Maths Seconde, programme français • Anticipation de la Première spécialité • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : le second degré (Seconde)

Cette fiche ne refait pas le cours sur le second degré. Elle traite ce qui décide de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la forme du trinôme à choisir selon ce que l'énoncé demande, et la rédaction que le correcteur attend mot pour mot.

Un mot sur le programme : la forme canonique, la factorisation et le signe d'un trinôme ne sont PAS au programme de Seconde, ni dans celui de 2019 ni dans celui de 2026, qui s'en tient à $x^{2}=a$ , aux équations produit nul et à la fonction carré. Cette fiche est donc une ANTICIPATION de la Première spécialité, utile en fin de Seconde ou pour qui vise la spécialité mathématiques. Le dernier bloc de l'essentiel rappelle ce qu'un contrôle de Seconde demande vraiment. La suite est la fiche Le second degré en Première spécialité, qui ajoute le discriminant.

Mis à jour le 3 novembre 2026

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Le fil du chapitre

Avant la Première, le discriminant n'existe pas encore : tout passe par la forme canonique $a(x-\alpha)^{2}+\beta$ . C'est elle qui donne le sommet, elle qui décide si le trinôme se factorise, elle qui prouve un extremum en une ligne. Presque tous les points perdus viennent d'une information lue dans une forme qui ne la contient pas, ou d'un nombre qui traverse la parenthèse sans être multiplié par $a$ .

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 16 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Nombres et calcul littéral Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Les nombres relatifs Cinquième
2 Multiplication et division de relatifs Quatrième
3 Puissances et écriture scientifique Quatrième
4 Développer et factoriser Troisième
5 Les trois identités remarquables Troisième
6 Les trois identités remarquables
7 Nombres et calcul littéral

L'essentiel

Trois écritures, trois informations différentes

• Développée $f(x)=ax^{2}+bx+c$ : elle donne l'ordonnée à l'origine, qui vaut exactement $c$ , et le sens d'ouverture par le signe de $a$ .
• Canonique $f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta$ : elle donne le sommet $(\alpha\,;\ \beta)$ , l'axe de symétrie $x=\alpha$ , et l'extremum.
• Factorisée $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ : elle donne les points où la courbe coupe l'axe des abscisses. Elle n'existe pas toujours.
• Le $a$ est le MÊME dans les trois écritures : c'est le seul nombre qui se transporte tel quel de l'une à l'autre.
• $\alpha=\frac{-b}{2a}$ , puis $\beta=f(\alpha)$ : on calcule $\beta$ en remplaçant, jamais avec une formule apprise de travers.

Une seule parabole, trois lectures :

c=-3

se lit sur la forme développée, les racines

-1

3

sur la factorisée, le sommet

(1\,;-4)

et l'axe

x=1

sur la canonique.

La question à se poser avant tout calcul : quelle information l'énoncé demande ? La réponse choisit la forme, et la moitié du travail est alors déjà faite.

La complétion du carré, en quatre gestes

• 1. Mettre $a$ en facteur sur les DEUX premiers termes seulement : $2x^{2}-8x+1=2(x^{2}-4x)+1$ .
• 2. Dans la parenthèse, prendre la moitié du coefficient de $x$ , l'élever au carré, l'ajouter et le retrancher : $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$ .
• 3. Faire sortir le nombre en trop de la parenthèse en le MULTIPLIANT par $a$ : $2\big[(x-2)^{2}-4\big]+1=2(x-2)^{2}-8+1$ .
• 4. Additionner les constantes restées dehors : $2(x-2)^{2}-7$ .
• Le signe dans la parenthèse est OPPOSÉ à l'abscisse du sommet : $(x-2)^{2}$ donne $\alpha=2$ , $(x+3)^{2}$ donne $\alpha=-3$ .

x^{2}+4x

, c'est le carré

x^{2}

(en bleu) et deux bandes

2x

(en orange) : il ne manque que le coin

2^{2}=4

(en vert), d'où

x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4

L'étape 3 décide de la note. Le nombre qui traverse la parenthèse est toujours multiplié par $a$ , jamais recopié tel quel.

