Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Pythagore est le premier théorème que l'on doit citer avant de s'en servir, et c'est aussi le premier où une erreur de lecture coûte plus cher qu'une erreur de calcul : confondre l'hypoténuse avec un côté de l'angle droit change l'opération elle-même.
Le cosinus arrive juste après et ajoute une seconde question de lecture, celle du côté adjacent. Cette fiche traite les deux, avec la ligne exacte à écrire et le nombre de points que chaque confusion coûte.
Le fil du chapitre
Tout se joue sur l'hypoténuse. La reconnaître décide de l'opération, une addition pour la trouver elle, une soustraction pour trouver un côté de l'angle droit, et elle décide aussi du dénominateur du cosinus. Presque toutes les erreurs du chapitre sont une hypoténuse mal placée.
Écrire l'égalité de Pythagore avec les noms des points AVANT d'y mettre le moindre nombre. Cette ligne seule vaut souvent un point, et elle empêche l'inversion.
La réciproque compare des CARRÉS, jamais des longueurs. Additionner pour le comparer à ne prouve rien du tout.
Un cosinus supérieur à est impossible pour un angle aigu : c'est le signal que l'hypoténuse s'est retrouvée au numérateur.
Réutiliser un arrondi dans le calcul suivant propage l'erreur et fait souvent perdre le dernier chiffre demandé. On garde la valeur de la calculatrice en mémoire.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Dans un triangle rectangle en avec et : . »
Ce qu'il faut écrire
« est l'hypoténuse, donc , et . »
Pourquoi : Le théorème se retient comme « on additionne les carrés », sans sa condition. On additionne pour trouver l'hypoténuse, on soustrait pour trouver un autre côté.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le triangle est rectangle en , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« L'angle droit est en , donc l'hypoténuse est , le côté qui ne touche pas : . »
Pourquoi : La lettre de l'angle droit est celle qui se retrouve dans les DEUX côtés du membre de droite. Ce repère mécanique évite toute hésitation, quel que soit le nom des points.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc cm. »
Ce qu'il faut écrire
« , donc cm. »
Pourquoi : Le théorème donne le carré de la longueur, pas la longueur. L'ordre de grandeur trahit toujours l'oubli : un côté de cm dans un triangle où l'hypoténuse mesure cm est impossible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , ce qui n'est pas , donc le triangle de côtés , et n'est pas rectangle. »
Ce qu'il faut écrire
« et : les deux carrés sont égaux, donc le triangle EST rectangle, l'angle droit étant face au côté de . »
Pourquoi : Le théorème parle de carrés d'un bout à l'autre. Additionner les longueurs donne toujours un résultat plus grand que le troisième côté, dans n'importe quel triangle.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« exactement : on garde la valeur exacte et on n'arrondit qu'au dernier calcul. »
Pourquoi : Un arrondi introduit une erreur qui grossit à chaque opération suivante. La calculatrice garde la valeur exacte en mémoire : il suffit de ne pas la retaper.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Dans le triangle rectangle en , . »
Ce qu'il faut écrire
« Le côté adjacent à est , car il touche sans être l'hypoténuse : . »
Pourquoi : Le côté adjacent dépend de l'angle choisi, pas du dessin. Poser le doigt sur l'angle et suivre les deux côtés qui en partent : l'un est l'hypoténuse, l'autre est l'adjacent.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« Un cosinus d'angle aigu est toujours compris entre et : signale que l'hypoténuse a été mise au numérateur. »
Pourquoi : L'hypoténuse étant le plus long des trois côtés, elle est toujours au dénominateur, ce qui rend le quotient inférieur à . La machine confirme en affichant un message d'erreur.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc cm. »
Ce qu'il faut écrire
« cm : quand l'inconnue est au dénominateur, on DIVISE. »
Pourquoi : Le cosinus étant inférieur à , multiplier par lui RÉDUIT et diviser AGRANDIT. Or l'hypoténuse est forcément plus longue que le côté adjacent : le contrôle est immédiat.
