage en plus du produit. C'est le contre-exemple à retenir : un accroissement régulier ne suffit pas, il faut en plus que zéro donne zéro.

1) $4$ croissants coûtent $5$ dollars, donc un croissant coûte $5\div 4=1{,}25$ dollar. Ce prix unitaire est le coefficient de proportionnalité du tableau : il fait passer du nombre de croissants au prix.

2) $6\times 1{,}25=7{,}5$ dollars. Contrôle par le retour : $7{,}5\div 1{,}25=6$, on retombe bien sur le nombre de croissants. Écrire la réponse avec l'unité, dollars, fait partie du barème.

3) Par linéarité : $10=4+6$, donc le prix de $10$ croissants est celui de $4$ plus celui de $6$, soit $5+7{,}5=12{,}5$ dollars. On peut aussi remarquer que $10$ est deux fois et demie $4$, donc $5\times 2{,}5=12{,}5$. La linéarité fonctionne parce qu'en proportionnalité, ce qui est vrai pour deux paquets séparés reste vrai pour les deux paquets réunis.

4) $25\times 1{,}25=31{,}25$ dollars. Par linéarité, $25=10+10+4+1$, ce qui donne $12{,}5+12{,}5+5+1{,}25=31{,}25$ dollars. Les deux chemins concordent. Sur un contrôle, le coefficient est plus court dès que le nombre n'est pas une somme évidente des colonnes déjà remplies.

5) On remonte, donc on divise : $60\div 1{,}25=48$ croissants. Vérification : $48\times 1{,}25=60$. Autre méthode sans division décimale, $1{,}25=\frac{5}{4}$, donc diviser par $1{,}25$ revient à multiplier par $\frac{4}{5}$ : $60\times\frac{4}{5}=48$.

6) Adam a AJOUTÉ $4$ dollars parce qu'il ajoutait $4$ croissants. Il a mélangé les deux lignes du tableau : ajouter $4$ croissants n'ajoute pas $4$ dollars, cela ajoute le prix de $4$ croissants, c'est-à-dire $5$ dollars. La bonne réponse est $5+5=10$ dollars, ce que confirme le coefficient, $8\times 1{,}25=10$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : en proportionnalité, on peut additionner des colonnes ENTIÈRES, jamais additionner un nombre de la ligne du haut à un nombre de la ligne du bas.

1) $15$ pour cent de $240$, c'est $240\times\frac{15}{100}$. On calcule d'abord $240\div 100=2{,}4$, puis $2{,}4\times 15=36$ dollars. Autre chemin de tête : $10$ pour cent font $24$, $5$ pour cent en font la moitié soit $12$, et $24+12=36$. Ce découpage en dix pour cent puis cinq pour cent est le plus rapide sans calculatrice.

2) $80\times\frac{45}{100}=\frac{3600}{100}=36$ élèves. On vérifie la vraisemblance : $45$ pour cent, c'est un peu moins de la moitié, et $36$ est bien un peu moins que $40$. Ce réflexe de comparer à la moitié attrape la plupart des erreurs de virgule.

3) On forme le quotient puis on le ramène sur $100$ : $\frac{216}{600}=0{,}36=\frac{36}{100}$, soit $36$ pour cent. Méthode générale : pour trouver un pourcentage, on divise la partie par le tout, puis on multiplie par $100$. Ici $216\div 600=0{,}36$ et $0{,}36\times 100=36$.

4) $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}=0{,}75$, soit $75$ pour cent des matchs gagnés. Passer par la fraction simplifiée évite la calculatrice : trois quarts, tout le monde sait que cela fait $75$ pour cent. Il vaut la peine de connaître par cœur les équivalences $\frac{1}{2}=50$ pour cent, $\frac{1}{4}=25$ pour cent, $\frac{3}{4}=75$ pour cent, $\frac{1}{5}=20$ pour cent et $\frac{1}{10}=10$ pour cent.

