Exercices corrigés : Pythagore et cosinus (Quatrième)

1) L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, donc celui qui ne touche pas le sommet marqué. Pour $ABC$ rectangle en $A$, c'est $[BC]$ ; pour $RST$ rectangle en $S$, c'est $[RT]$ ; pour $KLM$ rectangle en $M$, c'est $[KL]$. La position de la figure sur la feuille n'a aucune importance : seule compte la lettre de l'angle droit.

2) $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. L'hypoténuse $[BC]$ est SEULE d'un côté du signe égal, les deux côtés de l'angle droit sont ensemble de l'autre.

3) $RT^{2}=RS^{2}+ST^{2}$. On applique la même structure en remplaçant simplement les lettres : le côté qui ne contient pas $S$ est l'hypoténuse.

4) $KL^{2}=KM^{2}+ML^{2}$. Le sommet de l'angle droit est $M$, donc les deux côtés issus de $M$ sont ceux qu'on additionne.

5) Parce que son carré est une SOMME de deux carrés positifs : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ est donc plus grand que $AB^{2}$ et que $AC^{2}$ séparément. Comme les longueurs sont positives, $BC$ dépasse chacun des deux autres côtés. C'est un contrôle précieux : si votre hypoténuse calculée n'est pas la plus grande, votre calcul est faux.

6) L'élève a placé un côté de l'angle droit tout seul à gauche. Or dans un triangle rectangle en $A$, l'hypoténuse est $[BC]$ : l'égalité correcte est $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. L'erreur est facile à repérer, car sa version ferait de $AB$ le plus grand côté, ce qui contredit la question 5.

1) $BC^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$, donc $BC=\sqrt{25}=5$ cm. C'est le triangle $3$, $4$, $5$, à connaître : il revient sans cesse.

2) $BC^{2}=25+144=169$, donc $BC=13$ cm. Le triplet $5$, $12$, $13$ est le second à mémoriser.

3) $BC^{2}=36+36=72$, donc $BC=\sqrt{72}$ cm, ce qui est la valeur EXACTE. La calculatrice donne $\sqrt{72}\approx 8{,}4853$, soit $8{,}49$ cm arrondi au centième. Il ne faut pas arrondir avant la fin : garder $\sqrt{72}$ tant qu'on calcule évite d'accumuler les erreurs.

4) $BC^{2}=2{,}4^{2}+4{,}5^{2}=5{,}76+20{,}25=26{,}01$, donc $BC=\sqrt{26{,}01}=5{,}1$ cm exactement. Des données décimales peuvent parfaitement donner un résultat qui tombe juste.

5) Dans chaque cas, l'hypoténuse dépasse les deux autres côtés : $5>4>3$, puis $13>12>5$, puis $8{,}49>6$, puis $5{,}1>4{,}5>2{,}4$. Ce contrôle prend deux secondes et détecte immédiatement une addition faite à la place d'une soustraction.

6) NON. Si le triangle était rectangle en $A$, on aurait $BC^{2}=9+16=25$, donc $BC=5$ et non $7$. D'ailleurs $3+4=7$ : les trois points seraient ALIGNÉS, il n'y aurait aucun triangle. Un côté ne peut jamais atteindre la somme des deux autres.

1) $AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=169-25=144$, donc $AC=12$ cm. On retrouve le triangle $5$, $12$, $13$.

2) $AC^{2}=100-36=64$, donc $AC=8$ cm. C'est le triangle $3$, $4$, $5$ agrandi deux fois.

3) $AC^{2}=64-25=39$, donc $AC=\sqrt{39}\approx 6{,}24$ cm. Toutes les données ne donnent pas des résultats entiers, et c'est le cas le plus fréquent en réalité.

4) La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la largeur et la hauteur. Donc $h^{2}=100^{2}-80^{2}=10\,000-6400=3600$, d'où $h=60$ cm. C'est ainsi qu'on calcule les dimensions réelles d'un écran, dont seule la diagonale est annoncée par le fabricant.

5) Parce que cela donnerait $AC^{2}=169+25=194$, donc $AC\approx 13{,}9$ cm, une longueur SUPÉRIEURE à l'hypoténuse $BC=13$ cm. Or l'hypoténuse est le plus grand côté : c'est absurde. L'élève a appliqué la formule sans regarder quel côté était l'hypoténuse.

