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Maths Seconde, programme français • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : les inéquations et les inégalités (Seconde)

Les inéquations se résolvent comme les équations à un détail près, et ce détail fait perdre plus de points que tout le reste du chapitre : à chaque ligne, il faut savoir ce que l'opération employée a fait au SENS de l'inégalité. Un élève qui divise par −2-2 sans renverser obtient exactement le complémentaire de la bonne réponse, et rien dans sa copie ne le trahit.

Cette fiche ne réécrit pas le cours, que vous avez déjà. Elle rassemble ce qui se corrige vraiment sur les copies de Seconde : le sens, les crochets, l'intersection d'un système, et les encadrements dont la différence et le quotient obéissent à une règle que presque personne n'écrit correctement du premier coup.

Le fil du chapitre

Dans une équation on ne surveille que la valeur ; dans une inéquation on surveille aussi le SENS, à chaque ligne, et le crochet de la réponse se décide avant sa borne.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Ensembles de nombres et intervalles
  2. 2Fractions et proportionnalitéSixième
  3. 3Les fractionsCinquième
  4. 4Le calcul littéralCinquième
  5. 5Multiplication et division de relatifsQuatrième
  6. 6Opérations sur les fractionsQuatrième
  7. 7Puissances et écriture scientifiqueQuatrième
  8. 8Calcul littéral et équationsQuatrième
  9. 9Développer et factoriserTroisième
  10. 10Équations, équations produit et inéquationsTroisième

L'essentiel

Les seules opérations autorisées, et ce qu'elles font au sens

  • • Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres : le sens ne change JAMAIS.
  • • Multiplier ou diviser par un nombre strictement POSITIF : le sens est conservé.
  • • Multiplier ou diviser par un nombre strictement NÉGATIF : le sens est RENVERSÉ.
  • • Par une quantité de signe inconnu (x+2x+2, un paramètre mm), on ne multiplie pas : il faudrait d'abord discuter son signe.
  • • Dans un encadrement à trois membres, chaque opération s'applique aux TROIS, et un facteur négatif échange en plus les deux bornes.
-7-5-3-11357-7-5-3-11357a = -3b = 2-2b = -4-2a = 6au départ : a < baprès ×(-2) : -2a > -2b
Multiplier par −2-2 envoie a=−3a=-3 sur 66 et b=2b=2 sur −4-4 : les deux flèches se croisent, donc a<ba<b devient −2a>−2b-2a>-2b.

Écrire à côté du calcul « je divise par −3-3, donc je renverse » ne coûte rien et évite l'erreur la plus chère du chapitre.

Le crochet se lit dans l'inégalité, pas dans le dessin

  • • ≤\le et ≥\ge ferment le crochet : la borne fait partie des solutions.
  • • << et >> l'ouvrent : la borne est exclue.
  • • Du côté de +∞+\infty ou de −∞-\infty, le crochet est TOUJOURS ouvert : [4 ;+∞[[4\ ;+\infty[, jamais [4 ;+∞][4\ ;+\infty].
  • • Le crochet ouvert du côté de l'infini se tourne vers l'extérieur : ]−∞ ;3]]-\infty\ ;3] et [3 ;+∞[[3\ ;+\infty[.
  • • Quand on renverse une inéquation, chaque borne emporte SON crochet : de −8≤−2x<−1-8\le -2x<-1 on tire 4≥x>124\ge x>\frac{1}{2}, soit ]0,5 ;4]]0{,}5\ ;4].

Le correcteur lit l'ensemble des solutions avant le calcul : un crochet faux sur une réponse juste coûte un demi-point à chaque question.

Les trois formes possibles d'un ensemble de solutions

  • • Un intervalle, borné ou non : c'est le cas ordinaire.
  • • L'ensemble vide ∅\varnothing : l'inconnue a disparu en laissant une affirmation FAUSSE, comme −11≥1-11\ge 1.
  • • R\mathbb{R} tout entier : l'inconnue a disparu en laissant une affirmation VRAIE, comme 7<87<8.
  • • Une réunion de deux intervalles n'apparaît pas au premier degré : elle vient des inéquations produit et quotient, qui sont un autre chapitre.

∅\varnothing et R\mathbb{R} sont des réponses, pas des signes d'échec. Elles valent tous leurs points si la phrase de conclusion est écrite.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce que chaque opération fait au sens de a<ba<b

On part de a<ba<b, illustré par a=−3a=-3 et b=2b=2. La dernière colonne dit ce qu'on a le droit d'écrire ensuite. Une case rouge n'est pas une réponse : c'est l'ordre de vérifier un signe avant de conclure.

