Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés

Fiche de révision : translations, symétries et rotations (Quatrième)

Les quatre transformations du programme se ressemblent beaucoup, et pour une bonne raison : toutes conservent les longueurs, les angles et les aires. L'image d'une figure lui est toujours superposable, ce qui rend la forme inutile pour les distinguer.

Ce qui les sépare est ailleurs : dans les points qui ne bougent pas, et dans le sens de parcours de la figure. Cette fiche part de là et range les huit erreurs qui coûtent des points en contrôle.

Le fil du chapitre

Les quatre transformations conservent toutes les longueurs et les angles : ce n'est donc jamais la forme de l'image qui les distingue, mais ce qui reste FIXE et le sens de parcours. Une seule des quatre renverse ce sens, la symétrie axiale.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Quatrième

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Géométrie de CinquièmeCinquième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Géométrie et grandeursSixième
2Géométrie de CinquièmeCinquième

L'essentiel

Ce que les quatre transformations ont en commun

• Une transformation associe à chaque point $M$ du plan un unique point $M'$ , appelé son image.
• Les quatre conservent les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et les milieux : l'image d'une figure lui est SUPERPOSABLE.
• L'image d'une droite est une droite, celle d'un segment un segment de même longueur, celle d'un cercle un cercle de même rayon.
• Une longueur qui change dans une construction est donc toujours une erreur de tracé, jamais une propriété de la transformation.

C'est aussi le premier contrôle à faire : mesurer un côté de l'image et le comparer à son original. S'ils diffèrent, la construction est fausse, quelle que soit la transformation.

Ce qui les distingue : les points fixes et le sens

• TRANSLATION : tous les points glissent de la même longueur, dans la même direction et le même sens. AUCUN point invariant.
• SYMÉTRIE AXIALE d'axe $(d)$ : $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$ . Tous les points de $(d)$ sont invariants, et c'est la SEULE des quatre à renverser le sens de parcours.
• SYMÉTRIE CENTRALE de centre $O$ : $O$ est le milieu de $[MM']$ . C'est le demi-tour, autrement dit la rotation d'angle $180°$ . Seul $O$ est invariant.
• ROTATION de centre $O$ et d'angle $a$ : $OM'=OM$ et $\widehat{MOM'}=a$ , dans le sens indiqué. Seul $O$ est invariant.

En haut, l'ordre

A

B

C

tourne dans un sens et

A'

B'

C'

dans l'autre : la symétrie axiale renverse le sens. En bas, la symétrie centrale le conserve.

Deux questions suffisent à identifier une transformation : qu'est-ce qui ne bouge pas, et le sens de parcours de la figure a-t-il changé ?

Les images de droites, et l'ordre des lettres

• Par une TRANSLATION ou une SYMÉTRIE CENTRALE, l'image d'une droite est une droite PARALLÈLE à celle-ci.
• Par une symétrie axiale ou une rotation, l'image d'une droite n'est en général pas parallèle à celle-ci.
• Si $A$ a pour image $B$ et $C$ pour image $D$ par une même translation, alors $ABDC$ est un parallélogramme, dans cet ordre précis.
• L'image de $[AB]$ est $[A'B']$ : l'ordre des lettres se conserve et doit être respecté dans la réponse.

Un énoncé demande souvent « quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ». La réponse est dans la translation, pas dans une mesure : deux côtés opposés sont images l'un de l'autre.

Composer deux symétries axiales

• Deux axes PARALLÈLES distants de $d$ : la composée est une translation de longueur $2d$ , perpendiculaire aux axes.
• Deux axes SÉCANTS en $O$ formant un angle $a$ : la composée est une rotation de centre $O$ et d'angle $2a$ .
• Deux renversements du sens de parcours le rétablissent : la composée de deux symétries axiales conserve donc le sens.
• L'ordre des deux symétries compte : les composer dans l'autre sens donne la transformation inverse.

