Exercice 0.1 : Calculer avec les coordonnées de vecteurs : dix calculs directs

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Chaque ligne est indépendante des autres et redonne ses propres points. Calculez la grandeur demandée : coordonnées d'un vecteur, d'un milieu ou d'un point, distance au carré, déterminant, valeur d'un paramètre, coefficient directeur ou ordonnée à l'origine d'une droite. Les résultats non entiers se donnent en fraction ou en décimal exact.

Une seule méthode pour les dix lignes : traduire la question en une formule de coordonnées, puis calculer coordonnée par coordonnée. $\vec{AB}(x_{B}-x_{A}\,;y_{B}-y_{A})$ , toujours l'ARRIVÉE moins le DÉPART ; le milieu est la moyenne des coordonnées ; $\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-yx'$ , nul exactement quand les vecteurs sont colinéaires. Un point défini par une égalité vectorielle se trouve en ajoutant un vecteur aux coordonnées d'un point CONNU.

a) $A(5\,;-3)$ et $B(-2\,;6)$ . Calculez les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .
b) $E(-5\,;2)$ et $F(3\,;-7)$ . Calculez les coordonnées du milieu $I$ du segment $[EF]$ .
c) $\vec{u}(-4\,;3)$ et $\vec{v}(2\,;-5)$ . Calculez les coordonnées du vecteur $3\vec{u}-2\vec{v}$ .
d) $G(-3\,;-2)$ et $H(4\,;1)$ . Calculez $GH^{2}$ .
e) $\vec{u}(6\,;-4)$ et $\vec{v}(-5\,;3)$ . Calculez $\det(\vec{u},\vec{v})$ .
f) $A(-2\,;7)$ et $B(4\,;-2)$ . Calculez le coefficient directeur de la droite $(AB)$ .
g) $A(-1\,;3)$ , $B(4\,;5)$ et $C(7\,;-2)$ . Calculez les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
h) $A(3\,;-4)$ et $B(-6\,;5)$ . Calculez les coordonnées du point $M$ tel que $\vec{AM}=-\frac{1}{3}\vec{AB}$ .
i) $\vec{u}(2k+1\,;-3)$ et $\vec{v}(5\,;6)$ , où $k$ est un réel. Calculez la valeur de $k$ pour laquelle $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
j) $A(-5\,;2)$ et $B(3\,;6)$ . Calculez l'ordonnée à l'origine de la droite $(AB)$ .

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a)

Abscisse de

\vec{AB}

Ordonnée de

\vec{AB}

b)

x_{I}

y_{I}

c)

Abscisse

Ordonnée

d)

GH^{2}

e)

Déterminant

f)

Coefficient directeur

g)

x_{D}

y_{D}

h)

x_{M}

y_{M}

i)

k

j)

Ordonnée à l'origine

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{AB}(-7\,;9)$
b) $I\left(-1\,;-\frac{5}{2}\right)$
c) $3\vec{u}-2\vec{v}(-16\,;19)$
d) $GH^{2}=49+9=58$
e) $\det(\vec{u},\vec{v})=18-20=-2$
f) $m=\frac{-9}{6}=-\frac{3}{2}$
g) $\vec{AD}=\vec{BC}(3\,;-7)$ ; $D(2\,;-4)$
h) $-\frac{1}{3}\vec{AB}(3\,;-3)$ ; $M(6\,;-7)$
i) $12k+21=0$ ; $k=-\frac{7}{4}$
j) $y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$ ; $p=\frac{9}{2}$

Le geste qui décide de tout : écrire la formule AVANT de remplacer, avec l'ordre des points. Un vecteur, c'est l'arrivée moins le départ ; un parallélogramme $ABCD$ se lit dans l'ordre des lettres, $\vec{AD}=\vec{BC}$ ; et chaque nombre négatif se remplace entre parenthèses.

a)

$\vec{AB}(-2-5\,;6-(-3))$ , soit $\vec{AB}(-7\,;9)$ . Piège : calculer $x_{A}-x_{B}$ , ce qui donne le vecteur opposé $(7\,;-9)$ .

b)

$x_{I}=\frac{-5+3}{2}=-1$ et $y_{I}=\frac{2+(-7)}{2}=-\frac{5}{2}$ , donc $I\left(-1\,;-\frac{5}{2}\right)$ . Piège : la DIFFÉRENCE des coordonnées divisée par $2$ , qui donne $(4\,;-4{,}5)$ et n'est pas un point du segment.

c)

$3\vec{u}(-12\,;9)$ et $2\vec{v}(4\,;-10)$ , donc $3\vec{u}-2\vec{v}(-12-4\,;9-(-10))=(-16\,;19)$ . Piège : $9-10=-1$ en oubliant que $2\vec{v}$ a une ordonnée négative.

d)

$GH^{2}=(4-(-3))^{2}+(1-(-2))^{2}=7^{2}+3^{2}=49+9=58$ , donc $GH=\sqrt{58}$ . Piège : $(4-3)^{2}+(1-2)^{2}=2$ , les signes des coordonnées de $G$ perdus.

e)

$\det(\vec{u},\vec{v})=6\times 3-(-4)\times(-5)=18-20=-2$ . Le déterminant n'est pas nul : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Piège : $-(-4)\times(-5)$ vaut $-20$ , pas $+20$ .

f)

$m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{-2-7}{4-(-2)}=\frac{-9}{6}=-\frac{3}{2}$ . Piège : le quotient inversé $\frac{6}{-9}$ , ou deux soustractions faites dans des ordres différents.

g)

$ABCD$ parallélogramme équivaut à $\vec{AD}=\vec{BC}$ . Or $\vec{BC}(7-4\,;-2-5)=(3\,;-7)$ , donc $D(-1+3\,;3-7)=(2\,;-4)$ . Contrôle par les diagonales : le milieu de $[AC]$ est $(3\,;0{,}5)$ , celui de $[BD]$ aussi. Piège : écrire $\vec{AB}=\vec{CD}$ , qui donne $D(12\,;0)$ et le quadrilatère croisé.

h)

$\vec{AB}(-9\,;9)$ , donc $-\frac{1}{3}\vec{AB}(3\,;-3)$ . On ajoute ce vecteur aux coordonnées de $A$ : $M(3+3\,;-4-3)=(6\,;-7)$ . Le coefficient négatif envoie $M$ du côté opposé à $B$ . Piège : ajouter le vecteur aux coordonnées de $B$ , ou oublier le signe moins et trouver $(0\,;-1)$ .

i)

$\det(\vec{u},\vec{v})=(2k+1)\times 6-(-3)\times 5=12k+6+15=12k+21$ . Colinéaires si et seulement si $12k+21=0$ , soit $k=-\frac{21}{12}=-\frac{7}{4}$ . Vérification : $\vec{u}\left(-\frac{5}{2}\,;-3\right)=-\frac{1}{2}\vec{v}$ . Piège : $-(-3)\times 5=-15$ , qui donne $k=\frac{3}{4}$ .

j)

Coefficient directeur : $m=\frac{6-2}{3-(-5)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ . Équation $y=\frac{1}{2}x+p$ ; on écrit qu'elle passe par $B$ : $6=\frac{3}{2}+p$ , donc $p=\frac{9}{2}$ . L'équation réduite est $y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$ . Piège : prendre $p=2$ , l'ordonnée de $A$ , qui n'est pas sur l'axe des ordonnées.

Contrôle : on refait le chemin inverse. En a), $x_{A}+(-7)=-2=x_{B}$ ; en b), $I$ est bien le milieu si $\vec{EI}=\vec{IF}=\left(4\,;-\frac{9}{2}\right)$ ; en j), $A$ vérifie aussi l'équation, $\frac{1}{2}\times(-5)+\frac{9}{2}=2$ . Un point qui ne revient pas signale presque toujours un signe perdu en remplaçant une coordonnée négative.

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Exercice 1 : Coordonnées et égalité de vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On donne $A(-2,\ 1)$ , $B(4,\ 3)$ , $C(1,\ -2)$ et $D(7,\ 0)$ .

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont représentés ci-dessous.

a) Lisez sur la figure les coordonnées de $\vec{AB}$ et de $\vec{CD}$ , puis confirmez-les par le calcul à partir des coordonnées des points.
b) Calculez de la même façon les coordonnées de $\vec{AC}$ et de $\vec{BD}$ .
c) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ABDC$ ? Justifiez, et vérifiez que la figure est cohérente avec votre réponse.
d) Calculez les coordonnées du milieu de $[AD]$ et du milieu de $[BC]$ . Que constatez-vous, et pourquoi était-ce prévisible ?
e) Déterminez le point $P$ tel que $ABCP$ soit un parallélogramme. Pourquoi n'est-ce pas le point $D$ ?