OpérationSur a=−3a=-3 et b=2b=2Le sens
+7+7 4<94<9 conservé

Exemple : −3+7=4-3+7=4 et 2+7=92+7=9 : l'ordre est le même qu'au départ.

×3\times 3 −9<6-9<6 conservé

Exemple : −3×3=−9-3\times 3=-9 et 2×3=62\times 3=6, et −9<6-9<6.

×(−5)\times(-5) 15>−1015>-10 renversé

Exemple : −3×(−5)=15-3\times(-5)=15 et 2×(−5)=−102\times(-5)=-10, et 15>−1015>-10.

( )2(\ )^{2} 9>49>4 aucune règle aucune règle

Exemple : (−3)2=9(-3)^{2}=9 et 22=42^{2}=4 : l'ordre s'est inversé.

Même forme, autre résultat : 1<21<2 donne 1<41<4 : même forme, conclusion contraire.

Ce qu'il faut faire : Vérifier le signe d'abord : si 0≤a<b0\le a<b, alors a2<b2a^{2}<b^{2}.

1  \frac{1}{\ \ } −13<12-\frac{1}{3}<\frac{1}{2} aucune règle aucune règle

Exemple : 1−3≈−0,33\frac{1}{-3}\approx -0{,}33 et 12=0,5\frac{1}{2}=0{,}5 : l'ordre est conservé.

Même forme, autre résultat : 1<21<2 donne 1>0,51>0{,}5 : même forme, sens contraire.

Ce qu'il faut faire : Exiger aa et bb de MÊME signe ; le sens se renverse alors.

Les deux cases rouges ont la même cause : le passage par zéro. Tant que les deux nombres sont du même côté de 00, la règle existe.

Les quatre encadrements, avec 2≤x≤52\le x\le 5 et 1≤y≤31\le y\le 3

Une seule opération est autorisée sur deux encadrements, l'addition membre à membre. Les trois autres s'y ramènent, et la dernière ligne rappelle celle qui n'existe pas.

On chercheLe gesteLe résultat
x+yx+y additionner 3≤x+y≤83\le x+y\le 8

Exemple : 2+1=32+1=3 et 5+3=85+3=8 : les deux bornes sont atteintes.

x−yx-y encadrer −y-y, puis additionner −1≤x−y≤4-1\le x-y\le 4

Exemple : −3≤−y≤−1-3\le -y\le -1, donc 2−3=−12-3=-1 et 5−1=45-1=4.

xyxy bornes positives, multiplier 2≤xy≤152\le xy\le 15

Exemple : 2×1=22\times 1=2 et 5×3=155\times 3=15.

xy\frac{x}{y} encadrer 1y\frac{1}{y}, puis multiplier 23≤xy≤5\frac{2}{3}\le\frac{x}{y}\le 5

Exemple : 13≤1y≤1\frac{1}{3}\le\frac{1}{y}\le 1, donc 23≈0,67\frac{2}{3}\approx 0{,}67 et 51=5\frac{5}{1}=5.

x−yx-y soustraire n'existe pas règle inexistante

Exemple : On obtiendrait 2−1≤x−y≤5−32-1\le x-y\le 5-3, soit 1≤x−y≤21\le x-y\le 2, alors que x=2x=2 et y=3y=3 donnent −1-1.

Ce qu'il faut faire : Encadrer −y-y d'abord, puis additionner : −1≤x−y≤4-1\le x-y\le 4.

La plus petite différence, c'est le plus petit xx moins le plus GRAND yy ; le plus petit quotient, le plus petit xx divisé par le plus GRAND yy.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Diviser par un nombre négatif sans renverser le sens

toute la question, 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« −2x≤8-2x\le 8, donc x≤−4x\le -4. »

Ce qu'il faut écrire

« −2x≤8-2x\le 8 ; je divise par −2-2, qui est négatif, donc l'inégalité se renverse : x≥−4x\ge -4, soit S=[−4 ;+∞[S=[-4\ ;+\infty[. »

Pourquoi : L'ensemble obtenu est exactement le complémentaire du bon : les deux ne partagent que la borne −4-4, donc vérifier sa réponse sur la seule borne ne révèle jamais l'erreur.

