Exercices corrigés : géométrie (Cinquième)

1) On trace la demi-droite $[AO)$, puis on reporte au compas, à partir de $O$ et dans le prolongement, la longueur $OA$. Le point obtenu est $A'$. En une phrase : $A'$ est sur la droite $(AO)$, de l'autre côté de $O$, à la même distance. La condition tient en deux morceaux, ALIGNÉ et MÊME DISTANCE, et il faut les deux.

2) On répète la construction pour $B$ et pour $C$. Le contrôle qui évite les erreurs : une fois les trois points placés, les trois segments $[AA']$, $[BB']$ et $[CC']$ doivent se couper tous les trois en $O$, et $O$ doit être le milieu de chacun. Si l'un des trois ne passe pas par $O$, la construction est fausse.

3) La symétrie centrale conserve les longueurs, donc $A'B'=AB$. Elle conserve aussi les angles, donc les angles de $A'B'C'$ sont égaux à ceux de $ABC$. On dit que les deux triangles sont superposables : on passe de l'un à l'autre par un demi-tour, sans déformation. C'est la différence essentielle avec un agrandissement.

4) L'aire est conservée elle aussi, puisque ni les longueurs ni les angles ne changent. L'aire de $A'B'C'$ vaut donc $9$ centimètres carrés. Ce raisonnement s'applique à toute figure : une symétrie centrale ne modifie ni le périmètre, ni l'aire.

5) Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont PARALLÈLES. C'est une propriété propre à la symétrie centrale : l'image d'une droite est une droite parallèle à la première. Attention à ne pas la confondre avec la symétrie axiale, où l'image d'une droite n'est en général pas parallèle à l'originale.

6) Un segment possède exactement UN centre de symétrie, son milieu. Un cercle en possède un aussi, son centre. Un triangle quelconque n'en possède AUCUN : quel que soit le point choisi, le demi-tour envoie le triangle ailleurs. C'est un point qui surprend souvent, car un triangle équilatéral, pourtant très régulier, n'a pas de centre de symétrie ; il a trois axes de symétrie, ce qui est autre chose.

1) $\widehat{AOC}$ et $\widehat{BOD}$ sont OPPOSÉS PAR LE SOMMET : leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre. Or deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, donc $\widehat{BOD}=118$ degrés. Citer la propriété fait partie de la réponse ; donner seulement le nombre ne rapporte pas tous les points.

2) $\widehat{AOC}$ et $\widehat{AOD}$ sont ADJACENTS et forment ensemble l'angle plat $\widehat{COD}$, puisque $C$, $O$ et $D$ sont alignés. Ils sont donc SUPPLÉMENTAIRES, et $\widehat{AOD}=180-118=62$ degrés. Deux angles supplémentaires ont une somme de $180$ degrés.

3) Première façon : $\widehat{BOC}$ est opposé par le sommet à $\widehat{AOD}$, donc il mesure $62$ degrés. Seconde façon : $\widehat{BOC}$ est supplémentaire de $\widehat{AOC}$, car $A$, $O$ et $B$ sont alignés, donc il mesure $180-118=62$ degrés. Les deux chemins donnent le même résultat, ce qui est la vérification.

4) $118+62+118+62=360$ degrés. C'est le tour complet autour du point $O$. Cette égalité est un contrôle systématique : dès qu'on a placé quatre angles autour d'un point d'intersection, leur somme doit valoir $360$ degrés, sinon il y a une erreur.

5) Deux angles complémentaires ont une somme de $90$ degrés. L'autre mesure donc $90-37=53$ degrés. Le piège classique est de confondre complémentaires, qui vont vers $90$, et supplémentaires, qui vont vers $180$. Un moyen de ne plus s'y tromper : le mot complémentaire est plus court, il va avec le nombre plus petit.

6) Le supplémentaire s'écrit $180-x$ et le complémentaire $90-x$. Le supplémentaire existe tant que $x$ est inférieur à $180$ degrés. Le complémentaire, lui, n'existe que si $90-x$ est positif, donc si $x$ est inférieur à $90$ degrés : un angle obtus n'a pas de complémentaire. Par exemple l'angle de $118$ degrés de la figure a bien un supplémentaire, $62$ degrés, mais pas de complémentaire.

1) Les angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la sécante, ENTRE les deux parallèles. Sur la figure, l'angle de $63$ degrés en $E$, du côté droit au-dessus de $(d)$, a pour alterne-interne l'angle en $F$ situé à gauche de la sécante, en dessous de $(d')$. Comme les droites sont parallèles, ces deux angles sont ÉGAUX, et cet angle en $F$ mesure donc $63$ degrés.