5) $12{,}5$ pour cent, c'est $\frac{12{,}5}{100}=\frac{1}{8}$. Donc on cherche le huitième de $64$, soit $64\div 8=8$ litres. Reconnaître qu'un pourcentage est une fraction simple transforme un calcul décimal pénible en une division immédiate.

6) Si $30$ pour cent du nombre valent $51$, alors $1$ pour cent en vaut $51\div 30=1{,}7$, et $100$ pour cent valent $1{,}7\times 100=170$. Le nombre cherché est donc $170$. Vérification : $170\times\frac{30}{100}=51$. Ce passage par un pour cent est la méthode sûre quand on remonte d'une partie vers le tout ; l'erreur serait de multiplier $51$ par $0{,}30$, ce qui redescendrait au lieu de remonter.

1) La hausse vaut $80\times\frac{15}{100}=12$ dollars, donc le nouveau prix est $80+12=92$ dollars. On garde toujours cet ordre : on calcule d'abord la variation, ensuite on l'ajoute. Écrire directement $92$ sans montrer les $12$ dollars fait perdre des points de justification.

2) La réduction vaut $80\times\frac{25}{100}=20$ dollars, donc le prix soldé est $80-20=60$ dollars. Le quart de $80$ étant $20$, on pouvait aller directement au résultat : baisser de $25$ pour cent, c'est retirer le quart.

3) Augmenter de $15$ pour cent revient à garder les $100$ pour cent et à ajouter $15$ pour cent, donc à multiplier par $\frac{115}{100}=1{,}15$. Contrôle : $80\times 1{,}15=92$, on retrouve la question 1. Diminuer de $25$ pour cent revient à multiplier par $\frac{75}{100}=0{,}75$, et $80\times 0{,}75=60$, on retrouve la question 2. Cette écriture en une seule multiplication est celle qu'on utilisera au lycée, elle mérite d'être installée dès la cinquième.

4) L'augmentation vaut $300-250=50$ dollars. On la compare au prix de DÉPART : $\frac{50}{250}=0{,}2$, soit $20$ pour cent. Le dénominateur est le point crucial : c'est toujours la valeur initiale, jamais la valeur finale. Diviser par $300$ donnerait environ $16{,}7$ pour cent, ce qui est une autre question.

5) La baisse vaut $120-90=30$ dollars, à comparer aux $120$ dollars de départ : $\frac{30}{120}=\frac{1}{4}=0{,}25$, soit $25$ pour cent de baisse. On peut vérifier par la multiplication : $120\times 0{,}75=90$, ce qui confirme.

6) Sur $200$ dollars : la hausse de $20$ pour cent donne $200\times 1{,}2=240$ dollars. La baisse de $20$ pour cent s'applique alors à $240$ et non à $200$ : elle vaut $240\times 0{,}2=48$ dollars, et le prix final est $240-48=192$ dollars. On ne retrouve donc PAS le prix de départ, on perd $8$ dollars. La raison tient en une phrase : les deux pourcentages ne portent pas sur la même référence. En une seule ligne, $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$, soit une baisse nette de $4$ pour cent.

1) $1$ centimètre sur la carte représente $250\,000$ centimètres réels. On convertit : $250\,000$ centimètres font $2\,500$ mètres, soit $2{,}5$ kilomètres. La chaîne de conversion est à faire lentement, un facteur $100$ pour passer aux mètres, puis un facteur $1\,000$ pour passer aux kilomètres. C'est là que se perdent la plupart des points de ce chapitre.

2) On multiplie par le coefficient : $6\times 2{,}5=15$ kilomètres. Les villes M et N sont donc réellement distantes de $15$ kilomètres. On peut aussi rester en centimètres, $6\times 250\,000=1\,500\,000$ centimètres, puis convertir en $15$ kilomètres. Même résultat, mais avec des nombres beaucoup plus gros.