On regarde ce que l'énoncé DONNE et ce qu'il DEMANDE, jamais le dessin seul.
Si le triangle est déjà dit rectangle, deux longueurs sont données, une troisième est demandée → Pythagore, en additionnant si l'inconnue est l'hypoténuse, en soustrayant sinon
Exemple : rectangle en , et donnent
Si les TROIS longueurs sont données et la question demande si le triangle est rectangle → la réciproque : comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés
Exemple : , , donnent , donc rectangle
les deux membres se calculent séparément, l'un sous l'autre, avant toute comparaison
Si le triangle est rectangle, un ANGLE aigu et une longueur sont donnés → le cosinus, en repérant d'abord le côté adjacent à cet angle
Exemple : rectangle en , et donnent
Si le triangle est rectangle et deux longueurs sont données, l'ANGLE est demandé → calculer le quotient adjacent sur hypoténuse, puis la touche d'angle inverse de la calculatrice
Exemple : donne
Si un côté du triangle est un DIAMÈTRE du cercle qui le contient → le triangle est rectangle, l'angle droit étant au sommet opposé au diamètre
Exemple : diamètre et sur le cercle donnent un angle droit en
Si l'énoncé ne dit pas que le triangle est rectangle et n'en donne pas la preuve, Pythagore est interdit : c'est la réciproque qu'il faut établir d'abord.
On pose le doigt sur l'angle, puis on nomme les deux côtés qui en partent.
Si l'inconnue est le côté ADJACENT → multiplier l'hypoténuse par le cosinus
Exemple :
le résultat doit être plus petit que l'hypoténuse, sinon le calcul est faux
Si l'inconnue est l'HYPOTÉNUSE → diviser le côté adjacent par le cosinus
Exemple :
Si l'inconnue est l'ANGLE → calculer le quotient adjacent sur hypoténuse, puis appliquer la touche d'angle inverse
Exemple : donne un angle d'environ
Si le côté cherché est OPPOSÉ à l'angle → le cosinus ne suffit pas : on trouve d'abord l'autre côté, puis on applique Pythagore
Exemple :
la tangente et le sinus ne sont pas au programme de quatrième
Avant de valider une longueur, la comparer à l'hypoténuse : aucun côté ne peut la dépasser, et ce contrôle attrape les multiplications et divisions inversées.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit que le triangle est rectangle, donne deux longueurs et en demande une troisième.
Phrase de conclusion
« Donc cm. »
Le piège : Remplacer par les nombres dès la première ligne. L'égalité écrite avec les lettres est ce qui empêche d'inverser l'hypoténuse, et c'est elle que le barème paie.
Barème : 0,5 point pour le nom de l'hypoténuse, 1 point pour l'égalité littérale, 0,5 pour le calcul et l'unité.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne les trois longueurs et demande la nature du triangle, ou demande de justifier un angle droit.
Phrase de conclusion
« Comme , le triangle est rectangle en , d'après la réciproque du théorème de Pythagore. »
Le piège : Écrire directement . Cette ligne suppose déjà ce qu'il faut démontrer : les deux membres se calculent séparément, puis se comparent.
Barème : 0,5 point pour le repérage du plus grand côté, 1 point pour les deux calculs séparés, 1 point pour la conclusion citant la réciproque et le sommet.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
L'hypoténuse reste la plus longue
Comparer les trois longueurs obtenues : celle de l'hypoténuse doit dépasser les deux autres. Ce contrôle ne demande aucun calcul.
Trouver dans un triangle où est l'hypoténuse est impossible : c'est le signal d'une addition faite à la place d'une soustraction.
Le cosinus est compris entre et
Vérifier que le quotient calculé reste dans cet intervalle. Un résultat supérieur à signale l'hypoténuse au numérateur.
est acceptable ; ne l'est pas, et la calculatrice refuse d'en donner l'angle.
Le retour par Pythagore
Une fois les trois longueurs connues, réinjecter les deux plus petites dans le théorème et vérifier qu'on retrouve le carré de la plus grande.