6) Il faut vérifier que le résultat est INFÉRIEUR à l'hypoténuse. Une seconde vérification consiste à refaire le calcul dans l'autre sens : ici $5^{2}+12^{2}=169=13^{2}$, ce qui confirme la question 1. Additionner quand il fallait soustraire est l'erreur numéro un du chapitre, et ce contrôle la détecte à tous les coups.

1) Le plus grand côté mesure $10$. D'une part $10^{2}=100$, d'autre part $6^{2}+8^{2}=36+64=100$. Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque le triangle EST rectangle. L'angle droit se trouve au sommet OPPOSÉ au plus grand côté, c'est-à-dire au sommet commun aux côtés de $6$ et de $8$ cm.

2) Le plus grand côté mesure $9$, et $9^{2}=81$, tandis que $5^{2}+7^{2}=25+49=74$. Comme $81\neq 74$, le triangle n'est PAS rectangle. On ne peut pas conclure « presque rectangle » : la réciproque tranche, sans nuance.

3) $15^{2}=225$ et $9^{2}+12^{2}=81+144=225$. Les deux nombres sont égaux, le triangle est rectangle. C'est le triangle $3$, $4$, $5$ agrandi trois fois : agrandir un triangle rectangle donne toujours un triangle rectangle.

4) $6{,}5^{2}=42{,}25$ et $2{,}5^{2}+6^{2}=6{,}25+36=42{,}25$. Égalité, donc le triangle est rectangle. Les données décimales ne changent rien à la méthode, seulement au confort de calcul.

5) $6^{2}=36$ et $3^{2}+4^{2}=9+16=25$. Comme $36\neq 25$, le triangle n'est pas rectangle. Attention au piège : les nombres $3$ et $4$ font penser au triangle $3$, $4$, $5$, mais le troisième côté vaut ici $6$, et cela suffit à tout changer.

6) Ils ne servent pas au même usage. Le THÉORÈME part d'un triangle dont on SAIT déjà qu'il est rectangle, et sert à calculer une longueur manquante. La RÉCIPROQUE part d'un triangle dont on connaît les trois longueurs, et sert à démontrer que l'angle est droit, ou qu'il ne l'est pas. Autrement dit, l'un donne un nombre, l'autre donne une conclusion géométrique : avant de rédiger, il faut donc se demander ce que l'énoncé fournit et ce qu'il demande.

1) Le côté adjacent à $\widehat{ABC}$ est $[AB]$ : c'est celui qui part de $B$ et qui n'est pas l'hypoténuse. L'hypoténuse est $[BC]$, opposée à l'angle droit en $A$. Le troisième côté, $[AC]$, est OPPOSÉ à l'angle $B$ et n'intervient pas dans le cosinus.

2) $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{8}=0{,}5$. La calculatrice, en mode degrés, donne alors $\widehat{ABC}=60°$. C'est une valeur à reconnaître : un cosinus de $0{,}5$ correspond toujours à $60°$.

3) On part de $\cos(35°)=\dfrac{AB}{10}$, donc $AB=10\times\cos(35°)\approx 10\times 0{,}8192\approx 8{,}19$ cm. Le résultat est inférieur à $10$, ce qui est cohérent : un côté de l'angle droit ne peut pas dépasser l'hypoténuse.

4) Ici l'inconnue est au DÉNOMINATEUR : $\cos(40°)=\dfrac{5}{BC}$, donc $BC=\dfrac{5}{\cos(40°)}\approx\dfrac{5}{0{,}766}\approx 6{,}53$ cm. On divise au lieu de multiplier, et le résultat est supérieur à $5$, ce qui est bien attendu pour une hypoténuse.

5) Parce que le cosinus est le quotient d'un côté de l'angle droit par l'hypoténuse, et que l'hypoténuse est TOUJOURS le plus grand côté. Le numérateur est donc plus petit que le dénominateur, et le quotient reste sous $1$. Il est aussi strictement positif, puisque ce sont deux longueurs.

6) Quand l'angle se rapproche de $0°$, le côté adjacent devient presque aussi long que l'hypoténuse et le cosinus tend vers $1$ : on a d'ailleurs $\cos(0°)=1$. Quand l'angle se rapproche de $90°$, le côté adjacent devient minuscule et le cosinus tend vers $0$, avec $\cos(90°)=0$. Le cosinus DÉCROÎT donc quand l'angle grandit, ce qui explique qu'un cosinus proche de $1$ signale un angle très fermé.