3) Cette fois on remonte du terrain vers la carte, donc on divise : $20\div 2{,}5=8$ centimètres. Vérification : $8\times 2{,}5=20$. Le sens de l'opération se contrôle toujours par le bon sens, une distance sur la carte doit être petite, quelques centimètres, et non plusieurs dizaines.

4) L'échelle graphique mesure $4$ centimètres, donc elle représente $4\times 2{,}5=10$ kilomètres. Une échelle graphique a un avantage sur l'échelle numérique : si l'on photocopie la carte en l'agrandissant, elle s'agrandit avec, tandis que la mention $1/250\,000$ devient fausse.

5) Au $1/50\,000$, $1$ centimètre représente $50\,000$ centimètres, soit $0{,}5$ kilomètre. Pour représenter les $15$ kilomètres de MN, il faut donc $15\div 0{,}5=30$ centimètres. La distance sur le papier est cinq fois plus grande, ce qui est cohérent puisque $250\,000$ est cinq fois $50\,000$.

6) La carte au $1/50\,000$ montre plus de détails. Le raisonnement : plus le dénominateur de l'échelle est PETIT, moins on réduit la réalité, donc plus on peut dessiner de détails sur la même feuille. Au $1/50\,000$, un pâté de maisons de $50$ mètres occupe $1$ millimètre sur la carte, alors qu'au $1/250\,000$ il n'occuperait que $0{,}2$ millimètre, c'est-à-dire rien du tout. C'est exactement la règle des fractions : $\frac{1}{50\,000}$ est plus grand que $\frac{1}{250\,000}$.

1) Pour deux fois moins de personnes, il faut deux fois moins de tout : $600$ grammes de pommes de terre, $150$ millilitres de crème, $75$ grammes de fromage et $1$ œuf. Chaque ligne se divise par $2$, et seulement par $2$ : c'est le même coefficient pour tous les ingrédients, c'est ce qui définit la proportionnalité.

2) $12$ personnes, c'est une fois et demie $8$ personnes, donc on multiplie tout par $1{,}5$ : $1\,800$ grammes de pommes de terre, $450$ millilitres de crème, $225$ grammes de fromage et $3$ œufs. On peut aussi passer par la linéarité, $12=8+4$, ce qui donne $1\,200+600=1\,800$ grammes, et ainsi de suite. Les deux méthodes concordent.

3) Première méthode, le passage par l'unité : pour une personne il faut $1\,200\div 8=150$ grammes de pommes de terre, donc pour $6$ personnes $150\times 6=900$ grammes. Deuxième méthode, la linéarité : $6=4+2$, or $4$ personnes demandent $600$ grammes et $2$ personnes en demandent $300$, ce qui donne $900$ grammes. Pour le reste : $225$ millilitres de crème, $112{,}5$ grammes de fromage et $1{,}5$ œuf.

4) Une personne consomme $150\div 8=18{,}75$ grammes de fromage. Avec $450$ grammes, on peut servir $450\div 18{,}75=24$ personnes. Autre lecture plus simple : $450$ grammes, c'est trois fois les $150$ grammes prévus pour $8$ personnes, donc trois fois $8$, soit $24$ personnes. Chercher un rapport entier avant de sortir la calculatrice fait gagner du temps.

5) Pour $10$ personnes, il faut $2\times\frac{10}{8}=2{,}5$ œufs. Comme un œuf ne se coupe pas en deux dans une recette, on ARRONDIT VERS LE HAUT et on en met $3$. C'est le point où la proportionnalité mathématique rencontre la réalité de la cuisine : le calcul donne $2{,}5$, la décision est $3$, et il faut écrire les deux.

6) Pour $12$ personnes, il faut $225$ grammes de fromage. Comme $24$ dollars valent pour $1\,000$ grammes, un gramme coûte $24\div 1\,000=0{,}024$ dollar, et $225$ grammes coûtent $225\times 0{,}024=5{,}40$ dollars. On peut aussi écrire $225$ grammes $=0{,}225$ kilogramme, puis $0{,}225\times 24=5{,}40$ dollars. Convertir d'abord dans l'unité de l'énoncé du prix évite de traîner des zéros.