Le facteur $2$ est ce qu'on oublie. Il se retrouve en une seconde sur un dessin, en suivant un seul point à travers les deux symétries.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Accepter qu'une longueur change dans l'image

toute la construction, et les questions suivantes qui s'appuient dessus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le segment $[AB]$ mesure $5$ cm et son image $[A'B']$ mesure $4$ cm sur ma figure : la rotation a rétréci le triangle. »

Ce qu'il faut écrire

« Les quatre transformations conservent les longueurs, donc $A'B'=AB=5$ cm. Une longueur différente signale une erreur de construction. »

Pourquoi : Aucune des transformations du programme n'agrandit ni ne réduit : ce sont les agrandissements du chapitre de Thalès qui font cela. Ici l'image est superposable à la figure.

2. Confondre symétrie centrale et symétrie axiale

toute la question, car les deux images sont différentes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La symétrie de centre $O$ , c'est la symétrie d'axe la droite qui passe par $O$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La symétrie CENTRALE est le demi-tour autour du point $O$ ; la symétrie AXIALE est le pliage le long d'une droite. Seule l'axiale renverse le sens de parcours. »

Pourquoi : Les deux mots se ressemblent et les deux figures obtenues sont superposables à l'original, ce qui empêche de repérer l'erreur à l'œil. Le sens de parcours, lui, tranche.

3. Ajouter une condition de perpendicularité à la symétrie centrale

1,5 point, et une construction impossible à terminer

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour la symétrie de centre $O$ , $O$ est le milieu de $[MM']$ et $(OM)$ est perpendiculaire à $[MM']$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $O$ est simplement le MILIEU de $[MM']$ : les trois points $M$ , $O$ et $M'$ sont alignés, il n'y a aucun angle droit à tracer. »

Pourquoi : La perpendicularité vient de la symétrie axiale, où l'axe est la médiatrice de $[MM']$ . Elle est transportée par erreur sur la symétrie centrale, qui n'en demande pas.

4. Se tromper d'ordre dans le parallélogramme d'une translation

1,5 point, et un quadrilatère croisé sur la figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A$ a pour image $B$ et $C$ a pour image $D$ , donc $ABCD$ est un parallélogramme. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est $ABDC$ qui est un parallélogramme : les segments $[AB]$ et $[CD]$ sont les deux glissements, donc les côtés opposés sont $[AC]$ et $[BD]$ . »

Les deux flèches sont le même glissement, donc

[AB]

[CD]

ne sont pas des côtés opposés mais deux translations parallèles : le contour du parallélogramme est

A

B

D

C

Pourquoi : L'ordre des lettres d'un quadrilatère décrit le tour de la figure. Placer les quatre points sur un brouillon et suivre le contour au crayon règle la question en cinq secondes.

5. Donner un angle de rotation sans son sens

1 point, systématiquement retiré même quand la construction est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'image est obtenue par la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Par la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens des aiguilles d'une montre » : sans le sens, la réponse désigne deux images différentes.

Pourquoi : Deux rotations de même angle et de sens contraires donnent des images symétriques l'une de l'autre. Le sens fait partie de la définition, pas du commentaire.

6. Oublier le facteur deux dans la composée de deux symétries

2 points, et une longueur deux fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux axes parallèles distants de $3$ cm donnent une translation de $3$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« La composée est une translation de $2d=6$ cm, perpendiculaire aux deux axes. »

Le point

M

passe en

M_{1}

par le premier axe, puis en

M_{2}

par le second : il a parcouru

8

unités alors que les axes n'en sont distants que de

4

Pourquoi : Chaque symétrie déplace le point de deux fois sa distance à l'axe, et les deux déplacements s'ajoutent dans le même sens. Suivre un seul point sur un dessin le montre immédiatement.

7. Chercher un point invariant à une translation

1 point, et une transformation mal identifiée dans la question suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le point qui se trouve sur la direction de la translation ne bouge pas. »

Ce qu'il faut écrire

« Une translation non nulle n'a AUCUN point invariant : tous les points du plan glissent de la même longueur. »

Pourquoi : Chercher ce qui ne bouge pas est justement la méthode d'identification. Zéro point fixe désigne la translation, une droite entière la symétrie axiale, un seul point la rotation ou la symétrie centrale.

