Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : pourcentages et évolutions (Seconde)

Q: Pourquoi une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne revient pas au prix de départ ?

Parce que les deux pourcentages ne portent pas sur la même base : la hausse s'applique au prix initial, la baisse au prix déjà augmenté. En coefficients, cela donne un virgule deux multiplié par zéro virgule huit, soit zéro virgule quatre-vingt-seize. Le prix final est donc quatre pour cent plus bas que le prix de départ.

Q: Comment retrouver le prix avant une remise ?

On divise, on ne multiplie pas. Le prix final vaut le prix initial multiplié par le coefficient de la remise, donc le prix initial est le prix final divisé par ce coefficient. Après une remise de vingt pour cent, un article à quarante-huit dollars valait quarante-huit divisé par zéro virgule huit, soit soixante dollars.

Q: Quelle différence entre un point de pourcentage et un pourcentage ?

Le point de pourcentage est l'écart brut entre deux pourcentages, le pourcentage est l'évolution relative de l'un par rapport à l'autre. Quand un taux passe de quarante à quarante-quatre pour cent, il gagne quatre points de pourcentage, ce qui représente une hausse de dix pour cent. Les deux réponses sont justes, elles ne répondent pas à la même question.

Q: Comment calculer un taux moyen annuel en Seconde ?

On cherche le coefficient annuel qui, répété autant de fois qu'il y a d'années, redonne le coefficient global. Sur deux ans, c'est donc la racine carrée du coefficient global. Une hausse globale de quarante-quatre pour cent donne la racine de un virgule quarante-quatre, soit un virgule deux, c'est-à-dire vingt pour cent par an.

Q: L'ordre entre une remise et une taxe change-t-il le prix final ?

Non, et c'est une question classique de raisonnement. Chaque évolution se traduit par un facteur, et l'ordre des facteurs d'un produit ne change pas le résultat. Une remise de trente pour cent puis une taxe de quinze pour cent donnent exactement le même prix que la taxe puis la remise, soit zéro virgule huit cent cinq fois le prix affiché.

Cette fiche ne refait pas le cours sur les pourcentages : vous l'avez déjà dans votre classeur. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, le calcul à choisir selon ce que l'énoncé fournit, et la rédaction que le correcteur de Seconde attend.

Elle est écrite pour les élèves de Seconde du programme français à Montréal, en particulier au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un pourcentage ne s'additionne pas, il se multiplie. Tout le chapitre tient dans un seul objet, le coefficient multiplicateur $c=1+\frac{t}{100}$ : les évolutions successives se composent en multipliant les $c$ , l'évolution qui ramène au départ a pour coefficient $\frac{1}{c}$ , et le taux moyen annuel est la racine du coefficient global. Presque tous les points perdus viennent d'un raisonnement fait sur les taux au lieu des coefficients.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Fractions et proportionnalitéSixième
2Proportionnalité et pourcentagesCinquième
3Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième

L'essentiel

Le coefficient multiplicateur, le seul objet à manipuler

• Augmenter de $t\ \%$ , c'est multiplier par $c=1+\frac{t}{100}$ . Diminuer de $t\ \%$ , c'est multiplier par $c=1-\frac{t}{100}$ .
• Un coefficient multiplicateur est TOUJOURS strictement positif. Un $c$ négatif dans une copie signale une erreur, pas une forte baisse.
• $c>1$ signifie hausse, $c<1$ signifie baisse, $c=1$ signifie aucune variation. Ce test se fait d'un coup d'oeil.
• Du coefficient au taux : $t=(c-1)\times 100$ . Ainsi $c=0{,}96$ donne $t=-4\ \%$ , une baisse de quatre pour cent.
• Taux d'évolution de $V_{i}$ à $V_{f}$ : $t=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}$ . Le dénominateur est la valeur de DÉPART, jamais celle d'arrivée.

Le réflexe qui structure toute la copie : convertir chaque taux en coefficient dès la première ligne, faire tous les calculs sur les coefficients, ne revenir au taux qu'à la conclusion.