1) On lit l'abscisse $2$ et on remonte : chez A le point est à $3$ dollars, chez B il est à $4$ dollars. La lecture graphique demande de se placer exactement sur la graduation et de suivre le quadrillage, pas de deviner à vue.

2) C'est la série A. Deux conditions se vérifient à l'œil sur un graphique : les points sont ALIGNÉS, et la droite qui les porte PASSE PAR L'ORIGINE. La série B remplit la première condition mais pas la seconde, puisque à $0$ heure elle affiche déjà $2$ dollars. Les deux conditions comptent, et c'est la seconde qu'on oublie.

3) Chez A, une heure coûte $1{,}50$ dollar. On le lit directement à l'abscisse $1$, et on peut le confirmer par n'importe quel autre point : $3\div 2=1{,}5$, $4{,}5\div 3=1{,}5$, $7{,}5\div 5=1{,}5$. Ce prix unitaire est le coefficient de proportionnalité, et c'est aussi la hauteur gagnée à chaque pas d'une heure vers la droite.

4) Chez B, on paie $2$ dollars de prise en charge dès le départ, puis $1$ dollar par heure. On le vérifie : à $0$ heure, $2$ dollars ; à $1$ heure, $3$ dollars ; à $5$ heures, $2+5=7$ dollars. Les points sont alignés, l'augmentation est régulière, mais la situation n'est pas proportionnelle à cause de ces $2$ dollars fixes.

5) On cherche l'abscisse où les deux séries se rencontrent : à $4$ heures, A demande $4\times 1{,}5=6$ dollars et B demande $2+4=6$ dollars également. Les deux points se superposent à $(4;6)$, ce que le graphique montre bien. C'est le seul instant d'égalité.

6) Au-delà de $4$ heures, c'est B le moins cher, parce que son tarif horaire, $1$ dollar, est inférieur à celui de A, $1{,}50$ dollar : plus le temps passe, plus l'écart se creuse en sa faveur. Pour $8$ heures : A demande $8\times 1{,}5=12$ dollars, B demande $2+8=10$ dollars. B est donc moins cher de $2$ dollars. Avant $4$ heures c'est l'inverse, la prise en charge de B pèse plus que sa remise horaire.

1) FAUX. Les deux pourcentages ne portent pas sur la même référence : la hausse s'applique au prix initial, la baisse au prix déjà augmenté. Sur $200$ dollars : $200\times 1{,}2=240$, puis $240\times 0{,}8=192$ dollars. Le bon énoncé : une hausse de $20$ pour cent suivie d'une baisse de $20$ pour cent donne une baisse nette de $4$ pour cent, car $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$.

2) FAUX à double titre. D'abord le sens : deux fois plus d'ouvriers vont plus VITE, donc le nombre de jours doit diminuer, pas augmenter. Ensuite la nature de la situation : le nombre d'ouvriers et la durée ne sont pas proportionnels, c'est leur PRODUIT qui reste constant, ici $3\times 6=18$ jours d'ouvrier. Avec $6$ ouvriers, il faut $18\div 6=3$ jours. Le contrôle de bon sens, plus de monde donc moins de temps, suffit à repérer l'absurdité.

3) FAUX. Prendre $30$ pour cent, c'est multiplier par $\frac{30}{100}=0{,}3$, ce qui n'a rien à voir avec diviser par $30$. Sur $200$ : $30$ pour cent donnent $60$, tandis que $200\div 30\approx 6{,}7$. La confusion vient de ce que diviser par $100$ intervient bien dans le calcul, mais après la multiplication par $30$, pas à sa place.

4) FAUX, c'est la moitié de la condition. Il faut que les points soient alignés ET que la droite passe par l'origine. La série B de l'exercice 7 est parfaitement alignée mais démarre à $2$ dollars : ce n'est pas de la proportionnalité, puisque zéro heure ne coûte pas zéro dollar. Le bon énoncé : une situation est proportionnelle quand les points sont alignés sur une droite passant par l'origine.