Factoriser sans discriminant, ou prouver qu'on ne peut pas

• Depuis la forme canonique avec $a>0$ : si $\beta<0$ , on pose $k=-\beta>0$ , et $a(x-\alpha)^{2}-k$ est une différence de deux carrés, donc factorisable. Si $\beta=0$ , c'est déjà $a(x-\alpha)^{2}$ .
• $2(x-2)^{2}-8=2\big[(x-2)^{2}-4\big]=2(x-2-2)(x-2+2)=2x(x-4)$ : la différence de carrés fait tout le travail.
• Si $a>0$ et $\beta>0$ , le trinôme vaut au minimum $\beta>0$ : il ne s'annule JAMAIS et ne se factorise pas dans les réels.
• Si $a<0$ , tout s'inverse : $\beta$ est un maximum, et le trinôme est factorisable exactement quand $\beta\geq 0$ .
• Une racine évidente donnée par l'énoncé permet de factoriser par $(x-x_{1})$ et d'identifier le second facteur terme à terme.

Avec

a=2>0

2(x-2)^{2}-8

descend sous l'axe et le coupe en

0

4

(en bleu), donc il se factorise ;

2(x-2)^{2}+2

reste au-dessus de

2

(en orange) et ne s'annule jamais.

Le discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$ est l'outil de la Première spécialité. Avant lui, la forme canonique répond exactement aux mêmes questions, et c'est en la maîtrisant qu'on comprend d'où vient $\Delta$ .

Le signe du trinôme, la seule règle à retenir

• Quand le trinôme a deux racines : il est du signe de $a$ à L'EXTÉRIEUR des racines, du signe OPPOSÉ à $a$ ENTRE les racines.
• Quand il a une racine double : il garde le signe de $a$ partout et s'annule en ce seul point.
• Quand il n'a pas de racine : il garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans jamais s'annuler.
• Conséquence directe : sans racine, l'ensemble solution d'une inéquation est $\mathbb{R}$ ou l'ensemble vide, jamais un intervalle borné.
• La parabole est symétrique par rapport à la droite $x=\alpha$ : deux abscisses à égale distance de $\alpha$ ont la même image.

Avec

a>0

: deux racines, le trinôme est négatif ENTRE elles ; racine double, il s'annule une fois et reste positif ; aucune racine, il est positif partout.

Un tableau de signes rédigé rapporte des points même quand l'intervalle final est faux. Une réponse sans tableau ni justification n'en rapporte presque aucun.

Ce que le programme de Seconde demande vraiment

• $x^{2}=k$ : deux solutions $\pm\sqrt{k}$ si $k>0$ , une seule, $x=0$ , si $k=0$ , aucune si $k<0$ .
• Produit nul : $A(x)B(x)=0$ équivaut à $A(x)=0$ ou $B(x)=0$ . Ainsi $(2x-1)(x+3)=0$ donne $x=-3$ ou $x=\frac{1}{2}$ .
• Ne pas diviser par $x$ : $x^{2}=5x$ s'écrit $x(x-5)=0$ , donc $x=0$ ou $x=5$ . Diviser par $x$ fait perdre $x=0$ .
• Fonction carré : décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Ainsi $x^{2}\le 9$ donne $[-3\,;3]$ , et $x^{2}>2$ donne $]-\infty\,;-\sqrt{2}[\,\cup\,]\sqrt{2}\,;+\infty[$ .