1) La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $12$ et $5$ : $d^{2}=144+25=169$, donc $d=13$ cm.

2) $d^{2}=36+36=72$, donc $d=\sqrt{72}\approx 8{,}49$ cm. On peut retenir que la diagonale d'un carré vaut environ $1{,}41$ fois son côté, et l'on vérifie ici : $6\times 1{,}41=8{,}46$, proche de $8{,}49$.

3) La hauteur partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles identiques, dont l'hypoténuse est un côté de $13$ cm et dont un côté vaut la moitié de la base, soit $5$ cm. Donc $h^{2}=169-25=144$ et $h=12$ cm.

4) L'aire vaut $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}=\dfrac{10\times 12}{2}=60$ cm². La hauteur calculée à la question précédente est exactement celle dont la formule de l'aire a besoin : c'est le cas typique où Pythagore sert d'étape intermédiaire.

5) Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et sont PERPENDICULAIRES. Chaque côté est donc l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les demi-diagonales, $8$ cm et $6$ cm : $c^{2}=64+36=100$, donc $c=10$ cm.

6) Parce que les deux triangles formés par la hauteur ont la même hypoténuse, les deux côtés égaux du triangle isocèle, et la même hauteur en commun. D'après Pythagore, les deux morceaux de base vérifient la même égalité, $b^{2}=13^{2}-h^{2}$, et sont donc de même longueur. La hauteur issue du sommet principal d'un triangle isocèle est ainsi à la fois médiane et médiatrice de la base.

1) Le triangle $ABC$ est inscrit dans le cercle et son côté $[AB]$ est un diamètre : d'après la propriété rappelée, il est donc RECTANGLE, et son angle droit est en $C$, le sommet opposé au diamètre. Remarquez que cette conclusion ne dépend pas de la position de $C$ sur le cercle : où qu'on le place, l'angle en $C$ reste droit.

2) Le triangle étant rectangle en $C$, l'hypoténuse est $[AB]$. Donc $BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=100-36=64$, d'où $BC=8$ cm. On retrouve encore le triangle $6$, $8$, $10$.

3) L'angle droit est en $C$, donc $[CA]$ et $[CB]$ sont perpendiculaires : ils jouent le rôle de base et de hauteur. L'aire vaut $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm². Il ne faut surtout pas utiliser $AB$ comme base sans connaître la hauteur correspondante.

4) $OC$ est un RAYON du cercle, puisque $C$ est sur le cercle et $O$ en est le centre. Le diamètre valant $10$ cm, le rayon vaut $5$ cm, donc $OC=5$ cm. Aucun calcul n'est nécessaire. On remarque au passage que $O$ est le milieu de l'hypoténuse et que $OC$ vaut la MOITIÉ de l'hypoténuse : dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure toujours la moitié de l'hypoténuse.

5) Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le MILIEU de son hypoténuse, et cette hypoténuse en est un diamètre. C'est ainsi qu'on trace le cercle passant par les trois sommets d'un triangle rectangle sans chercher aucune médiatrice.

6) NON, en général il ne l'est pas. La propriété exige explicitement qu'un côté soit un diamètre ; sans cette condition, l'angle opposé n'a aucune raison de mesurer $90°$. Par exemple, un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle et n'a que des angles de $60°$.

1) FAUX. Cette égalité caractérise les triangles RECTANGLES, pas tous les triangles. Le triangle de côtés $5$, $7$, $9$ le montre : $81\neq 74$. L'énoncé correct commence obligatoirement par « dans un triangle rectangle ».

2) FAUX. On a $BC^{2}=9+16=25$, donc $BC=5$. L'élève a additionné les longueurs au lieu d'additionner leurs CARRÉS. D'ailleurs $3+4=7$ signifierait que les trois points sont alignés, donc qu'il n'y a pas de triangle du tout.

3) FAUX. C'est la RÉCIPROQUE du théorème qui sert à démontrer qu'un angle est droit. Le théorème lui-même part d'un triangle déjà connu comme rectangle et sert à calculer une longueur. Confondre les deux fait perdre des points en rédaction, même quand le calcul est juste.

4) FAUX. Le cosinus d'un angle aigu est le quotient d'un côté de l'angle droit par l'hypoténuse, or l'hypoténuse est le plus grand côté : ce quotient est toujours strictement inférieur à $1$. Trouver $1{,}2$ signale une erreur, presque toujours l'inversion du numérateur et du dénominateur.