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a)

\vec{AB}

: abscisse

\vec{AB}

: ordonnée

\vec{CD}

: abscisse

\vec{CD}

: ordonnée

b)

\vec{AC}

: abscisse

\vec{AC}

: ordonnée

\vec{BD}

: abscisse

\vec{BD}

: ordonnée

c)

Conclusion

d)

Milieu : abscisse

Milieu : ordonnée

Les deux milieux sont

e)

x_P

y_P

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{AB}(6\ ;\ 2)$ et $\vec{CD}(6\ ;\ 2)$
b) $\vec{AC}(3\ ;\ -3)$ et $\vec{BD}(3\ ;\ -3)$
c) $ABDC$ est un parallélogramme
d) Milieux confondus en $(2{,}5\ ;\ 0{,}5)$ : diagonales du parallélogramme
e) $P(-5\ ;\ -4)$

a)

Sur la figure, on part de $A$ et on compte $6$ vers la droite puis $2$ vers le haut pour arriver en $B$ : $\vec{AB}(6\ ;\ 2)$ . De $C$ à $D$ , exactement les mêmes déplacements : $\vec{CD}(6\ ;\ 2)$ . Le calcul confirme, avec la formule coordonnées de l'arrivée moins coordonnées du départ : $\vec{AB}(4-(-2)\ ;\ 3-1)=(6\ ;\ 2)$ ✓ et $\vec{CD}(7-1\ ;\ 0-(-2))=(6\ ;\ 2)$ ✓. Attention au sens de la soustraction : $\vec{BA}$ aurait donné $(-6\ ;\ -2)$ , l'opposé.

b)

$\vec{AC}(1-(-2)\ ;\ -2-1)=(3\ ;\ -3)$ et $\vec{BD}(7-4\ ;\ 0-3)=(3\ ;\ -3)$ . Le double signe du premier calcul est le piège habituel : $1-(-2)$ vaut $3$ et non $-1$ .

c)

Comme $\vec{AB}=\vec{CD}$ , le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. On le confirme par l'autre paire, $\vec{AC}=\vec{BD}$ . Sur la figure, les deux flèches ont bien la même longueur, la même direction et le même sens, ce qui est exactement la traduction visuelle de l'égalité de deux vecteurs. Attention à l'ordre des sommets, qui est la difficulté réelle de la question : l'égalité $\vec{AB}=\vec{CD}$ fait de $[AB]$ et $[CD]$ deux côtés opposés, donc le quadrilatère se lit en tournant $A$ , $B$ , $D$ , $C$ , et non $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Écrire $ABCD$ donnerait un quadrilatère croisé.

d)

Milieu de $[AD]$ : $\left(\frac{-2+7}{2}\ ;\ \frac{1+0}{2}\right)=(2{,}5\ ;\ 0{,}5)$ . Milieu de $[BC]$ : $\left(\frac{4+1}{2}\ ;\ \frac{3+(-2)}{2}\right)=(2{,}5\ ;\ 0{,}5)$ . Les deux milieux sont CONFONDUS, et c'était prévisible : $[AD]$ et $[BC]$ sont les diagonales du parallélogramme $ABDC$ , et les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Cette coïncidence de milieux est d'ailleurs un critère à part entière, souvent plus rapide que l'égalité vectorielle : pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de vérifier que ses deux diagonales ont le même milieu.

e)

Le point cherché vérifie $\vec{AB}=\vec{PC}$ , où $P$ est le quatrième sommet, ce qui donne $(1-x_P\ ;\ -2-y_P)=(6\ ;\ 2)$ , donc $x_P=-5$ et $y_P=-4$ , soit $P(-5\ ;\ -4)$ . Ce point est différent de $D(7\ ;\ 0)$ , et il n'y a là aucune contradiction : à partir de trois points, il existe TROIS quatrièmes points formant un parallélogramme, selon celui des trois côtés que l'on choisit comme diagonale. Le nommer correctement suppose donc toujours de préciser l'ordre des sommets.

Exercice 2 : Relation de Chasles et calcul vectoriel

$A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont quatre points quelconques du plan.

La relation de Chasles se lit comme un trajet : on va de $A$ à $C$ en passant par $B$ . Toute la technique consiste à faire apparaître, ou disparaître, un point intermédiaire.

a) Simplifiez $\vec{AB}+\vec{BC}$ .
b) Simplifiez $\vec{AB}-\vec{AC}$ .
c) Simplifiez $\vec{AB}+\vec{CD}-\vec{CB}$ .
d) On donne $\vec{u}(3\ ;\ -1)$ et $\vec{v}(-2\ ;\ 5)$ . Calculez les coordonnées de $2\vec{u}-3\vec{v}$ , puis dites si $\vec{u}$ et $2\vec{u}-3\vec{v}$ sont colinéaires.
e) Simplifiez $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$ et interprétez le résultat.

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a)

\vec{AB}+\vec{BC}

b)

\vec{AB}-\vec{AC}

c)

\vec{AB}+\vec{CD}-\vec{CB}

d)

Abscisse de

2\vec{u}-3\vec{v}

Ordonnée

Colinéaire à

\vec{u}

?

e)

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{AC}$
b) $\vec{CB}$
c) $\vec{AD}$
d) $(12\ ;\ -17)$ ; déterminant $-39$ : non colinéaires
e) $\vec{0}$ : une chaîne fermée

a)

$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ par la relation de Chasles : le point $B$ est intermédiaire et disparaît. Repère infaillible : dans une somme, la lettre d'arrivée du premier vecteur doit être la lettre de départ du second, et c'est elle qui s'efface.

b)

Ici les deux vecteurs partent du même point, il n'y a donc rien à enchaîner directement. On transforme la soustraction en addition de l'opposé : $-\vec{AC}=\vec{CA}$ , d'où $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$ . Règle utile à mémoriser sous cette forme : $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$ , une différence de deux vecteurs de même origine relie leurs extrémités, en partant de celui qu'on retranche.

c)

On commence par retourner le vecteur soustrait : $-\vec{CB}=\vec{BC}$ . L'expression devient $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}$ , une chaîne complète où les points intermédiaires $B$ et $C$ s'effacent l'un après l'autre : $\vec{AC}+\vec{CD}=\vec{AD}$ . La méthode générale consiste toujours à tout écrire en additions, puis à ordonner la chaîne.

d)

$2\vec{u}(6\ ;\ -2)$ et $3\vec{v}(-6\ ;\ 15)$ , donc $2\vec{u}-3\vec{v}$ a pour coordonnées $(6-(-6)\ ;\ -2-15)=(12\ ;\ -17)$ . Test de colinéarité par le déterminant, avec $\vec{u}(3\ ;\ -1)$ : $3\times(-17)-(-1)\times 12=-51+12=-39$ , non nul, donc les deux vecteurs ne sont PAS colinéaires. Remarque de méthode : $2\vec{u}$ seul serait évidemment colinéaire à $\vec{u}$ , c'est l'ajout de $-3\vec{v}$ , non colinéaire à $\vec{u}$ , qui fait sortir de la droite.

e)

$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{AC}+\vec{CA}=\vec{AA}=\vec{0}$ . Interprétation : en partant de $A$ , en passant par $B$ puis par $C$ et en revenant en $A$ , le déplacement total est nul. Toute chaîne FERMÉE de vecteurs, quel que soit le nombre de points et quelle que soit leur position, a pour somme le vecteur nul. C'est une vérification très utile en fin d'exercice : si une somme de vecteurs qui boucle ne donne pas $\vec{0}$ , il y a une erreur de sens quelque part.

Exercice 3 : Colinéarité et alignement

Les quatre vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ et $\vec{t}$ sont représentés ci-dessous dans un repère orthonormé, tous d'origine $O$ .

Pour les questions b) à e), utilisez le critère du déterminant et justifiez chaque réponse par un calcul.

a) Lisez sur la figure les coordonnées des quatre vecteurs. Sans aucun calcul, quelle paire semble colinéaire, et pourquoi ?
b) Confirmez que $\vec{u}(3,\ -2)$ et $\vec{v}(-9,\ 6)$ sont colinéaires, et donnez le réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ .
c) $\vec{w}(4,\ 5)$ et $\vec{t}(6,\ 7)$ sont-ils colinéaires ? La figure permettait-elle de trancher ?
d) Les points $E(1,\ 2)$ , $F(4,\ -1)$ et $G(-2,\ 5)$ sont-ils alignés ?
e) Les points $H(0,\ 0)$ , $I(2,\ 3)$ et $J(4,\ 5)$ sont-ils alignés ? Placez-les au brouillon avant de calculer : que suggère le dessin, et que dit le calcul ?

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Réponses

a) $\vec{u}$ et $\vec{v}$ semblent colinéaires
b) Déterminant $0$ ; $\vec{v}=-3\vec{u}$
c) Déterminant $-2$ : non colinéaires
d) Déterminant $0$ : $E$ , $F$ , $G$ alignés
e) Déterminant $-2$ : non alignés

a)

On lit $\vec{u}(3\ ;\ -2)$ , $\vec{v}(-9\ ;\ 6)$ , $\vec{w}(4\ ;\ 5)$ et $\vec{t}(6\ ;\ 7)$ . La paire $\vec{u}$ et $\vec{v}$ saute aux yeux : les deux flèches sont portées par une même droite passant par l'origine, en sens opposés, $\vec{v}$ étant trois fois plus longue ( $\vec{v}=-3\vec{u}$ ). C'est la traduction visuelle de la colinéarité, deux vecteurs colinéaires ayant la même DIRECTION, le sens et la longueur pouvant différer.

b)

Déterminant : $3\times 6-(-2)\times(-9)=18-18=0$ , donc ils sont colinéaires. Pour trouver $k$ , on compare coordonnée par coordonnée : $-9=k\times 3$ donne $k=-3$ , et on vérifie sur la seconde, $6=-3\times(-2)$ ✓. Donc $\vec{v}=-3\vec{u}$ . Le signe négatif traduit le sens opposé et le $3$ traduit le rapport des longueurs, exactement ce qui était lu sur la figure. Vérifier $k$ sur les DEUX coordonnées est indispensable : c'est cette double vérification qui distingue la colinéarité d'une simple ressemblance.

c)