Ce sont les exercices 11 et 12 de la série. Un contrôle de Seconde porte sur ces lignes ; le reste de la fiche prépare la Première.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le sommet avec le signe écrit dans la parenthèse

2 points, et le tracé qui suit est entièrement décalé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2(x+3)^{2}-5$ , donc le sommet est $S(3\,;-5)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x)=2(x+3)^{2}-5$ s'écrit $2\big(x-(-3)\big)^{2}-5$ , donc le sommet est $S(-3\,;-5)$ et l'axe de symétrie est $x=-3$ . »

(x+3)^{2}

s'annule en

x=-3

: le sommet est en vert, sur l'axe de symétrie

x=-3

. Le point rouge, lu avec le signe de la parenthèse, n'est même pas sur la courbe.

Pourquoi : La forme de référence est $a(x-\alpha)^{2}+\beta$ : le signe écrit dans la parenthèse est celui de $-\alpha$ . Le $\beta$ , lui, se lit tel quel, ce qui explique que la moitié des élèves croient qu'il en va de même pour $\alpha$ .

2. Faire sortir un nombre de la parenthèse sans le multiplier par $a$

toute la question, sommet et tracé compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2x^{2}-8x+1=2(x^{2}-4x)+1=2\big[(x-2)^{2}-4\big]+1=2(x-2)^{2}-4+1=2(x-2)^{2}-3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2\big[(x-2)^{2}-4\big]+1=2(x-2)^{2}-8+1=2(x-2)^{2}-7$ : le $-4$ était DANS la parenthèse, il ressort donc multiplié par $2$ . »

Pourquoi : C'est la seule étape de la complétion du carré où le facteur $a$ agit, et c'est précisément là qu'on le perd de vue parce que l'attention est sur le carré parfait. Le contrôle en $x=0$ l'attrape en trois secondes.

3. Chercher les racines d'un trinôme qui ne s'annule jamais

la question entière, alors que la réponse tient en deux lignes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}+2x+5=0$ : je cherche deux nombres dont la somme est $-2$ et le produit $5$ , je ne trouve pas, donc je passe la question. »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4$ . Or $(x+1)^{2}\geq 0$ , donc $x^{2}+2x+5\geq 4>0$ pour tout réel $x$ : ce trinôme ne s'annule jamais et n'admet aucune racine. »

Pourquoi : Sans discriminant, prouver l'absence de racine ne se fait pas par échec de recherche mais par la forme canonique, qui donne le minimum. Une question de contrôle formulée « démontrer que l'équation n'a pas de solution » attend exactement ces deux lignes.

4. Déclarer une inéquation sans solution parce que la parabole ne coupe pas l'axe

toute la question, et la réponse donnée est l'exact contraire de la bonne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}+2x+5>0$ : le trinôme n'a pas de racine, donc l'inéquation n'a pas de solution, $S=\varnothing$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\geq 4>0$ pour tout réel : l'inéquation est vraie partout, donc $S=\mathbb{R}$ . »

La parabole ne touche jamais l'axe des abscisses, et elle est pourtant tout entière AU-DESSUS :

x^{2}+2x+5>0

est vraie partout, donc

S=\mathbb{R}

et non

\varnothing

Pourquoi : L'absence de racine dit qu'il n'y a pas de ZÉRO, pas qu'il n'y a pas de solution. La parabole entière est d'un seul côté de l'axe, ce qui donne au contraire la réponse la plus large possible. Le piège symétrique existe : $x^{2}+2x+5<0$ donne bien $S=\varnothing$ .

5. Rendre les racines en guise de réponse à une inéquation

2 points sur 3, il ne reste que celui des racines

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}-x-6>0$ : les racines sont $-2$ et $3$ , donc $x>-2$ et $x>3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les racines sont $-2$ et $3$ , et $a=1>0$ : le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Donc $S=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ . »

Les racines

-2

3

ne sont que des frontières : le trinôme est positif à l'EXTÉRIEUR (en bleu), d'où

S=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]3\,;+\infty[

en vert sur l'axe.

Pourquoi : Une équation a des solutions ponctuelles, une inéquation a un ENSEMBLE de solutions. Les racines ne sont que les frontières de cet ensemble : elles disent où le signe change, jamais quel est ce signe.