2) Les angles correspondants occupent la même position par rapport à chacune des deux parallèles, du même côté de la sécante. L'angle de $63$ degrés en $E$ a pour correspondant l'angle de même position en $F$, au-dessus de $(d')$ et à droite de la sécante. Les droites étant parallèles, ces deux angles sont égaux : cet angle en $F$ mesure $63$ degrés.

3) L'angle obtus en $F$ est adjacent au précédent le long de la droite $(d')$, avec laquelle il forme un angle plat. Il est donc supplémentaire de l'angle de $63$ degrés, et vaut $180-63=117$ degrés. On peut aussi remarquer qu'il est opposé par le sommet à l'autre angle obtus en $F$, qui vaut donc lui aussi $117$ degrés.

4) $63+117=180$ degrés. Sur une figure de deux parallèles coupées par une sécante, il n'y a en tout que DEUX mesures d'angles, ici $63$ et $117$ degrés, et elles sont supplémentaires. Ce constat simplifie énormément les exercices : une fois un angle connu, tous les sept autres le sont.

5) On peut conclure que les deux droites ne sont PAS parallèles. La propriété fonctionne dans les deux sens : si les droites sont parallèles alors les angles correspondants sont égaux, et réciproquement, si deux angles correspondants sont égaux alors les droites sont parallèles. Des angles correspondants inégaux signalent donc des droites sécantes, dont le point d'intersection est simplement hors de la feuille.

6) Il suffit de tracer une sécante qui coupe les deux droites, puis de mesurer au rapporteur deux angles correspondants, ou deux angles alternes-internes. S'ils ont la même mesure, les droites sont parallèles ; sinon, elles ne le sont pas. C'est exactement la réciproque énoncée à la question précédente, et c'est ce qui rend ce chapitre utile : il transforme une question de parallélisme, difficile à vérifier à vue, en une simple mesure d'angle.

1) La somme des trois angles vaut $180$ degrés, donc $\widehat{C}=180-47-68=180-115=65$ degrés. Il vaut mieux additionner d'abord les deux angles connus puis soustraire une seule fois : deux soustractions successives multiplient les risques d'erreur de calcul mental.

2) Isocèle en $D$ signifie que $DE=DF$, donc que les angles à la BASE, $\widehat{E}$ et $\widehat{F}$, sont égaux. Ces deux angles se partagent $180-44=136$ degrés, donc chacun mesure $136\div 2=68$ degrés. Contrôle : $44+68+68=180$ degrés.

3) Isocèle en $G$ signifie que les angles à la base $\widehat{H}$ et $\widehat{I}$ sont égaux, donc $\widehat{I}=71$ degrés également. Alors $\widehat{G}=180-71-71=180-142=38$ degrés. Attention à bien identifier QUEL angle est le sommet principal : ici c'est $G$, donc ce sont $H$ et $I$ qui sont égaux, et non $G$ et $H$.

4) Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux, donc ses trois angles égaux. Appelons $x$ leur mesure commune. La somme vaut $180$ degrés, donc $3x=180$, d'où $x=60$ degrés. Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure donc $60$ degrés. C'est un résultat à connaître par cœur, mais la démonstration en une ligne est exigible.

5) Non. Deux angles obtus dépasseraient chacun $90$ degrés, donc leur somme dépasserait $180$ degrés à elle seule, avant même d'ajouter le troisième angle. Or la somme des trois vaut exactement $180$ degrés. Un triangle a donc AU PLUS un angle obtus, et par le même raisonnement au plus un angle droit.

6) $\widehat{A}=90$ degrés, donc $\widehat{C}=180-90-34=56$ degrés. Règle générale : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont COMPLÉMENTAIRES, leur somme vaut $90$ degrés. Cela s'obtient en retranchant l'angle droit des $180$ degrés, et cela permet de calculer le second angle aigu d'un seul coup, ici $90-34=56$ degrés.

1) Le plus grand côté mesure $13$ centimètres. La somme des deux autres vaut $5+7=12$ centimètres. Comme $13>12$, le triangle est IMPOSSIBLE à construire : les deux petits côtés, même parfaitement alignés, n'atteindraient pas l'extrémité du grand. Toujours comparer le plus grand à la somme des deux autres, et non deux côtés au hasard.

