Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : vecteurs et géométrie repérée (Seconde)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les vecteurs : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon la propriété à démontrer, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un vecteur n'est pas un point : il n'a pas de position, seulement une direction, un sens et une longueur. C'est pour cela que ses coordonnées sont une DIFFÉRENCE et jamais une lecture directe. Presque tous les points perdus en Seconde viennent de traiter $\vec{AB}$ comme le point $B$ , ou de conclure une propriété géométrique, alignement, parallélogramme, parallélisme, sans citer la propriété qui autorise la conclusion.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Géométrie et grandeursSixième
2Proportionnalité et pourcentagesCinquième
3Géométrie de CinquièmeCinquième
4Calcul littéral et équationsQuatrième
5Translations, symétries et rotationsQuatrième
6Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième
7La notion de fonctionTroisième
8Les fonctions linéairesTroisième
9Les fonctions affinesTroisième

Notions couvertes

Coordonnées d'un vecteur
Relation de Chasles
Colinéarité de deux vecteurs
Déterminant de deux vecteurs
Vecteur directeur
Équation cartésienne d'une droite
Milieu d'un segment
Distance entre deux points
Parallélogramme
Alignement de trois points

L'essentiel

Les quatre formules du repère, et l'ordre de leurs termes

• Coordonnées du vecteur : $\vec{AB}\ \big(x_{B}-x_{A}\ ;\ y_{B}-y_{A}\big)$ . On soustrait le point de DÉPART au point d'ARRIVÉE, dans cet ordre.
• Milieu de $[AB]$ : $I\Big(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\ ;\ \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\Big)$ . C'est une demi-SOMME, donc l'ordre des points n'a aucune importance.
• Distance, uniquement en repère orthonormé : $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$ . Les carrés effacent le sens de la soustraction.
• Déterminant de $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ : $\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-yx'$ . On croise, on ne multiplie jamais les abscisses entre elles.
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est NUL.

Les coordonnées de

\vec{AB}

sont les DÉPLACEMENTS

+5

+2

, pas les coordonnées de

B

: on lit la marche, jamais le point d'arrivée.

Vecteur : une différence. Milieu : une somme. Distance : une somme de carrés. Déterminant : un produit croisé. Quatre formules, quatre opérations différentes, et c'est le mélange des quatre qui coûte des points.

Ce qu'un vecteur dit, et ce qu'il ne dit pas

• Deux vecteurs sont ÉGAUX quand ils ont les mêmes coordonnées : même direction, même sens, même longueur, mais pas nécessairement les mêmes points.
• $\vec{AB}=\vec{DC}$ équivaut à : $ABCD$ est un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres, $\vec{AB}=\vec{CD}$ donne un parallélogramme croisé.
• Relation de Chasles : $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ , le point du milieu disparaît. Et $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$ , pas $\vec{BC}$ .
• $\vec{BA}=-\vec{AB}$ : mêmes coordonnées au signe près, donc même direction et sens opposé.
• Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tous les vecteurs, ce qui rend la conclusion « colinéaires donc parallèles » fausse quand un des vecteurs est nul.

Un vecteur se déplace librement dans le plan. Une conclusion sur des POINTS, alignement ou parallélogramme, exige donc toujours de nommer les points qui portent les vecteurs.

Droites, vecteurs directeurs et équations

• Une droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\vec{AB}$ , et tout vecteur colinéaire non nul à $\vec{AB}$ est aussi un vecteur directeur.
• Si $\vec{u}(\alpha\,;\beta)$ dirige la droite, une équation cartésienne est $\beta x-\alpha y+c=0$ : les coordonnées se retrouvent CROISÉES dans l'équation.
• Réciproquement, la droite d'équation $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$ .
• $M(x\,;y)$ appartient à $(AB)$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires : cette caractérisation donne l'équation sans formule à retenir.
• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles sont confondues si en plus elles ont un point commun.