Déterminant : $4\times 7-5\times 6=28-30=-2$ , non nul, donc $\vec{w}$ et $\vec{t}$ ne sont pas colinéaires. La figure ne permettait pas de trancher : les deux flèches ont des directions très proches, $\frac{5}{4}=1{,}25$ contre $\frac{7}{6}\approx 1{,}167$ , et paraissent presque portées par la même droite. C'est exactement la situation où le calcul devient indispensable, et où un élève qui se fie au dessin se trompe. Retenir la hiérarchie : le dessin suggère, le déterminant tranche.

d)

$\vec{EF}(4-1\ ;\ -1-2)=(3\ ;\ -3)$ et $\vec{EG}(-2-1\ ;\ 5-2)=(-3\ ;\ 3)$ . Déterminant : $3\times 3-(-3)\times(-3)=9-9=0$ , donc les vecteurs sont colinéaires et les trois points sont ALIGNÉS. Point de méthode à rédiger correctement : pour tester un alignement, on construit deux vecteurs à partir d'un MÊME point, ici $E$ , sans quoi la conclusion ne porte plus sur les trois points.

e)

$\vec{HI}(2\ ;\ 3)$ et $\vec{HJ}(4\ ;\ 5)$ . Déterminant : $2\times 5-3\times 4=10-12=-2$ , non nul, donc les points ne sont PAS alignés. Le dessin, lui, suggère très fortement qu'ils le sont, et c'est tout l'intérêt de la question. La figure du corrigé prolonge la droite $(HI)$ : elle passe par le point $(4\ ;\ 6)$ , soit une unité au-dessus de $J$ . L'origine de l'illusion est arithmétique : on a bien $4=2\times 2$ , mais $5\neq 2\times 3$ , et il faut que le rapport soit LE MÊME sur les deux coordonnées. À l'échelle du dessin, une unité d'écart sur une longueur de six passe inaperçue, alors que le déterminant la détecte sans hésiter.

Exercice 4 : Milieux, distances et parallélogrammes

Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2,\ 1)$ , $B(4,\ 3)$ et $C(1,\ -2)$ .

a) Calculez les distances $AB$ et $AC$ , en valeur exacte simplifiée.
b) Déterminez les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
c) Déterminez les coordonnées du point $E$ tel que $ABEC$ soit un parallélogramme.
d) Les points $D$ et $E$ sont différents. Expliquez pourquoi l'ordre des lettres change la réponse.
e) Vérifiez la réponse b) en montrant que les diagonales de $ABCD$ ont le même milieu.

Voir la correction

Réponses

a) $AB=2\sqrt{10}$ , $AC=3\sqrt{2}$
b) $D(-5\ ;\ -4)$
c) $E(7\ ;\ 0)$
d) L'ordre des lettres fixe les côtés opposés
e) Milieux de $[AC]$ et $[BD]$ : $(-0{,}5\ ;\ -0{,}5)$

a)

$\vec{AB}(6\ ;\ 2)$ donc $AB=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$ . On simplifie en isolant le plus grand carré parfait facteur : $40=4\times 10$ , donc $AB=2\sqrt{10}\approx 6{,}32$ . De même $\vec{AC}(3\ ;\ -3)$ donne $AC=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4{,}24$ . Noter que les signes disparaissent, les coordonnées étant élevées au carré : une distance est toujours positive.

b)

$ABCD$ est un parallélogramme lorsque $\vec{AB}=\vec{DC}$ , les côtés $[AB]$ et $[DC]$ étant opposés dans cet ordre de lettres. Cela s'écrit $(1-x_D\ ;\ -2-y_D)=(6\ ;\ 2)$ , d'où $1-x_D=6$ donc $x_D=-5$ , et $-2-y_D=2$ donc $y_D=-4$ : $D(-5\ ;\ -4)$ . Vérification par les diagonales, qui doivent avoir le même milieu : milieu de $[AC]=(-0{,}5\ ;\ -0{,}5)$ et milieu de $[BD]=(-0{,}5\ ;\ -0{,}5)$ ✓.

c)

Cette fois l'ordre des lettres $ABEC$ fait de $[AB]$ et $[CE]$ les côtés opposés, d'où $\vec{AB}=\vec{CE}$ , soit $(x_E-1\ ;\ y_E+2)=(6\ ;\ 2)$ et donc $E(7\ ;\ 0)$ . Le calcul est le même, seule l'équation de départ change.

d)

Dans un parallélogramme, les lettres se lisent en TOURNANT autour de la figure, donc les côtés opposés sont donnés par les paires de lettres consécutives dans cet ordre cyclique. Pour $ABCD$ , les côtés sont $[AB]$ et $[CD]$ , ce qui impose $\vec{AB}=\vec{DC}$ ; pour $ABEC$ , ce sont $[AB]$ et $[EC]$ , d'où $\vec{AB}=\vec{CE}$ . Ce ne sont pas les mêmes couples de côtés parallèles, donc le quatrième point n'est pas le même. La leçon générale, déjà rencontrée à l'exercice 1 : trois points donnent naissance à trois parallélogrammes distincts, et seul l'ordre des lettres dit lequel est demandé.

e)

Les diagonales de $ABCD$ sont $[AC]$ et $[BD]$ . Milieu de $[AC]$ : $\left(\frac{-2+1}{2}\ ;\ \frac{1+(-2)}{2}\right)=(-0{,}5\ ;\ -0{,}5)$ . Milieu de $[BD]$ : $\left(\frac{4+(-5)}{2}\ ;\ \frac{3+(-4)}{2}\right)=(-0{,}5\ ;\ -0{,}5)$ . Les deux milieux coïncident ✓ : les diagonales se coupent en leur milieu, donc $ABCD$ est bien un parallélogramme et la réponse b) est confirmée par une méthode indépendante du calcul vectoriel. Pour mémoire, trois points $A$ , $B$ , $C$ donnent trois parallélogrammes, selon le segment choisi comme DIAGONALE : avec $[AC]$ comme diagonale on obtient $D(-5\ ;\ -4)$ , avec $[BC]$ on obtient $E(7\ ;\ 0)$ , et avec $[AB]$ le point $(1\ ;\ 6)$ , puisque le quatrième sommet vaut alors $A+B-C$ coordonnée par coordonnée. L'ordre des lettres n'est pas un détail de notation : il désigne la diagonale, donc la figure.

Exercice 5 : Équations de droites

On reprend $A(-2,\ 1)$ et $B(4,\ 3)$ , et on considère la droite $d$ d'équation $2x+y-4=0$ .

a) Donnez un vecteur directeur de la droite $(AB)$ , puis une équation cartésienne de $(AB)$ .
b) Déduisez-en l'équation réduite de $(AB)$ .
c) Donnez un vecteur directeur de $d$ et son équation réduite.
d) Les droites $(AB)$ et $d$ sont-elles parallèles ? Justifiez par un déterminant.
e) Déterminez leur point d'intersection et vérifiez-le dans les deux équations.

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{u}(3\ ;\ 1)$ ; $x-3y+5=0$
b) $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$
c) $\vec{v}(-1\ ;\ 2)$ ; $y=-2x+4$
d) Déterminant $7$ : sécantes
e) Intersection $(1\ ;\ 2)$

a)

$\vec{AB}(6\ ;\ 2)$ est un vecteur directeur de $(AB)$ , et tout vecteur colinéaire non nul en est un aussi : on préfère $\vec{u}(3\ ;\ 1)$ , obtenu en divisant par $2$ , car des nombres plus petits allègent tous les calculs suivants. Une équation cartésienne s'obtient en écrivant que $M(x\ ;\ y)$ appartient à la droite si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul : $1\times(x+2)-3\times(y-1)=0$ , soit $x+2-3y+3=0$ , donc $x-3y+5=0$ . Vérification avec $B$ , indispensable : $4-3\times 3+5=4-9+5=0$ ✓.

b)

On isole $y$ : $x-3y+5=0$ donne $3y=x+5$ , donc $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ . Le coefficient directeur $\frac{1}{3}$ se retrouve directement sur le vecteur directeur $\vec{u}(3\ ;\ 1)$ , comme le quotient $\frac{1}{3}$ de ses deux coordonnées : c'est un contrôle immédiat entre les deux formes.

c)

Pour une équation cartésienne $ax+by+c=0$ , un vecteur directeur est $(-b\ ;\ a)$ . Ici $a=2$ et $b=1$ , donc $\vec{v}(-1\ ;\ 2)$ convient. L'équation réduite s'obtient en isolant $y$ : $y=-2x+4$ . Contrôle par le même quotient : $\frac{2}{-1}=-2$ ✓, qui est bien le coefficient directeur.

d)

Déterminant de $\vec{u}(3\ ;\ 1)$ et $\vec{v}(-1\ ;\ 2)$ : $3\times 2-1\times(-1)=6+1=7$ , non nul. Les deux droites ne sont donc pas parallèles : elles sont SÉCANTES, et elles se coupent en un unique point. On peut aussi le voir sur les coefficients directeurs, $\frac{1}{3}$ contre $-2$ , qui diffèrent, mais le déterminant est la méthode générale, la seule qui fonctionne encore quand une droite est verticale et n'a pas de coefficient directeur.

e)

On résout le système formé par les deux équations. De $d$ on tire $y=4-2x$ , que l'on reporte dans $(AB)$ : $x-3(4-2x)+5=x-12+6x+5=7x-7=0$ , donc $x=1$ , puis $y=4-2=2$ . Le point d'intersection est $(1\ ;\ 2)$ . Double vérification, dans chacune des deux équations : $1-3\times 2+5=0$ ✓ et $2\times 1+2-4=0$ ✓. L'existence d'un point unique confirme la conclusion de la question d), et cette cohérence entre le déterminant et la résolution effective du système est exactement ce que l'exercice 8 exploitera avec trois droites.