5) FAUX. L'hypoténuse est le côté OPPOSÉ à l'angle droit, donc celui qui ne contient pas la lettre $A$ : c'est $[BC]$. Les deux côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont les côtés de l'angle droit. Repérer l'hypoténuse est la toute première chose à faire, avant même d'écrire une égalité.

1) En longeant deux côtés : $120+90=210$ m.

2) L'allée est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $120$ m et $90$ m : $d^{2}=14\,400+8100=22\,500$, donc $d=\sqrt{22\,500}=150$ m. C'est le triangle $3$, $4$, $5$ agrandi trente fois, ce qui explique le résultat entier.

3) On économise $210-150=60$ m. Le raccourci est donc réel, mais il ne fait pas gagner la moitié du trajet, contrairement à ce que l'œil suggère souvent.

4) $\dfrac{60}{210}\approx 0{,}2857$, soit environ $28{,}6\,\%$ du trajet initial. Le pourcentage se calcule toujours par rapport au trajet de DÉPART, celui de $210$ m.

5) À $5$ km/h, on parcourt $5000$ m en une heure, soit $\dfrac{5000}{3600}\approx 1{,}389$ m par seconde. Le temps gagné vaut donc $\dfrac{60}{1{,}389}\approx 43{,}2$ s. Autrement dit, un raccourci de $60$ m fait gagner à peine plus de quarante secondes à pied : c'est peu, et cela vaut la peine de le savoir avant de piétiner une pelouse.

6) Le tour du parc mesure $2\times(120+90)=420$ m, auxquels s'ajoutent les $150$ m de l'allée, soit $570$ m au total. Attention à ne pas confondre le périmètre, qui compte DEUX longueurs et DEUX largeurs, avec le trajet de la question 1, qui n'en comptait qu'une de chaque.

1) La rampe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont la distance au sol et la hauteur : $h^{2}=5^{2}-4{,}8^{2}=25-23{,}04=1{,}96$, donc $h=1{,}4$ m.

2) Le côté adjacent à l'angle est la longueur au sol, l'hypoténuse est la rampe : $\cos(\alpha)=\dfrac{4{,}8}{5}=0{,}96$. La calculatrice, en mode degrés, donne $\alpha\approx 16{,}3°$. Un cosinus proche de $1$ annonçait déjà un angle faible.

3) La pente vaut $\dfrac{1{,}4}{4{,}8}\approx 0{,}2917$, soit environ $29{,}2\,\%$. C'est près de six fois la limite autorisée : cette rampe n'est PAS conforme, elle serait impraticable en fauteuil roulant. Notez que la pente n'est pas l'angle : $29{,}2\,\%$ ne signifie pas $29{,}2°$.

4) Une pente de $5\,\%$ signifie $0{,}05$ de hauteur par mètre horizontal. Il faut donc $\dfrac{1{,}4}{0{,}05}=28$ m de longueur horizontale pour monter les mêmes $1{,}4$ m. C'est presque six fois plus que les $4{,}8$ m de départ, ce qui explique pourquoi les rampes conformes sont si longues et souvent repliées en plusieurs tronçons.

5) La rampe serait alors l'hypoténuse d'un triangle de côtés $28$ m et $1{,}4$ m : $L^{2}=784+1{,}96=785{,}96$, donc $L\approx 28{,}03$ m.

6) La rampe, $28{,}03$ m, est presque égale à sa longueur horizontale, $28$ m : l'écart est de trois centimètres seulement, soit environ un millième. Quand l'angle est très faible, l'hypoténuse et le côté adjacent sont pratiquement confondus, et c'est cohérent avec la question 2, où un cosinus proche de $1$ signalait déjà un angle fermé. Sur un plan, une telle rampe se confond visuellement avec l'horizontale.

1) Écart des abscisses : $7-1=6$. Écart des ordonnées : $10-2=8$. Donc $AB^{2}=6^{2}+8^{2}=100$ et $AB=10$.

2) Écarts : $2-(-3)=5$ et $4-(-8)=12$. Donc $CD^{2}=25+144=169$ et $CD=13$. Un écart est une distance, toujours positive : on soustrait la plus petite coordonnée à la plus grande.

3) Écarts : $3-(-2)=5$ et $1-(-1)=2$. Donc $EF^{2}=25+4=29$ et $EF=\sqrt{29}\approx 5{,}39$.