Une équation cartésienne n'est pas unique : $x-3y+5=0$ et $2x-6y+10=0$ décrivent la même droite. Le correcteur accepte toute équation proportionnelle.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre les coordonnées du point d'arrivée pour celles du vecteur

toute la question, et toutes celles qui utilisent ce vecteur ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A(1\,;2)$ et $B(4\,;7)$ , donc $\vec{AB}\ (4\,;7)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{AB}\ (4-1\,;\ 7-2)$ , donc $\vec{AB}\ (3\,;5)$ . »

Pourquoi : Un vecteur mesure un DÉPLACEMENT, pas une position : il faut donc retrancher le point de départ. Le contrôle géométrique est immédiat, un déplacement de $A$ vers $B$ va de trois vers la droite et cinq vers le haut, ce qui se lit sur un croquis.

2. Inverser l'ordre de la soustraction

1 à 2 points, et un parallélogramme démontré à l'envers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A(1\,;2)$ et $B(4\,;7)$ , donc $\vec{AB}\ (1-4\,;\ 2-7)=(-3\,;-5)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{AB}\ (x_{B}-x_{A}\,;\ y_{B}-y_{A})=(3\,;5)$ . Le vecteur trouvé, $(-3\,;-5)$ , est $\vec{BA}$ . »

Pourquoi : L'ordre des lettres se lit de gauche à droite dans le nom du vecteur, et il se perd quand on recopie les coordonnées de haut en bas depuis un tableau. Sur une distance l'erreur est invisible, puisque les carrés l'effacent, mais sur une colinéarité ou un parallélogramme elle change le résultat.

3. Écrire le parallélogramme avec les mauvaises lettres

toute la question, et le quadrilatère obtenu est croisé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB}=\vec{CD}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB}=\vec{DC}$ , car les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont parcourus dans le même sens. »

\vec{AB}

\vec{DC}

pointent dans le MÊME sens : c'est ce que dit «

ABCD

est un parallélogramme ». La flèche en pointillés,

\vec{CD}

, part à l'envers.

Pourquoi : En parcourant $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dans l'ordre du contour, on va de $A$ vers $B$ puis, sur le côté opposé, de $D$ vers $C$ . Un croquis au brouillon avec les quatre points numérotés règle définitivement la question.

4. Calculer le déterminant en multipliant les abscisses entre elles

toute la question, et la conclusion est l'exact contraire de la bonne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;6)$ : $2\times 4-3\times 6=8-18=-10\neq 0$ , donc ils ne sont pas colinéaires. »

Ce qu'il faut écrire

« $\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-yx'=2\times 6-3\times 4=12-12=0$ , donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. »

Pourquoi : Le déterminant est un produit CROISÉ : abscisse du premier par ordonnée du second, moins ordonnée du premier par abscisse du second. Le contrôle de bon sens ici est immédiat, $\vec{v}=2\vec{u}$ , donc les deux vecteurs sont évidemment colinéaires.

5. Conclure à l'alignement à partir de deux vecteurs sans point commun

toute la question de démonstration, souvent notée sur 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires, donc les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont alignés. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont PARALLÈLES. Pour l'alignement de $A$ , $B$ et $C$ , il faut la colinéarité de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , qui partagent le point $A$ . »

\vec{AB}

\vec{CD}

ont les mêmes coordonnées, donc les droites

(AB)

(CD)

sont parallèles. Mais

C

D

ne sont pas sur la droite

(AB)

: les quatre points ne sont pas alignés.

Pourquoi : Un vecteur ne porte aucune information de position : deux vecteurs colinéaires peuvent vivre sur deux droites distinctes. Le point commun est ce qui rattache les vecteurs à une seule et même droite, d'où le choix systématique d'un sommet de référence.