Exercice 6 : Le théorème de Varignon

Dans un repère orthonormé, on considère le quadrilatère $ABCD$ avec $A(-4,\ 1)$ , $B(2,\ 5)$ , $C(6,\ -1)$ et $D(0,\ -5)$ .

On note $I$ , $J$ , $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ et $[DA]$ .

La figure ci-dessous représente $ABCD$ en trait plein et le quadrilatère $IJKL$ des milieux en pointillés.

a) Calculez les coordonnées de $I$ , $J$ , $K$ et $L$ .
b) Démontrez que $IJKL$ est un parallélogramme.
c) Déterminez la nature du quadrilatère $ABCD$ lui-même.
d) Le résultat de la question b) tient-il pour un quadrilatère quelconque ? Démontrez-le en utilisant la droite des milieux dans les triangles $ABC$ et $ACD$ .

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Réponses

a) $I(-1\ ;\ 3)$ , $J(4\ ;\ 2)$ , $K(3\ ;\ -3)$ , $L(-2\ ;\ -2)$
b) $\vec{IJ}=\vec{LK}=(5\ ;\ -1)$ : parallélogramme
c) $ABCD$ est un carré
d) Oui : $\vec{IJ}=\vec{LK}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ (théorème de Varignon)

a)

On applique la formule du milieu, moyenne des coordonnées, à chaque côté : $I\left(\frac{-4+2}{2}\ ;\ \frac{1+5}{2}\right)=(-1\ ;\ 3)$ , $J\left(\frac{2+6}{2}\ ;\ \frac{5-1}{2}\right)=(4\ ;\ 2)$ , $K\left(\frac{6+0}{2}\ ;\ \frac{-1-5}{2}\right)=(3\ ;\ -3)$ et $L\left(\frac{0-4}{2}\ ;\ \frac{-5+1}{2}\right)=(-2\ ;\ -2)$ .

b)

$\vec{IJ}(4-(-1)\ ;\ 2-3)=(5\ ;\ -1)$ et $\vec{LK}(3-(-2)\ ;\ -3-(-2))=(5\ ;\ -1)$ . Comme $\vec{IJ}=\vec{LK}$ , le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres, comme aux exercices 1 et 4 : on compare $\vec{IJ}$ à $\vec{LK}$ , et non à $\vec{KL}$ , pour que les deux côtés opposés soient parcourus dans le même sens, et non dans le sens du contour.

c)

On teste la même condition sur $ABCD$ : $\vec{AB}(2-(-4)\ ;\ 5-1)=(6\ ;\ 4)$ et $\vec{DC}(6-0\ ;\ -1-(-5))=(6\ ;\ 4)$ . Ces deux vecteurs sont égaux, donc $ABCD$ est lui aussi un parallélogramme. On peut préciser sa nature : $AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$ et $BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$ , deux côtés consécutifs égaux, donc c'est un LOSANGE. Et les diagonales valent $AC=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}$ et $BD=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}$ , égales, donc c'est aussi un rectangle : $ABCD$ est un carré, ce que l'exercice 7 retrouvera par une autre voie.

d)

Oui, et c'est le théorème de Varignon : le quadrilatère des milieux est un parallélogramme pour TOUT quadrilatère de départ, aussi irrégulier soit-il. Démonstration. Dans le triangle $ABC$ , les points $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$ , donc la droite des milieux donne $\vec{IJ}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ . Dans le triangle $ACD$ , les points $L$ et $K$ sont les milieux de $[AD]$ et $[DC]$ , donc de même $\vec{LK}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ . Les deux vecteurs sont égaux à la même quantité, donc égaux entre eux : $\vec{IJ}=\vec{LK}$ , et $IJKL$ est un parallélogramme. Le point remarquable de cette démonstration est qu'elle ne fait intervenir AUCUNE coordonnée et aucune hypothèse sur $ABCD$ : c'est la diagonale $[AC]$ qui sert d'intermédiaire commun aux deux triangles, et c'est elle qui explique le résultat. On vérifie d'ailleurs sur l'exemple : $\vec{AC}(10\ ;\ -2)$ , dont la moitié vaut $(5\ ;\ -1)$ , exactement $\vec{IJ}$ ✓.

Exercice 7 : Parallélogramme et centre

Dans un repère orthonormé, on donne $A(-4,\ 1)$ , $B(2,\ 5)$ et $C(6,\ -1)$ .

a) Déterminez les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
b) Calculez les coordonnées du centre $\Omega$ de ce parallélogramme de deux façons différentes.
c) Le parallélogramme $ABCD$ est-il un losange ? Est-il un rectangle ? Concluez précisément sur sa nature.
d) Retrouvez la conclusion de la question c) autrement, en appliquant la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ .
e) Déterminez le symétrique de $A$ par rapport à $\Omega$ . Que constatez-vous ?

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Réponses

a) $D(0\ ;\ -5)$
b) $\Omega(1\ ;\ 0)$
c) Losange et rectangle : carré
d) $AB^{2}+BC^{2}=104=AC^{2}$ : rectangle en $B$
e) $C(6\ ;\ -1)$

a)

$ABCD$ est un parallélogramme lorsque $\vec{AB}=\vec{DC}$ . Avec $\vec{AB}(6\ ;\ 4)$ , cela donne $(6-x_D\ ;\ -1-y_D)=(6\ ;\ 4)$ , donc $x_D=0$ et $y_D=-5$ : $D(0\ ;\ -5)$ .

b)

Le centre d'un parallélogramme est le point d'intersection des diagonales, qui est le milieu de chacune d'elles. Première façon, milieu de $[AC]$ : $\left(\frac{-4+6}{2}\ ;\ \frac{1-1}{2}\right)=(1\ ;\ 0)$ . Seconde façon, milieu de $[BD]$ : $\left(\frac{2+0}{2}\ ;\ \frac{5-5}{2}\right)=(1\ ;\ 0)$ . Les deux calculs donnent bien $\Omega(1\ ;\ 0)$ ✓, et cette double lecture est le contrôle standard de toute la question a) : si les deux milieux différaient, c'est que $D$ serait faux.

c)

On compare deux côtés CONSÉCUTIFS : $AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$ et $BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$ . Ils sont égaux, donc le parallélogramme est un LOSANGE. On compare ensuite les deux DIAGONALES : $AC=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}$ et $BD=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}$ . Elles sont égales, donc le parallélogramme est aussi un RECTANGLE. Un parallélogramme à la fois losange et rectangle est un CARRÉ : $ABCD$ est un carré. Attention à ne pas comparer $AB$ et $CD$ , qui sont opposés et donc automatiquement égaux dans tout parallélogramme : cela ne prouverait rien.

d)

Dans le triangle $ABC$ : $AB^{2}+BC^{2}=52+52=104$ et $AC^{2}=104$ . L'égalité de Pythagore est vérifiée, donc par sa RÉCIPROQUE le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ . Le losange $ABCD$ possède donc un angle droit, ce qui suffit à en faire un carré. Cette seconde voie est plus économique que la première : elle n'utilise qu'une seule diagonale, au carré, et travailler sur les CARRÉS des longueurs évite tout radical. C'est en général la rédaction la plus rapide pour déterminer la nature d'un quadrilatère.

e)

Le symétrique de $A$ par rapport à $\Omega$ est le point $A'$ tel que $\Omega$ soit le milieu de $[AA']$ , donc $x_{A'}=2\times 1-(-4)=6$ et $y_{A'}=2\times 0-1=-1$ : c'est le point $C$ . Ce n'est pas un hasard : le centre d'un parallélogramme est le milieu de la diagonale $[AC]$ , donc $A$ et $C$ sont par construction symétriques par rapport à lui, et de même pour $B$ et $D$ . On dit que $\Omega$ est le centre de symétrie du parallélogramme, et cette propriété caractérise les parallélogrammes parmi les quadrilatères.

Exercice 8 : Position relative de trois droites

On considère les droites $d_1 : x-3y+5=0$ , $d_2 : 2x+y-4=0$ et $d_3 : 2x-6y+1=0$ .

a) Déterminez les coordonnées du point d'intersection de $d_1$ et $d_2$ .
b) Étudiez la position relative de $d_1$ et $d_3$ .
c) Le point $R(1\ ;\ 2)$ appartient-il à $d_3$ ?
d) Existe-t-il un point appartenant simultanément aux trois droites ? Justifiez sans calcul supplémentaire.
e) Comment faudrait-il modifier la constante de $d_3$ pour que les trois droites soient concourantes ? Commentez le résultat.