2. Multiplier par le dénominateur commun en oubliant un terme

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 7−x2≤x−437-\frac{x}{2}\le\frac{x-4}{3}, donc 7−3x≤2x−87-3x\le 2x-8. »

Ce qu'il faut écrire

« Je multiplie CHAQUE terme des deux membres par 66 : 42−3x≤2x−842-3x\le 2x-8, donc 50≤5x50\le 5x et x≥10x\ge 10. »

Pourquoi : Le terme sans dénominateur est celui qu'on oublie, et la réponse fausse (x≥3x\ge 3) a exactement la même allure que la bonne : rien ne signale l'erreur sur la copie.

3. Fermer le crochet du côté de l'infini

0,5 point par copie, à chaque question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« S=[−4 ;+∞]S=[-4\ ;+\infty] »

Ce qu'il faut écrire

« S=[−4 ;+∞[S=[-4\ ;+\infty[ » : l'infini n'est pas un nombre, il ne peut jamais être atteint, donc son crochet est toujours ouvert.

Pourquoi : C'est la faute la moins chère et la plus répétée : elle se paie à toutes les questions d'un devoir, donc elle coûte parfois plus qu'un calcul raté.

4. Soustraire deux encadrements membre à membre

2 points, et tout ce qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 2≤x≤52\le x\le 5 et 1≤y≤31\le y\le 3, donc 2−1≤x−y≤5−32-1\le x-y\le 5-3, soit 1≤x−y≤21\le x-y\le 2. »

Ce qu'il faut écrire

« J'encadre d'abord −y-y : de 1≤y≤31\le y\le 3 je tire −3≤−y≤−1-3\le -y\le -1, puis j'additionne : −1≤x−y≤4-1\le x-y\le 4. »

-2-1012345vrai : de -1 à 4faux : de 1 à 2x = 2, y = 3
x=2x=2 et y=3y=3 respectent les deux encadrements de départ et donnent x−y=−1x-y=-1, qui tombe hors du segment obtenu en soustrayant.

Pourquoi : Dans une différence, yy agit en sens contraire de xx : la plus petite différence se fait avec le plus GRAND yy. Aucune règle de soustraction membre à membre n'existe.

5. Prendre la réunion au lieu de l'intersection dans un système

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« x≤3x\le 3 ou x>−1x>-1, donc tous les réels conviennent : S=RS=\mathbb{R}. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux conditions doivent être vraies EN MÊME TEMPS : S=]−∞ ;3]∩ ]−1 ;+∞[ = ]−1 ;3]S=]-\infty\ ;3]\cap\,]-1\ ;+\infty[\,=\,]-1\ ;3]. »

-4-3-2-10123456x ≤ 3x > -1« et » : ]-1 ; 3]
Seule la zone commune aux deux demi-droites convient : ]−1 ;3]]-1\ ;3], ouvert en −1-1 et fermé en 33, chaque borne gardant le crochet de l'inéquation d'où elle vient.

Pourquoi : Un système impose un « et », jamais un « ou ». Le mot « ou » n'apparaît qu'en conclusion d'une inéquation produit, qui est un autre chapitre.

6. Croire qu'une inéquation sans solution est une inéquation ratée

1,5 point, et le temps perdu à tout refaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 3(x−2)−5≥3x+13(x-2)-5\ge 3x+1 donne −11≥1-11\ge 1 : je me suis trompé quelque part. »

Ce qu'il faut écrire

« Les termes en xx se simplifient et il reste −11≥1-11\ge 1, qui est faux pour tout xx : S=∅S=\varnothing. »

Pourquoi : Quand l'inconnue disparaît, l'affirmation numérique restante EST la réponse : fausse elle donne ∅\varnothing, vraie elle donne R\mathbb{R}. Les deux membres sont alors deux droites parallèles.

7. Traduire « au plus » et « au moins » à l'envers

1 point, et la conclusion du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le double augmenté de 33 vaut au plus 1111, donc 2x+3<112x+3<11. »

Ce qu'il faut écrire

« Au plus 1111 signifie ≤11\le 11 : 2x+3≤112x+3\le 11, donc x≤4x\le 4 et la valeur 44 est acceptée. »

Pourquoi : « Au plus » et « au moins » sont LARGES, « strictement plus que » et « dépasse » sont stricts. Un problème sur deux se joue sur ce mot, et la borne exclue à tort est souvent la réponse attendue.