6. Calculer le milieu par une différence

2 points, et un centre de parallélogramme placé hors de la figure

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Milieu de $[AB]$ avec $A(1\,;2)$ et $B(4\,;7)$ : $I\Big(\frac{4-1}{2}\,;\ \frac{7-2}{2}\Big)=I(1{,}5\,;2{,}5)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $I\Big(\frac{1+4}{2}\,;\ \frac{2+7}{2}\Big)=I(2{,}5\,;4{,}5)$ : le milieu est une demi-SOMME, la formule du vecteur est la seule qui soustrait. »

Pourquoi : Le calcul faux donne en réalité les demi-coordonnées de $\vec{AB}$ , donc un point qui n'a rien à voir avec le segment. Le contrôle visuel est infaillible : un milieu se situe TOUJOURS entre les deux points, ce qui n'est pas le cas de $(1{,}5\,;2{,}5)$ pour $x$ compris entre $1$ et $4$ .

7. Recopier le vecteur directeur tel quel dans l'équation cartésienne

3 points, l'équation obtenue décrit une droite perpendiculaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite dirigée par $\vec{u}(6\,;2)$ et passant par $A(-2\,;1)$ a pour équation $6x+2y+c=0$ , donc $c=10$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $\vec{u}(\alpha\,;\beta)=(6\,;2)$ , l'équation est $\beta x-\alpha y+c=0$ , soit $2x-6y+c=0$ . En $A$ : $-4-6+c=0$ , donc $c=10$ et l'équation est $2x-6y+10=0$ , soit $x-3y+5=0$ . »

Pourquoi : Dans l'équation cartésienne, les coordonnées du vecteur directeur apparaissent croisées et l'une d'elles change de signe. Le contrôle qui tranche : remplacer les coordonnées d'un second point de la droite dans l'équation trouvée, le résultat doit être exactement zéro.

8. Se tromper de point qui disparaît dans la relation de Chasles

1 à 2 points, et un signe faux qui se propage jusqu'à la conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{BC}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CA}=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$ . »

Pourquoi : Chasles ne fonctionne que sur une SOMME dont le point d'arrivée du premier vecteur est le point de départ du second. Une soustraction doit donc d'abord se réécrire en somme, en retournant le vecteur retranché. Le test en coordonnées sur trois points concrets tranche en dix secondes.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la propriété à démontrer

Lire ce que l'énoncé demande de montrer, puis choisir l'outil correspondant.

Si « $ABCD$ est un parallélogramme » → montrer $\vec{AB}=\vec{DC}$ , en calculant les deux couples de coordonnées

Exemple : $\vec{AB}(6\,;2)$ et $\vec{DC}(6\,;2)$

ou bien montrer que les diagonales ont le même milieu
Si « les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés » → montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc déterminant nul

Exemple : $\det(\vec{AB},\vec{AC})=0$

les deux vecteurs doivent partager le point $A$
Si « les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles » → montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires, sans exiger de point commun

Exemple : $\det(\vec{AB},\vec{CD})=0$
Si « $I$ est le milieu de $[AB]$ » → calculer la demi-somme, ou montrer $\vec{AI}=\vec{IB}$

Exemple : $I(2{,}5\,;4{,}5)$ pour $A(1\,;2)$ et $B(4\,;7)$
Si « $ABCD$ est un losange » ou « le triangle est isocèle » → calculer des DISTANCES, en repère orthonormé, et comparer les carrés

Exemple : $AB^{2}=40$ et $AD^{2}=20$ , donc $AB\neq AD$

comparer les carrés évite de manipuler des racines
Si « $M$ appartient à la droite $(AB)$ » → remplacer les coordonnées de $M$ dans l'équation de $(AB)$ , ou montrer $\det(\vec{AM},\vec{AB})=0$

Exemple : $M(1\,;2)$ vérifie $1-3\times 2+5=0$

Une conclusion sur des POINTS exige toujours de nommer les points. Écrire « les vecteurs sont colinéaires » sans phrase de conclusion coûte le point de rédaction, même quand le calcul est juste.

Comment obtenir une équation de droite

Regarder ce que l'énoncé fournit sur la droite.