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Réponses

a) $R(1\ ;\ 2)$
b) Strictement parallèles
c) Non ( $-9\neq 0$ )
d) Non
e) $c=10$ : $d_3$ confondue avec $d_1$ , donc jamais concourantes en restant strictement parallèle

a)

On résout le système. De $d_2$ on tire $y=4-2x$ , que l'on reporte dans $d_1$ : $x-3(4-2x)+5=x-12+6x+5=7x-7=0$ , donc $x=1$ , puis $y=4-2\times 1=2$ . Le point d'intersection est $R(1\ ;\ 2)$ . Vérification dans les deux équations : $1-6+5=0$ ✓ et $2+2-4=0$ ✓.

b)

$d_1$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(3\ ;\ 1)$ , lu comme $(-b\ ;\ a)$ à partir de $x-3y+5=0$ , et $d_3$ a pour vecteur directeur $\vec{w}(6\ ;\ 2)$ . Déterminant : $3\times 2-1\times 6=0$ , donc les droites sont PARALLÈLES. Reste à savoir si elles sont confondues ou strictement parallèles : en multipliant l'équation de $d_1$ par $2$ on obtient $2x-6y+10=0$ , à comparer à $2x-6y+1=0$ . Les premiers membres coïncident mais pas les constantes, $10\neq 1$ : les droites sont donc STRICTEMENT parallèles. Cette seconde étape est obligatoire, un déterminant nul ne distinguant pas les deux cas.

c)

$2\times 1-6\times 2+1=2-12+1=-9$ , qui n'est pas nul : le point $R$ n'appartient pas à $d_3$ . Cohérent avec la question b), puisque $R$ est sur $d_1$ et que $d_1$ et $d_3$ n'ont aucun point commun.

d)

Non, aucun point n'appartient aux trois droites. Le raisonnement se fait en une ligne, sans nouveau calcul : le seul point commun à $d_1$ et $d_2$ est $R$ , établi en a) ; or la question c) montre que $R$ n'est pas sur $d_3$ . Un point commun aux trois devrait en particulier être commun à $d_1$ et $d_2$ , donc être $R$ , ce qui est exclu. Il n'y a pas de triangle pour autant : $d_1$ et $d_3$ sont strictement parallèles, et $d_2$ les coupe en deux points distincts.

e)

Il faut et il suffit que $d_3$ passe par $R(1\ ;\ 2)$ , tout en gardant les mêmes coefficients $2$ et $-6$ pour rester parallèle à $d_1$ . On écrit $2\times 1-6\times 2+c=0$ , soit $2-12+c=0$ , donc $c=10$ . L'équation devient $2x-6y+10=0$ , c'est-à-dire exactement le double de celle de $d_1$ : la droite serait alors CONFONDUE avec $d_1$ . C'est la seule possibilité, et elle est instructive : une droite parallèle à $d_1$ et passant par un point de $d_1$ ne peut être que $d_1$ elle-même. Autrement dit, tant que $d_3$ reste strictement parallèle à $d_1$ , aucun choix de constante ne permet aux trois droites d'être concourantes.

Exercice 9 : La droite des milieux, démontrée vectoriellement

$ABC$ est un triangle quelconque. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ .

Les questions a) à c) se démontrent sans coordonnées, uniquement avec la relation de Chasles.

La figure ci-dessous est un schéma sans repère.

a) Exprimez $\vec{IA}$ en fonction de $\vec{AB}$ , puis $\vec{AJ}$ en fonction de $\vec{AC}$ .
b) En décomposant $\vec{IJ}$ avec la relation de Chasles, démontrez que $\vec{IJ}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ .
c) Quelles deux propriétés géométriques de la droite des milieux ce résultat démontre-t-il d'un seul coup ?
d) Vérifiez le résultat sur l'exemple $A(-4,\ 1)$ , $B(2,\ 5)$ , $C(6,\ -1)$ .
e) La démonstration suppose-t-elle quelque chose sur la forme du triangle ? Que se passe-t-il si $A$ , $B$ et $C$ sont alignés ?

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Réponses

a) $\vec{IA}=-\frac{1}{2}\vec{AB}$ , $\vec{AJ}=\frac{1}{2}\vec{AC}$
b) $\vec{IJ}=\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})=\frac{1}{2}\vec{BC}$
c) $(IJ)\parallel(BC)$ et $IJ=\frac{1}{2}BC$
d) $\vec{IJ}(2\ ;\ -3)=\frac{1}{2}\vec{BC}$
e) Aucune hypothèse, vrai même pour trois points alignés

a)

$I$ est le milieu de $[AB]$ donc $\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AB}$ , d'où en changeant de sens $\vec{IA}=-\frac{1}{2}\vec{AB}$ . De même $J$ est le milieu de $[AC]$ donc $\vec{AJ}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ . Noter que $\vec{IA}$ et $\vec{AI}$ sont opposés : c'est ce changement de signe qui rendra la chaîne de Chasles utilisable.

b)

On insère le point $A$ comme intermédiaire, ce qui est le seul point commun aux deux hypothèses : $\vec{IJ}=\vec{IA}+\vec{AJ}=-\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)$ . Or $\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}$ , en réutilisant la règle établie à l'exercice 2. Donc $\vec{IJ}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ . Le point de méthode central est le choix du point d'insertion : passer par $A$ fait apparaître exactement les deux vecteurs dont on connaît l'expression.

c)

L'égalité $\vec{IJ}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ contient DEUX informations d'un seul coup. D'une part les deux vecteurs sont colinéaires, ce qui signifie que la droite $(IJ)$ est PARALLÈLE à $(BC)$ . D'autre part le coefficient $\frac{1}{2}$ donne l'égalité des longueurs $IJ=\frac{1}{2}BC$ . Ce sont précisément les deux énoncés du théorème de la droite des milieux, vus en Quatrième et démontrés ici en trois lignes. C'est l'intérêt du calcul vectoriel : une seule égalité porte à la fois la direction et la longueur, là où la géométrie classique demandait deux théorèmes distincts.

d)

$I$ milieu de $[AB]$ donne $I\left(\frac{-4+2}{2}\ ;\ \frac{1+5}{2}\right)=(-1\ ;\ 3)$ , et $J$ milieu de $[AC]$ donne $J\left(\frac{-4+6}{2}\ ;\ \frac{1-1}{2}\right)=(1\ ;\ 0)$ . Donc $\vec{IJ}(1-(-1)\ ;\ 0-3)=(2\ ;\ -3)$ . Par ailleurs $\vec{BC}(6-2\ ;\ -1-5)=(4\ ;\ -6)$ , dont la moitié vaut $(2\ ;\ -3)$ ✓. L'égalité est vérifiée sur cet exemple.

e)

Non, la démonstration ne suppose rien du triangle : elle n'utilise que la définition d'un milieu et la relation de Chasles, toutes deux valables pour trois points quelconques. Elle reste même vraie si les points $A$ , $B$ et $C$ sont ALIGNÉS, cas où le triangle est aplati et où la figure perd son sens, mais où l'égalité vectorielle continue de tenir. C'est un avantage décisif du calcul vectoriel sur le raisonnement figural : il ne dépend d'aucun dessin, donc d'aucun cas particulier oublié. Une démonstration lue sur une figure ne couvre que la configuration dessinée, alors que la chaîne de Chasles les couvre toutes à la fois.

Exercice 10 : Recherche d'un paramètre

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Dans chaque question, $k$ désigne un nombre réel. Pensez à chercher toutes les valeurs possibles.

a) Déterminez $k$ pour que les points $A(1,\ 2)$ , $B(4,\ -1)$ et $M(k,\ k+3)$ soient alignés.
b) Déterminez toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles $\vec{u}(k,\ 2)$ et $\vec{v}(8,\ k)$ sont colinéaires.
c) Déterminez toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles $\vec{p}(k-1,\ 3)$ et $\vec{q}(2,\ k)$ sont colinéaires. Vous pourrez utiliser l'égalité $k^{2}-k-6=(k-3)(k+2)$ , à vérifier en développant.
d) Un élève répond $k=4$ à la question b). Qu'a-t-il oublié ?
e) Déterminez toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles $\vec{a}(k,\ 1)$ et $\vec{b}(1,\ k)$ sont colinéaires.

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Réponses

a) $k=0$
b) $k=-4$ ou $k=4$
c) $k=-2$ ou $k=3$
d) Il oublie $k=-4$
e) $k=-1$ ou $k=1$

a)

$\vec{AB}(4-1\ ;\ -1-2)=(3\ ;\ -3)$ et $\vec{AM}(k-1\ ;\ k+3-2)=(k-1\ ;\ k+1)$ . L'alignement équivaut à un déterminant nul : $3(k+1)-(-3)(k-1)=3k+3+3k-3=6k$ . Il s'annule pour $k=0$ , ce qui donne $M(0\ ;\ 3)$ . Vérification : $\vec{AM}(-1\ ;\ 1)$ , et le déterminant avec $(3\ ;\ -3)$ vaut $3\times 1-(-3)\times(-1)=3-3=0$ ✓. Noter que l'équation obtenue est du premier degré, d'où une solution unique : c'est le cas général quand le paramètre n'apparaît qu'au degré 1.

b)

Déterminant : $k\times k-2\times 8=k^{2}-16$ . Il s'annule pour $k^{2}=16$ , c'est-à-dire $k=4$ OU $k=-4$ . Vérification des deux : pour $k=4$ , $\vec{u}(4\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(8\ ;\ 4)$ avec $\vec{v}=2\vec{u}$ ✓ ; pour $k=-4$ , $\vec{u}(-4\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(8\ ;\ -4)$ avec $\vec{v}=-2\vec{u}$ ✓. Les deux valeurs conviennent, avec des sens opposés.

c)

Déterminant : $(k-1)\times k-3\times 2=k^{2}-k-6$ . En développant, $(k-3)(k+2)=k^{2}+2k-3k-6=k^{2}-k-6$ : l'équation-produit $(k-3)(k+2)=0$ donne $k=3$ ou $k=-2$ . Sans cette égalité donnée, il faudrait la forme canonique ou le discriminant, vus en Première spécialité. Vérification pour $k=3$ : $\vec{p}(2\ ;\ 3)$ et $\vec{q}(2\ ;\ 3)$ , effectivement colinéaires et même égaux ✓. Pour $k=-2$ : $\vec{p}(-3\ ;\ 3)$ et $\vec{q}(2\ ;\ -2)$ , et le déterminant vaut $(-3)(-2)-3\times 2=6-6=0$ ✓.

d)

Il a oublié la solution négative. De $k^{2}=16$ on déduit $k=4$ ou $k=-4$ , car deux nombres opposés ont le même carré : une équation du type $k^{2}=a$ avec $a>0$ a TOUJOURS deux solutions opposées. L'erreur vient d'une confusion avec la racine carrée, qui ne désigne, elle, que la valeur positive. Réflexe de contrôle : quand le déterminant fait apparaître un $k^{2}$ , on doit s'attendre à deux valeurs, et n'en trouver qu'une doit alerter.

e)

Avec $\vec{a}(k\ ;\ 1)$ et $\vec{b}(1\ ;\ k)$ , le déterminant vaut $k\times k-1\times 1=k^{2}-1$ , nul pour $k=1$ ou $k=-1$ . Pour $k=1$ les deux vecteurs valent $(1\ ;\ 1)$ et sont égaux ; pour $k=-1$ ils valent $(-1\ ;\ 1)$ et $(1\ ;\ -1)$ , opposés. Dans les deux cas la colinéarité est bien réalisée, et l'on retrouve la structure des questions b) et c) : quand le paramètre figure dans les deux vecteurs, le déterminant est souvent du second degré, et peut alors donner deux valeurs, une seule ou aucune.