8. Croire que toute image d'une droite lui est parallèle

1,5 point, et une justification fausse dans une démonstration

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Par une symétrie axiale, l'image d'une droite est toujours parallèle à cette droite. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est vrai pour la translation et la symétrie centrale seulement. Par symétrie axiale, l'image d'une droite ne lui est parallèle que si elle est parallèle ou perpendiculaire à l'axe. »

Pourquoi : La propriété est vraie et bien connue pour deux des quatre transformations, donc elle se généralise toute seule. Un croquis d'une droite oblique par rapport à l'axe la démonte aussitôt.

Quelle méthode choisir

Reconnaître la transformation sur une figure

On cherche d'abord ce qui NE BOUGE PAS, puis on regarde le sens de parcours de la figure.

Si aucun point ne reste en place et la figure a simplement glissé → c'est une translation, décrite par sa longueur, sa direction et son sens

Exemple : $A$ envoyé sur $B$ définit la translation à elle seule
Si toute une DROITE reste en place et le sens de parcours est renversé → c'est la symétrie axiale, dont l'axe est la médiatrice de chaque segment reliant un point à son image

Exemple : $A$ , $B$ , $C$ dans un sens et $A'$ , $B'$ , $C'$ dans l'autre

c'est la seule des quatre à renverser le sens : ce test suffit à l'isoler
Si un SEUL point reste en place et la figure a fait un demi-tour → c'est la symétrie centrale, de centre ce point, qui est le milieu de chaque segment reliant un point à son image

Exemple : $O$ milieu de $[AA']$ et de $[BB']$
Si un seul point reste en place et l'angle de rotation n'est pas plat → c'est une rotation, à décrire par son centre, son angle ET son sens

Exemple : rotation de centre $O$ , d'angle $90°$ , dans le sens des aiguilles d'une montre
Si les longueurs de l'image diffèrent de celles de la figure → ce n'est aucune de ces quatre transformations, mais un agrandissement ou une réduction

Exemple : un côté de $5$ cm devenu $7{,}5$ cm signale un rapport $1{,}5$

Ces deux questions se posent dans cet ordre et jamais dans l'autre : la forme de l'image, elle, ne dit rien, puisque les quatre transformations la conservent.

Construire l'image d'un point

On construit point par point, et on ne relie qu'à la fin.

Si translation définie par $A$ envoyé sur $B$ → reporter le même glissement à partir de chaque point, en gardant la direction et le sens

Exemple : sur un quadrillage, $+4$ en abscisse et $0$ en ordonnée
Si symétrie d'axe $(d)$ → tracer la perpendiculaire à $(d)$ passant par le point, puis reporter la même distance de l'autre côté

Exemple : un point à $3$ carreaux de l'axe a son image à $3$ carreaux de l'autre côté
Si symétrie de centre $O$ → tracer la demi-droite du point vers $O$ , la prolonger, et reporter la même longueur au-delà de $O$

Exemple : $O$ est alors le milieu de $[MM']$

aucune perpendiculaire n'intervient, contrairement à la symétrie axiale
Si rotation de centre $O$ et d'angle $a$ → tracer le cercle de centre $O$ passant par le point, puis reporter l'angle $a$ au rapporteur dans le sens indiqué

Exemple : un quart de tour amène un point situé à droite de $O$ juste au-dessus de $O$

Après la construction, mesurer un côté de l'image et le comparer à son original. C'est le contrôle qui attrape toutes les erreurs de report.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Identifier une transformation et la décrire complètement

Quand l'utiliser : L'énoncé montre une figure et son image, et demande par quelle transformation on passe de l'une à l'autre.

1 Vérifier d'abord que les longueurs sont conservées, et l'écrire : « $A'B'=AB$ , donc il s'agit bien d'une des quatre transformations ».
2 Chercher les points invariants : aucun, une droite entière, ou un seul point.
3 Regarder le sens de parcours de la figure : renversé pour la symétrie axiale, conservé pour les trois autres.
4 Décrire la transformation avec TOUS ses éléments : longueur, direction et sens pour une translation ; axe ; centre ; centre, angle et sens pour une rotation.