Composer, revenir, moyenner

• Évolutions successives : le coefficient global est le PRODUIT des coefficients, $c=c_{1}\times c_{2}\times\ldots$ . Les taux ne s'additionnent pas.
• Ce produit est commutatif : appliquer une remise puis une taxe donne exactement le même prix que la taxe puis la remise.
• Évolution réciproque, celle qui ramène au point de départ : son coefficient est $\frac{1}{c}$ , donc son taux n'est pas l'opposé du premier.
• Taux moyen annuel sur $n$ années : le coefficient annuel $c$ vérifie $c^{n}=c_{\text{global}}$ . Pour deux ans, $c=\sqrt{c_{\text{global}}}$ .
• Indice base $100$ : $I_{n}=100\times\frac{V_{n}}{V_{0}}$ . Entre deux dates, on DIVISE les indices pour obtenir le coefficient, on ne les soustrait pas.

Une seule exception apparente : quand la base est l'indice $100$ , la différence des indices coïncide avec le taux. C'est un accident de calcul, pas une règle.

Proportion, pourcentage, point de pourcentage

• Proportion d'une partie dans un tout : $p=\frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$ , et le pourcentage vaut $p\times 100$ .
• Prendre $t\ \%$ d'une quantité, c'est MULTIPLIER par $\frac{t}{100}$ . Retrouver le tout à partir d'une partie, c'est DIVISER par $\frac{t}{100}$ .
• Pourcentage d'un pourcentage : les proportions se multiplient, à condition que la seconde porte bien sur le groupe désigné par la première.
• Un POINT de pourcentage est un écart entre deux pourcentages. Passer de $40\ \%$ à $44\ \%$ , c'est $+4$ points et $+10\ \%$ .
• Les deux réponses sont justes et répondent à deux questions différentes : la première mesure l'écart, la seconde mesure l'évolution relative.

Quand l'énoncé parle d'un taux qui évolue, la question « de combien de points » et la question « de combien pour cent » n'ont jamais la même réponse.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner les taux d'évolutions successives

toute la question, et la conclusion est qualitativement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le prix augmente de $20\ \%$ puis baisse de $20\ \%$ : au total il ne change pas, l'évolution globale est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« Les coefficients sont $1{,}20$ et $0{,}80$ , donc le coefficient global est $1{,}20\times 0{,}80=0{,}96$ : le prix a globalement BAISSÉ de $4\ \%$ . »

Une hausse de

20\ \%

puis une baisse de

20\ \%

ne ramènent pas au départ : la baisse porte sur

120

et non sur

100

, donc elle retire plus qu'elle n'avait ajouté.

Pourquoi : La hausse porte sur le prix de départ et la baisse porte sur un prix déjà augmenté, donc les deux pourcentages ne s'appliquent pas à la même base. Seuls les coefficients, qui sont des facteurs, se composent par multiplication.

2. Croire que l'évolution réciproque a le taux opposé

2 points, et le prix final annoncé est faux de plus de six pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le loyer a augmenté de $25\ \%$ ; pour revenir au loyer initial, il faut donc une baisse de $25\ \%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le coefficient de la hausse est $1{,}25$ , celui du retour est $\frac{1}{1{,}25}=0{,}80$ , soit une baisse de $20\ \%$ . »

Pourquoi : Le retour au point de départ est une inversion de facteur, pas un changement de signe de taux. Contrôle immédiat : $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$ , on ne revient donc pas au prix initial avec une baisse de vingt-cinq pour cent.

3. Multiplier pour retrouver la valeur de départ

2 points, et l'erreur passe inaperçue car l'ordre de grandeur reste plausible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après une remise de $20\ \%$ , l'article coûte $48$ dollars, donc son prix initial était $48\times 1{,}20=57{,}60$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« Le prix final vaut $0{,}80$ fois le prix initial, donc le prix initial est $\frac{48}{0{,}80}=60$ dollars. Contrôle : $60\times 0{,}80=48$ . »

Pourquoi : La relation est $V_{f}=c\times V_{i}$ : pour retrouver $V_{i}$ on divise par $c$ , on ne multiplie pas par le coefficient de l'évolution inverse en le confondant avec $1+\frac{t}{100}$ . Le contrôle par le chemin retour attrape systématiquement l'erreur.

4. Confondre le point de pourcentage et le pourcentage

1 point, et systématiquement le point de l'interprétation en français

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux de réussite passe de $40\ \%$ à $44\ \%$ : il a augmenté de $4\ \%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux de réussite gagne $4$ POINTS de pourcentage. En évolution relative, il augmente de $\frac{44-40}{40}=0{,}10$ , soit $10\ \%$ . »

40\ \%

44\ \%

, l'écart vaut

4

POINTS de pourcentage. Rapporté à la valeur de départ, c'est une hausse de

10\ \%

, puisque

4

est le dixième de

40

Pourquoi : Le pourcentage mesure ici une proportion, et cette proportion évolue elle aussi. L'écart entre deux proportions se dit en points, l'évolution de la proportion se dit en pour cent : deux questions, deux réponses.

5. Prendre la moitié du taux global comme taux moyen annuel

3 points, c'est la question finale de presque tous les problèmes du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le loyer a augmenté de $44\ \%$ en deux ans, donc de $22\ \%$ par an en moyenne. »

Ce qu'il faut écrire

« Le coefficient global est $1{,}44$ et le coefficient annuel $c$ vérifie $c^{2}=1{,}44$ , donc $c=\sqrt{1{,}44}=1{,}20$ : le taux moyen annuel est $20\ \%$ . »

Pourquoi : Deux hausses de vingt-deux pour cent donneraient $1{,}22^{2}\approx 1{,}488$ , soit près de quarante-neuf pour cent, donc trop. La moyenne d'un phénomène multiplicatif est une racine, jamais une moyenne arithmétique.

6. Additionner deux pourcentages emboîtés

toute la question, et le résultat annoncé dépasse souvent cent pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $60\ \%$ des élèves sont demi-pensionnaires et $30\ \%$ des demi-pensionnaires prennent le bus, donc $90\ \%$ des élèves prennent le bus. »

Ce qu'il faut écrire

« La proportion cherchée est $0{,}60\times 0{,}30=0{,}18$ , soit $18\ \%$ des élèves. »

La bande du bas ne fait

30\ \%

que de la COLONNE des demi-pensionnaires : rapportée au carré entier, elle en occupe

0{,}60\times 0{,}30=18\ \%

, pas

90\ \%

Pourquoi : La seconde proportion est calculée sur un sous-groupe, pas sur l'ensemble : elle en prend donc une part. Le contrôle de bon sens est immédiat, une part d'une part est toujours PLUS PETITE que chacune des deux.

7. Calculer un taux d'évolution sur la valeur d'arrivée

2 points, et une incohérence avec le coefficient trouvé plus loin

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La fréquentation passe de $50$ à $60$ visiteurs : l'évolution est $\frac{60-50}{60}\approx 16{,}7\ \%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $t=\frac{60-50}{50}=0{,}20$ , soit une hausse de $20\ \%$ . Le dénominateur d'un taux d'évolution est toujours la valeur initiale. »

Pourquoi : Le taux répond à la question « quelle fraction de ce que j'avais ai-je gagné », donc la référence est ce qu'on avait. Le contrôle par le coefficient tranche : $\frac{60}{50}=1{,}2$ , ce qui donne bien vingt pour cent.

8. Croire que l'ordre entre une remise et une taxe change le prix

1 point de raisonnement, et la question « justifier » est perdue en entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Il vaut mieux demander la remise de $30\ \%$ après l'ajout de la taxe de $15\ \%$ , on paie moins cher. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux ordres donnent $0{,}70\times 1{,}15=0{,}805$ et $1{,}15\times 0{,}70=0{,}805$ : la multiplication est commutative, le prix final est identique. »

Pourquoi : Chaque évolution est un facteur, et l'ordre des facteurs d'un produit ne change pas le résultat. C'est l'une des rares questions de raisonnement du chapitre, et elle se démontre en une ligne dès qu'on travaille sur les coefficients.

Quelle méthode choisir

Quel calcul selon ce que l'énoncé fournit

Repérer les deux ou trois données chiffrées de l'énoncé et ce qui est demandé.

Si on donne la valeur INITIALE et un taux → multiplier par $c=1+\frac{t}{100}$

Exemple : $250$ dollars avec $+8\ \%$ donne $250\times 1{,}08=270$ dollars
Si on donne la valeur FINALE et un taux → diviser par $c$

Exemple : $48$ dollars après $-20\ \%$ donne $\frac{48}{0{,}80}=60$ dollars

c'est la branche que la copie confond avec la précédente
Si on donne les DEUX valeurs et on demande l'évolution → $t=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}$ , ou plus vite $c=\frac{V_{f}}{V_{i}}$

Exemple : de $50$ à $60$ , $c=1{,}2$ , donc $+20\ \%$
Si on enchaîne PLUSIEURS évolutions → multiplier les coefficients, puis convertir le produit en taux

Exemple : $+20\ \%$ puis $-20\ \%$ donne $0{,}96$ , soit $-4\ \%$
Si on demande de REVENIR à la valeur de départ → prendre le coefficient $\frac{1}{c}$

Exemple : après $+25\ \%$ , il faut $\frac{1}{1{,}25}=0{,}80$ , soit $-20\ \%$
Si on donne le global sur $n$ ans et on demande le taux annuel moyen → chercher $c$ tel que $c^{n}=c_{\text{global}}$ , donc $c=\sqrt{c_{\text{global}}}$ pour deux ans

Exemple : $+44\ \%$ sur deux ans donne $c=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$ , soit $+20\ \%$ par an

Si aucune branche ne s'applique, c'est souvent que l'énoncé parle de proportions et non d'évolutions : on revient alors à la définition partie sur tout.

Points, pour cent, ou proportion ? Le mot de l'énoncé décide

Lire le groupe de mots qui suit le nombre, pas le nombre.

Si l'énoncé écrit « de combien de POINTS » → soustraire les deux pourcentages

Exemple : de $40\ \%$ à $44\ \%$ : $+4$ points
Si l'énoncé écrit « de combien POUR CENT » ou « quelle évolution » → appliquer la formule du taux d'évolution aux deux pourcentages

Exemple : de $40\ \%$ à $44\ \%$ : $+10\ \%$
Si l'énoncé écrit « quelle PART » ou « quelle proportion de l'ensemble » → diviser l'effectif de la partie par l'effectif total

Exemple : $18$ élèves sur $120$ font $0{,}15$ , soit $15\ \%$
Si l'énoncé emboîte deux pourcentages, « $t_{2}\ \%$ des $t_{1}\ \%$ » → multiplier les deux proportions

Exemple : $30\ \%$ des $60\ \%$ font $0{,}18$ , soit $18\ \%$

Quand l'énoncé demande d'INTERPRÉTER, la réponse attendue est une phrase avec la grandeur, la période et le sens de l'évolution, pas un nombre seul.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une suite d'évolutions et conclure

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé enchaîne deux évolutions ou plus, ou demande une évolution globale, un taux moyen ou un retour au point de départ.

1 Écrire chaque taux sous forme de coefficient sur une ligne dédiée : « une hausse de $8\ \%$ correspond au coefficient $c_{1}=1{,}08$ ».
2 Multiplier les coefficients pour obtenir le coefficient global, en gardant toutes les décimales de la calculatrice à ce stade.
3 Traduire le coefficient global en taux : $t=(c-1)\times 100$ , en précisant le sens, hausse si $c>1$ , baisse si $c<1$ .
4 Arrondir seulement à la conclusion, en indiquant l'arrondi choisi : « soit environ $20{,}96\ \%$ à $0{,}01$ près ».
5 Terminer par une phrase en français qui nomme la grandeur, la période et le sens de l'évolution.

Phrase de conclusion

« Le coefficient global est $1{,}08\times 1{,}12=1{,}2096$ , donc le loyer a augmenté d'environ $20{,}96\ \%$ sur les deux années. »

Le piège : Arrondir chaque coefficient intermédiaire à deux décimales, puis multiplier : l'erreur s'accumule et le taux final peut se décaler de plusieurs dixièmes de point.

Barème : Souvent 1 point par coefficient correctement posé, 1 point pour le produit, 1 point pour la conversion en taux, 1 point pour la phrase d'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le coefficient est positif, et son côté de $1$ dit le sens

Avant tout calcul, regarder le coefficient obtenu : il doit être strictement positif, plus grand que $1$ pour une hausse, plus petit pour une baisse.

Un coefficient de $-0{,}2$ trouvé pour une baisse de vingt pour cent signale qu'on a écrit $\frac{t}{100}$ au lieu de $1-\frac{t}{100}$ .
Le test sur $100$

Refaire l'énoncé en partant de $100$ dollars ou $100$ personnes. Les pourcentages deviennent des nombres et le résultat se lit directement.

$100$ euros, $+20\ \%$ donne $120$ , puis $-20\ \%$ donne $96$ : la baisse globale de quatre pour cent apparaît sans aucune formule.
Le chemin retour

Reprendre la valeur trouvée et lui appliquer l'évolution de l'énoncé : on doit retomber exactement sur la valeur donnée.

Prix initial trouvé $60$ dollars, remise de vingt pour cent : $60\times 0{,}80=48$ dollars, ce qui est bien la valeur de l'énoncé.
Les bornes de bon sens

Une baisse ne dépasse jamais $100\ \%$ , une proportion reste entre $0$ et $1$ , et une part d'une part est plus petite que chacune des deux.

Une réponse annonçant que quatre-vingt-dix pour cent des élèves prennent le bus alors que soixante pour cent seulement sont demi-pensionnaires est impossible.

L'exercice type décortiqué

Du taux global au taux moyen annuel, puis au retour

Un loyer augmente de $8\ \%$ la première année, puis de $12\ \%$ la seconde.

1. Calculer le taux d'évolution global sur les deux années.

2. Déterminer le taux moyen annuel, arrondi à $0{,}01\ \%$ près.

3. Quel taux d'évolution ramènerait le loyer à sa valeur initiale ?

Étape 1

Les coefficients sont $c_{1}=1+\frac{8}{100}=1{,}08$ et $c_{2}=1+\frac{12}{100}=1{,}12$ .

Pourquoi

Cette ligne vaut un point à elle seule et elle empêche l'erreur la plus fréquente du chapitre : une fois les taux convertis en coefficients, l'addition des taux devient impossible à écrire.

Étape 2

Le coefficient global est $c=c_{1}\times c_{2}=1{,}08\times 1{,}12=1{,}2096$ .

Pourquoi

Les évolutions se composent par multiplication parce que la seconde s'applique au loyer déjà augmenté. On garde les quatre décimales exactes, l'arrondi n'arrive qu'à la conclusion.

Étape 3

$t=(1{,}2096-1)\times 100=20{,}96$ . Le loyer a donc augmenté de $20{,}96\ \%$ sur deux ans, et non de $20\ \%$ .

Pourquoi

La somme des taux donnerait vingt pour cent, et l'écart de presque un point mesure exactement l'effet de composition. C'est cet écart que la question veut faire apparaître.

Étape 4

Le taux moyen annuel correspond à un coefficient $c_{m}$ tel que $c_{m}^{2}=1{,}2096$ , donc $c_{m}=\sqrt{1{,}2096}\approx 1{,}0998$ .

Pourquoi

Le taux moyen est celui qui, répété deux fois, produit la même évolution globale. La définition est multiplicative, donc l'outil est la racine carrée et non une demi-somme.

Étape 5

$t_{m}=(1{,}0998-1)\times 100\approx 9{,}98$ . Le taux moyen annuel est d'environ $9{,}98\ \%$ .

Pourquoi

Le résultat est légèrement inférieur à la moyenne arithmétique $\frac{8+12}{2}=10$ , et c'est toujours le cas. Savoir que le taux moyen est un peu plus petit sert de contrôle instantané.

Étape 6

Le coefficient de retour est $\frac{1}{1{,}2096}\approx 0{,}8267$ , donc le taux cherché est environ $-17{,}33\ \%$ .

Pourquoi

On inverse le coefficient, on ne change pas le signe du taux : une baisse de $20{,}96\ \%$ ne ramènerait pas au loyer initial mais en dessous. La question sépare ceux qui ont compris le rôle du coefficient de ceux qui appliquent des recettes.

Étape 7

Contrôle : $1{,}2096\times 0{,}8267\approx 1{,}0000$ , et $1{,}0998^{2}\approx 1{,}2096$ . Les deux résultats sont cohérents avec le coefficient global.

Pourquoi

Chaque réponse se teste en repassant par le coefficient global, sans refaire aucun calcul de l'énoncé. Ce contrôle attrape aussi bien une racine oubliée qu'une inversion manquée.

Conclusion rédigée

Sur deux ans le loyer augmente de $20{,}96\ \%$ , ce qui correspond à un taux moyen annuel d'environ $9{,}98\ \%$ ; une baisse d'environ $17{,}33\ \%$ le ramènerait à sa valeur initiale.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $20\ \%$ à la question 1, $10\ \%$ à la question 2 et $-20{,}96\ \%$ à la question 3. Les trois erreurs viennent du même geste, raisonner sur les taux au lieu des coefficients.

À savoir par cœur

• Augmenter de $t\ \%$ , c'est multiplier par $1+\frac{t}{100}$ ; diminuer de $t\ \%$ , c'est multiplier par $1-\frac{t}{100}$ .
• Un coefficient multiplicateur est toujours strictement positif : $c>1$ pour une hausse, $c<1$ pour une baisse.
• Évolutions successives : les coefficients se MULTIPLIENT, les taux ne s'additionnent jamais.
• Évolution réciproque : coefficient $\frac{1}{c}$ , jamais le taux opposé.
• Taux d'évolution : $t=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}$ , le dénominateur est la valeur de DÉPART.
• Taux moyen annuel sur deux ans : $c=\sqrt{c_{\text{global}}}$ , et il est toujours un peu plus petit que la moyenne des taux.
• Un point de pourcentage n'est pas un pour cent : de $40\ \%$ à $44\ \%$ , c'est $+4$ points et $+10\ \%$ .
• Indices base $100$ : on DIVISE les indices pour obtenir le coefficient multiplicateur.

Questions fréquentes

Pourquoi une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne revient pas au prix de départ ?

Parce que les deux pourcentages ne portent pas sur la même base : la hausse s'applique au prix initial, la baisse au prix déjà augmenté. En coefficients, cela donne un virgule deux multiplié par zéro virgule huit, soit zéro virgule quatre-vingt-seize. Le prix final est donc quatre pour cent plus bas que le prix de départ.

Comment retrouver le prix avant une remise ?

On divise, on ne multiplie pas. Le prix final vaut le prix initial multiplié par le coefficient de la remise, donc le prix initial est le prix final divisé par ce coefficient. Après une remise de vingt pour cent, un article à quarante-huit dollars valait quarante-huit divisé par zéro virgule huit, soit soixante dollars.

Quelle différence entre un point de pourcentage et un pourcentage ?

Le point de pourcentage est l'écart brut entre deux pourcentages, le pourcentage est l'évolution relative de l'un par rapport à l'autre. Quand un taux passe de quarante à quarante-quatre pour cent, il gagne quatre points de pourcentage, ce qui représente une hausse de dix pour cent. Les deux réponses sont justes, elles ne répondent pas à la même question.

Comment calculer un taux moyen annuel en Seconde ?

On cherche le coefficient annuel qui, répété autant de fois qu'il y a d'années, redonne le coefficient global. Sur deux ans, c'est donc la racine carrée du coefficient global. Une hausse globale de quarante-quatre pour cent donne la racine de un virgule quarante-quatre, soit un virgule deux, c'est-à-dire vingt pour cent par an.

L'ordre entre une remise et une taxe change-t-il le prix final ?

Non, et c'est une question classique de raisonnement. Chaque évolution se traduit par un facteur, et l'ordre des facteurs d'un produit ne change pas le résultat. Une remise de trente pour cent puis une taxe de quinze pour cent donnent exactement le même prix que la taxe puis la remise, soit zéro virgule huit cent cinq fois le prix affiché.

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Exercices corrigés : Pourcentages et évolutions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
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