Exercice 11 : Points définis par une relation vectorielle

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\ ;\ 2)$ , $B(4\ ;\ 3)$ et $C(2\ ;\ -1)$ .

Pour trouver un point défini par une égalité vectorielle, on se ramène toujours à un vecteur qui PART d'un point connu : $\vec{AM}=\vec{w}$ donne $M$ en ajoutant les coordonnées de $\vec{w}$ à celles de $A$ .

a) Calculez les coordonnées de $\vec{AB}$ et de $\vec{AC}$ .
b) Déterminez les coordonnées du point $M$ tel que $\vec{AM}=2\vec{AB}-\vec{AC}$ .
c) Déterminez les coordonnées du point $N$ tel que $\vec{NA}+\vec{NB}=\vec{0}$ . Que représente $N$ ?
d) Le centre de gravité $G$ du triangle vérifie $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$ . Montrez que $\vec{AG}=\frac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})$ et déduisez-en les coordonnées de $G$ .
e) On note $I$ le milieu de $[BC]$ . Trouvez le réel $k$ tel que $\vec{AG}=k\vec{AI}$ et interprétez.

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Réponses

a) $\vec{AB}(3\ ;\ 1)$ , $\vec{AC}(1\ ;\ -3)$
b) $M(6\ ;\ 7)$
c) $N(2{,}5\ ;\ 2{,}5)$ , milieu de $[AB]$
d) $G\left(\frac{7}{3}\ ;\ \frac{4}{3}\right)$
e) $k=\frac{2}{3}$

a)

$\vec{AB}(4-1\ ;\ 3-2)=(3\ ;\ 1)$ et $\vec{AC}(2-1\ ;\ -1-2)=(1\ ;\ -3)$ .

b)

$2\vec{AB}-\vec{AC}$ a pour coordonnées $(6-1\ ;\ 2-(-3))=(5\ ;\ 5)$ . Comme $\vec{AM}(x_M-1\ ;\ y_M-2)$ , on obtient $x_M-1=5$ et $y_M-2=5$ , donc $M(6\ ;\ 7)$ . L'erreur classique est d'oublier d'ajouter les coordonnées de $A$ et de répondre $M(5\ ;\ 5)$ : ce sont les coordonnées du VECTEUR, pas celles du point.

c)

$\vec{NA}+\vec{NB}=\vec{0}$ signifie $\vec{NA}=-\vec{NB}$ : les deux vecteurs issus de $N$ ont même longueur et des sens opposés, donc $N$ est le MILIEU de $[AB]$ . Par coordonnées : $(1-x)+(4-x)=0$ et $(2-y)+(3-y)=0$ , soit $x=2{,}5$ et $y=2{,}5$ . Donc $N(2{,}5\ ;\ 2{,}5)$ , qui est bien $\left(\frac{1+4}{2}\ ;\ \frac{2+3}{2}\right)$ ✓.

d)

On fait passer chaque vecteur par $A$ avec la relation de Chasles : $\vec{GB}=\vec{GA}+\vec{AB}$ et $\vec{GC}=\vec{GA}+\vec{AC}$ . La somme devient $3\vec{GA}+\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{0}$ , donc $\vec{AG}=\frac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})$ . Coordonnées : $\vec{AB}+\vec{AC}=(4\ ;\ -2)$ , donc $\vec{AG}\left(\frac{4}{3}\ ;\ -\frac{2}{3}\right)$ et $G\left(1+\frac{4}{3}\ ;\ 2-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{7}{3}\ ;\ \frac{4}{3}\right)$ . Contrôle : ce sont les MOYENNES des coordonnées des trois sommets, $\frac{1+4+2}{3}$ et $\frac{2+3-1}{3}$ ✓.

e)

$I\left(\frac{4+2}{2}\ ;\ \frac{3-1}{2}\right)=(3\ ;\ 1)$ et $\vec{AI}(2\ ;\ -1)$ . Or $\vec{AG}\left(\frac{4}{3}\ ;\ -\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}(2\ ;\ -1)$ , donc $k=\frac{2}{3}$ . Interprétation : $G$ est sur la médiane $[AI]$ , aux deux tiers en partant du sommet. C'est la propriété classique du centre de gravité, démontrée ici par le calcul, un approfondissement possible du programme de Seconde.

Le fil : une relation vectorielle se transforme par Chasles jusqu'à isoler un vecteur qui part d'un point connu, puis on lit les coordonnées. Le vecteur et le point ont des coordonnées DIFFÉRENTES tant que le point de départ n'est pas l'origine.

Exercice 12 : Nature d'un triangle par les distances

Dans un repère ORTHONORMÉ, on donne $A(1\ ;\ 1)$ , $B(5\ ;\ 3)$ et $C(3\ ;\ 7)$ .

La formule de distance $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé. Pour comparer des longueurs, on travaille sur leurs CARRÉS, ce qui évite tout radical.

a) Calculez $AB^{2}$ , $BC^{2}$ et $AC^{2}$ .
b) Déterminez la nature précise du triangle $ABC$ .
c) Déterminez le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$ .
d) Déterminez les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Quelle est la nature de $ABCD$ ?
e) Calculez l'aire du triangle $ABC$ .

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Réponses

a) $AB^{2}=20$ , $BC^{2}=20$ , $AC^{2}=40$
b) Rectangle isocèle en $B$
c) Centre $(2\ ;\ 4)$ , rayon $\sqrt{10}\approx 3{,}16$
d) $D(-1\ ;\ 5)$ , $ABCD$ est un carré
e) Aire $10$

a)

$AB^{2}=(5-1)^{2}+(3-1)^{2}=16+4=20$ ; $BC^{2}=(3-5)^{2}+(7-3)^{2}=4+16=20$ ; $AC^{2}=(3-1)^{2}+(7-1)^{2}=4+36=40$ .

b)

$AB^{2}=BC^{2}$ , donc $AB=BC$ : le triangle est ISOCÈLE en $B$ . De plus $AB^{2}+BC^{2}=20+20=40=AC^{2}$ : par la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore, il est rectangle en $B$ . Le triangle $ABC$ est donc rectangle isocèle en $B$ . On cite la réciproque, et non le théorème lui-même : c'est l'égalité des carrés qui prouve l'angle droit.

c)

Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le MILIEU de l'hypoténuse, ici $[AC]$ : $\left(\frac{1+3}{2}\ ;\ \frac{1+7}{2}\right)=(2\ ;\ 4)$ . Le rayon est la moitié de $AC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ , soit $\sqrt{10}\approx 3{,}16$ . Contrôle : la distance du centre à $B$ vaut $\sqrt{(5-2)^{2}+(3-4)^{2}}=\sqrt{10}$ ✓.

d)

$ABCD$ est un parallélogramme lorsque $\vec{AB}=\vec{DC}$ : $(4\ ;\ 2)=(3-x_D\ ;\ 7-y_D)$ , donc $D(-1\ ;\ 5)$ . Ce parallélogramme a un angle droit en $B$ et deux côtés consécutifs égaux, $AB=BC$ : c'est un CARRÉ.

e)

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont base et hauteur : aire $=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{\sqrt{20}\times\sqrt{20}}{2}=\frac{20}{2}=10$ unités d'aire. Aucun radical ne subsiste, parce que $\sqrt{20}\times\sqrt{20}=20$ .

Méthode à retenir : pour la nature d'un triangle, on calcule les trois carrés de longueurs, on compare deux à deux pour l'isocèle, et l'on teste l'égalité de Pythagore avec le plus grand pour l'angle droit.

Exercice 13 : Droites parallèles, droite verticale et appartenance

Une droite non verticale a une équation réduite $y=mx+p$ , où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

a) Déterminez l'équation réduite de la droite $d$ passant par $A(2\ ;\ -1)$ et de coefficient directeur $3$ .
b) Déterminez l'équation réduite de la droite $d'$ parallèle à $d$ et passant par $B(-1\ ;\ 4)$ .
c) Donnez une équation de la droite verticale passant par $C(5\ ;\ 2)$ . A-t-elle une équation réduite de la forme $y=mx+p$ ?
d) Les points $E(4\ ;\ 5)$ et $F(-2\ ;\ -12)$ appartiennent-ils à $d$ ?
e) Déterminez l'équation réduite de la droite $(GH)$ avec $G(1\ ;\ 4)$ et $H(3\ ;\ -2)$ , puis le point d'intersection de $(GH)$ et de $d$ .

