Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre la proportionnalité et les pourcentages en classe de cinquième du programme français : coefficient, linéarité, pourcentages d'évolution, échelles et grandeurs quotients, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France, au Collège Stanislas à Montréal et dans tout le réseau AEFE.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : écrire noir sur blanc le TOUT auquel se rapporte le calcul, avant de calculer.
Le fil du chapitre
Un coefficient comme un pourcentage ne veulent rien dire tant qu'on n'a pas nommé le TOUT auquel ils se rapportent. Presque toutes les erreurs du chapitre viennent d'un calcul rapporté à la mauvaise valeur de départ.
Le test le plus rapide en problème : que coûte unité ? Si la réponse n'est pas , la situation n'est pas proportionnelle, et cela se rédige en une ligne.
Écrire le coefficient avec son unité ( dollars par kilogramme) rend impossible l'inversion haut-bas, qui est l'erreur de tableau la plus fréquente.
Deux pourcentages ne s'additionnent que s'ils portent sur le même tout. Dans le doute, on revient aux effectifs, on additionne, et on recalcule le pourcentage à la fin.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La colonne passe de à , donc j'ajoute en haut et en bas. »
Ce qu'il faut écrire
« Le coefficient vaut , donc à correspond . »
Pourquoi : La proportionnalité est une multiplication, jamais une addition. Ajouter le même nombre partout conserve les écarts, pas les quotients, et le coefficient change d'une colonne à l'autre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« pour cent puis pour cent : on revient au prix de départ. »
Ce qu'il faut écrire
« puis donne : il manque pour cent du prix initial. »
Pourquoi : Les deux pourcentages ne portent pas sur le même tout : le premier sur , le second sur . Une baisse de pour cent de enlève , pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le prix passe de à dollars : pour cent d'augmentation. »
Ce qu'il faut écrire
« , soit une augmentation de pour cent. »
Pourquoi : Une évolution se mesure toujours par rapport à ce qu'on avait AVANT. Diviser par l'arrivée répondrait à une autre question : quelle part de l'arrivée la hausse représente.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« pour cent des filles et pour cent des garçons font du sport, donc pour cent de la classe. »
Ce qu'il faut écrire
« Je reviens aux effectifs : pour cent de filles font , pour cent de garçons font , soit élèves sur , c'est-à-dire environ pour cent. »
Pourquoi : Un pourcentage n'est pas un nombre d'élèves : c'est une proportion attachée à un tout précis. Deux proportions ne s'additionnent que si le tout est le même.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Augmenter de pour cent, c'est multiplier par . »
Ce qu'il faut écrire
« C'est multiplier par : on garde les pour cent de départ et on ajoute les pour cent. »
Pourquoi : ne garde que le cinquième du prix : c'est une baisse de pour cent. Le contrôle immédiat est que le coefficient d'une hausse dépasse toujours .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Échelle : centimètre sur la carte représente kilomètres. »
Ce qu'il faut écrire
« centimètre sur la carte représente CENTIMÈTRES en réalité, soit mètres, c'est-à-dire kilomètre. »
Pourquoi : Une échelle est un quotient de deux longueurs dans la MÊME unité : elle ne fabrique pas de kilomètres toute seule. La conversion est une étape à part, et elle est notée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les points sont parfaitement alignés, donc les deux grandeurs sont proportionnelles. »
Ce qu'il faut écrire
« Ils sont alignés, mais la droite ne passe pas par l'origine : jour coûte déjà dollars, donc il n'y a pas proportionnalité. »
Pourquoi : L'alignement dit que la variation est régulière ; l'origine dit qu'il n'y a pas de part fixe. Il faut les DEUX, et la seconde condition est celle qu'on oublie.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« kilomètres à kilomètres par heure puis kilomètres à kilomètres par heure : la moyenne vaut kilomètres par heure. »
Ce qu'il faut écrire
« Distance totale kilomètres, durée totale heures, donc kilomètres par heure. »
Pourquoi : On passe plus de temps à la vitesse lente qu'à la vitesse rapide, donc la moyenne penche du côté lent. Une vitesse moyenne est toujours distance TOTALE sur durée TOTALE.