Si deux points $A$ et $B$ → calculer $\vec{AB}(\alpha\,;\beta)$ , écrire $\beta x-\alpha y+c=0$ , puis déterminer $c$ avec $A$

Exemple : $\vec{AB}(6\,;2)$ donne $2x-6y+c=0$
Si un point et un vecteur directeur → même méthode, le vecteur est déjà donné

Exemple : $\vec{u}(3\,;1)$ donne $x-3y+c=0$
Si un point et une droite à laquelle la nouvelle est parallèle → reprendre les coefficients $a$ et $b$ de l'équation donnée et recalculer seulement $c$

Exemple : parallèle à $x-3y+5=0$ passant par $(0\,;0)$ : $x-3y=0$
Si les deux points ont la même abscisse → la droite est VERTICALE, son équation est $x=k$ et elle n'a pas de coefficient directeur

Exemple : $A(3\,;-1)$ et $B(3\,;5)$ donnent $x=3$

c'est le seul cas où la forme $y=mx+p$ est impossible

Une équation cartésienne se vérifie toujours en y remplaçant les coordonnées des deux points de départ : les deux calculs doivent donner exactement zéro.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne quatre points et demande la nature du quadrilatère, ou de montrer que deux côtés sont parallèles et de même longueur.

1 Écrire les coordonnées des deux vecteurs opposés dans le bon ordre : $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ , jamais $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ .
2 Calculer chaque couple de coordonnées en détaillant la soustraction, ce qui rend l'erreur d'ordre visible au correcteur comme à soi-même.
3 Constater l'égalité des deux couples, et l'écrire explicitement : « $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ ont les mêmes coordonnées, donc $\vec{AB}=\vec{DC}$ ».
4 Citer la propriété du cours avant de conclure : « or, si $\vec{AB}=\vec{DC}$ , alors le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ».
5 Si l'énoncé va plus loin, comparer $AB$ et $AD$ pour le losange, ou vérifier l'égalité des diagonales pour le rectangle.

Phrase de conclusion

« $\vec{AB}\,(6\,;2)$ et $\vec{DC}\,(6\,;2)$ ont les mêmes coordonnées, donc $\vec{AB}=\vec{DC}$ : le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. »

Le piège : Conclure directement après le calcul, sans citer la propriété. C'est cette phrase de cours qui est notée, pas le calcul de coordonnées qui, lui, ne vaut qu'un point.

Barème : Souvent 1 point par vecteur calculé, 1 point pour la propriété citée, 1 point pour la conclusion nommant le quadrilatère.

Démontrer que trois points sont alignés

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande de montrer un alignement, ou qu'un point appartient à une droite définie par deux autres.

1 Choisir un point de référence, toujours le même pour les deux vecteurs : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ partagent le point $A$ .
2 Calculer les coordonnées des deux vecteurs, sans oublier l'ordre de la soustraction.
3 Calculer le déterminant $xy'-yx'$ en détaillant le produit croisé, puis annoncer sa valeur.
4 Conclure sur la colinéarité, puis seulement ensuite sur l'alignement, en citant la propriété qui relie les deux.

Phrase de conclusion

« $\det(\vec{AB},\vec{AC})=0$ , donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires ; comme ils ont le point $A$ en commun, les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés. »

Le piège : Prendre $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ fonctionne aussi, mais mélanger $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne démontre qu'un parallélisme.

Barème : Souvent 1 point pour les vecteurs, 1 point pour le déterminant, 1 point pour la conclusion citant le point commun.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le croquis au brouillon

Placer les points sur un repère à main levée avant de calculer. Un parallélogramme, un alignement ou un milieu se voient, et le calcul ne fait que confirmer.

Un milieu trouvé en dehors du segment ou un quadrilatère croisé sautent aux yeux sur le croquis, bien avant la fin du calcul.
La somme de Chasles en coordonnées

Additionner les coordonnées de $\vec{AB}$ et de $\vec{BC}$ : on doit retrouver exactement celles de $\vec{AC}$ .

$\vec{AB}(3\,;5)$ et $\vec{BC}(-4\,;-2)$ donnent $(-1\,;3)$ , qui doit être $\vec{AC}$ . Un écart signale une erreur d'ordre dans une soustraction.
Remplacer les points dans l'équation trouvée

Substituer les coordonnées des deux points de départ dans l'équation cartésienne obtenue. Les deux calculs doivent donner exactement zéro.