Voir la correction

Réponses

a) $y=3x-7$
b) $y=3x+7$
c) $x=5$ , pas d'équation réduite
d) $E\in d$ , $F\notin d$
e) $(GH)$ : $y=-3x+7$ ; intersection $\left(\frac{7}{3}\ ;\ 0\right)$

a)

$d$ a une équation $y=3x+p$ . Elle passe par $A$ , donc $-1=3\times 2+p$ , soit $p=-7$ . Équation : $y=3x-7$ . Contrôle : $3\times 2-7=-1$ ✓.

b)

Parallèle à $d$ : même coefficient directeur, donc $y=3x+p'$ . Avec $B$ : $4=3\times(-1)+p'$ , soit $p'=7$ . Équation : $y=3x+7$ . Seule l'ordonnée à l'origine change ; garder aussi $p=-7$ donnerait la droite $d$ elle-même, qui ne passe pas par $B$ .

c)

Tous les points de cette droite ont pour abscisse $5$ : son équation est $x=5$ . Elle n'a PAS d'équation réduite $y=mx+p$ , car à l'abscisse $5$ correspondent une infinité d'ordonnées : $y$ n'est pas fonction de $x$ , et le « coefficient directeur » demanderait de diviser par $0$ .

d)

Pour $E$ : $3\times 4-7=5$ , qui est bien l'ordonnée de $E$ , donc $E\in d$ . Pour $F$ : $3\times(-2)-7=-13\neq -12$ , donc $F\notin d$ . Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient exactement l'équation.

e)

Coefficient directeur : $m=\frac{y_H-y_G}{x_H-x_G}=\frac{-2-4}{3-1}=-3$ . Avec $G$ : $4=-3\times 1+p$ , donc $p=7$ , et $(GH)$ : $y=-3x+7$ . Contrôle avec $H$ : $-9+7=-2$ ✓. Intersection avec $d$ : $3x-7=-3x+7$ , donc $6x=14$ , $x=\frac{7}{3}$ , et $y=3\times\frac{7}{3}-7=0$ . Le point d'intersection est $\left(\frac{7}{3}\ ;\ 0\right)$ , sur l'axe des abscisses. Les coefficients directeurs $3$ et $-3$ diffèrent, ce qui garantissait l'existence de ce point unique.

Le point de méthode : on trouve toujours $m$ en premier, par la donnée d'un coefficient, d'une parallèle ou de deux points, puis $p$ en écrivant qu'un point connu est sur la droite, et l'on contrôle avec un deuxième point.

Exercice 14 : Problème : un bateau dans le courant

Un bateau quitte le port $O(0\ ;\ 0)$ dans un repère orthonormé gradué en kilomètres. En une heure, ses moteurs le déplacent du vecteur $\vec{u}(4\ ;\ 3)$ . Un courant marin ajoute, en une heure, le déplacement $\vec{c}(1\ ;\ -2)$ .

On admet que ces deux déplacements s'ajoutent et restent constants.

a) Quel est le vecteur déplacement réel du bateau en une heure ?
b) Où se trouve le bateau au bout de $3$ heures ?
c) À quelle distance du port est-il alors ? Arrondissez au centième de kilomètre.
d) Un phare est situé en $P(20\ ;\ 4)$ . Le bateau passera-t-il par le phare en gardant son cap ? Si oui, au bout de combien d'heures ?
e) Le lendemain, avec le même courant, on veut rejoindre en ligne droite l'île $I(12\ ;\ 9)$ en exactement $3$ heures. Quel vecteur $\vec{w}$ les moteurs doivent-ils produire chaque heure ? Quelle est la norme de ce vecteur, au centième ?

Voir la correction

Réponses

a) $(5\ ;\ 1)$
b) $(15\ ;\ 3)$
c) $\sqrt{234}\approx 15{,}30$ km
d) Oui, au bout de $4$ heures
e) $\vec{w}(3\ ;\ 5)$ , norme $\sqrt{34}\approx 5{,}83$

a)

Les deux déplacements s'additionnent : $\vec{u}+\vec{c}=(4+1\ ;\ 3-2)=(5\ ;\ 1)$ . Le bateau avance de $5$ km vers l'est et de $1$ km vers le nord chaque heure.

b)

En trois heures, le déplacement total est $3(\vec{u}+\vec{c})=(15\ ;\ 3)$ . Partant de l'origine, le bateau est au point $(15\ ;\ 3)$ . Sans courant, il serait en $(12\ ;\ 9)$ : le courant l'a fait dériver de $3$ km vers l'est et de $6$ km vers le sud.

c)

Distance au port : $\sqrt{15^{2}+3^{2}}=\sqrt{225+9}=\sqrt{234}\approx 15{,}30$ km. On ne fait pas $3\times 5$ : la distance parcourue en une heure vaut $\sqrt{26}\approx 5{,}10$ km, pas $5$ .

d)

Le bateau reste sur la droite passant par $O$ et dirigée par $(5\ ;\ 1)$ . Le phare est sur cette droite si $\vec{OP}(20\ ;\ 4)$ est colinéaire à $(5\ ;\ 1)$ : déterminant $20\times 1-4\times 5=0$ ✓. Comme $(20\ ;\ 4)=4\times(5\ ;\ 1)$ , le bateau passe par le phare au bout de $4$ heures.

e)

Pour rejoindre $I$ en $3$ heures, le déplacement réel doit être $\frac{1}{3}\vec{OI}=(4\ ;\ 3)$ par heure. Or déplacement réel $=\vec{w}+\vec{c}$ , donc $\vec{w}=(4\ ;\ 3)-(1\ ;\ -2)=(3\ ;\ 5)$ . Les moteurs doivent viser un point PLUS au nord que l'île pour compenser le courant. Norme : $\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\approx 5{,}83$ km par heure. Contrôle : $3\times\left((3\ ;\ 5)+(1\ ;\ -2)\right)=(12\ ;\ 9)$ ✓.

Ce problème est la version concrète de la somme de deux vecteurs : on additionne des déplacements, on multiplie par un nombre pour répéter, et la colinéarité dit si l'on reste sur une ligne droite.

Exercice 15 : Problème : une antenne à égale distance de trois villages

Trois villages sont repérés dans un repère orthonormé gradué en kilomètres : $A(0\ ;\ 0)$ , $B(8\ ;\ 0)$ et $C(2\ ;\ 6)$ . On veut installer une antenne en un point $M(x\ ;\ y)$ situé à la même distance des trois villages.

On travaille sur les carrés des distances : $MA=MB$ équivaut à $MA^{2}=MB^{2}$ puisque les distances sont positives.

a) Écrivez l'égalité $MA^{2}=MB^{2}$ et montrez qu'elle équivaut à $x=4$ .
b) Écrivez l'égalité $MA^{2}=MC^{2}$ et déduisez-en $y$ .
c) Donnez les coordonnées de $M$ et la distance de l'antenne à chaque village, au centième.
d) Que représente le point $M$ pour le triangle $ABC$ ?
e) L'antenne a une portée de $4{,}5$ km. Un quatrième village situé en $D(6\ ;\ 6)$ est-il couvert ?

Voir la correction

Réponses

a) $x=4$
b) $4x+12y=40$ , $y=2$
c) $M(4\ ;\ 2)$ , à $\sqrt{20}\approx 4{,}47$ km
d) Centre du cercle circonscrit
e) $MD=\sqrt{20}\approx 4{,}47$ km : couvert

a)

$MA^{2}=x^{2}+y^{2}$ et $MB^{2}=(x-8)^{2}+y^{2}=x^{2}-16x+64+y^{2}$ . L'égalité donne $0=-16x+64$ , soit $x=4$ . Les termes $x^{2}$ et $y^{2}$ s'éliminent : l'équation, en apparence du second degré, est du premier degré. Géométriquement, les points équidistants de $A$ et $B$ forment la médiatrice de $[AB]$ , la droite verticale $x=4$ .

b)

$MC^{2}=(x-2)^{2}+(y-6)^{2}=x^{2}-4x+4+y^{2}-12y+36$ . L'égalité avec $x^{2}+y^{2}$ donne $0=-4x-12y+40$ , soit $4x+12y=40$ . Avec $x=4$ : $12y=24$ , donc $y=2$ .

c)

$M(4\ ;\ 2)$ . Distances : $MA=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ , $MB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ , $MC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ ✓. L'antenne est à $\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ km de chaque village.

d)

$M$ est équidistant des trois sommets : c'est le CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT au triangle $ABC$ , intersection des médiatrices. Les questions a) et b) ont écrit deux médiatrices, et $M$ est leur point commun.

e)

$MD^{2}=(6-4)^{2}+(6-2)^{2}=4+16=20$ , donc $MD=\sqrt{20}\approx 4{,}47$ km, inférieur à $4{,}5$ km : le village $D$ est couvert, de justesse. Il se trouve d'ailleurs exactement sur le cercle circonscrit, à la même distance que les trois autres.

Le fil : une condition d'égalité de distances se traduit par une égalité de CARRÉS, et les termes du second degré disparaissent toujours. C'est ce qui rend la recherche du centre du cercle circonscrit accessible en Seconde.

Exercice 16 : Décomposer un vecteur, et le milieu en version vectorielle

Le programme 2026 ajoute deux outils. Premier outil : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont PAS colinéaires, tout vecteur $\vec{w}$ du plan s'écrit d'une seule façon $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ , avec $a$ et $b$ réels. Second outil : $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\vec{AI}=\vec{IB}$ .