4) $AG$ : écarts $4$ et $3$, donc $AG=5$. $BG$ : écarts $10$ et $5$, donc $BG^{2}=100+25=125$. Le plus grand côté est $[BG]$, et $AB^{2}+AG^{2}=100+25=125=BG^{2}$ : d'après la réciproque, le triangle $ABG$ est rectangle en $A$, le sommet opposé à $[BG]$.

5) Il obtient $6+8=14$ : c'est la longueur du trajet qui longe les deux côtés de l'angle droit, en suivant le quadrillage. Elle est plus longue que $AB=10$, la ligne droite. Pythagore additionne les CARRÉS des écarts, pas les écarts.

Le fil : entre deux points d'un repère, on dessine le triangle rectangle caché ; ses côtés sont les écarts de coordonnées.

1) Oui : $8^{2}+15^{2}=64+225=289$ et $17^{2}=289$.

2) Oui : $7^{2}+24^{2}=49+576=625$ et $25^{2}=625$.

3) Non : $10^{2}+24^{2}=100+576=676$, alors que $25^{2}=625$. D'ailleurs $676=26^{2}$ : c'est le triplet $10$, $24$, $26$, qui est $5$, $12$, $13$ multiplié par $2$.

4) On obtient $21$, $28$ et $35$ : $21^{2}+28^{2}=441+784=1\,225=35^{2}$. Oui. Multiplier les trois côtés par $7$ multiplie les trois carrés par $49$, et l'égalité est conservée.

5) Pour $n=6$ : $2n=12$, $n^{2}-1=35$ et $n^{2}+1=37$. On vérifie : $12^{2}+35^{2}=144+1\,225=1\,369$ et $37^{2}=1\,369$. Cette formule fabrique autant de triangles rectangles à côtés entiers qu'on veut ; pour $n=4$, elle redonne $8$, $15$, $17$.

Le fil : la réciproque de Pythagore se vérifie sur les carrés ; un triplet reste un triplet quand on l'agrandit.

1) $AHCD$ a quatre angles droits : c'est un rectangle. Donc $AH=DC=5$ cm et $CH=AD=8$ cm, puis $HB=AB-AH=11-5=6$ cm.

2) Le triangle $CHB$ est rectangle en $H$, d'hypoténuse $[BC]$ : $BC^{2}=CH^{2}+HB^{2}=64+36=100$, donc $BC=10$ cm.

3) $AB+BC+CD+DA=11+10+5+8=34$ cm.

4) L'aire d'un trapèze vaut $\dfrac{(\text{grande base}+\text{petite base})\times\text{hauteur}}{2}=\dfrac{(11+5)\times 8}{2}=64$ cm². Contrôle : le rectangle $AHCD$ fait $40$ cm² et le triangle $CHB$ $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm².

5) Dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$ : $AC^{2}=5^{2}+8^{2}=89$, donc $AC\approx 9{,}43$ cm. Dans le triangle $ABD$, rectangle en $A$ : $BD^{2}=11^{2}+8^{2}=185$, donc $BD\approx 13{,}60$ cm. Les deux diagonales d'un trapèze rectangle n'ont pas la même longueur.

Le fil : on découpe la figure pour faire apparaître un rectangle et un triangle rectangle, puis on applique Pythagore dans le bon triangle.

1) Le triangle formé par la main, le cerf-volant et le point situé à la verticale du cerf-volant, à la hauteur de la main. Il est rectangle en ce dernier point, et son hypoténuse est la FICELLE, qui fait face à l'angle droit.

2) Côté horizontal : $30$ m. Hypoténuse : $50$ m. Donc $h^{2}=50^{2}-30^{2}=2\,500-900=1\,600$, et $h=40$ m. C'est le triangle $3$, $4$, $5$ agrandi dix fois.

3) On ajoute la hauteur de la main : $40+1=41$ m. Oublier ce mètre, c'est répondre à une autre question.

4) $h^{2}=2\,500-1\,600=900$, donc $h=30$ m au-dessus de la main, soit $31$ m au-dessus du sol. En s'éloignant à ficelle constante, le cerf-volant descend.

5) Il doit être à $49-1=48$ m au-dessus de la main : $L^{2}=30^{2}+48^{2}=900+2\,304=3\,204$, donc $L=\sqrt{3\,204}\approx 56{,}60$ m.

Le fil : on repère le triangle rectangle avant de calculer, et l'on n'oublie pas ce qui dépasse du triangle, ici la hauteur de la main.