Exercices corrigés : le théorème de Thalès et les agrandissements (Quatrième)

1) Le sommet commun est $A$. C'est de lui que partent les deux sécantes $(AB)$ et $(AC)$, et c'est lui qu'on retrouve dans CHACUNE des longueurs du théorème. Repérer ce sommet en premier est le réflexe qui évite toutes les erreurs de rapport : une fois qu'on sait que tout part de $A$, on ne peut plus écrire $MB$ ni $NC$ au numérateur.

2) $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$. Les deux premiers rapports se lisent sur les sécantes, le troisième sur les deux droites parallèles. Les trois valent le même nombre, appelé coefficient de réduction.

3) $AM$ correspond à $AB$, $AN$ correspond à $AC$, $MN$ correspond à $BC$. Le petit triangle et le grand se correspondent sommet par sommet : $A$ avec $A$, $M$ avec $B$, $N$ avec $C$. C'est cet ordre des lettres, et non l'allure de la figure, qui décide de tout.

4) Parce que $(PQ)$ n'est pas parallèle à $(TU)$. Le théorème de Thalès ne dit rien d'une droite quelconque : sans parallélisme, il n'y a aucune raison que les rapports soient égaux, et un calcul mené quand même donnerait un résultat faux sans aucun signal d'alarme. Le parallélisme est une HYPOTHÈSE à vérifier, pas un décor.

5) Il fallait écrire $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$. L'erreur consiste à prendre $NC$, le morceau restant, au lieu de $AC$, le côté entier. Elle vient de ce que l'élève regarde la figure, où $[NC]$ saute aux yeux, au lieu de regarder la structure du théorème, où tout part de $A$. Coût de l'erreur : toutes les longueurs suivantes sont fausses, et la vérification finale ne rattrape rien puisque l'élève vérifie sa propre égalité fausse.

6) $AB=AM+MB=4+6=10$ cm, donc $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{4}{6}\approx 0{,}67$ tandis que $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{6}{15}=0{,}4$. Les deux nombres sont différents, l'égalité est donc bien fausse. En revanche $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$ est bien égal à $\dfrac{MN}{BC}$ : c'est le côté ENTIER qui fonctionne. Retenez ce contre-exemple chiffré, il tranche la question plus vite qu'un discours.

1) $M$ est sur le segment $[AB]$, donc $AB=AM+MB=4+6=10$ cm. Cette première ligne n'est pas du remplissage : le théorème réclame le côté ENTIER, et l'énoncé ne le donne jamais directement, justement pour voir si l'élève pense à l'additionner.

2) $k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$. Ce nombre unique gouverne toute la figure : chaque longueur du petit triangle vaut $0{,}4$ fois la longueur correspondante du grand. Comme $k<1$, il s'agit d'une réduction, donc toutes les réponses qui suivent devront être plus petites que leurs correspondantes.

3) $\dfrac{MN}{BC}=k$ donne $MN=k\times BC=0{,}4\times 15=6$ cm. Vérification : $6<15$, la réduction est respectée.

4) $\dfrac{AN}{AC}=k$ donne $AN=0{,}4\times 12{,}5=5$ cm. On multiplie par $k$ pour descendre du grand triangle vers le petit ; on divisera par $k$ dans l'exercice suivant pour faire le trajet inverse. Savoir dans quel sens on va est la moitié du travail.

5) $N$ est sur $[AC]$, donc $NC=AC-AN=12{,}5-5=7{,}5$ cm.

6) $\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{5}{7{,}5}\approx 0{,}67$ et $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{4}{6}\approx 0{,}67$ : l'égalité est vraie. Elle l'est parce que les deux sécantes sont coupées dans la même proportion, donc le partage $4$ contre $6$ sur $[AB]$ se reproduit à l'identique en $5$ contre $7{,}5$ sur $[AC]$. Attention toutefois : ce rapport $\dfrac{2}{3}$ n'est PAS $k$, et il ne s'applique jamais à $MN$ et $BC$. C'est exactement le piège de l'exercice 1, vu ici par l'autre bout.

1) $AB=3+5=8$ cm, donc $k=\dfrac{3}{8}=0{,}375$. On reconnaît une réduction, $k<1$ : le triangle $AMN$ est plus petit que $ABC$, ce qui donne d'avance le sens de toutes les comparaisons.

2) $\dfrac{MN}{BC}=k$, donc $BC=\dfrac{MN}{k}=\dfrac{4{,}5}{0{,}375}=12$ cm. On DIVISE par $k$ parce qu'on remonte du petit vers le grand. Vérification : $12>4{,}5$, cohérent.

3) $AC=\dfrac{AN}{k}=\dfrac{2{,}7}{0{,}375}=7{,}2$ cm. Vérification : $7{,}2>2{,}7$.

4) $NC=AC-AN=7{,}2-2{,}7=4{,}5$ cm.

5) $\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{2{,}7}{4{,}5}=0{,}6$ et $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$. Les deux sécantes sont bien partagées dans la même proportion, ce qui confirme tous les calculs précédents d'un seul coup. Prenez l'habitude de terminer par ce contrôle : il est gratuit et il détecte une erreur sur $AC$ comme sur $AN$.

6) Parce que multiplier par $0{,}375$ RÉDUIT, alors qu'on cherche le côté du GRAND triangle, qui doit être plus grand que $4{,}5$ cm. Le résultat annoncé serait $1{,}6875$ cm, soit un $BC$ plus petit que $MN$, ce qui est impossible dans une figure emboîtée. Ce réflexe, comparer l'ordre de grandeur avant même de calculer, vaut mieux que la mémorisation d'une formule : le sens du calcul se lit sur la figure.

1) On multiplie chaque longueur par $1{,}5$ : $6\times 1{,}5=9$ cm, $8\times 1{,}5=12$ cm, $10\times 1{,}5=15$ cm. Les angles, eux, ne changent pas : le triangle agrandi est encore rectangle, ce que confirme $9^{2}+12^{2}=81+144=225=15^{2}$.

2) Périmètre initial $6+8+10=24$ cm, périmètre final $9+12+15=36$ cm. $\dfrac{36}{24}=1{,}5$ : le périmètre est multiplié par $k$, comme n'importe quelle longueur, puisqu'un périmètre est une somme de longueurs.

3) Aire initiale $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm$^{2}$, aire finale $\dfrac{9\times 12}{2}=54$ cm$^{2}$. $\dfrac{54}{24}=2{,}25$ : l'aire est multipliée par $2{,}25$, pas par $1{,}5$.

4) $2{,}25=1{,}5^{2}=k^{2}$. La raison tient en une phrase : une aire est un produit de DEUX longueurs, et chacune des deux est multipliée par $k$. C'est le piège central du chapitre, et il coûte cher parce que le résultat reste plausible : un élève qui répond $36$ cm$^{2}$ ne voit rien d'absurde.

5) $k=0{,}8<1$ : c'est une RÉDUCTION, même si le mot agrandissement figure dans le titre du chapitre. L'aire est multipliée par $0{,}8^{2}=0{,}64$, donc elle vaut $24\times 0{,}64=15{,}36$ cm$^{2}$. Vérification de bon sens : $15{,}36<24$, la figure a bien rétréci.

6) Il faut $k^{2}=2$, donc $k=\sqrt{2}\approx 1{,}41$. Autrement dit, pour doubler l'aire d'une photo il ne faut pas doubler ses dimensions, il faut les multiplier par environ $1{,}41$ seulement. Doubler les dimensions quadruplerait l'aire, puisque $2^{2}=4$.

1) $AI=\dfrac{9}{2}=4{,}5$ cm et $AJ=\dfrac{11}{2}=5{,}5$ cm. Un milieu partage le segment en deux parts égales, donc chaque demi-côté vaut la moitié du côté.

2) $k=\dfrac{4{,}5}{9}=0{,}5$, et de même $\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{5{,}5}{11}=0{,}5$. C'est une configuration de Thalès de coefficient $0{,}5$, donc $IJ=0{,}5\times 13{,}4=6{,}7$ cm.

3) $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$, d'après le théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième. C'est le seul point de ce chapitre où le parallélisme est une CONCLUSION et non une hypothèse ; partout ailleurs il faut qu'il soit donné.

4) Périmètre de $AIJ$ : $4{,}5+5{,}5+6{,}7=16{,}7$ cm. Périmètre de $ABC$ : $9+11+13{,}4=33{,}4$ cm. Le rapport vaut $\dfrac{16{,}7}{33{,}4}=0{,}5$ : le périmètre est réduit de moitié, comme chaque longueur. Il n'y avait donc pas besoin de calculer les deux, mais la vérification est instructive.

5) L'aire est multipliée par $k^{2}=0{,}5^{2}=0{,}25$ : elle est donc QUATRE fois plus petite. Un dessin le montre bien, les trois milieux découpent le triangle en quatre triangles superposables. Répondre deux fois plus petite est l'erreur classique.

6) $J$ est nécessairement le milieu de $[AC]$. C'est la réciproque du théorème des milieux : le parallélisme force le partage à être le même sur les deux côtés, donc $\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{AI}{AB}=0{,}5$. Cette forme réciproque est celle qu'on utilise pour DÉMONTRER qu'un point est un milieu, et elle sera généralisée en troisième.

1) $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3{,}5}{7}=0{,}5$. Le point $M$ est donc le milieu de $[AB]$.

2) $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4}{9}\approx 0{,}444$. Le point $N$ n'est pas le milieu de $[AC]$, puisqu'il faudrait $4{,}5$ cm pour cela.

3) Non. Si $(MN)$ était parallèle à $(BC)$, le théorème de Thalès imposerait $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, c'est-à-dire $0{,}5=0{,}444\ldots$, ce qui est faux. L'énoncé est donc contradictoire : ou bien les droites ne sont pas parallèles, ou bien l'une des quatre longueurs est fausse. Savoir repérer cela est un vrai réflexe de contrôle : dans un devoir, des données incohérentes produisent des résultats différents selon le rapport choisi, et c'est le premier signe qu'il faut relire l'énoncé.

4) Il faudrait $AN=0{,}5\times 9=4{,}5$ cm. On aurait alors deux rapports égaux à $0{,}5$, et $N$ serait le milieu de $[AC]$ comme $M$ est celui de $[AB]$ : on retrouverait la droite des milieux de l'exercice 5.

5) $\dfrac{2{,}4}{6}=0{,}4$ et $\dfrac{3{,}2}{8}=0{,}4$ : les deux rapports sont égaux, les données sont cohérentes avec un parallélisme de coefficient $k=0{,}4$. Attention à la formulation exacte : ce calcul CONFIRME que rien ne se contredit, et en quatrième on s'arrête là ; c'est en troisième, avec la réciproque du théorème de Thalès, qu'on aura le droit d'en DÉDUIRE que les droites sont parallèles.

6) $MN=k\times BC=0{,}4\times 10=4$ cm. Vérification : $4<10$, cohérent avec une réduction de coefficient $0{,}4$.

1) $\dfrac{24}{200}=0{,}12$ m, soit $12$ cm. On divise par $200$ parce que la maquette est $200$ fois plus petite : ici $k=\dfrac{1}{200}=0{,}005$.

2) $\dfrac{15}{200}=0{,}075$ m, soit $7{,}5$ cm. Contrôle de cohérence : la maquette tient sur un bureau, ce qui est bien l'usage d'une maquette d'architecte.

3) La façade de la maquette mesure $12\times 7{,}5=90$ cm$^{2}$. La façade réelle vaut $360$ m$^{2}=3\,600\,000$ cm$^{2}$, car $1$ m$^{2}=10\,000$ cm$^{2}$. Le rapport vaut $\dfrac{3\,600\,000}{90}=40\,000=200^{2}$. Les aires sont donc divisées par le CARRÉ de l'échelle.

4) Le volume est divisé par $200^{3}=8\,000\,000$. En centimètres cubes : $3\,600$ m$^{3}=3\,600\,000\,000$ cm$^{3}$ puisque $1$ m$^{3}=1\,000\,000$ cm$^{3}$, donc le volume de la maquette vaut $\dfrac{3\,600\,000\,000}{8\,000\,000}=450$ cm$^{3}$. On peut le vérifier directement : $12\times 7{,}5\times 5=450$ cm$^{3}$, avec une profondeur de $\dfrac{10}{200}=0{,}05$ m $=5$ cm.

5) Il a divisé l'aire par l'échelle au lieu de la diviser par le carré de l'échelle. Le bon calcul est $\dfrac{360}{200^{2}}=0{,}009$ m$^{2}$, soit les $90$ cm$^{2}$ trouvés plus haut. Son résultat, $1{,}8$ m$^{2}$, est $200$ fois trop grand : une façade de maquette plus large qu'une table, ce qui aurait dû l'alerter. C'est le même piège qu'à l'exercice 4, transporté dans un contexte d'échelle.

6) $\dfrac{2{,}10}{200}=0{,}0105$ m, soit environ $1{,}05$ cm. Une longueur, donc une simple division par $200$ : à aucun moment le carré n'intervient pour une hauteur.

1) FAUX. L'aire est multipliée par $3^{2}=9$, car une aire est un produit de deux longueurs, chacune multipliée par $3$. Énoncé correct : dans un agrandissement de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$.

2) FAUX. $[MB]$ n'est pas un côté du triangle $ABC$, c'est le morceau restant du côté $[AB]$. La bonne égalité est $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ : toutes les longueurs partent du sommet commun $A$, sauf le dernier rapport qui compare les deux droites parallèles.

3) FAUX. $0{,}8$ est plus petit que $1$, donc les longueurs diminuent : c'est une réduction. Énoncé correct : si $k>1$ il s'agit d'un agrandissement, si $0<k<1$ d'une réduction, et si $k=1$ la figure est simplement reproduite à l'identique.

4) FAUX. $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm en réalité, soit $\dfrac{25\,000}{100}=250$ m, donc $0{,}25$ km et non $2{,}5$ km. L'erreur d'un facteur $10$ vient d'une conversion bâclée entre centimètres, mètres et kilomètres : il faut diviser par $100$ pour passer aux mètres, puis encore par $1\,000$ pour les kilomètres.

5) FAUX. Le théorème de Thalès ne calcule que des LONGUEURS, par des rapports. Les angles ne changent pas dans un agrandissement, ils sont donc conservés, mais ce n'est pas Thalès qui les fournit : pour trouver un angle en quatrième on utilise la somme des angles d'un triangle ou le cosinus dans un triangle rectangle.

1) Le bâton et l'arbre sont tous deux verticaux, donc parallèles entre eux. Les rayons du soleil, eux, sont parallèles entre eux. On obtient deux triangles rectangles qui ont les mêmes angles : si l'on posait le petit dans le coin du grand, son hypoténuse serait parallèle à celle du grand, exactement comme dans une configuration de Thalès, et les rapports des longueurs correspondantes sont donc égaux.

2) $\dfrac{1{,}2}{0{,}9}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$. Ce nombre ne dépend que de la hauteur du soleil à cet instant, et il est le même pour TOUS les objets verticaux du terrain : c'est ce qui rend la méthode utilisable.

3) Hauteur de l'arbre $=6{,}6\times \dfrac{4}{3}=8{,}8$ m. Vérification : l'arbre a une ombre environ $7{,}3$ fois plus longue que le bâton, et il est bien environ $7{,}3$ fois plus haut, puisque $\dfrac{8{,}8}{1{,}2}=\dfrac{6{,}6}{0{,}9}$.

4) Le rapport a changé, mais il reste le même pour les deux objets. L'ombre de l'arbre est proportionnelle à celle du bâton : $6{,}6$ est à $0{,}9$ ce que la nouvelle ombre est à $1{,}8$, donc elle vaut $8{,}8\times \dfrac{1{,}8}{1{,}2}=13{,}2$ m. Le soleil est plus bas, les ombres s'allongent, et elles s'allongent toutes dans la même proportion.

5) Ombre $=5\times \dfrac{0{,}9}{1{,}2}=3{,}75$ m. Ici on multiplie par l'inverse du rapport de la question 2, puisqu'on passe de la hauteur à l'ombre et non l'inverse. Se tromper de sens donnerait $6{,}67$ m, soit une ombre plus longue que celle de l'arbre alors que le lampadaire est plus bas : l'absurdité se voit tout de suite.

6) Il a raisonné par ADDITION alors que la situation est multiplicative. Une proportionnalité conserve les rapports, pas les écarts : si l'ombre est $7{,}3$ fois plus longue, la hauteur est $7{,}3$ fois plus grande, elle n'est pas augmentée de la même quantité. Sa réponse, $6{,}9$ m, donnerait d'ailleurs pour l'arbre un rapport hauteur sur ombre de $\dfrac{6{,}9}{6{,}6}\approx 1{,}05$, très différent du $1{,}33$ mesuré sur le bâton au même instant, alors que le soleil est le même pour les deux.

1) Chaque centimètre du plan représente $50$ cm en réalité. Longueur : $9\times 50=450$ cm $=4{,}5$ m. Largeur : $5\times 50=250$ cm $=2{,}5$ m. Contrôle immédiat : $4{,}5$ m sur $2{,}5$ m, c'est la taille d'un vrai salon, alors qu'une erreur de conversion donnerait $45$ m ou $0{,}45$ m, deux résultats invraisemblables.

2) Aire réelle $=4{,}5\times 2{,}5=11{,}25$ m$^{2}$.

3) Aire sur le plan $=9\times 5=45$ cm$^{2}$. L'aire réelle vaut $11{,}25$ m$^{2}=112\,500$ cm$^{2}$, donc le rapport est $\dfrac{112\,500}{45}=2\,500=50^{2}$. On retrouve exactement la règle de la maquette : les longueurs sont dans le rapport $50$, les aires dans le rapport $50^{2}$.

4) Surface à couvrir : $11{,}25\times 1{,}1=12{,}375$ m$^{2}$. Le magasin ne vendant que des mètres carrés entiers, il faut en acheter $13$, car $12$ ne suffirait pas. Prix : $13\times 39=507$ dollars. Deux erreurs guettent ici : arrondir $12{,}375$ à $12$, ce qui laisserait le chantier inachevé, et oublier les chutes, ce qui reviendrait à $12$ m$^{2}$ également. Dans un problème de matériaux, on arrondit toujours vers le HAUT.

5) Le tour du salon est son périmètre : $2\times (4{,}5+2{,}5)=14$ m. Sur le plan, cette longueur correspond à $\dfrac{1\,400}{50}=28$ cm, ce qu'on retrouve directement par $2\times (9+5)=28$ cm. Le périmètre suit l'échelle simple, comme toute longueur.

6) $1{,}2$ m $=120$ cm, donc $\dfrac{120}{50}=2{,}4$ cm sur le plan. Ici on DIVISE par $50$ parce qu'on passe du réel au plan, alors qu'on multipliait à la question 1 : c'est le même aller-retour qu'entre les exercices 2 et 3, et le meilleur contrôle reste de se demander lequel des deux nombres doit être le plus grand.

1) $I$ et $J$ sont les milieux de deux côtés du triangle $ABC$ : d'après le théorème des milieux, $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ et $IJ=\dfrac{AC}{2}=5$ cm.

2) Dans le triangle $ADC$, $L$ et $K$ sont les milieux de $[DA]$ et $[DC]$ : $(LK)$ est parallèle à $(AC)$ et $LK=5$ cm.

3) Dans le triangle $BCD$ : $JK=\dfrac{BD}{2}=3{,}5$ cm. Dans le triangle $ABD$ : $IL=\dfrac{BD}{2}=3{,}5$ cm.

4) $(IJ)$ et $(LK)$ sont toutes deux parallèles à $(AC)$, donc parallèles entre elles, et $IJ=LK$. Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un PARALLÉLOGRAMME. C'est vrai quel que soit le quadrilatère de départ, même très irrégulier.

5) Périmètre : $5+3{,}5+5+3{,}5=17$ cm, c'est-à-dire exactement $AC+BD$. Si les diagonales sont perpendiculaires, les côtés de $IJKL$, parallèles à ces diagonales, sont perpendiculaires entre eux : $IJKL$ est un RECTANGLE.

Le fil : chaque côté du quadrilatère des milieux est une droite des milieux d'un triangle découpé par une diagonale.

1) $M$ est sur $[AB]$, donc $AB=AM+MB=x+4$.

2) $AC=AN+NC=3+6=9$ cm, et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.

3) $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ donne $\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{1}{3}$. Par produit en croix : $3x=x+4$, donc $2x=4$ et $x=2$. $AM=2$ cm, et $AB=6$ cm.