6. Oublier que $a<0$ retourne la règle du signe

toute la question, l'ensemble trouvé est le complémentaire, aux bornes près

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-x^{2}+4>0$ : les racines sont $-2$ et $2$ , donc $S=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]2\,;+\infty[$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-x^{2}+4=-(x-2)(x+2)$ avec $a=-1<0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, donc NÉGATIF dehors et POSITIF entre. Ainsi $S=\,]-2\,;2[$ . »

Avec

a=-1<0

, la courbe est au-dessus de l'axe ENTRE les racines

-2

2

, et en dessous à l'extérieur :

S=\,]-2\,;2[

Pourquoi : La formule « à l'extérieur des racines » est retenue avec le signe plus, parce que la plupart des exemples de cours ont $a>0$ . Le contrôle en $x=0$ tranche en trois secondes : $-0+4=4>0$ , donc $0$ est solution, ce que la réponse fausse exclut.

7. Confondre l'extremum et l'abscisse où il est atteint

1 point à chaque occurrence, et souvent le point du tableau de variations

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=-3(x-4)^{2}+7$ : la fonction admet un maximum égal à $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ admet un MAXIMUM égal à $7$ , ATTEINT en $x=4$ . Le sommet est $S(4\,;7)$ . »

Le maximum est l'ORDONNÉE du sommet,

7

, lue sur l'axe vertical ; l'abscisse

4

dit seulement où il est atteint.

Pourquoi : L'extremum est une valeur de la fonction, donc une ordonnée : c'est $\beta$ . L'abscisse $\alpha$ dit seulement où il est atteint. La phrase attendue par le correcteur contient toujours les deux mots, « égal à » et « atteint en ».

8. Oublier le domaine dans un problème d'optimisation

1 à 2 points, et parfois une réponse géométriquement impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire est $A(x)=-2x^{2}+40x$ , maximale en $x=10$ . Je donne aussi la valeur en $x=25$ pour comparer. »

Ce qu'il faut écrire

« $x$ est une longueur et la seconde dimension $40-2x$ doit rester positive, donc $x$ appartient à $]0\,;20[$ . Sur cet intervalle, l'aire est maximale en $x=10$ et vaut $200$ mètres carrés. »

Seule la partie bleue, pour

x

dans

]0\,;20[

, décrit un enclos : au-delà de

20

(en rouge), le côté

40-2x

serait négatif et l'« aire » aussi.

Pourquoi : Une fonction du second degré est définie sur $\mathbb{R}$ , mais la situation ne l'est pas : une longueur négative n'existe pas. Le domaine se pose AVANT l'étude, sur une ligne dédiée, et il est presque toujours noté au barème.

Quelle méthode choisir

Quelle forme du trinôme, selon la question posée

Lire le verbe de la question, pas l'expression donnée.

Si « déterminer le sommet », « l'axe de symétrie », « le maximum », « le minimum » → forme CANONIQUE, obtenue par complétion du carré

Exemple : $2x^{2}-8x+1=2(x-2)^{2}-7$ , sommet $(2\,;-7)$
Si « résoudre $f(x)=0$ », « les points d'intersection avec l'axe des abscisses » → forme FACTORISÉE, obtenue depuis la canonique par différence de carrés

Exemple : $2(x-2)^{2}-8=2x(x-4)$ , donc $x=0$ ou $x=4$
Si « l'ordonnée à l'origine », « l'image de $0$ », « le sens d'ouverture » → forme DÉVELOPPÉE, qui donne $c$ et le signe de $a$ sans aucun calcul

Exemple : $f(x)=2x^{2}-8x+1$ donne $f(0)=1$
Si « étudier le signe de $f$ » ou « résoudre une inéquation » → forme factorisée si elle existe, sinon forme canonique pour conclure au signe constant

Exemple : $(x+1)^{2}+4>0$ pour tout $x$ , donc $S=\mathbb{R}$
Si « démontrer que l'équation n'a pas de solution » → forme canonique, puis encadrement par le carré positif

Exemple : $(x+1)^{2}+4\geq 4>0$

Aucune de ces branches n'utilise le discriminant : il n'est pas au programme de Seconde, et la forme canonique répond à toutes les questions du chapitre.

Comment factoriser un trinôme sans discriminant

Regarder l'expression, puis sa forme canonique si rien n'apparaît.

Si un facteur commun est visible dans tous les termes → mettre ce facteur en évidence, c'est fini

Exemple : $3x^{2}-12x=3x(x-4)$
Si l'expression est déjà une identité remarquable → appliquer $a^{2}-b^{2}$ ou le carré parfait

Exemple : $4x^{2}-9=(2x-3)(2x+3)$

vérifier le double produit avant de conclure au carré parfait
Si la forme canonique est $a(x-\alpha)^{2}-k$ avec $k>0$ et $a>0$ → différence de carrés : $a\big[(x-\alpha)^{2}-\big(\sqrt{k/a}\,\big)^{2}\big]$

Exemple : $2(x-2)^{2}-8=2(x-4)(x)$
Si la forme canonique est $a(x-\alpha)^{2}+k$ avec $k>0$ et $a>0$ → STOP : le trinôme ne s'annule jamais, il n'est pas factorisable, et c'est la réponse attendue

Exemple : $(x+1)^{2}+4$ vaut au moins $4$
Si l'énoncé fournit une racine $x_{1}$ → écrire $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ et identifier $x_{2}$ par le terme constant

Exemple : si $f(x)=x^{2}-5x+6$ et $x_{1}=2$ , alors $2x_{2}=6$ donc $x_{2}=3$

Si aucune branche ne s'applique, revenir à la complétion du carré : elle tranche toujours, en donnant soit une différence de carrés, soit la preuve que la factorisation est impossible.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Justifier un extremum à partir de la forme canonique

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande de démontrer qu'une fonction admet un minimum ou un maximum, ou de justifier une valeur optimale dans un problème.

1 Écrire la forme canonique obtenue, et annoncer qu'on part d'elle : « pour tout réel $x$ , $f(x)=2(x-2)^{2}-7$ ».
2 Encadrer le carré : « or $(x-2)^{2}\geq 0$ pour tout réel $x$ », c'est l'argument que le correcteur cherche.
3 Multiplier par $a$ en surveillant le sens de l'inégalité : avec $a>0$ le sens est conservé, avec $a<0$ il est RETOURNÉ.
4 Ajouter $\beta$ aux deux membres pour obtenir $f(x)\geq \beta$ , ou $f(x)\leq \beta$ selon le signe de $a$ .
5 Traiter le cas d'égalité : « avec égalité si et seulement si $x-2=0$ , c'est-à-dire $x=2$ ». Sans cette ligne, l'extremum n'est pas prouvé atteint.

Phrase de conclusion

« Pour tout réel $x$ , $f(x)\geq -7$ , avec égalité si et seulement si $x=2$ : la fonction $f$ admet donc un minimum égal à $-7$ , atteint en $x=2$ . »

Le piège : Sauter le cas d'égalité. Sans lui, on a seulement montré que $-7$ est un minorant, pas qu'il est atteint, et c'est exactement le point qui est retiré.

Barème : Souvent 1 point pour la forme canonique, 1 point pour l'encadrement du carré, 1 point pour le cas d'égalité, 1 point pour la phrase de conclusion.

Résoudre une inéquation du second degré sans discriminant

Quand l'utiliser : Dès que l'inéquation contient un $x^{2}$ et qu'il faut donner un ensemble de solutions.

1 Tout ramener dans le membre de gauche pour obtenir une comparaison à $0$ , sans jamais multiplier en croix.
2 Factoriser, en passant par la forme canonique si aucune identité n'apparaît. Si la factorisation est impossible, conclure directement au signe constant.
3 Chercher le zéro de chaque facteur du premier degré, et les ranger dans l'ordre CROISSANT.
4 Construire le tableau de signes, une ligne par facteur, une ligne pour le produit, avec le signe de $a$ reporté correctement.
5 Lire la ligne du bas et écrire l'ensemble solution en intervalles, en fermant les crochets seulement si l'inégalité est large.

Phrase de conclusion

« Le tableau montre que $x^{2}-x-6$ est strictement positif sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]3\,;+\infty[$ , donc $S=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ . »

Le piège : Reporter le signe de $a$ à l'envers quand $a<0$ . Un test rapide en $x=0$ vérifie toute la ligne du bas d'un coup.

Barème : Souvent 1 point pour la factorisation, 2 points pour le tableau, 1 point pour l'ensemble solution écrit en intervalles.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Redévelopper la forme canonique

Développer la canonique trouvée et comparer à la développée de départ. Les trois coefficients doivent coïncider.

$2(x-2)^{2}-7=2x^{2}-8x+8-7=2x^{2}-8x+1$ : le trinôme initial est retrouvé, la complétion du carré est juste.
Le test en $x=0$

Calculer l'image de $0$ dans les deux formes. Dans la développée elle vaut exactement $c$ , ce qui donne un contrôle instantané.

$2(0-2)^{2}-7=1$ et $c=1$ : cohérent. La version fausse $2(x-2)^{2}-3$ donne $5$ , donc elle est écartée en trois secondes.
La symétrie autour de $x=\alpha$

Calculer $f(\alpha-1)$ et $f(\alpha+1)$ : ces deux valeurs doivent être ÉGALES, puisque la parabole est symétrique.

Avec $\alpha=2$ , $f(1)=f(3)=-5$ . Si les deux valeurs diffèrent, le sommet trouvé est faux.
Tester un point dans chaque intervalle

Pour une inéquation, prendre un nombre simple dans chaque intervalle annoncé et un nombre en dehors, puis calculer le signe.

Sur $-x^{2}+4>0$ , le test en $x=0$ donne $4>0$ : $0$ doit donc appartenir à l'ensemble solution, ce qui élimine la réponse extérieure aux racines.

L'exercice type décortiqué

Aire maximale d'un enclos adossé à un mur

On dispose de $40$ mètres de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur, le mur formant l'un des quatre côtés.

On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprimer l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$ , et préciser l'ensemble des valeurs possibles pour $x$ .

2. Mettre $A(x)$ sous forme canonique.

3. En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale.

Le mur remplace un côté : le grillage de

40

m ne couvre que les deux côtés

x

et le côté parallèle au mur.

Étape 1

Le grillage couvre trois côtés : deux de longueur $x$ et un de longueur $L$ . Donc $2x+L=40$ , d'où $L=40-2x$ et $A(x)=x(40-2x)=-2x^{2}+40x$ .

Pourquoi

La mise en équation est la seule étape où l'énoncé peut être mal lu. Le mur remplace un côté, donc il y a trois côtés grillagés et non quatre : une figure au brouillon règle la question.

Étape 2

Une longueur est strictement positive, donc $x>0$ , et $L=40-2x>0$ donne $x<20$ . Ainsi $x$ appartient à $]0\,;20[$ .

Pourquoi

Cette ligne est presque toujours au barème, et elle protège de la réponse absurde en fin de problème. Elle se pose AVANT toute étude, pas après.

Étape 3

$A(x)=-2x^{2}+40x=-2(x^{2}-20x)$ . Or $x^{2}-20x=(x-10)^{2}-100$ , donc $A(x)=-2\big[(x-10)^{2}-100\big]=-2(x-10)^{2}+200$ .

Pourquoi

Le $-100$ traverse la parenthèse en étant multiplié par $-2$ , ce qui donne $+200$ . C'est l'étape la plus notée du problème et la plus ratée : un signe perdu ici change tout le résultat.

Étape 4

Pour tout réel $x$ , $(x-10)^{2}\geq 0$ , donc $-2(x-10)^{2}\leq 0$ , donc $A(x)\leq 200$ .

Pourquoi

La multiplication par $-2$ , qui est négatif, RETOURNE l'inégalité. C'est le seul endroit du raisonnement où le signe de $a$ intervient, et l'oublier donne un minimum au lieu d'un maximum.

Étape 5

L'égalité a lieu si et seulement si $(x-10)^{2}=0$ , c'est-à-dire $x=10$ , qui appartient bien à $]0\,;20[$ .

Pourquoi

Le cas d'égalité prouve que la borne est atteinte, et la vérification d'appartenance au domaine ferme le raisonnement. Sans elle, la réponse serait juste par chance.

Étape 6

Pour $x=10$ , la seconde dimension vaut $L=40-2\times 10=20$ mètres. L'enclos mesure donc $10$ mètres sur $20$ mètres.

Pourquoi

L'énoncé demande des DIMENSIONS, pas une valeur de $x$ . Rendre seulement $x=10$ coûte le dernier point du problème alors que tout le raisonnement est juste.

Étape 7

Contrôle : $A(10)=10\times 20=200$ , et deux valeurs voisines donnent $A(9)=9\times 22=198$ et $A(11)=11\times 18=198$ . Les deux sont bien inférieures et égales entre elles, comme l'impose la symétrie.

Pourquoi

Le test de symétrie autour du sommet valide la forme canonique et le maximum d'un seul coup, sans refaire aucun calcul littéral.

Conclusion rédigée

L'aire est maximale pour $x=10$ mètres : l'enclos mesure alors $10$ mètres sur $20$ mètres, pour une aire de $200$ mètres carrés.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $2x+2L=40$ en oubliant que le mur remplace un côté, ce qui donne un carré de $10$ mètres sur $10$ et une aire de $100$ mètres carrés. Le résultat reste plausible, donc l'erreur ne se voit qu'en relisant l'énoncé.

À savoir par cœur

• Forme canonique $a(x-\alpha)^{2}+\beta$ : sommet $(\alpha\,;\beta)$ , axe de symétrie $x=\alpha$ , et $\alpha=\frac{-b}{2a}$ .
• Le signe écrit dans la parenthèse est l'OPPOSÉ de l'abscisse du sommet.
• Dans la complétion du carré, le nombre qui sort de la parenthèse est MULTIPLIÉ par $a$ .
• $a>0$ : $\beta$ est un minimum. $a<0$ : $\beta$ est un maximum. Multiplier une inégalité par $a<0$ la retourne.
• Un trinôme de forme canonique $a(x-\alpha)^{2}+\beta$ avec $a>0$ et $\beta>0$ ne s'annule jamais : il n'est pas factorisable.
• Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.
• Sans racine, l'ensemble solution d'une inéquation est $\mathbb{R}$ ou l'ensemble vide, jamais un intervalle borné.
• L'extremum est la valeur $\beta$ ; $\alpha$ dit seulement où il est atteint. La phrase attendue contient « égal à » et « atteint en ».
• Au programme de Seconde : $x^{2}=k$ a deux, une ou aucune solution ; un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est ; on ne divise pas par $x$ .

Questions fréquentes

Le second degré est-il au programme de Seconde ?

Pas dans sa version complète. Le programme de Seconde demande de résoudre les équations du type x au carré égale a et les équations produit nul, et d'utiliser la fonction carré. La forme canonique, la factorisation d'un trinôme et l'étude de son signe arrivent en Première spécialité, avec le discriminant. S'y exercer en fin de Seconde est une excellente anticipation, à condition de savoir que ce n'est pas un attendu de l'année.

Comment trouver le sommet d'une parabole sans le discriminant ?