On regarde quelles cases sont DÉJÀ remplies, et comment la colonne cherchée se déduit des colonnes connues.
Si une colonne est complète → calculer le coefficient (ligne du bas divisée par ligne du haut), puis l'appliquer partout
Exemple : kilogrammes coûtent dollars, donc le coefficient vaut dollars par kilogramme
l'écrire avec son unité empêche de le prendre à l'envers
Si la colonne cherchée est la SOMME de deux colonnes connues → additionner les deux colonnes ENTIÈRES, haut avec haut et bas avec bas
Exemple : kg et kg donnent kg, et dollars
Si la colonne cherchée est un MULTIPLE d'une colonne connue → multiplier la colonne entière par ce nombre
Exemple : fois la colonne de kg donne kg et dollars
Si trois cases sur quatre sont connues, sans lien simple → produit en croix
Exemple : donne
Si aucune branche ne s'applique, vérifiez d'abord que le tableau EST proportionnel : sur un tableau qui ne l'est pas, toutes ces méthodes donnent des réponses fausses.
Le verbe de la question décide. On le souligne, puis on écrit le TOUT en toutes lettres avant de poser le calcul.
Si « calculer pour cent de » → multiplier par
Exemple : pour cent de font
Si « quel pourcentage représente », « quelle proportion » → diviser la partie par le tout, puis multiplier par
Exemple : élèves sur font pour cent
le tout va au DÉNOMINATEUR, même quand l'énoncé le cite en dernier
Si « augmenter de », « réduire de », « solde de » → multiplier par ou
Exemple : une réduction de pour cent sur dollars donne dollars
Si « de combien pour cent a augmenté », « quel est le taux d'évolution » → calculer , puis multiplier par
Exemple : de à dollars : , soit pour cent
Deux questions se ressemblent : « quelle part » divise par le tout ACTUEL, « quelle évolution » divise par le DÉPART. Le diviseur n'est pas le même, et c'est là que les points se perdent.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier. »
Phrase de conclusion
« , et . Tous les quotients sont égaux, donc le tableau est proportionnel, de coefficient . »
Le piège : N'en calculer qu'un seul et conclure. Un seul quotient ne prouve rien : il en faut autant que de colonnes.
Barème : 0,5 point par quotient calculé, 0,5 point pour la conclusion avec le coefficient et son unité.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne un prix ou un effectif avant et après, et demande le pourcentage d'augmentation ou de réduction.
Phrase de conclusion
« Le prix passe de dollars à dollars. Le taux d'évolution vaut , soit une augmentation de pour cent. »
Le piège : Diviser par l'arrivée, ce qui donne pour cent au lieu de . Le départ est le seul dénominateur possible.
Barème : 1 point pour le quotient posé dans le bon sens, 1 point pour la phrase qui interprète le résultat.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le coefficient a-t-il un sens concret ?
Dire à voix haute ce qu'il représente, avec son unité : prix au kilogramme, vitesse, consommation aux cent kilomètres. Un coefficient absurde signale une inversion.
dollars par kilogramme est plausible ; kilogramme par dollar est la même information à l'envers, et ne répond pas à la question posée.
Le coefficient multiplicateur est-il du bon côté de ?
Une hausse donne un coefficient supérieur à , une baisse un coefficient compris entre et . Le vérifier avant de multiplier.
Une réduction de pour cent donne ; si la copie affiche ou , le sens ou l'ordre de grandeur est faux.
La substitution inverse sur une évolution
Repartir de la valeur de départ, appliquer le pourcentage trouvé, et vérifier qu'on retombe exactement sur l'arrivée.
: le taux de pour cent est confirmé. Avec pour cent on trouverait , donc le taux serait faux.
Que vaut zéro unité ?
Remplacer la quantité par dans la situation. Une situation proportionnelle donne toujours , et une droite qui passe par l'origine sur le graphique.
L'offre à dollars de forfait coûte dollars pour jour : elle n'est donc pas proportionnelle, quel que soit l'alignement des points.
L'offre A coûte dollars par jour de location. L'offre B comprend un forfait de dollars, puis dollars par jour.
Dire laquelle est proportionnelle au nombre de jours, calculer le coût de chacune pour jours, chercher à partir de combien de jours l'offre B devient la moins chère, puis appliquer une réduction de pour cent à l'offre A pour jours.
Étape 1
Offre A : jour coûte dollar, et le quotient coût divisé par nombre de jours vaut toujours . L'offre A est proportionnelle, de coefficient dollars par jour. Offre B : jour coûte déjà dollars, donc elle n'est pas proportionnelle.
Pourquoi
Le test « que coûte zéro jour » tranche en une ligne et sans calcul. C'est aussi lui qui explique pourquoi la droite de B, pourtant bien droite, ne passe pas par l'origine.
Étape 2
Pour jours : offre A, dollars ; offre B, dollars.
Pourquoi
Les deux offres se valent exactement à jours. C'est le point de bascule, et il faut l'annoncer : la suite de la question consiste à regarder de part et d'autre.
Étape 3
Pour jours : dollars contre dollars, l'offre A gagne. Pour jours : dollars contre dollars, l'offre B gagne.
Pourquoi
Un point de bascule ne se démontre pas en un seul essai : il faut montrer que le sens s'inverse, donc regarder juste avant ET juste après.
Étape 4
Réduction de pour cent sur les dollars de l'offre A : coefficient , donc dollars.
Pourquoi
On passe par le coefficient multiplicateur plutôt que par « calculer la remise puis soustraire » : un seul calcul, donc une seule occasion de se tromper.
Étape 5
Vérification : la remise vaut dollars, et , soit bien pour cent du prix de départ.
Pourquoi
La substitution inverse referme la boucle : on repart du résultat pour retrouver l'énoncé. Elle attrape aussi bien un coefficient qu'un taux calculé sur l'arrivée.
Conclusion rédigée
« L'offre A est proportionnelle au nombre de jours, de coefficient dollars par jour ; l'offre B ne l'est pas. Les deux coûtent dollars pour jours, et l'offre B devient la moins chère à partir de jours. Avec la réduction de pour cent, l'offre A pour jours revient à dollars. »
L'erreur classique sur cet exercice : Déclarer l'offre B proportionnelle parce que son coût augmente régulièrement. Le quotient coût divisé par jours vaut pour jour et pour jours : il ne reste pas constant, donc il n'y a pas de coefficient.
Vous divisez chaque valeur de la ligne du bas par la valeur correspondante de la ligne du haut. Si tous ces quotients donnent le même nombre, le tableau est proportionnel et ce nombre est le coefficient. Un seul quotient calculé ne prouve rien : il en faut autant que de colonnes.
Parce que les deux pourcentages ne portent pas sur le même tout. La hausse s'applique à cent et ajoute vingt. La baisse s'applique à cent vingt et retire vingt-quatre. On arrive donc à quatre-vingt-seize, soit quatre pour cent de moins qu'au départ.
Vous soustrayez le prix de départ au prix d'arrivée, puis vous divisez ce résultat par le prix de DÉPART, jamais par celui d'arrivée, et vous multipliez par cent. De cinquante à soixante dollars, cela fait dix divisé par cinquante, soit vingt pour cent d'augmentation.
Qu'un centimètre mesuré sur la carte représente vingt-cinq mille centimètres dans la réalité, c'est-à-dire deux cent cinquante mètres. L'échelle relie deux longueurs exprimées dans la même unité : la conversion en mètres ou en kilomètres est une étape séparée, qui rapporte ses propres points.
Vous additionnez les distances, vous additionnez les durées, puis vous divisez la distance totale par la durée totale. La moyenne des deux vitesses est presque toujours fausse, parce qu'on passe plus de temps à la vitesse lente : soixante puis quarante kilomètres par heure donnent quarante-huit, et non cinquante.