Avec et : , et . Les deux coïncident, donc la chaîne de calculs tient.
Le mode de la calculatrice
Avant tout calcul d'angle, vérifier que l'écran affiche DEG et non RAD. Un cosinus de doit donner environ .
Si la machine affiche pour , elle est en radians : toutes les longueurs du problème seront fausses.
Le triangle est rectangle en , avec cm et .
Calculer au dixième de centimètre près, puis , et vérifier la cohérence des trois longueurs.
Étape 1
Le triangle est rectangle en , donc l'hypoténuse est , le côté qui ne touche pas .
Pourquoi
Cette phrase décide de tout le reste : elle place le dénominateur du cosinus et le sens de l'opération de Pythagore. L'écrire coûte une ligne et rapporte un demi-point.
Étape 2
Le côté adjacent à est , car il touche sans être l'hypoténuse. Donc .
Pourquoi
Deux côtés partent de : l'hypoténuse et l'adjacent. Nommer les deux avant d'écrire le quotient supprime la confusion avec le côté opposé , qui ne touche pas .
Étape 3
L'inconnue est au dénominateur, donc on divise : .
Pourquoi
On isole l'inconnue comme dans n'importe quelle équation, sans réciter de formule spéciale. Le contrôle vient tout de suite : diviser par un nombre plus petit que doit AGRANDIR.
Étape 4
Calculatrice en mode degré : , donc cm.
Pourquoi
Le mode se vérifie avant, pas après : en radians la machine afficherait et donnerait cm, une valeur assez plausible pour ne pas éveiller de soupçon.
Étape 5
Pythagore pour : , donc cm.
Pourquoi
n'est pas l'hypoténuse, donc on SOUSTRAIT. On utilise la valeur non arrondie de , gardée en mémoire dans la machine, sinon le dixième demandé est faux.
Étape 6
Contrôle des trois longueurs : , et l'hypoténuse est bien la plus grande.
Pourquoi
Ce contrôle ne coûte rien et attrape à lui seul l'addition faite pour une soustraction, la multiplication faite pour une division, et le mode radians.
Étape 7
Contrôle du cosinus : , qui est bien et se situe entre et .
Pourquoi
La substitution inverse referme la boucle sur la première étape. Si le quotient ne redonne pas le cosinus de départ, c'est le côté adjacent qui avait été mal choisi.
Conclusion rédigée
« Donc cm et cm, l'hypoténuse étant bien le plus long des trois côtés. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire cm. L'hypoténuse serait alors plus courte que le côté , ce qui est impossible : comme le cosinus est inférieur à , multiplier par lui réduit toujours la longueur.
C'est le côté opposé à l'angle droit, celui qui ne le touche pas, et c'est toujours le plus long des trois. Si le triangle est rectangle en A, l'hypoténuse est le segment BC, car ni B ni C ne portent l'angle droit. La lettre de l'angle droit n'apparaît donc pas dans le nom de l'hypoténuse.
On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit pour trouver l'hypoténuse. On soustrait quand c'est un côté de l'angle droit qui est cherché : le carré de l'hypoténuse moins le carré du côté connu. Un résultat plus grand que l'hypoténuse signale une addition faite à tort.
On repère le plus grand côté, on calcule son carré d'un côté, la somme des carrés des deux autres de l'autre, puis on compare les deux résultats. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle, et l'angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté. On cite alors la réciproque du théorème.
C'est le côté qui touche l'angle sans être l'hypoténuse. Deux côtés partent de chaque sommet : l'un est l'hypoténuse, l'autre est l'adjacent. Le côté adjacent change donc quand on change d'angle, alors que l'hypoténuse, elle, reste toujours la même.
On divise au lieu de multiplier. Si le cosinus de l'angle vaut six divisé par BC, alors BC vaut six divisé par le cosinus. Comme un cosinus d'angle aigu est plus petit que un, cette division agrandit, ce qui est cohérent puisque l'hypoténuse est le plus long des côtés.