Sur le quadrillage ci-dessous, dans un repère d'origine $O$ , sont représentés $\vec{u}(3\,;1)$ , $\vec{v}(-1\,;2)$ et un troisième vecteur $\vec{w}$ .

a) Lisez les coordonnées de $\vec{w}$ . En suivant les lignes du quadrillage, trouvez les réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ , puis vérifiez par les coordonnées.
b) Calculez le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Déterminez ensuite, par le calcul, les réels $a$ et $b$ tels que $\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}$ , où $\vec{t}(-5\,;3)$ .
c) On remplace $\vec{v}$ par $\vec{s}(-6\,;-2)$ . Peut-on encore écrire $\vec{t}$ sous la forme $a\vec{u}+b\vec{s}$ ? Justifiez.
d) Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ . Justifiez que $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$ et que $\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AB}$ , puis démontrez que pour tout point $M$ du plan, $\vec{MA}+\vec{MB}=2\vec{MI}$ .
e) $ABCD$ est un quadrilatère quelconque, $I$ est le milieu de sa diagonale $[AC]$ et $J$ le milieu de sa diagonale $[BD]$ . En appliquant d) avec $M=J$ , démontrez que $\vec{AB}+\vec{CD}=2\vec{IJ}$ . Déduisez-en que $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu.
f) Vérifiez l'égalité de e) avec $A(-3\,;-1)$ , $B(3\,;-2)$ , $C(4\,;3)$ et $D(-1\,;4)$ : calculez les coordonnées de $I$ , de $J$ , de $\vec{AB}+\vec{CD}$ et de $\vec{IJ}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/15

a)

Abscisse de

\vec{w}

Ordonnée de

\vec{w}

a

b

b)

\det(\vec{u},\vec{v})

a

b

c)

Écriture possible ?

d)

Pour tout

M

,

\vec{MA}+\vec{MB}

vaut

e)

ABCD

est un parallélogramme si et seulement si

f)

x_I

y_I

x_J

y_J

Abscisse de

\vec{AB}+\vec{CD}

Voir la correction

Réponses

a) $\vec{w}(5\,;4)=2\vec{u}+\vec{v}$
b) $\det(\vec{u},\vec{v})=7$ ; $\vec{t}=-\vec{u}+2\vec{v}$
c) Non : $\vec{s}=-2\vec{u}$ , et $\vec{t}$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$
d) $\vec{MA}+\vec{MB}=2\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB}=2\vec{MI}$
e) $\vec{AB}+\vec{CD}=2\vec{IJ}$ ; parallélogramme si et seulement si $I=J$
f) $I(0{,}5\,;1)$ , $J(1\,;1)$ , $\vec{AB}+\vec{CD}=(1\,;0)=2\vec{IJ}$

a)

On lit $\vec{w}(5\,;4)$ : la flèche part de $O$ et arrive au nœud $(5\,;4)$ . Pour décomposer, on cherche un chemin qui n'utilise QUE des déplacements parallèles à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ : deux fois $\vec{u}$ , de $O$ jusqu'au point $(6\,;2)$ , puis une fois $\vec{v}$ , de $(6\,;2)$ jusqu'à $(5\,;4)$ . Donc $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$ , avec $a=2$ et $b=1$ . Vérification par les coordonnées : $2\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(2\times 3-1\,;2\times 1+2)=(5\,;4)$ ✓. La figure de la correction montre ce chemin : $\vec{w}$ est la diagonale du parallélogramme construit sur $2\vec{u}$ et $\vec{v}$ , et prendre $\vec{v}$ d'abord, puis $2\vec{u}$ , mène au même point.

b)

$\det(\vec{u},\vec{v})=3\times 2-1\times(-1)=6+1=7$ . Il n'est pas nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : l'écriture cherchée existe, et elle est unique. On égale les coordonnées de $a\vec{u}+b\vec{v}$ , soit $(3a-b\,;a+2b)$ , à celles de $\vec{t}$ : $3a-b=-5$ et $a+2b=3$ . La première donne $b=3a+5$ ; en remplaçant, $a+6a+10=3$ , donc $7a=-7$ , $a=-1$ , puis $b=2$ . Ainsi $\vec{t}=-\vec{u}+2\vec{v}$ . Contrôle obligatoire, sur les DEUX coordonnées : $-\vec{u}+2\vec{v}=(-3-2\,;-1+4)=(-5\,;3)$ ✓. Le $7$ du déterminant réapparaît dans la résolution, $7a=-7$ : c'est lui qui divise, et c'est pourquoi un déterminant nul rend la décomposition impossible.

c)

$\vec{s}(-6\,;-2)=-2\vec{u}$ : $\vec{s}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, leur déterminant $3\times(-2)-1\times(-6)$ est nul. Alors, pour tous réels $a$ et $b$ , $a\vec{u}+b\vec{s}=(a-2b)\vec{u}$ est TOUJOURS colinéaire à $\vec{u}$ . Or $\det(\vec{u},\vec{t})=3\times 3-1\times(-5)=14\neq 0$ : $\vec{t}$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$ , et l'écriture est impossible. Deux vecteurs colinéaires ne décrivent qu'une seule direction, ils n'atteignent que les vecteurs de cette direction : l'hypothèse « non colinéaires » n'est pas une précaution de rédaction, c'est la condition même de l'existence.

d)

$I$ milieu de $[AB]$ signifie que $\vec{AI}$ et $\vec{IB}$ ont même direction, même sens et même longueur, donc $\vec{AI}=\vec{IB}$ . Alors $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{IA}+\vec{AI}=\vec{II}=\vec{0}$ par la relation de Chasles, et $\vec{AB}=\vec{AI}+\vec{IB}=2\vec{AI}$ , d'où $\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AB}$ . Pour un point $M$ quelconque, on insère $I$ par Chasles dans chaque vecteur : $\vec{MA}+\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA})+(\vec{MI}+\vec{IB})=2\vec{MI}+(\vec{IA}+\vec{IB})=2\vec{MI}$ . Le geste à retenir est d'introduire le MILIEU dans les deux vecteurs, pour faire apparaître la somme nulle $\vec{IA}+\vec{IB}$ . Le piège est d'écrire $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{AB}$ comme pour un chemin : les deux vecteurs partent du MÊME point $M$ , ils ne se mettent pas bout à bout.

e)

On insère $J$ dans les deux vecteurs : $\vec{AB}+\vec{CD}=(\vec{AJ}+\vec{JB})+(\vec{CJ}+\vec{JD})=(\vec{AJ}+\vec{CJ})+(\vec{JB}+\vec{JD})$ . Comme $J$ est le milieu de $[BD]$ , $\vec{JB}+\vec{JD}=\vec{0}$ . Comme $I$ est le milieu de $[AC]$ , la question d) avec $M=J$ donne $\vec{JA}+\vec{JC}=2\vec{JI}$ , donc $\vec{AJ}+\vec{CJ}=-2\vec{JI}=2\vec{IJ}$ . Finalement $\vec{AB}+\vec{CD}=2\vec{IJ}$ . Or $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB}=\vec{DC}$ , c'est-à-dire $\vec{AB}+\vec{CD}=\vec{0}$ , soit $\vec{IJ}=\vec{0}$ , soit $I=J$ : les diagonales ont le même milieu. On vient de démontrer, sans aucune coordonnée, la propriété des diagonales utilisée depuis le collège, et dans les DEUX sens à la fois.

f)

$I$ , milieu de $[AC]$ : $\left(\frac{-3+4}{2}\,;\frac{-1+3}{2}\right)=(0{,}5\,;1)$ . $J$ , milieu de $[BD]$ : $\left(\frac{3-1}{2}\,;\frac{-2+4}{2}\right)=(1\,;1)$ . On a $\vec{AB}(6\,;-1)$ et $\vec{CD}(-5\,;1)$ , donc $\vec{AB}+\vec{CD}=(1\,;0)$ ; et $\vec{IJ}(0{,}5\,;0)$ , donc $2\vec{IJ}=(1\,;0)$ ✓. Comme $I\neq J$ , ce quadrilatère n'est pas un parallélogramme, ce que confirme $\vec{DC}(5\,;-1)\neq\vec{AB}$ . Une vérification numérique ne DÉMONTRE rien, elle contrôle : c'est la démonstration de e), valable pour tout quadrilatère, qui porte le résultat.

Le fil de la partie : un vecteur se DÉCOMPOSE sur deux directions non colinéaires, comme un déplacement sur un quadrillage oblique, et un milieu se TRADUIT par une somme nulle, $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$ , qu'on fait apparaître en insérant le milieu par la relation de Chasles.

Exercices corrigés : vecteurs et géométrie repérée (Seconde)

Rappel de cours

Calculs : les coordonnées à calculer

Exercice 0.1 : Calculer avec les coordonnées de vecteurs : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Coordonnées et égalité de vecteurs

Exercice 2 : Relation de Chasles et calcul vectoriel

Exercice 3 : Colinéarité et alignement

Exercice 4 : Milieux, distances et parallélogrammes

Exercice 5 : Équations de droites

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Le théorème de Varignon

Exercice 7 : Parallélogramme et centre

Exercice 8 : Position relative de trois droites

Exercice 9 : La droite des milieux, démontrée vectoriellement

Exercice 10 : Recherche d'un paramètre

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Points définis par une relation vectorielle

Exercice 12 : Nature d'un triangle par les distances

Exercice 13 : Droites parallèles, droite verticale et appartenance

Exercice 14 : Problème : un bateau dans le courant

Exercice 15 : Problème : une antenne à égale distance de trois villages

Partie D : programme 2026 (/10)

Exercice 16 : Décomposer un vecteur, et le milieu en version vectorielle

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