Phrase de conclusion

« On passe de $ABC$ à $A'B'C'$ par la rotation de centre $O$ , d'angle $90°$ , dans le sens des aiguilles d'une montre. »

Le piège : Donner l'angle d'une rotation sans son sens, ou l'axe d'une symétrie sans dire que c'est une symétrie axiale. Une description incomplète est comptée fausse.

Barème : 0,5 point pour la nature, 1 point pour les éléments caractéristiques, 0,5 pour la justification par les points invariants.

Construire une image dans un repère

Quand l'utiliser : L'énoncé donne les coordonnées des points et demande celles de leurs images.

1 Écrire la règle de calcul avant tout : pour la symétrie de centre $O(a\,;b)$ , $x'=2a-x$ et $y'=2b-y$ .
2 Appliquer la règle point par point, en écrivant le calcul et non seulement le résultat.
3 Vérifier avec la définition : pour une symétrie centrale, le milieu de $[MM']$ doit redonner le centre.
4 Contrôler une longueur : elle doit être identique dans la figure et dans son image.

Phrase de conclusion

« L'image de $A(1\,;1)$ par la symétrie de centre $O(3\,;2)$ est $A'(5\,;3)$ , car $2\times 3-1=5$ et $2\times 2-1=3$ . »

Le piège : Inverser le point et le centre dans la formule. On part toujours du CENTRE : $x'=2x_{O}-x_{M}$ , et jamais l'inverse.

Barème : 0,5 point pour la règle écrite, 1 point pour les trois images, 0,5 pour la vérification par le milieu.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La règle et le compas sur une longueur

Mesurer un côté de la figure et le côté correspondant de l'image. Les deux doivent être rigoureusement égaux.

$AB=4$ carreaux et $A'B'=4$ carreaux : la construction tient. Un $A'B'=3$ signale un report mal fait, quelle que soit la transformation.
Le milieu, pour une symétrie centrale

Calculer ou mesurer le milieu du segment reliant un point à son image : il doit tomber exactement sur le centre annoncé.

$A(1\,;1)$ et $A'(5\,;3)$ donnent le milieu $(3\,;2)$ , qui est bien $O$ . Un autre point signale une formule inversée.
Le sens de parcours

Suivre les lettres $A$ , $B$ , $C$ dans la figure, puis $A'$ , $B'$ , $C'$ dans l'image. Le sens ne change que pour une symétrie axiale.

Un sens conservé après une prétendue symétrie axiale prouve que c'est en réalité une symétrie centrale ou une rotation.
Le parallélisme, quand il est attendu

Après une translation ou une symétrie centrale, vérifier à l'équerre que chaque droite et son image sont parallèles.

Deux droites images qui se coupent après une translation signalent qu'un point a été reporté avec un glissement différent des autres.

L'exercice type décortiqué

Deux transformations dans un repère

Dans un repère, on donne $A(1\,;1)$ , $B(5\,;1)$ et $C(1\,;4)$ .

Donner les coordonnées des images de ces trois points par la symétrie de centre $O(3\,;2)$ , puis par la translation qui transforme $A$ en $B$ , et vérifier la conservation des longueurs.

Étape 1

Règle de la symétrie centrale : $O$ est le milieu de $[MM']$ , donc $x'=2\times 3-x$ et $y'=2\times 2-y$ .

Pourquoi

La règle se déduit de la définition du milieu, elle ne s'apprend pas à part. Écrire les deux formules avant tout calcul évite d'inverser le point et le centre.

Étape 2

$A'(5\,;3)$ car $6-1=5$ et $4-1=3$ ; $B'(1\,;3)$ car $6-5=1$ ; $C'(5\,;0)$ car $6-1=5$ et $4-4=0$ .

Pourquoi

On écrit le calcul, pas seulement le résultat : c'est ce que le barème paie, et c'est aussi ce qui permet de retrouver une erreur sans tout recommencer.

Étape 3

Contrôle : le milieu de $[AA']$ vaut $\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{1+3}{2}\right)=(3\,;2)$ , qui est bien $O$ .

Pourquoi

La vérification utilise la définition elle-même, et non la règle qui en découle. Une formule inversée donnerait ici un tout autre point que le centre annoncé.