5) FAUX. L'échelle est une fraction : $\frac{1}{25\,000}$ est PLUS GRAND que $\frac{1}{100\,000}$, à numérateur égal le plus petit dénominateur l'emporte. Concrètement, au $1/25\,000$ un centimètre de papier représente $250$ mètres, alors qu'au $1/100\,000$ il en représente $1\,000$ : la première carte étale davantage le terrain et montre donc plus de détails. Le bon énoncé : plus le dénominateur de l'échelle est petit, plus la carte est détaillée.

1) La vitesse est un quotient : distance divisée par durée, soit $210\div 3=70$ kilomètres par heure. C'est exactement un coefficient de proportionnalité, la distance parcourue en une heure. L'unité, kilomètres par heure, rappelle d'ailleurs la division qui l'a produite.

2) $5\times 70=350$ kilomètres. On descend de la durée vers la distance, donc on multiplie par la vitesse. Contrôle de vraisemblance : $5$ heures, c'est un peu moins du double de $3$ heures, et $350$ est bien un peu moins du double de $210$.

3) Cette fois on remonte de la distance vers la durée, donc on divise : $560\div 70=8$ heures. Vérification : $8\times 70=560$. On peut aussi raisonner par linéarité, $560=210+350$, donc $3+5=8$ heures, ce qui utilise les deux résultats précédents.

4) La consommation est donnée pour $100$ kilomètres, on établit donc la proportionnalité : $210$ kilomètres, c'est $2{,}1$ fois $100$ kilomètres, donc la consommation vaut $6\times 2{,}1=12{,}6$ litres. Autre écriture : $\frac{6}{100}=0{,}06$ litre par kilomètre, puis $210\times 0{,}06=12{,}6$ litres. La deuxième forme, la consommation par kilomètre, est le coefficient de proportionnalité.

5) Pour $560$ kilomètres, la consommation vaut $560\times 0{,}06=33{,}6$ litres. Le coût est alors $33{,}6\times 1{,}80=60{,}48$ dollars. On enchaîne donc deux proportionnalités, kilomètres vers litres, puis litres vers dollars. On peut aussi les composer en un seul coefficient : $0{,}06\times 1{,}80=0{,}108$ dollar par kilomètre, et $560\times 0{,}108=60{,}48$ dollars.

6) Il a divisé une distance par une durée, ce qui donne une vitesse, et non une durée. Son résultat, environ $186{,}7$, s'exprimerait en kilomètres par heure : c'est la vitesse qu'il faudrait tenir pour couvrir $560$ kilomètres en $3$ heures, une tout autre question. La règle qui protège de ce genre d'erreur est de toujours écrire les unités DANS le calcul : kilomètres divisés par heures donnent des kilomètres par heure, et l'on voit immédiatement qu'on n'a pas obtenu des heures.

1) En dessous de trois journées, aucune réduction ne s'applique. Chez A : $2\times 45=90$ dollars. Chez B : $2\times 52=104$ dollars. À ce stade, A est moins cher de $14$ dollars, ce que la figure laisse d'ailleurs prévoir puisque sa barre est la plus basse.

2) Chez A, la réduction de $10$ pour cent ramène la journée à $45\times 0{,}9=40{,}50$ dollars. Chez B, la réduction de $25$ pour cent la ramène à $52\times 0{,}75=39$ dollars. Multiplier par $0{,}9$ et par $0{,}75$ en une seule opération est plus sûr que de calculer la remise puis de la soustraire, surtout quand il faut ensuite multiplier par un nombre de jours.

3) Chez A : $4\times 40{,}50=162$ dollars. Chez B : $4\times 39=156$ dollars. B est donc moins cher de $6$ dollars pour quatre journées, alors qu'il était plus cher pour deux. Le renversement vient de la remise, deux fois et demie plus forte chez B, qui finit par compenser le prix affiché plus élevé.

4) Il faut comparer dès la troisième journée, puisque c'est là que les remises démarrent. Trois journées chez A coûtent $3\times 40{,}50=121{,}50$ dollars, chez B $3\times 39=117$ dollars. B est donc déjà moins cher à partir de TROIS journées, et le reste ensuite puisque son prix journalier remisé est inférieur. Avant trois journées, A garde l'avantage.

5) Chez B, une journée remisée coûte $39$ dollars. On cherche combien de fois $39$ tient dans $500$ : $500\div 39\approx 12{,}8$. La famille peut donc louer $12$ journées, pour $12\times 39=468$ dollars, et il lui reste $500-468=32$ dollars. On arrondit vers le bas, une journée partielle ne se loue pas.

6) Que la remise en pourcentage ne dit rien tant qu'on ne sait pas sur quel prix elle porte. $10$ pour cent de $45$ dollars font $4{,}50$ dollars d'économie, tandis que $25$ pour cent de $52$ dollars font $13$ dollars. La remise de B est donc à la fois plus forte en pourcentage et plus forte en dollars. C'est la leçon centrale du chapitre : un pourcentage seul n'est pas un prix, il faut toujours demander pourcentage DE QUOI avant de comparer.

1) Oui. Chaque timbre coûte le même prix, donc $n$ timbres coûtent $1{,}45\times n$ dollars : on multiplie toujours par le même nombre. Le coefficient est $1{,}45$, le prix d'un timbre.

2) Non. $75\div 1=75$ et $87\div 2=43{,}5$ : les quotients diffèrent. D'ailleurs, à $2$ ans, un enfant ne mesure pas le double de sa taille à $1$ an.

3) Oui. Le périmètre vaut $4\times c$ : le coefficient est $4$. Un côté deux fois plus long donne un périmètre deux fois plus long.

4) Non. L'aire vaut $c\times c$. Pour $c=1$, l'aire vaut $1$ ; pour $c=2$, elle vaut $4$ et non $2$. Doubler le côté multiplie l'aire par $4$ : les quotients $1\div 1=1$ et $4\div 2=2$ diffèrent.

5) Non. Pour $1$ km, on paie $4+2=6$ dollars ; pour $2$ km, $4+4=8$ dollars, et non $12$. Les quotients $6$ et $4$ diffèrent. Le prix augmente régulièrement, mais la prise en charge fait que $0$ km ne coûte pas $0$ dollar.

Le fil : proportionnel veut dire « multiplier par un même nombre » ; un seul quotient différent suffit pour répondre non.

1) $360\div 10=36$. Cinq pour cent, c'est la moitié de dix pour cent : $36\div 2=18$.

2) $15$ pour cent $=10$ pour cent $+5$ pour cent : $36+18=54$. $20$ pour cent $=2\times 10$ pour cent : $2\times 36=72$.

3) $4\,500\div 100=45$, puis $3\times 45=135$.

4) $25$ pour cent, c'est le quart : $48\div 4=12$. $75$ pour cent, ce sont trois quarts : $3\times 12=36$, ou encore $48-12=36$.

5) L'élève a soustrait le pourcentage au nombre, ce qui n'a aucun sens : $35$ pour cent d'une quantité est une PARTIE de cette quantité, obtenue par une multiplication. On décompose : $10$ pour cent de $60$ font $6$, donc $30$ pour cent font $18$ ; $5$ pour cent font $3$. Au total, $18+3=21$. Contrôle : $60\times\dfrac{35}{100}=21$ ✓.

Le fil : un pourcentage se décompose comme une somme de pourcentages faciles, et chaque morceau se calcule de tête.

1) $40$ g, c'est $0{,}4$ fois $100$ g : $24\times 0{,}4=9{,}6$ g de sucres. Autre chemin, par l'unité : $1$ g de céréales contient $0{,}24$ g de sucres, et $40\times 0{,}24=9{,}6$ g.