8. Prendre la racine des deux membres d'une inéquation de carrés

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« (2x+1)2≤(2x−3)2(2x+1)^{2}\le (2x-3)^{2}, donc 2x+1≤2x−32x+1\le 2x-3, donc 1≤−31\le -3 : aucune solution. »

Ce qu'il faut écrire

« Je développe : 4x2+4x+1≤4x2−12x+94x^{2}+4x+1\le 4x^{2}-12x+9 ; les 4x24x^{2} se simplifient, donc 16x≤816x\le 8 et x≤12x\le\frac{1}{2}. »

Pourquoi : a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=|a| et non aa : passer à la racine perd le signe. Les carrés identiques des deux côtés se simplifient tout seuls, et l'inéquation est en réalité du premier degré.

9. Compter les entiers d'un intervalle en oubliant le crochet

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« S=]−1 ;3]S=]-1\ ;3] contient −1-1, 00, 11, 22 et 33 : cinq entiers. »

Ce qu'il faut écrire

« Le crochet est ouvert en −1-1, donc −1-1 est exclu : les entiers sont 00, 11, 22 et 33, il y en a quatre. »

Pourquoi : L'erreur d'un cran à chaque bout est la plus fréquente de ce type de question. Placer les entiers sur une droite graduée la rend visible immédiatement.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'inéquation

On regarde l'écriture, pas le thème : c'est la forme du membre de gauche et du membre de droite qui décide de la première ligne à écrire.

  • Si des parenthèses dans l'un des membres → développer d'abord, en distribuant le signe sur TOUS les termes

    Exemple : −4(x−3)=−4x+12-4(x-3)=-4x+12, et non −4x−12-4x-12

    le signe moins devant une parenthèse est le premier fournisseur d'erreurs du chapitre

  • Si un ou plusieurs dénominateurs → multiplier les deux membres par le ppcm, chaque terme y compris ceux sans dénominateur

    Exemple : 7−x2≤x−437-\frac{x}{2}\le\frac{x-4}{3} devient 42−3x≤2x−842-3x\le 2x-8

  • Si des carrés ou un produit des deux côtés → développer : les termes de degré 22 se simplifient et il reste du premier degré

    Exemple : (2x+1)2≤(2x−3)2(2x+1)^{2}\le (2x-3)^{2} devient 16x≤816x\le 8

  • Si l'inconnue disparaît en cours de route → lire l'affirmation restante : vraie donne R\mathbb{R}, fausse donne ∅\varnothing

    Exemple : −11≥1-11\ge 1 est faux, donc S=∅S=\varnothing

  • Si deux conditions reliées par « et », ou une accolade → résoudre chacune séparément, puis prendre l'INTERSECTION

    Exemple : x≤3x\le 3 et x>−1x>-1 donnent ]−1 ;3]]-1\ ;3]

  • Si un encadrement à trois membres → appliquer chaque opération aux trois membres à la fois

    Exemple : −3≤5−2x<4-3\le 5-2x<4 devient −8≤−2x<−1-8\le -2x<-1, puis ]0,5 ;4]]0{,}5\ ;4]

    un facteur négatif renverse les deux inégalités ET échange les bornes

Une inéquation avec l'inconnue au dénominateur, ou un produit de deux facteurs comparé à zéro, ne se traite PAS ici : elle relève du tableau de signes, au chapitre des fonctions affines.

Quel symbole pour quel mot de l'énoncé

Dans un problème, le symbole est décidé par un mot et un seul. On le souligne dans l'énoncé avant d'écrire quoi que ce soit.

  • Si « au plus », « ne dépasse pas », « au maximum » → ≤\le, borne INCLUSE

    Exemple : un budget d'au plus 5050 dollars donne p≤50p\le 50

  • Si « au moins », « au minimum », « il faut » → ≥\ge, borne incluse

    Exemple : obtenir au moins 1212 de moyenne donne m≥12m\ge 12

  • Si « strictement plus que », « dépasse », « excède » → >>, borne EXCLUE

    Exemple : dépasser 100100 clients donne n>100n>100

  • Si « moins cher que », « avant », « plus petit que » → <<, borne exclue

    Exemple : le tarif B moins cher que le tarif A donne 7x+60<12x7x+60<12x

  • Si « compris entre aa et bb » → un encadrement a≤x≤ba\le x\le b, à traiter d'un bloc

    Exemple : une note comprise entre 1010 et 1616 donne 10≤x≤1610\le x\le 16

Quand l'énoncé ne tranche pas, on choisit la borne INCLUSE et on le dit dans la copie : « je considère que la valeur 5050 est acceptée ». Un correcteur accepte une hypothèse écrite, jamais une hypothèse muette.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une inéquation et présenter l'ensemble des solutions

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé dit « résoudre dans R\mathbb{R} » ou « donner l'ensemble des solutions ».