2) Le plus grand côté mesure $10$ centimètres et $6+8=14$ centimètres. Comme $10<14$, le triangle est CONSTRUCTIBLE. On peut ajouter une remarque : $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, ce triangle est donc rectangle, propriété que l'on démontrera en quatrième avec le théorème de Pythagore.

3) Le plus grand côté mesure $9$ centimètres, tandis que $4+4=8$ centimètres. Comme $9>8$, le triangle est IMPOSSIBLE. On peut le voir concrètement : deux tiges de $4$ centimètres attachées aux extrémités d'une tige de $9$ centimètres ne se toucheront jamais, il manque un centimètre.

4) Avec $3+5=8$, la somme des deux petits côtés est exactement égale au grand. Les trois points existent bien, mais ils sont ALIGNÉS : on obtient un segment, pas un triangle. On dit que le triangle est aplati. Un vrai triangle exige une inégalité STRICTE, le grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.

5) Appelons $c$ le troisième côté. Deux conditions doivent tenir. D'abord $c$ doit être plus petit que $7+10=17$ centimètres. Ensuite, si $c$ est le plus petit côté, c'est $10$ qui devient le plus grand, et il faut $10<7+c$, donc $c>3$ centimètres. Le troisième côté est donc strictement compris entre $3$ et $17$ centimètres. Les deux bornes s'obtiennent en additionnant puis en soustrayant les deux longueurs connues.

6) Parce qu'aller de $A$ à $B$ en passant par un point $C$ est toujours plus long que d'y aller directement : $AC+CB$ dépasse $AB$, sauf si $C$ est sur le segment, auquel cas les deux chemins sont égaux. L'inégalité triangulaire est donc simplement la traduction mathématique du fait que la ligne droite est le chemin le plus court.

1) Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Donc $DC=AB=8$ centimètres et $BC=AD=5$ centimètres. Cette propriété est une conséquence du parallélisme, elle n'est pas une donnée de l'énoncé, il faut donc la citer explicitement.

2) Le périmètre est la somme des quatre côtés : $8+5+8+5=26$ centimètres. On peut écrire plus vite $2\times(8+5)=26$ centimètres, ce qui utilise directement l'égalité des côtés opposés.

3) Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux, donc $\widehat{C}=\widehat{A}=62$ degrés. Les angles consécutifs, eux, sont supplémentaires, car $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles coupées par la sécante $(AB)$ : les angles $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont alors deux angles du même côté, dont la somme vaut $180$ degrés. Donc $\widehat{B}=180-62=118$ degrés, et de même $\widehat{D}=118$ degrés.

4) $62+118+62+118=360$ degrés. La somme des angles d'un quadrilatère vaut toujours $360$ degrés, ce qui se démontre en le coupant par une diagonale en deux triangles de $180$ degrés chacun. C'est le contrôle à faire systématiquement après un calcul d'angles dans un quadrilatère.

5) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur MILIEU. Le point $O$ est donc à la fois le milieu de $[AC]$ et le milieu de $[BD]$. C'est aussi le centre de symétrie de la figure : le demi-tour de centre $O$ échange $A$ avec $C$, et $B$ avec $D$, donc laisse le parallélogramme inchangé. Tout parallélogramme possède un centre de symétrie, et c'est ce qui le caractérise parmi les quadrilatères.

6) L'aire d'un parallélogramme vaut base multipliée par la HAUTEUR correspondante, soit $8\times 4{,}4=35{,}2$ centimètres carrés. Le produit $8\times 5=40$ serait l'aire d'un rectangle de mêmes côtés. Il est plus grand, et c'est logique : à côtés fixés, plus le parallélogramme est incliné, plus il s'aplatit et plus son aire diminue, alors que le périmètre, lui, ne bouge pas. La hauteur, $4{,}4$ centimètres, est bien inférieure au côté $AD$, $5$ centimètres, car elle en est la projection perpendiculaire.

1) C'est un PARALLÉLOGRAMME. Cette propriété des diagonales est même une caractérisation : elle suffit à elle seule à conclure, sans rien vérifier sur les côtés. Dans une démonstration, montrer que les deux diagonales ont le même milieu est souvent le chemin le plus court.

2) C'est un RECTANGLE. On part d'un parallélogramme, puisque les diagonales se coupent en leur milieu, et l'égalité des diagonales ajoute les angles droits. Un moyen de le retenir : dans un rectangle, les deux diagonales sont les deux diamètres d'un même cercle circonscrit, elles ont donc forcément la même longueur.

