Exercices corrigés : vecteurs et géométrie repérée (Seconde)

a) $\vec{AB}(6,\ 2)$, $\vec{CD}(6,\ 2)$, $\vec{AC}(3,\ -3)$ et $\vec{BD}(3,\ -3)$.

b) $\vec{AB}=\vec{CD}$, donc $ABDC$ est un parallélogramme. On le confirme avec $\vec{AC}=\vec{BD}$.

c) Milieu de $[AD]$ : $(\frac{-2+7}{2},\ \frac{1+0}{2})=(2{,}5\ ;\ 0{,}5)$. Milieu de $[BC]$ : $(\frac{4+1}{2},\ \frac{3-2}{2})=(2{,}5\ ;\ 0{,}5)$. Les deux milieux sont confondus : c'était prévisible car $[AD]$ et $[BC]$ sont les diagonales du parallélogramme $ABDC$, et les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

a) $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ par la relation de Chasles.

b) $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$.

c) $-\vec{CB}=\vec{BC}$, donc l'expression vaut $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{AC}+\vec{CD}=\vec{AD}$.

d) $2\vec{u}(6,\ -2)$ et $3\vec{v}(-6,\ 15)$, donc $2\vec{u}-3\vec{v}$ a pour coordonnées $(6-(-6),\ -2-15)=(12,\ -17)$. Déterminant avec $\vec{u}(3,\ -1)$ : $3\times(-17)-(-1)\times 12=-51+12=-39$, non nul : les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

a) Déterminant : $3\times 6-(-2)\times(-9)=18-18=0$. Ils sont colinéaires, et $\vec{v}=-3\vec{u}$.

b) Déterminant : $4\times 7-5\times 6=28-30=-2$, non nul : ils ne sont pas colinéaires.

c) $\vec{EF}(3,\ -3)$ et $\vec{EG}(-3,\ 3)$. Déterminant : $3\times 3-(-3)\times(-3)=9-9=0$ : les points sont alignés.

d) $\vec{HI}(2,\ 3)$ et $\vec{HJ}(4,\ 5)$. Déterminant : $2\times 5-3\times 4=10-12=-2$, non nul : les points ne sont pas alignés. C'est un piège classique : $4=2\times 2$ mais $5\neq 2\times 3$, il faut que le rapport soit le même sur les deux coordonnées.

a) $\vec{AB}(6,\ 2)$ donc $AB=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. $\vec{AC}(3,\ -3)$ donc $AC=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

b) $ABCD$ parallélogramme équivaut à $\vec{AB}=\vec{DC}$, donc $\vec{DC}(6,\ 2)$, c'est-à-dire $(1-x_D,\ -2-y_D)=(6,\ 2)$. On obtient $x_D=-5$ et $y_D=-4$, soit $D(-5,\ -4)$.

c) $ABEC$ parallélogramme équivaut à $\vec{AB}=\vec{CE}$, donc $(x_E-1,\ y_E+2)=(6,\ 2)$, soit $E(7,\ 0)$.

d) Dans un parallélogramme, les lettres se lisent en tournant autour de la figure : les côtés sont $[AB]$ et $[DC]$ dans le premier cas, $[AB]$ et $[CE]$ dans le second. Ce ne sont pas les mêmes couples de côtés parallèles, donc pas le même quatrième point.

a) $\vec{AB}(6,\ 2)$ est un vecteur directeur, et $\vec{u}(3,\ 1)$ aussi (on a divisé par 2). Une équation cartésienne s'écrit $1\times(x+2)-3\times(y-1)=0$, soit $x-3y+5=0$. Vérification avec $B$ : $4-9+5=0$.

b) $x-3y+5=0$ donne $3y=x+5$, soit $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$.

c) Pour $2x+y-4=0$, un vecteur directeur est $\vec{v}(-1,\ 2)$ (coefficients lus comme $(-b,\ a)$). L'équation réduite est $y=-2x+4$.

d) Déterminant de $\vec{u}(3,\ 1)$ et $\vec{v}(-1,\ 2)$ : $3\times 2-1\times(-1)=6+1=7$, non nul. Les droites ne sont pas parallèles : elles sont sécantes.

a) $I(-1,\ 3)$, $J(4,\ 2)$, $K(3,\ -3)$ et $L(-2,\ -2)$.

b) $\vec{IJ}(4-(-1),\ 2-3)=(5,\ -1)$ et $\vec{LK}(3-(-2),\ -3-(-2))=(5,\ -1)$. Comme $\vec{IJ}=\vec{LK}$, le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.

c) Vérification : $\vec{AB}(6,\ 4)$ et $\vec{DC}(6,\ 4)$ sont égaux, donc $ABCD$ est en fait un parallélogramme ici. Pour le cas général : dans le triangle $ABC$, $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$, donc $\vec{IJ}=\frac{1}{2}\vec{AC}$. Dans le triangle $ACD$, $L$ et $K$ sont les milieux de $[AD]$ et $[DC]$, donc $\vec{LK}=\frac{1}{2}\vec{AC}$. Les deux vecteurs sont égaux à $\frac{1}{2}\vec{AC}$, donc égaux entre eux : $IJKL$ est un parallélogramme pour tout quadrilatère $ABCD$.

a) $\vec{AB}=\vec{DC}$ donne $(6-x_D,\ -1-y_D)=(6,\ 4)$, donc $x_D=0$ et $y_D=-5$ : $D(0,\ -5)$.

b) Le centre est le milieu de chaque diagonale. Milieu de $[AC]$ : $(\frac{-4+6}{2},\ \frac{1-1}{2})=(1,\ 0)$. Milieu de $[BD]$ : $(\frac{2+0}{2},\ \frac{5-5}{2})=(1,\ 0)$. Les deux calculs donnent bien $\Omega(1,\ 0)$.

c) $AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$ et $BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$ : deux côtés consécutifs sont de même longueur, donc $ABCD$ est un losange. Les diagonales valent $AC=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}$ et $BD=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}$ : elles sont égales, donc $ABCD$ est aussi un rectangle. Un parallélogramme qui est à la fois un losange et un rectangle est un carré : $ABCD$ est un carré.

d) Dans le triangle $ABC$ : $AB^2+BC^2=52+52=104$ et $AC^2=104$. L'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Le losange $ABCD$ possède donc un angle droit : c'est bien un carré.

a) De $d_2$ on tire $y=4-2x$. En reportant dans $d_1$ : $x-3(4-2x)+5=x-12+6x+5=7x-7=0$, donc $x=1$ puis $y=2$. Le point d'intersection est $(1,\ 2)$.

b) $d_1$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(3,\ 1)$ et $d_3$ a pour vecteur directeur $\vec{w}(6,\ 2)$. Déterminant : $3\times 2-1\times 6=0$ : les droites sont parallèles. Sont-elles confondues ? En multipliant $d_1$ par 2 on obtient $2x-6y+10=0$, différent de $2x-6y+1=0$. Elles sont donc strictement parallèles.

c) $2\times 1-6\times 2+1=2-12+1=-9\neq 0$ : le point $R$ n'appartient pas à $d_3$.

d) Non. Le seul point commun à $d_1$ et $d_2$ est $R(1,\ 2)$, et la question c) montre que $R$ n'est pas sur $d_3$. Il n'y a donc aucun point commun aux trois droites.

a) $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AB}$, d'où $\vec{IA}=-\frac{1}{2}\vec{AB}$. De même $\vec{AJ}=\frac{1}{2}\vec{AC}$.

b) $\vec{IJ}=\vec{IA}+\vec{AJ}=-\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}=\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})=\frac{1}{2}\vec{BC}$, car $\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}$.

c) L'égalité $\vec{IJ}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ contient deux informations : les vecteurs sont colinéaires, donc $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ ; et le coefficient $\frac{1}{2}$ donne $IJ=\frac{1}{2}BC$.

d) $I(-1,\ 3)$ et $J(1,\ 0)$, donc $\vec{IJ}(2,\ -3)$. Par ailleurs $\vec{BC}(4,\ -6)$, et $\frac{1}{2}\vec{BC}=(2,\ -3)$. L'égalité est vérifiée.

a) $\vec{AB}(3,\ -3)$ et $\vec{AM}(k-1,\ k+1)$. Le déterminant vaut $3(k+1)-(-3)(k-1)=3k+3+3k-3=6k$. Il est nul pour $k=0$, ce qui donne $M(0,\ 3)$.

b) Déterminant : $k\times k-2\times 8=k^2-16$. Il s'annule pour $k^2=16$, c'est-à-dire $k=4$ ou $k=-4$.

c) Déterminant : $(k-1)k-3\times 2=k^2-k-6$. Forme canonique : $(k-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-6=(k-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$. L'équation donne $(k-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$, soit $k-\frac{1}{2}=\pm\frac{5}{2}$ : $k=3$ ou $k=-2$.

d) Il a oublié la solution négative. De $k^2=16$ on déduit $k=4$ ou $k=-4$ : une équation du type $k^2=a$ avec $a>0$ a toujours deux solutions opposées.