$x-3y+5=0$ avec $A(-2\,;1)$ donne $-2-3+5=0$ , et avec $B(4\,;3)$ donne $4-9+5=0$ : l'équation est validée.
Comparer les carrés plutôt que les racines

Pour comparer deux longueurs, comparer $AB^{2}$ et $CD^{2}$ : c'est équivalent, plus rapide, et cela évite toute erreur d'arrondi.

$AB^{2}=40$ et $AD^{2}=20$ : les côtés sont différents, donc le parallélogramme n'est pas un losange, sans jamais calculer de racine.

L'exercice type décortiqué

Un quadrilatère à identifier, puis une équation de droite

Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\,;1)$ , $B(4\,;3)$ , $C(6\,;-1)$ et $D(0\,;-3)$ .

1. Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

2. Déterminer les coordonnées de son centre.

3. Ce parallélogramme est-il un losange ?

4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ , puis vérifier si $M(1\,;2)$ lui appartient.

Étape 1

$\vec{AB}\,\big(4-(-2)\,;\ 3-1\big)=(6\,;2)$ et $\vec{DC}\,\big(6-0\,;\ -1-(-3)\big)=(6\,;2)$ .

Pourquoi

On écrit $\vec{DC}$ et non $\vec{CD}$ : c'est l'ordre imposé par le contour du quadrilatère. Détailler la soustraction rend les doubles signes visibles, et c'est là que se perdent la plupart des points.

Étape 2

Ces deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $\vec{AB}=\vec{DC}$ . Or, si $\vec{AB}=\vec{DC}$ , alors $ABCD$ est un parallélogramme.

Pourquoi

La phrase de propriété est ce qui est noté. Un calcul juste suivi de « donc c'est un parallélogramme » sans citer la règle perd systématiquement un point de rédaction.

Étape 3

Le centre est le milieu commun des diagonales. Milieu de $[AC]$ : $\Big(\frac{-2+6}{2}\,;\ \frac{1+(-1)}{2}\Big)=(2\,;0)$ . Milieu de $[BD]$ : $\Big(\frac{4+0}{2}\,;\ \frac{3+(-3)}{2}\Big)=(2\,;0)$ .

Pourquoi

Calculer les DEUX milieux ne coûte rien et vérifie du même coup la question 1 : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. C'est une preuve et un contrôle à la fois.

Étape 4

$AB^{2}=6^{2}+2^{2}=40$ et $AD^{2}=\big(0-(-2)\big)^{2}+\big(-3-1\big)^{2}=2^{2}+(-4)^{2}=20$ . Comme $40\neq 20$ , les côtés consécutifs ne sont pas égaux.

Pourquoi

On compare les carrés, jamais les racines : $\sqrt{40}$ et $\sqrt{20}$ demandent une calculatrice et introduisent des arrondis, alors que $40$ et $20$ se comparent d'un coup d'oeil.

Étape 5

$\vec{AB}(6\,;2)$ dirige $(AB)$ , donc une équation est $2x-6y+c=0$ . En remplaçant par $A(-2\,;1)$ : $-4-6+c=0$ , donc $c=10$ . L'équation $2x-6y+10=0$ se simplifie en $x-3y+5=0$ .

Pourquoi

Les coordonnées du vecteur directeur arrivent croisées et l'une change de signe. La simplification par $2$ n'est pas obligatoire mais elle est attendue : une équation à coefficients entiers premiers entre eux est la forme la plus lisible.

Étape 6

Pour $M(1\,;2)$ : $1-3\times 2+5=1-6+5=0$ . Le point $M$ appartient donc à la droite $(AB)$ .

Pourquoi

Tester l'appartenance par substitution est immédiat une fois l'équation obtenue. La méthode vectorielle, $\det(\vec{AM},\vec{AB})=0$ , donne le même résultat mais demande deux calculs de plus.

Étape 7

Contrôle : $B(4\,;3)$ donne $4-9+5=0$ et $D(0\,;-3)$ donne $0+9+5=14\neq 0$ . L'équation contient bien $A$ et $B$ , et pas $D$ , ce qui est cohérent avec la figure.