On met le trinôme sous forme canonique par complétion du carré. Le sommet se lit alors directement : l'abscisse est l'opposé du nombre écrit dans la parenthèse, l'ordonnée est le nombre écrit à l'extérieur. On peut aussi calculer l'abscisse par moins b sur deux a, puis obtenir l'ordonnée en remplaçant.

Comment savoir si un trinôme se factorise sans discriminant ?

On passe par la forme canonique. Si le coefficient devant le carré et le nombre ajouté à l'extérieur sont de signes contraires, on obtient une différence de deux carrés et la factorisation existe. Si le nombre ajouté est nul, le trinôme est déjà factorisé : c'est le coefficient fois un carré. S'ils sont de même signe, le trinôme garde toujours le même signe, ne s'annule jamais, et il n'est pas factorisable dans les réels.

Pourquoi le nombre qui sort de la parenthèse doit être multiplié par a ?

Parce qu'il se trouvait à l'intérieur d'une parenthèse elle-même multipliée par a. Sortir un terme d'une parenthèse, c'est distribuer le facteur qui la précède, donc ce terme est multiplié. Le contrôle le plus rapide consiste à calculer l'image de zéro dans les deux écritures : elles doivent donner le même nombre.

Que répondre à une inéquation quand la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses ?

Le trinôme garde alors le signe de son coefficient dominant sur tout l'ensemble des réels. Si ce coefficient est positif, l'expression est strictement positive partout : une inéquation strictement supérieure à zéro a pour solution tous les réels, et une inéquation strictement inférieure à zéro n'a aucune solution.

Comment rédiger la justification d'un maximum avant la Première ?

En trois lignes à partir de la forme canonique. On écrit que le carré est positif ou nul pour tout réel, on multiplie par le coefficient en retournant l'inégalité s'il est négatif, puis on traite le cas d'égalité pour dire où le maximum est atteint. La phrase finale doit contenir la valeur du maximum et l'abscisse où il est atteint.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Le second degré

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

16 exercices corrigés
160 points
225 minutes

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Le second degré Première Modélisation quadratique Première, Maths du tronc commun

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-second-degre. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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Contactez-moi pour une première séance. On reprend les gestes du second degré qui coûtent des points, de la complétion du carré jusqu'à la rédaction d'un extremum, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel des contrôles au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas.

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Fiche de révision : le second degré (Seconde)

L'essentiel

Trois écritures, trois informations différentes

La complétion du carré, en quatre gestes

Factoriser sans discriminant, ou prouver qu'on ne peut pas

Le signe du trinôme, la seule règle à retenir

Ce que le programme de Seconde demande vraiment

Les pièges qui coûtent des points

1. Lire le sommet avec le signe écrit dans la parenthèse

2. Faire sortir un nombre de la parenthèse sans le multiplier par aaa

3. Chercher les racines d'un trinôme qui ne s'annule jamais

4. Déclarer une inéquation sans solution parce que la parabole ne coupe pas l'axe

5. Rendre les racines en guise de réponse à une inéquation

6. Oublier que a<0a<0a<0 retourne la règle du signe

7. Confondre l'extremum et l'abscisse où il est atteint

8. Oublier le domaine dans un problème d'optimisation

Quelle méthode choisir

Quelle forme du trinôme, selon la question posée

Comment factoriser un trinôme sans discriminant

La rédaction attendue

Justifier un extremum à partir de la forme canonique

Résoudre une inéquation du second degré sans discriminant

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Aire maximale d'un enclos adossé à un mur

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Le second degré est-il au programme de Seconde ?

Comment trouver le sommet d'une parabole sans le discriminant ?

Comment savoir si un trinôme se factorise sans discriminant ?

Pourquoi le nombre qui sort de la parenthèse doit être multiplié par a ?

Que répondre à une inéquation quand la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses ?

Comment rédiger la justification d'un maximum avant la Première ?

Exercices corrigés : Le second degré

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2. Faire sortir un nombre de la parenthèse sans le multiplier par $a$

6. Oublier que $a<0$ retourne la règle du signe