Étape 4

La translation qui transforme $A(1\,;1)$ en $B(5\,;1)$ ajoute $4$ à l'abscisse et $0$ à l'ordonnée.

Pourquoi

Le glissement se lit directement sur les coordonnées des deux points donnés, sans construction. Il est le même pour tous les points du plan, c'est la définition d'une translation.

Étape 5

Images par cette translation : $A''(5\,;1)$ , $B''(9\,;1)$ et $C''(5\,;4)$ .

Pourquoi

Le même couple de nombres s'ajoute à chaque point, sans exception. Aucun point n'échappe au glissement : une translation n'a aucun point invariant.

Étape 6

Conservation des longueurs : $AB=4$ et $A'B'=|5-1|=4$ ; $BC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$ et $B'C'=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$ .

Pourquoi

Les longueurs se calculent avec Pythagore dans le repère. Leur égalité valide les six coordonnées d'un coup, ce qu'aucune relecture ne ferait aussi vite.

Étape 7

Points fixes : pour la symétrie centrale, seul $O(3\,;2)$ ; pour la translation, aucun.

Pourquoi

C'est la question qui distingue les deux transformations, alors que leurs images sont toutes deux superposables au triangle de départ. La réponse fait partie de la description attendue.

Conclusion rédigée

« Par la symétrie de centre $O$ , les images sont $A'(5\,;3)$ , $B'(1\,;3)$ et $C'(5\,;0)$ ; par la translation qui envoie $A$ sur $B$ , ce sont $A''(5\,;1)$ , $B''(9\,;1)$ et $C''(5\,;4)$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $A'(2\times 1-3\,;2\times 1-2)$ , en échangeant le point et le centre dans la formule. On part toujours du centre : $x'=2x_{O}-x_{M}$ .

À savoir par cœur

• Les quatre transformations conservent longueurs, angles, aires, parallélisme et milieux.
• Translation : AUCUN point invariant. Symétrie axiale : toute la droite. Symétrie centrale et rotation : un seul point.
• Seule la SYMÉTRIE AXIALE renverse le sens de parcours.
• Symétrie centrale : $O$ est le MILIEU de $[MM']$ . Symétrie axiale : l'axe est la MÉDIATRICE de $[MM']$ .
• Translation et symétrie centrale envoient une droite sur une droite PARALLÈLE.
• Une rotation se décrit par son centre, son angle ET son sens.
• Deux symétries d'axes parallèles distants de $d$ composent une translation de $2d$ .

Questions fréquentes

Quelle différence entre une symétrie axiale et une symétrie centrale ?

La symétrie axiale est un pliage le long d'une droite : cette droite reste entièrement fixe et le sens de parcours de la figure se renverse. La symétrie centrale est un demi-tour autour d'un point : seul ce point reste fixe et le sens de parcours est conservé. C'est le sens qui les distingue à coup sûr.

Une translation a-t-elle des points qui ne bougent pas ?

Non, aucun. Tous les points du plan glissent de la même longueur, dans la même direction et le même sens. C'est justement ce qui permet de la reconnaître : zéro point fixe désigne la translation, une droite entière désigne la symétrie axiale, un seul point désigne une rotation ou une symétrie centrale.

Est-ce que ces transformations changent les longueurs ?

Non, jamais. Les quatre transformations du programme conservent les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et les milieux : l'image d'une figure lui est superposable. Une longueur qui change dans une construction est donc une erreur de tracé, et non une propriété.

Comment décrire complètement une rotation ?

Il faut trois éléments : son centre, la mesure de son angle et son sens, celui des aiguilles d'une montre ou le sens inverse. Sans le sens, la description désigne deux images différentes et la réponse est comptée fausse, même si la construction est juste.

Que donne la composée de deux symétries d'axes parallèles ?

Une translation perpendiculaire aux deux axes, de longueur égale au double de la distance entre eux. Si les axes sont distants de quatre centimètres, la translation mesure huit centimètres. Le facteur deux est l'erreur classique : chaque symétrie déplace le point de deux fois sa distance à l'axe.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Translations, symétries et rotations

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
195 minutes

Faire les exercices

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Vecteurs et géométrie repéréeSeconde

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