3) C'est un LOSANGE. Encore un parallélogramme au départ, auquel la perpendicularité des diagonales ajoute l'égalité des quatre côtés. Les diagonales d'un losange sont aussi ses axes de symétrie, ce qui explique qu'elles se coupent à angle droit.

4) C'est un CARRÉ, qui réunit les trois conditions : diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires. Le carré est donc à la fois un rectangle et un losange, ce qui n'est pas une coïncidence mais la définition même.

5) Un losange est TOUJOURS un parallélogramme, puisqu'il en possède toutes les propriétés et davantage. En revanche un parallélogramme n'est pas toujours un losange : celui de l'exercice précédent, avec des côtés de $8$ et $5$ centimètres, n'a pas ses quatre côtés égaux. La relation va donc dans un seul sens, du plus particulier vers le plus général, jamais l'inverse.

6) Quatre angles droits font un rectangle. Deux côtés consécutifs égaux, de $6$ centimètres, imposent alors que les quatre côtés mesurent $6$ centimètres : c'est un CARRÉ de côté $6$ centimètres. Son aire vaut $6\times 6=36$ centimètres carrés et son périmètre $4\times 6=24$ centimètres. Notez bien la différence d'unités : les centimètres carrés pour une aire, les centimètres pour un périmètre.

1) FAUX. On compare le plus grand côté à la somme des deux autres : $4+4=8$, or $9>8$. Les deux petits côtés ne peuvent donc pas se rejoindre, le triangle n'existe pas. Le bon énoncé : un triangle de côtés $4$, $4$ et $9$ centimètres est impossible, car $9$ dépasse $4+4$.

2) FAUX. Isocèle en $D$ signifie que $D$ est le sommet principal, donc que $DE=DF$. Ce sont les angles à la BASE, $\widehat{E}$ et $\widehat{F}$, qui sont égaux. L'angle $\widehat{D}$ est en général différent des deux autres : avec $\widehat{D}=44$ degrés, on obtient $\widehat{E}=\widehat{F}=68$ degrés.

3) FAUX, il manque une condition essentielle. Deux angles correspondants ne sont égaux QUE SI les deux droites coupées sont parallèles. Si elles ne le sont pas, les angles correspondants diffèrent, et c'est même ainsi qu'on prouve que deux droites ne sont pas parallèles. Le bon énoncé : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants sont égaux.

4) FAUX. L'aire d'un parallélogramme est base multipliée par HAUTEUR, et non produit de deux côtés consécutifs. La hauteur relative à $[AB]$ est plus courte que le côté $AD$ dès que le parallélogramme est incliné : avec une hauteur de $4{,}4$ centimètres, l'aire vaut $8\times 4{,}4=35{,}2$ centimètres carrés. Le produit $40$ serait l'aire du rectangle de mêmes côtés, c'est-à-dire le cas particulier où l'inclinaison est nulle.

5) FAUX. Un triangle équilatéral possède trois AXES de symétrie, mais aucun CENTRE de symétrie. Aucun polygone à nombre impair de côtés n'en possède : un demi-tour enverrait chaque sommet sur un autre sommet, ce qui suppose de pouvoir les apparier deux par deux. Le bon énoncé : un triangle équilatéral a trois axes de symétrie et aucun centre de symétrie.

1) La largeur du grand rectangle se lit en bas : $20$ mètres. La hauteur se lit sur le côté gauche : $12$ mètres. On vérifie la cohérence de la figure : le côté droit mesure $7$ mètres et le morceau vertical de la découpe $5$ mètres, or $7+5=12$ mètres, ce qui correspond bien à la hauteur totale. De même, $12+8=20$ mètres pour la largeur. Ce contrôle de cohérence doit précéder tout calcul.

2) On découpe par une horizontale à la hauteur $7$ mètres. En bas, un rectangle de $20$ mètres sur $7$ mètres, d'aire $20\times 7=140$ mètres carrés. En haut, un rectangle de $12$ mètres sur $5$ mètres, d'aire $12\times 5=60$ mètres carrés. L'aire totale vaut $140+60=200$ mètres carrés.

3) On part du grand rectangle, d'aire $20\times 12=240$ mètres carrés, et on retire le rectangle découpé, de $8$ mètres sur $5$ mètres, d'aire $8\times 5=40$ mètres carrés. Il reste $240-40=200$ mètres carrés. Les deux méthodes concordent, ce qui valide le résultat. En contrôle, choisir la soustraction quand la découpe est un simple coin, et l'addition quand la figure est plus biscornue.