2) $24$ g sur $100$ g, c'est $\dfrac{24}{100}$ : $24$ pour cent. Une étiquette « pour $100$ g » se lit directement comme un pourcentage.

3) $150$ mL, c'est $1{,}5$ fois $100$ mL : $5\times 1{,}5=7{,}5$ g de sucres dans le lait. Le bol en contient $9{,}6+7{,}5=17{,}1$ g.

4) On remonte : $30$ g de sucres, c'est $30\div 24=1{,}25$ fois les $24$ g de l'étiquette, donc $100\times 1{,}25=125$ g de céréales.

5) Les $24$ pour cent portent sur la masse de la PORTION, $40$ g, et non sur $100$ g. La portion contient $24$ pour cent de $40$ g, soit $9{,}6$ g. L'élève a confondu le pourcentage avec une masse : $24$ grammes, c'est ce que contiennent $100$ g de céréales, soit deux portions et demie.

Le fil : une étiquette « pour 100 g » donne un coefficient de proportionnalité ; on l'adapte à la quantité réellement mangée.

1) $40$ photos restent dans le premier palier : $40\times 0{,}30=12$ dollars. Pour $100$ photos : $50\times 0{,}30=15$ dollars pour les cinquante premières, puis $50\times 0{,}20=10$ dollars pour les suivantes, soit $25$ dollars.

2) Non. $40$ photos coûtent $12$ dollars, soit $0{,}30$ dollar par photo, alors que $100$ photos coûtent $25$ dollars, soit $25\div 100=0{,}25$ dollar par photo en moyenne. Le prix d'une photo n'est pas le même selon la commande : ce n'est pas une situation de proportionnalité.

3) Les $50$ premières coûtent $15$ dollars. Il reste $30-15=15$ dollars, qui paient $15\div 0{,}20=75$ photos de plus. On peut en tirer $50+75=125$.

4) Pour $125$ photos : magasin $15+75\times 0{,}20=30$ dollars, site $125\times 0{,}24=30$ dollars. Même prix. Pour $200$ photos : magasin $15+150\times 0{,}20=45$ dollars, site $200\times 0{,}24=48$ dollars.

5) Au-delà de $125$ photos, le magasin est le moins cher : chaque photo supplémentaire y coûte $0{,}20$ dollar, contre $0{,}24$ sur le site, et les deux prix étaient égaux à $125$ photos. Pour $100$ photos, c'est l'inverse : le site demande $24$ dollars, le magasin $25$.

Le fil : un tarif par paliers est proportionnel à l'intérieur de chaque palier, mais pas sur toute la commande.

1) De $20$ à $80$ pour cent, le téléphone gagne $80-20=60$ points. Un point demande $45\div 60=0{,}75$ minute, soit $45$ secondes.

2) De $20$ à $50$ pour cent, il faut gagner $30$ points : $30\times 0{,}75=22{,}5$ minutes. C'est aussi la moitié de $45$ minutes, pour la moitié des $60$ points.

3) En $30$ minutes, il gagne $30\div 0{,}75=40$ points. Il atteint $15+40=55$ pour cent. Le piège est de répondre $40$ pour cent : le nombre calculé est un GAIN, qu'on ajoute au niveau de départ.

4) $60$ pour cent de $4\,000$ mAh : $4\,000\times\dfrac{60}{100}=2\,400$ mAh.

5) Vingt points en $30$ minutes : $30\div 20=1{,}5$ minute par point, deux fois plus lentement qu'avant. Le coefficient change en cours de route : la charge n'est PAS proportionnelle à la durée sur toute la plage, seulement de $20$ à $80$ pour cent. Les fabricants ralentissent volontairement la fin de charge pour ménager la batterie.

Le fil : une proportionnalité n'est souvent vraie que sur une plage ; on vérifie que le coefficient reste le même avant de l'utiliser partout.