  1. 1 Développer et réduire chaque membre séparément, sans rien faire passer de l'autre côté pour l'instant.
  2. 2 Regrouper les termes en xx dans un membre et les nombres dans l'autre, en disant l'opération employée.
  3. 3 Diviser par le coefficient de xx EN NOMMANT son signe : « je divise par −3-3, qui est négatif, donc je renverse ».
  4. 4 Écrire l'ensemble des solutions en intervalle, en relisant l'inégalité pour choisir chaque crochet.
  5. 5 Conclure par une phrase, même quand la réponse tient en trois symboles.

Phrase de conclusion

« L'ensemble des solutions de cette inéquation est S=[−52 ;+∞[S=\left[-\frac{5}{2}\ ;+\infty\right[. »

Le piège : Sauter l'étape 3 quand le coefficient est négatif : c'est là que le sens se perd, et c'est l'étape que le barème attend explicitement.

Barème : 1 point le développement, 1 point le regroupement, 1 point le sens de la division, 1 point l'écriture en intervalle.

Mettre un problème en inéquation

Quand l'utiliser : L'énoncé raconte une situation et demande « à partir de combien », « au plus combien », « pour quelles valeurs ».

  1. 1 Nommer l'inconnue et dire ce qu'elle représente, avec son domaine : « soit xx la note du dernier devoir, avec 0≤x≤200\le x\le 20 ».
  2. 2 Traduire la condition en inéquation, en soulignant le mot qui donne le symbole.
  3. 3 Résoudre l'inéquation obtenue, comme un exercice de calcul ordinaire.
  4. 4 Confronter l'ensemble trouvé au domaine de l'inconnue : une note supérieure à 2020 ou un nombre de sacs négatif sont à rejeter.
  5. 5 Répondre à la question posée, dans les mots de l'énoncé et avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Léa doit obtenir au moins 1313 sur 2020 au quatrième devoir pour atteindre une moyenne de 1212. »

Le piège : Oublier l'étape 4. L'inéquation 35+x4≥15\frac{35+x}{4}\ge 15 a pour solutions [25 ;+∞[[25\ ;+\infty[, et pourtant le problème n'en a aucune, puisqu'une note ne dépasse pas 2020.

Barème : 1 point l'inconnue et son domaine, 1 point la mise en inéquation, 1 point la résolution, 1 point la phrase de réponse.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Un système complet, du type qui tombe en devoir surveillé

Résoudre dans R\mathbb{R} le système {x+32−x−13≤25−3x<11\begin{cases} \frac{x+3}{2}-\frac{x-1}{3}\le 2 \\ 5-3x<11 \end{cases}

puis donner tous les entiers qui en sont solutions.

Étape 1

Première inéquation : je multiplie les deux membres par 66, qui est positif, donc le sens est conservé. 3(x+3)−2(x−1)≤123(x+3)-2(x-1)\le 12.

Pourquoi

Le 22 du membre de droite est multiplié lui aussi : c'est le terme sans dénominateur qu'on oublie, et l'oublier fausse tout le reste sans que rien ne le signale.

Étape 2

Je développe en distribuant le signe moins : 3x+9−2x+2≤123x+9-2x+2\le 12, soit x+11≤12x+11\le 12, donc x≤1x\le 1.

Pourquoi

−2(x−1)-2(x-1) vaut −2x+2-2x+2 et non −2x−2-2x-2. Le coefficient de xx est ici positif, donc aucun renversement à cette étape.

Étape 3

Deuxième inéquation : 5−3x<115-3x<11 donne −3x<6-3x<6. Je divise par −3-3, qui est NÉGATIF, donc l'inégalité se renverse : x>−2x>-2.

Pourquoi

C'est l'étape que le barème vise. L'écrire en toutes lettres vaut son point même si la suite comporte une erreur de calcul.

Étape 4

Je croise les deux conditions : x≤1x\le 1 ET x>−2x>-2. L'intersection est S= ]−2 ;1]S=\,]-2\ ;1].

Pourquoi

Chaque borne conserve le crochet de l'inéquation d'où elle vient : ouvert en −2-2 à cause du << strict, fermé en 11 à cause du ≤\le.

Étape 5

Vérification : x=1x=1 donne 2−0=2≤22-0=2\le 2 ✓ et 5−3=2<115-3=2<11 ✓. x=−2x=-2 donne 5+6=11<115+6=11<11, faux ✓. x=2x=2 donne 52−13≈2,17≤2\frac{5}{2}-\frac{1}{3}\approx 2{,}17\le 2, faux ✓.

Pourquoi

Trois tests suffisent : un à l'intérieur, un à chaque borne. Ils valident à la fois le sens et les deux crochets.

Étape 6

Les entiers de ]−2 ;1]]-2\ ;1] sont −1-1, 00 et 11 : il y en a trois.

Pourquoi

−2-2 est exclu par le crochet ouvert, 11 est inclus par le crochet fermé. C'est là que se perd le point d'un cran à chaque bout.

Conclusion rédigée

« L'ensemble des solutions du système est S= ]−2 ;1]S=\,]-2\ ;1], et les entiers solutions sont −1-1, 00 et 11. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire S= ]−∞ ;1]∪ ]−2 ;+∞[S=\,]-\infty\ ;1]\cup\,]-2\ ;+\infty[, c'est-à-dire R\mathbb{R} : c'est la réunion, alors qu'un système demande l'intersection. La réponse couvre alors toute la droite, ce qui devrait alerter puisque x=10x=10 ne vérifie visiblement pas la première inéquation.

À savoir par cœur

  • • Multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF renverse le sens ; par un positif, jamais.
  • • ≤\le ferme le crochet, << l'ouvre, et le crochet est TOUJOURS ouvert du côté de l'infini.
  • • « Au plus » donne ≤\le, « au moins » donne ≥\ge, « dépasse » donne >>.
  • • Deux encadrements s'ADDITIONNENT ; pour x−yx-y, encadrer −y-y puis additionner.
  • • Un système, c'est une INTERSECTION : les deux conditions à la fois.
  • • Quand l'inconnue disparaît : affirmation vraie donne R\mathbb{R}, affirmation fausse donne ∅\varnothing.
  • • a2≥0a^{2}\ge 0 pour tout réel aa : c'est de là que sortent les inégalités à démontrer.

Questions fréquentes

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou retrancher un nombre ne change jamais le sens, et multiplier par un nombre positif non plus. Le réflexe qui sauve : nommer le signe du nombre à voix haute au moment de diviser, et écrire sur la copie que l'on renverse pour cette raison.

Comment savoir si le crochet est ouvert ou fermé ?

Le crochet se lit dans le symbole de l'inéquation, pas dans le dessin. Inférieur ou égal et supérieur ou égal ferment le crochet, car la borne fait partie des solutions. Strictement inférieur et strictement supérieur l'ouvrent. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert, parce que l'infini n'est pas un nombre et ne peut donc pas être atteint.

Comment résoudre un système de deux inéquations en seconde ?

On résout chaque inéquation séparément, puis on garde les nombres qui vérifient les deux en même temps : c'est l'intersection, jamais la réunion. Le plus sûr est de tracer les deux ensembles sur une même droite graduée et de lire la zone commune. Chaque borne de la réponse garde le crochet de l'inéquation dont elle vient.

Que veut dire un ensemble de solutions vide ?

Cela veut dire qu'aucun nombre ne convient, et c'est une réponse valable, pas une erreur. Le cas arrive quand l'inconnue disparaît des deux côtés en laissant une affirmation fausse, par exemple moins onze supérieur à un. Si l'affirmation restante est vraie, c'est l'inverse : tous les réels sont solutions. Il faut l'écrire en toutes lettres pour avoir les points.

Comment encadrer une différence entre deux nombres encadrés ?

On n'a pas le droit de soustraire deux encadrements membre à membre, cette règle n'existe pas. On encadre d'abord l'opposé du second nombre, ce qui renverse son encadrement et échange ses bornes, puis on additionne les deux encadrements. Autrement dit, la plus petite différence s'obtient avec le plus petit premier nombre et le plus grand second.

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Exercices corrigés : Inéquations et inégalités

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 150 minutes
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