4) On fait le tour en additionnant les six côtés : $20+7+8+5+12+12=64$ mètres. Attention à ne rien oublier ni compter deux fois ; on part d'un coin et on tourne toujours dans le même sens. Remarque intéressante : le périmètre du grand rectangle avant découpe vaut $2\times(20+12)=64$ mètres également. Retirer un coin rectangulaire ne change pas le périmètre, alors que cela change l'aire.

5) La clôture fait $64$ mètres à $18$ dollars le mètre, soit $64\times 18=1\,152$ dollars. On peut décomposer pour aller vite de tête : $64\times 18=64\times 20-64\times 2=1\,280-128=1\,152$ dollars.

6) Il faut $200\times 35=7\,000$ grammes de gazon, soit $7$ kilogrammes. Les sacs pèsent $2$ kilogrammes, et $7\div 2=3{,}5$. Comme on ne peut pas acheter un demi-sac, il en faut $4$, soit $8$ kilogrammes, dont $1$ kilogramme restera. Ici on ARRONDIT VERS LE HAUT, alors qu'à la question du nombre d'objets fabriqués on arrondirait vers le bas : le sens de l'arrondi se décide toujours en relisant l'énoncé, jamais par habitude.

1) La base est un triangle rectangle, dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $6$ et $4$ centimètres. Son aire vaut $\frac{6\times 4}{2}=\frac{24}{2}=12$ centimètres carrés. Ne pas oublier la division par deux : c'est l'erreur la plus fréquente, et elle double le volume final.

2) Le volume vaut aire de la base multipliée par la hauteur du prisme, ici sa longueur : $12\times 10=120$ centimètres cubes. L'unité est le centimètre CUBE, puisqu'on a multiplié des centimètres carrés par des centimètres. Écrire $120$ centimètres carrés coûte un point à chaque contrôle.

3) L'aire du disque de base vaut $\pi\times 3^2=9\pi$ centimètres carrés. Le volume du cylindre vaut donc $9\pi\times 10=90\pi$ centimètres cubes, ce qui est la valeur EXACTE. Avec la calculatrice, $90\pi\approx 282{,}7$ centimètres cubes. On donne toujours la valeur exacte d'abord, la valeur approchée ensuite, avec le symbole d'approximation et jamais le signe égal.

4) Le cylindre l'emporte largement, avec environ $282{,}7$ centimètres cubes contre $120$. L'écart vaut environ $282{,}7-120=162{,}7$ centimètres cubes. Cela se comprend sans calcul : les deux solides ont la même hauteur, et le disque de rayon $3$ centimètres, d'aire environ $28{,}3$ centimètres carrés, est bien plus large que le triangle de $12$ centimètres carrés.

5) Un centimètre cube vaut exactement un millilitre, donc le cylindre contient environ $282{,}7$ millilitres. Une bouteille de $1{,}5$ litre vaut $1\,500$ millilitres, et $1\,500\div 282{,}7\approx 5{,}3$. Il faudrait donc un peu plus de cinq cylindres, autrement dit $5$ cylindres pleins ne suffiraient pas, il en faut $6$ pour dépasser le litre et demi.

6) Non, le volume QUADRUPLE. Avec un rayon de $6$ centimètres, l'aire de base devient $\pi\times 6^2=36\pi$ centimètres carrés, quatre fois plus qu'avant, et le volume $36\pi\times 10=360\pi\approx 1\,130{,}97$ centimètres cubes, soit exactement quatre fois $90\pi$. La raison est que le rayon intervient au CARRÉ dans l'aire du disque : doubler le rayon multiplie l'aire par $2^2=4$, donc le volume aussi. C'est le piège le plus fréquent du chapitre des volumes.

1) La droite $(AB)$ coupe les parallèles $(d)$ et $(BC)$. Les angles $x$ et $\widehat{ABC}$ sont situés de part et d'autre de la sécante, entre les deux parallèles : ils sont ALTERNES-INTERNES, donc égaux. $x=65°$.

2) Même raisonnement avec la sécante $(AC)$ : $y$ et $\widehat{ACB}$ sont alternes-internes, $y=45°$.

3) Les trois angles forment l'angle plat de la droite $(d)$ : $x+\widehat{BAC}+y=180°$, donc $\widehat{BAC}=180-65-45=70°$.

4) On a montré que $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=x+\widehat{BAC}+y=180°$. Le raisonnement n'utilise AUCUNE mesure particulière : pour tout triangle, on peut tracer la parallèle au troisième côté, et les trois angles se retrouvent côte à côte sur un angle plat. C'est la démonstration de la propriété du cours.

5) Les angles en $B$ et en $C$ se partagent $180-90=90°$. Si $C$ vaut une part, $B$ en vaut deux : trois parts font $90°$, une part vaut $30°$. Donc $\widehat{C}=30°$ et $\widehat{B}=60°$. Contrôle : $90+60+30=180$ ✓.

Le fil : une parallèle bien placée transforme une somme d'angles dispersés en un angle plat.

1) De $A$ à $O$, on se déplace de $-3$ en abscisse et de $-2$ en ordonnée. On recommence à partir de $O$ : $A'(-3\,;-2)$. Par rapport à l'origine, les deux coordonnées deviennent leurs opposées.

2) $B'(4\,;-1)$ : on prend l'opposé de chaque coordonnée.

3) De $A(3\,;2)$ à $\Omega(1\,;1)$ : $-2$ en abscisse, $-1$ en ordonnée. On recommence à partir de $\Omega$ : $(1-2\,;1-1)=(-1\,;0)$. Contrôle : le milieu de $A(3\,;2)$ et de $(-1\,;0)$ est bien $(1\,;1)$. Prendre les opposés $(-3\,;-2)$ serait faux : cette règle ne vaut que pour l'origine.

4) Le centre est le milieu de $[MM']$. L'abscisse du milieu est à mi-chemin entre $2$ et $-4$ : $\dfrac{2+(-4)}{2}=-1$. L'ordonnée : $\dfrac{5+1}{2}=3$. Le centre est $(-1\,;3)$.

5) Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu. Le milieu de $[AC]$ est $\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\dfrac{1+(-1)}{2}\right)=(1\,;0)$. $D$ est donc le symétrique de $B$ par rapport à $(1\,;0)$ : de $B(3\,;2)$ au milieu, $-2$ et $-2$ ; on recommence, $D(-1\,;-2)$. Contrôle : le milieu de $[BD]$ est $\left(\dfrac{3-1}{2}\,;\dfrac{2-2}{2}\right)=(1\,;0)$ ✓.

Le fil : une symétrie centrale répète le déplacement qui mène au centre, et le centre est toujours le milieu du point et de son image.

1) La droite $(AP)$ coupe les parallèles $(d)$ et $(\Delta)$. L'angle de $40°$ en $A$ et l'angle entre $[PA]$ et $(\Delta)$ sont alternes-internes : ils sont égaux, l'angle mesure $40°$.

2) De même avec la sécante $(BP)$, qui coupe $(d')$ et $(\Delta)$ : l'angle mesure $30°$.

3) La droite $(\Delta)$ partage l'angle $\widehat{APB}$ en deux morceaux, de $40°$ et de $30°$ : $\widehat{APB}=40+30=70°$.

4) Le même raisonnement donne $\widehat{APB}=55+48=103°$. L'angle en zigzag est toujours la somme des deux angles formés avec les parallèles, pourvu que $P$ soit entre les deux droites et que les deux angles soient pris du même côté.

5) Il faut $36+\text{angle en } B=90$, donc l'angle en $B$ mesure $90-36=54°$.

Le fil : tracer une parallèle intermédiaire découpe un angle inconnu en deux angles alternes-internes connus.

1) Depuis un sommet, on trace les diagonales vers les sommets non voisins : $2$ diagonales, qui découpent le pentagone en $3$ triangles. Somme des angles : $3\times 180=540°$.

2) Depuis un sommet, $5$ diagonales découpent l'octogone en $6$ triangles : $6\times 180=1\,080°$.

3) Les huit angles sont égaux : $1\,080\div 8=135°$.

4) Depuis un sommet, on ne peut pas tracer de diagonale vers lui-même ni vers ses deux voisins : il reste $n-3$ diagonales et $n-2$ triangles. La somme des angles vaut $(n-2)\times 180$. Pour l'hexagone : $4\times 180=720°$, et chaque angle mesure $720\div 6=120°$. Contrôle avec le carré : $2\times 180=360°$, soit $90°$ par angle ✓.

5) Octogones : $360\div 135\approx 2{,}67$, ce n'est pas un nombre entier ; deux octogones laissent un trou de $90°$, trois se chevauchent. Impossible. Hexagones : $360\div 120=3$ : trois hexagones se rejoignent exactement en chaque sommet. C'est possible, et c'est le pavage des alvéoles d'une ruche. Le carrelage des octogones du sol se complète d'ailleurs par de petits carrés, qui comblent justement les trous de $90°$.

Le fil : tout polygone se ramène à des triangles, dont on connaît la somme des angles.