Pourquoi

Un point qui doit appartenir et un point qui ne doit pas appartenir testent l'équation dans les deux sens. Un seul test positif peut réussir par hasard, deux tests opposés ne le peuvent pas.

Conclusion rédigée

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $(2\,;0)$ ; il n'est pas un losange car $AB^{2}=40$ et $AD^{2}=20$ ; la droite $(AB)$ a pour équation $x-3y+5=0$ et le point $M(1\,;2)$ lui appartient.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\vec{AB}=\vec{CD}$ à la question 1. Le calcul donne alors $(6\,;2)$ et $(-6\,;-2)$ , l'égalité est fausse, et la copie conclut à tort que $ABCD$ n'est pas un parallélogramme alors que tout le reste du problème en dépend.

À savoir par cœur

• $\vec{AB}\ (x_{B}-x_{A}\,;\ y_{B}-y_{A})$ : arrivée moins départ, dans cet ordre.
• Milieu de $[AB]$ : demi-SOMME des coordonnées. Distance : racine de la somme des carrés, en repère orthonormé seulement.
• $\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-yx'$ , et il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
• $ABCD$ parallélogramme équivaut à $\vec{AB}=\vec{DC}$ , avec $D$ avant $C$ .
• Alignement de $A$ , $B$ , $C$ : colinéarité de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , qui ont le point $A$ en commun.
• Deux vecteurs colinéaires portés par des points différents donnent un PARALLÉLISME, jamais un alignement.
• Vecteur directeur $\vec{u}(\alpha\,;\beta)$ : équation $\beta x-\alpha y+c=0$ . Réciproquement $ax+by+c=0$ est dirigée par $(-b\,;a)$ .
• $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$ , et non $\vec{BC}$ .

Questions fréquentes

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur en Seconde ?

On soustrait les coordonnées du point de départ à celles du point d'arrivée. Pour le vecteur qui va de A vers B, l'abscisse est celle de B moins celle de A, et l'ordonnée est celle de B moins celle de A. Un vecteur mesure un déplacement, il ne se lit donc jamais directement sur le point d'arrivée.

Comment montrer que ABCD est un parallélogramme ?

On montre que le vecteur qui va de A vers B est égal au vecteur qui va de D vers C. Attention à l'ordre des lettres : c'est bien de D vers C, et non de C vers D, car les deux côtés opposés sont parcourus dans le même sens le long du contour. On peut aussi montrer que les diagonales ont le même milieu.

Quelle différence entre points alignés et droites parallèles ?

Deux vecteurs colinéaires portés par des points tous différents prouvent seulement que les deux droites sont parallèles. Pour un alignement, les deux vecteurs doivent partager un point : on prend par exemple le vecteur de A vers B et celui de A vers C. Sans ce point commun, la conclusion d'alignement est fausse.

Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?

On calcule le déterminant, c'est-à-dire l'abscisse du premier multipliée par l'ordonnée du second, moins l'ordonnée du premier multipliée par l'abscisse du second. Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce nombre vaut zéro. C'est un produit croisé, on ne multiplie jamais les abscisses entre elles.

Comment trouver une équation cartésienne d'une droite passant par deux points ?

On calcule d'abord le vecteur qui joint les deux points, puis on écrit son ordonnée fois x, moins son abscisse fois y, plus une constante, égal à zéro. On détermine la constante en remplaçant par les coordonnées de l'un des deux points. On vérifie ensuite avec l'autre point : le résultat doit être exactement zéro.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Vecteurs et géométrie repérée

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Le second degré Fiche suivante Configurations et trigonométrie

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Le produit scalairePremière La géométrie repéréePremière Mouvement, Newton et champsPremière, Physique-chimie

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tuteur Seconde Mathématiques Programme AEFE Lycée Marie de France

Vous cherchez un tuteur de maths en Seconde à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes de la géométrie repérée qui coûtent des points, du calcul de coordonnées jusqu'à la rédaction d'une démonstration vectorielle, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des contrôles au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli