Maths Seconde, programme français • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : les inéquations et les inégalités (Seconde)

Les inéquations se résolvent comme les équations à un détail près, et ce détail fait perdre plus de points que tout le reste du chapitre : à chaque ligne, il faut savoir ce que l'opération employée a fait au SENS de l'inégalité. Un élève qui divise par $-2$ sans renverser obtient la demi-droite de l'autre côté de la borne, et rien dans sa copie ne le trahit.

Cette fiche ne réécrit pas le cours, que vous avez déjà. Elle rassemble ce qui se corrige vraiment sur les copies de Seconde : le sens, les crochets, l'intersection d'un système, et les encadrements dont la différence et le quotient obéissent à une règle que presque personne n'écrit correctement du premier coup.

Mis à jour le 3 novembre 2026

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Le fil du chapitre

Dans une équation on ne surveille que la valeur ; dans une inéquation on surveille aussi le SENS, à chaque ligne, et le crochet de la réponse se décide avant sa borne.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 11 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Fractions et proportionnalité Sixième
2 Les fractions Cinquième
3 Le calcul littéral Cinquième
4 Multiplication et division de relatifs Quatrième
5 Opérations sur les fractions Quatrième
6 Puissances et écriture scientifique Quatrième
7 Calcul littéral et équations Quatrième
8 Développer et factoriser Troisième
9 Équations, équations produit et inéquations Troisième
10 Ensembles de nombres et intervalles

Notions couvertes

Inéquation du premier degré
Sens d'une inégalité
Multiplication par un nombre négatif
Ensemble des solutions
Intervalles et crochets
Système de deux inéquations
Encadrement d'une expression
Signe de la différence
Mise en inéquation d'un problème

L'essentiel

Les seules opérations autorisées, et ce qu'elles font au sens

• Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres : le sens ne change JAMAIS.
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement POSITIF : le sens est conservé.
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement NÉGATIF : le sens est RENVERSÉ.
• Par une quantité de signe inconnu ( $x+2$ , un paramètre $m$ ), on ne multiplie pas : il faudrait d'abord discuter son signe.
• Dans un encadrement à trois membres, chaque opération s'applique aux TROIS, et un facteur négatif échange en plus les deux bornes.

Multiplier par

-2

envoie

a=-3

sur

6

b=2

sur

-4

: les deux flèches se croisent, donc

a<b

devient

-2a>-2b

Écrire à côté du calcul « je divise par $-3$ , donc je renverse » ne coûte rien et évite l'erreur la plus chère du chapitre.

Le crochet se lit dans l'inégalité, pas dans le dessin

• $\le$ et $\ge$ ferment le crochet : la borne fait partie des solutions.
• $<$ et $>$ l'ouvrent : la borne est exclue.
• Du côté de $+\infty$ ou de $-\infty$ , le crochet est TOUJOURS ouvert : $[4\ ;+\infty[$ , jamais $[4\ ;+\infty]$ .
• Le crochet ouvert du côté de l'infini se tourne vers l'extérieur : $]-\infty\ ;3]$ et $[3\ ;+\infty[$ .
• Quand on renverse une inéquation, chaque borne emporte SON crochet : de $-8\le -2x<-1$ on tire $4\ge x>\frac{1}{2}$ , soit $]0{,}5\ ;4]$ .

x\le 1

donne

]-\infty\,;1]

, crochet fermé sur

1

(en bleu) ;

x>3

donne

]3\,;+\infty[

, crochet ouvert (en orange). Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.

Le correcteur lit l'ensemble des solutions avant le calcul : un crochet faux sur une réponse juste coûte un demi-point à chaque question.

Les trois formes possibles d'un ensemble de solutions

• Un intervalle, borné ou non : c'est le cas ordinaire.
• L'ensemble vide $\varnothing$ : l'inconnue a disparu en laissant une affirmation FAUSSE, comme $-11\ge 1$ .
• $\mathbb{R}$ tout entier : l'inconnue a disparu en laissant une affirmation VRAIE, comme $7<8$ .
• Une réunion de deux intervalles n'apparaît pas au premier degré : elle vient des inéquations produit et quotient, qui sont un autre chapitre.

Un intervalle (en bleu), aucun nombre (

\varnothing

: rien n'est colorié), ou toute la droite (

\mathbb{R}

, en vert).

$\varnothing$ et $\mathbb{R}$ sont des réponses, pas des signes d'échec. Elles valent tous leurs points si la phrase de conclusion est écrite.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce que chaque opération fait au sens de $a<b$

On part de $a<b$ , illustré par $a=-3$ et $b=2$ . La dernière colonne dit ce qu'on a le droit d'écrire ensuite. Une case rouge n'est pas une réponse : c'est l'ordre de vérifier un signe avant de conclure.

Opération	Sur $a=-3$ et $b=2$	Le sens
$+7$	$4<9$	conservé
Exemple : $-3+7=4$ et $2+7=9$ : l'ordre est le même qu'au départ.
$\times 3$	$-9<6$	conservé
Exemple : $-3\times 3=-9$ et $2\times 3=6$ , et $-9<6$ .
$\times(-5)$	$15>-10$	renversé
Exemple : $-3\times(-5)=15$ et $2\times(-5)=-10$ , et $15>-10$ .
$(\ )^{2}$	$9>4$	aucune règle aucune règle
Exemple : $(-3)^{2}=9$ et $2^{2}=4$ : l'ordre s'est inversé. Même forme, autre résultat : $1<2$ donne $1<4$ : même forme, conclusion contraire. Ce qu'il faut faire : Vérifier le signe d'abord : si $0\le a<b$ , alors $a^{2}<b^{2}$ .
$\frac{1}{\ \ }$	$-\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$	aucune règle aucune règle
Exemple : $\frac{1}{-3}\approx -0{,}33$ et $\frac{1}{2}=0{,}5$ : l'ordre est conservé. Même forme, autre résultat : $1<2$ donne $1>0{,}5$ : même forme, sens contraire. Ce qu'il faut faire : Exiger $a$ et $b$ de MÊME signe ; le sens se renverse alors.

Les deux cases rouges ont la même cause : le passage par zéro. Tant que les deux nombres sont du même côté de $0$ , la règle existe.

Les quatre encadrements, avec $2\le x\le 5$ et $1\le y\le 3$

Une seule opération est autorisée sur deux encadrements, l'addition membre à membre. Les trois autres s'y ramènent, et la dernière ligne rappelle celle qui n'existe pas.

On cherche	Le geste	Le résultat
$x+y$	additionner	$3\le x+y\le 8$
Exemple : $2+1=3$ et $5+3=8$ : les deux bornes sont atteintes.
$x-y$	encadrer $-y$ , puis additionner	$-1\le x-y\le 4$
Exemple : $-3\le -y\le -1$ , donc $2-3=-1$ et $5-1=4$ .
$xy$	bornes positives, multiplier	$2\le xy\le 15$
Exemple : $2\times 1=2$ et $5\times 3=15$ .
$\frac{x}{y}$	encadrer $\frac{1}{y}$ , puis multiplier	$\frac{2}{3}\le\frac{x}{y}\le 5$
Exemple : $\frac{1}{3}\le\frac{1}{y}\le 1$ , donc $\frac{2}{3}\approx 0{,}67$ et $\frac{5}{1}=5$ .
$x-y$	soustraire	n'existe pas règle inexistante
Exemple : On obtiendrait $2-1\le x-y\le 5-3$ , soit $1\le x-y\le 2$ , alors que $x=2$ et $y=3$ donnent $-1$ . Ce qu'il faut faire : Encadrer $-y$ d'abord, puis additionner : $-1\le x-y\le 4$ .

La plus petite différence, c'est le plus petit $x$ moins le plus GRAND $y$ ; le plus petit quotient, le plus petit $x$ divisé par le plus GRAND $y$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Diviser par un nombre négatif sans renverser le sens

toute la question, 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-2x\le 8$ , donc $x\le -4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-2x\le 8$ ; je divise par $-2$ , qui est négatif, donc l'inégalité se renverse : $x\ge -4$ , soit $S=[-4\ ;+\infty[$ . »

La réponse fausse (en rouge) est de l'AUTRE CÔTÉ de la borne par rapport à la juste (en vert) : elles ne partagent que

-4

, que la vérification sur la borne ne départage donc pas.

Pourquoi : L'ensemble obtenu est de l'autre côté de la borne : avec le bon, il ne partage que $-4$ , donc vérifier sa réponse sur la seule borne ne révèle jamais l'erreur.

2. Multiplier par le dénominateur commun en oubliant un terme

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $7-\frac{x}{2}\le\frac{x-4}{3}$ , donc $7-3x\le 2x-8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je multiplie CHAQUE terme des deux membres par $6$ : $42-3x\le 2x-8$ , donc $50\le 5x$ et $x\ge 10$ . »

Le terme

7

oublié déplace toute la réponse :

x\ge 3

(en rouge) au lieu de

x\ge 10

(en vert), deux ensembles de la même allure.

Pourquoi : Le terme sans dénominateur est celui qu'on oublie, et la réponse fausse ( $x\ge 3$ ) a exactement la même allure que la bonne : rien ne signale l'erreur sur la copie.

3. Fermer le crochet du côté de l'infini

0,5 point à chaque question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $S=[-4\ ;+\infty]$ »

Ce qu'il faut écrire

« $S=[-4\ ;+\infty[$ » : l'infini n'est pas un nombre, il ne peut jamais être atteint, donc son crochet est toujours ouvert.

Pourquoi : C'est la faute la moins chère et la plus répétée : elle se paie à toutes les questions d'un devoir, donc elle coûte parfois plus qu'un calcul raté.

4. Soustraire deux encadrements membre à membre

2 points, et tout ce qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2\le x\le 5$ et $1\le y\le 3$ , donc $2-1\le x-y\le 5-3$ , soit $1\le x-y\le 2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« J'encadre d'abord $-y$ : de $1\le y\le 3$ je tire $-3\le -y\le -1$ , puis j'additionne : $-1\le x-y\le 4$ . »

x=2

y=3

respectent les deux encadrements de départ et donnent

x-y=-1

, qui tombe hors du segment obtenu en soustrayant.

Pourquoi : Dans une différence, $y$ agit en sens contraire de $x$ : la plus petite différence se fait avec le plus GRAND $y$ . Aucune règle de soustraction membre à membre n'existe.

5. Prendre la réunion au lieu de l'intersection dans un système

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x\le 3$ ou $x>-1$ , donc tous les réels conviennent : $S=\mathbb{R}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux conditions doivent être vraies EN MÊME TEMPS : $S=]-\infty\ ;3]\cap\,]-1\ ;+\infty[\,=\,]-1\ ;3]$ . »

Seule la zone commune aux deux demi-droites convient :

]-1\ ;3]

, ouvert en

-1

et fermé en

3

, chaque borne gardant le crochet de l'inéquation d'où elle vient.

Pourquoi : Un système impose un « et », jamais un « ou ». Le mot « ou » n'apparaît qu'en conclusion d'une inéquation produit, qui est un autre chapitre.

6. Croire qu'une inéquation sans solution est une inéquation ratée

1,5 point, et le temps perdu à tout refaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3(x-2)-5\ge 3x+1$ donne $-11\ge 1$ : je me suis trompé quelque part. »

Ce qu'il faut écrire

« Les termes en $x$ se simplifient et il reste $-11\ge 1$ , qui est faux pour tout $x$ : $S=\varnothing$ . »

Le membre de gauche,

3(x-2)-5=3x-11

(en bleu), reste toujours

12

sous le membre de droite

3x+1

(en orange) : il n'est jamais au-dessus, donc

S=\varnothing

Pourquoi : Quand l'inconnue disparaît, l'affirmation numérique restante EST la réponse : fausse elle donne $\varnothing$ , vraie elle donne $\mathbb{R}$ . Les deux membres sont alors deux droites parallèles.

7. Traduire « au plus » et « au moins » à l'envers

1 point, et la conclusion du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le double augmenté de $3$ vaut au plus $11$ , donc $2x+3<11$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Au plus $11$ signifie $\le 11$ : $2x+3\le 11$ , donc $x\le 4$ et la valeur $4$ est acceptée. »

« Au plus

11

» accepte la valeur

11

: la borne

4

est INCLUSE (crochet fermé, en vert), et c'est souvent elle que le problème attend.

Pourquoi : « Au plus » et « au moins » sont LARGES, « strictement plus que » et « dépasse » sont stricts. Un problème sur deux se joue sur ce mot, et la borne exclue à tort est souvent la réponse attendue.

8. Prendre la racine des deux membres d'une inéquation de carrés

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(2x+1)^{2}\le (2x-3)^{2}$ , donc $2x+1\le 2x-3$ , donc $1\le -3$ : aucune solution. »

Ce qu'il faut écrire

« Je développe : $4x^{2}+4x+1\le 4x^{2}-12x+9$ ; les $4x^{2}$ se simplifient, donc $16x\le 8$ et $x\le\frac{1}{2}$ . »

La courbe bleue reste sous l'orange tant que

x\le\frac{1}{2}

(en vert sur l'axe) : l'inéquation a une infinité de solutions, pas aucune.

Pourquoi : $\sqrt{a^{2}}=|a|$ et non $a$ : passer à la racine perd le signe. Les carrés identiques des deux côtés se simplifient tout seuls, et l'inéquation est en réalité du premier degré.

9. Compter les entiers d'un intervalle en oubliant le crochet

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $S=]-1\ ;3]$ contient $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ et $3$ : cinq entiers. »

Ce qu'il faut écrire

« Le crochet est ouvert en $-1$ , donc $-1$ est exclu : les entiers sont $0$ , $1$ , $2$ et $3$ , il y en a quatre. »

Dans

]-1\,;3]

, le crochet ouvert exclut

-1

(en rouge) : il reste les quatre entiers

0

1

2

3

(en vert).

Pourquoi : L'erreur d'un cran à chaque bout est la plus fréquente de ce type de question. Placer les entiers sur une droite graduée la rend visible immédiatement.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'inéquation

On regarde l'écriture, pas le thème : c'est la forme du membre de gauche et du membre de droite qui décide de la première ligne à écrire.

Si des parenthèses dans l'un des membres → développer d'abord, en distribuant le signe sur TOUS les termes

Exemple : $-4(x-3)=-4x+12$ , et non $-4x-12$

le signe moins devant une parenthèse est le premier fournisseur d'erreurs du chapitre
Si un ou plusieurs dénominateurs → multiplier les deux membres par le ppcm, chaque terme y compris ceux sans dénominateur

Exemple : $7-\frac{x}{2}\le\frac{x-4}{3}$ devient $42-3x\le 2x-8$
Si des carrés ou un produit des deux côtés → développer : si les termes en $x^{2}$ sont les mêmes des deux côtés, ils se simplifient et il reste du premier degré ; sinon, factoriser et faire un tableau de signes

Exemple : $(2x+1)^{2}\le (2x-3)^{2}$ devient $16x\le 8$
Si l'inconnue disparaît en cours de route → lire l'affirmation restante : vraie donne $\mathbb{R}$ , fausse donne $\varnothing$

Exemple : $-11\ge 1$ est faux, donc $S=\varnothing$
Si deux conditions reliées par « et », ou une accolade → résoudre chacune séparément, puis prendre l'INTERSECTION

Exemple : $x\le 3$ et $x>-1$ donnent $]-1\ ;3]$
Si un encadrement à trois membres → appliquer chaque opération aux trois membres à la fois

Exemple : $-3\le 5-2x<4$ devient $-8\le -2x<-1$ , puis $]0{,}5\ ;4]$

un facteur négatif renverse les deux inégalités ET échange les bornes

Une inéquation avec l'inconnue au dénominateur, ou un produit de deux facteurs comparé à zéro, ne se traite PAS ici : elle relève du tableau de signes, au chapitre des fonctions affines.

Quel symbole pour quel mot de l'énoncé

Dans un problème, le symbole est décidé par un mot et un seul. On le souligne dans l'énoncé avant d'écrire quoi que ce soit.

Si « au plus », « ne dépasse pas », « au maximum » → $\le$ , borne INCLUSE

Exemple : un budget d'au plus $50$ dollars donne $p\le 50$
Si « au moins », « au minimum » → $\ge$ , borne incluse

Exemple : obtenir au moins $12$ de moyenne donne $m\ge 12$
Si « strictement plus que », « dépasse », « excède » → $>$ , borne EXCLUE

Exemple : dépasser $100$ clients donne $n>100$
Si « moins cher que », « avant », « plus petit que » → $<$ , borne exclue

Exemple : le tarif B moins cher que le tarif A donne $7x+60<12x$
Si « compris entre $a$ et $b$ » → un encadrement $a\le x\le b$ , à traiter d'un bloc

Exemple : une note comprise entre $10$ et $16$ donne $10\le x\le 16$

Quand l'énoncé ne tranche pas, on choisit la borne INCLUSE et on le dit dans la copie : « je considère que la valeur $50$ est acceptée ». Un correcteur accepte une hypothèse écrite, jamais une hypothèse muette.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une inéquation et présenter l'ensemble des solutions

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé dit « résoudre dans $\mathbb{R}$ » ou « donner l'ensemble des solutions ».

1 Développer et réduire chaque membre séparément, sans rien faire passer de l'autre côté pour l'instant.
2 Regrouper les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l'autre, en disant l'opération employée.
3 Diviser par le coefficient de $x$ EN NOMMANT son signe : « je divise par $-3$ , qui est négatif, donc je renverse ».
4 Écrire l'ensemble des solutions en intervalle, en relisant l'inégalité pour choisir chaque crochet.
5 Conclure par une phrase, même quand la réponse tient en trois symboles.

Phrase de conclusion

« L'ensemble des solutions de cette inéquation est $S=\left[-\frac{5}{2}\ ;+\infty\right[$ . »

Le piège : Sauter l'étape 3 quand le coefficient est négatif : c'est là que le sens se perd, et c'est l'étape que le barème attend explicitement.

Barème : 1 point le développement, 1 point le regroupement, 1 point le sens de la division, 1 point l'écriture en intervalle.

Mettre un problème en inéquation

Quand l'utiliser : L'énoncé raconte une situation et demande « à partir de combien », « au plus combien », « pour quelles valeurs ».

1 Nommer l'inconnue et dire ce qu'elle représente, avec son domaine : « soit $x$ la note du dernier devoir, avec $0\le x\le 20$ ».
2 Traduire la condition en inéquation, en soulignant le mot qui donne le symbole.
3 Résoudre l'inéquation obtenue, comme un exercice de calcul ordinaire.
4 Confronter l'ensemble trouvé au domaine de l'inconnue : une note supérieure à $20$ ou un nombre de sacs négatif sont à rejeter.
5 Répondre à la question posée, dans les mots de l'énoncé et avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Léa doit obtenir au moins $13$ sur $20$ au quatrième devoir pour atteindre une moyenne de $12$ . »

Le piège : Oublier l'étape 4. L'inéquation $\frac{35+x}{4}\ge 15$ a pour solutions $[25\ ;+\infty[$ , et pourtant le problème n'en a aucune, puisqu'une note ne dépasse pas $20$ .

Barème : 1 point l'inconnue et son domaine, 1 point la mise en inéquation, 1 point la résolution, 1 point la phrase de réponse.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester une valeur de chaque côté de la borne

Prendre un nombre franchement dans l'intervalle trouvé, puis un nombre franchement dehors, et remplacer dans l'inéquation de DÉPART, jamais dans une ligne intermédiaire.

Pour $S=[4\ ;+\infty[$ sur $5x-3\ge 2x+9$ : $x=5$ donne $22\ge 19$ , vrai ✓, et $x=3$ donne $12\ge 15$ , faux ✓. Si la valeur prise dans l'intervalle échoue et que l'autre passe, le sens a été perdu ; si les deux passent ou les deux échouent, c'est la borne qui est fausse.
Tester la borne elle-même pour valider le crochet

Remplacer $x$ par la borne : si les deux membres deviennent égaux, le crochet est fermé quand l'inégalité est large, ouvert quand elle est stricte.

Sur $\frac{x-5}{3}+\frac{x+4}{2}\le x-8$ , la valeur $x=50$ donne $15+27=42$ à gauche et $42$ à droite : égalité, donc le crochet de $[50\ ;+\infty[$ est bien fermé.
Compter les renversements

Relire la copie et compter les multiplications ou divisions par un nombre négatif. Le sens final doit avoir changé un nombre impair de fois s'il y en a eu un nombre impair.

Une résolution qui part de $\le$ , divise une seule fois par $-18$ et arrive à $\le$ est forcément fausse : il fallait $\ge$ .
Confronter la réponse au bon sens du problème

Dans un problème, relire l'ensemble trouvé en français : une note sur $20$ , un nombre d'objets, une durée sont bornés et souvent entiers.

Trouver « au moins $25$ sur $20$ » n'est pas une erreur de calcul, c'est la preuve que l'objectif est inatteignable, et cela s'écrit.
La calculatrice, en table de valeurs

Entrer les deux membres en $Y_1$ et $Y_2$ (menu Table sur Casio, touche $f(x)$ sur TI), afficher la table, et lire à partir de quelle valeur $Y_1$ dépasse $Y_2$ .

Sur $5x-3\ge 2x+9$ , la table montre $Y_1=Y_2=17$ en $x=4$ puis $Y_1>Y_2$ ensuite : la borne $4$ et le sens sont confirmés en dix secondes.

L'exercice type décortiqué

Un système complet, du type qui tombe en devoir surveillé

Résoudre dans $\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} \frac{x+3}{2}-\frac{x-1}{3}\le 2 \\ 5-3x<11 \end{cases}$

puis donner tous les entiers qui en sont solutions.

Étape 1

Première inéquation : je multiplie les deux membres par $6$ , qui est positif, donc le sens est conservé. $3(x+3)-2(x-1)\le 12$ .

Pourquoi

Le $2$ du membre de droite est multiplié lui aussi : c'est le terme sans dénominateur qu'on oublie, et l'oublier fausse tout le reste sans que rien ne le signale.

Étape 2

Je développe en distribuant le signe moins : $3x+9-2x+2\le 12$ , soit $x+11\le 12$ , donc $x\le 1$ .

Pourquoi

$-2(x-1)$ vaut $-2x+2$ et non $-2x-2$ . Le coefficient de $x$ est ici positif, donc aucun renversement à cette étape.

Étape 3

Deuxième inéquation : $5-3x<11$ donne $-3x<6$ . Je divise par $-3$ , qui est NÉGATIF, donc l'inégalité se renverse : $x>-2$ .

Pourquoi

C'est l'étape que le barème vise. L'écrire en toutes lettres vaut son point même si la suite comporte une erreur de calcul.

Étape 4

Je croise les deux conditions : $x\le 1$ ET $x>-2$ . L'intersection est $S=\,]-2\ ;1]$ .

Pourquoi

Chaque borne conserve le crochet de l'inéquation d'où elle vient : ouvert en $-2$ à cause du $<$ strict, fermé en $1$ à cause du $\le$ .

Étape 5

Vérification : $x=1$ donne $2-0=2\le 2$ ✓ et $5-3=2<11$ ✓. $x=-2$ donne $5+6=11<11$ , faux ✓. $x=2$ donne $\frac{5}{2}-\frac{1}{3}\approx 2{,}17\le 2$ , faux ✓.

Pourquoi

Trois tests suffisent : un à chaque borne, un à l'extérieur. Ils valident à la fois le sens et les deux crochets.

Étape 6

Les entiers de $]-2\ ;1]$ sont $-1$ , $0$ et $1$ : il y en a trois.

Pourquoi

$-2$ est exclu par le crochet ouvert, $1$ est inclus par le crochet fermé. C'est là que se perd le point d'un cran à chaque bout.

Conclusion rédigée

« L'ensemble des solutions du système est $S=\,]-2\ ;1]$ , et les entiers solutions sont $-1$ , $0$ et $1$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $S=\,]-\infty\ ;1]\cup\,]-2\ ;+\infty[$ , c'est-à-dire $\mathbb{R}$ : c'est la réunion, alors qu'un système demande l'intersection. La réponse couvre alors toute la droite, ce qui devrait alerter puisque $x=10$ ne vérifie visiblement pas la première inéquation.

À savoir par cœur

• Multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF renverse le sens ; par un positif, jamais.
• $\le$ ferme le crochet, $<$ l'ouvre, et le crochet est TOUJOURS ouvert du côté de l'infini.
• « Au plus » donne $\le$ , « au moins » donne $\ge$ , « dépasse » donne $>$ .
• Deux encadrements s'ADDITIONNENT ; pour $x-y$ , encadrer $-y$ puis additionner.
• Un système, c'est une INTERSECTION : les deux conditions à la fois.
• Quand l'inconnue disparaît : affirmation vraie donne $\mathbb{R}$ , affirmation fausse donne $\varnothing$ .
• $a^{2}\ge 0$ pour tout réel $a$ : c'est de là que sortent les inégalités à démontrer.

Questions fréquentes

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou retrancher un nombre ne change jamais le sens, et multiplier par un nombre positif non plus. Le réflexe qui sauve : nommer le signe du nombre à voix haute au moment de diviser, et écrire sur la copie que l'on renverse pour cette raison.

Comment savoir si le crochet est ouvert ou fermé ?

Le crochet se lit dans le symbole de l'inéquation, pas dans le dessin. Inférieur ou égal et supérieur ou égal ferment le crochet, car la borne fait partie des solutions. Strictement inférieur et strictement supérieur l'ouvrent. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert, parce que l'infini n'est pas un nombre et ne peut donc pas être atteint.

Comment résoudre un système de deux inéquations en seconde ?

On résout chaque inéquation séparément, puis on garde les nombres qui vérifient les deux en même temps : c'est l'intersection, jamais la réunion. Le plus sûr est de tracer les deux ensembles sur une même droite graduée et de lire la zone commune. Chaque borne de la réponse garde le crochet de l'inéquation dont elle vient.

Que veut dire un ensemble de solutions vide ?

Cela veut dire qu'aucun nombre ne convient, et c'est une réponse valable, pas une erreur. Le cas arrive quand l'inconnue disparaît des deux côtés en laissant une affirmation fausse, par exemple moins onze supérieur à un. Si l'affirmation restante est vraie, c'est l'inverse : tous les réels sont solutions. Il faut l'écrire en toutes lettres pour avoir les points.

Comment encadrer une différence entre deux nombres encadrés ?

On n'a pas le droit de soustraire deux encadrements membre à membre, cette règle n'existe pas. On encadre d'abord l'opposé du second nombre, ce qui renverse son encadrement et échange ses bornes, puis on additionne les deux encadrements. Autrement dit, la plus petite différence s'obtient avec le plus petit premier nombre et le plus grand second.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Inéquations et inégalités

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-inequations. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les inéquations et les inégalités (Seconde)

L'essentiel

Les seules opérations autorisées, et ce qu'elles font au sens

Le crochet se lit dans l'inégalité, pas dans le dessin

Les trois formes possibles d'un ensemble de solutions

Les règles de calcul en tableau

Ce que chaque opération fait au sens de a<ba<ba<b

Les quatre encadrements, avec 2≤x≤52\le x\le 52≤x≤5 et 1≤y≤31\le y\le 31≤y≤3

Les pièges qui coûtent des points

1. Diviser par un nombre négatif sans renverser le sens

2. Multiplier par le dénominateur commun en oubliant un terme

3. Fermer le crochet du côté de l'infini

4. Soustraire deux encadrements membre à membre

5. Prendre la réunion au lieu de l'intersection dans un système

6. Croire qu'une inéquation sans solution est une inéquation ratée

7. Traduire « au plus » et « au moins » à l'envers

8. Prendre la racine des deux membres d'une inéquation de carrés

9. Compter les entiers d'un intervalle en oubliant le crochet

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'inéquation

Quel symbole pour quel mot de l'énoncé

La rédaction attendue

Résoudre une inéquation et présenter l'ensemble des solutions

Mettre un problème en inéquation

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un système complet, du type qui tombe en devoir surveillé

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Comment savoir si le crochet est ouvert ou fermé ?

Comment résoudre un système de deux inéquations en seconde ?

Que veut dire un ensemble de solutions vide ?

Comment encadrer une différence entre deux nombres encadrés ?

Exercices corrigés : Inéquations et inégalités

Voir aussi

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Ce que chaque opération fait au sens de $a<b$

Les quatre encadrements, avec $2\le x\le 5$ et $1\le y\le 3$