Exercices corrigés : puissances et écriture scientifique (Quatrième)

1) $2^{3}=2\times 2\times 2=8$ et $3^{2}=3\times 3=9$. $A=17$. Le piège est $2^{3}=6$ : l'exposant compte des FACTEURS, pas un multiplicateur.

2) $(-2)^{4}=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16$, quatre facteurs négatifs. $2^{4}=16$. $B=16-16=0$.

3) Sans parenthèse, l'exposant ne porte que sur le $3$ : $-3^{2}=-(3\times 3)=-9$. Avec parenthèse, $(-3)^{3}=-27$, trois facteurs négatifs. $C=-9+(-27)=-36$. Écrire $-3^{2}=9$ est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

4) Les puissances d'abord : $5^{2}=25$ et $2^{3}=8$. Puis les produits : $3\times 25=75$ et $8\times 3=24$. $D=75-24=51$. Calculer $(3\times 5)^{2}=225$ serait faux : le carré ne porte que sur le $5$.

5) Même base : on additionne les exposants, $5+(-3)=2$. $E=10^{2}=100$. Vérification : $10^{-3}=0{,}001$, et $100\,000\times 0{,}001=100$.

6) Une puissance de puissance multiplie les exposants : $(10^{4})^{2}=10^{8}$. Puis on soustrait les exposants : $10^{8}\div 10^{5}=10^{3}$. $F=1\,000$. L'erreur classique est $(10^{4})^{2}=10^{6}$, en additionnant.

7) Au numérateur, $2^{5}\times 2^{3}=2^{8}$. Puis $\dfrac{2^{8}}{2^{6}}=2^{2}=4$. $G=4$. Vérification : $32\times 8=256$ et $256\div 64=4$.

8) On regroupe les nombres et les puissances de $10$ : $3\times 2=6$ et $10^{4}\times 10^{-6}=10^{-2}$. $H=6\times 10^{-2}=0{,}06$. C'est déjà une écriture scientifique, puisque $6$ est compris entre $1$ et $10$.

1) $2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$ ; $3^{4}=81$ ; $5^{3}=125$ ; $10^{4}=10\,000$. Comptez bien les FACTEURS et non les multiplications : $2^{5}$ contient cinq facteurs, donc quatre signes de multiplication.

2) $(-2)^{3}=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$ ; $(-2)^{4}=16$ ; $(-3)^{2}=(-3)\times(-3)=9$ ; $-3^{2}=-(3\times 3)=-9$. Les deux dernières valeurs sont opposées, ce n'est pas un détail d'écriture.

3) $a^{1}=a$, puisqu'il n'y a qu'un seul facteur. Et $a^{0}=1$ pour tout $a$ non nul. Cette dernière égalité n'est pas une convention arbitraire : elle est imposée par la règle $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$, car $a^{3}\div a^{3}$ vaut $1$ d'un côté et $a^{0}$ de l'autre.

4) $7^{2}=49$ et $2^{7}=128$, donc $7^{2}<2^{7}$. Échanger la base et l'exposant change complètement le résultat : la puissance n'est pas une opération symétrique, contrairement à l'addition ou à la multiplication.

5) $5\times 5\times 5\times 5=5^{4}$ et $(-4)\times(-4)\times(-4)=(-4)^{3}$. Les parenthèses autour de $-4$ sont obligatoires : sans elles, l'écriture $-4^{3}$ désignerait l'opposé de $4^{3}$.

6) Dans $(-3)^{2}$, les parenthèses indiquent que la BASE est $-3$ : on multiplie $-3$ par lui-même, et le produit de deux nombres négatifs est positif, d'où $9$. Dans $-3^{2}$, il n'y a pas de parenthèses : la puissance est prioritaire sur le signe moins, donc on calcule d'abord $3^{2}=9$, puis on prend l'opposé, ce qui donne $-9$. La règle à retenir est que l'exposant ne porte que sur ce qui le précède immédiatement, un nombre seul ou une parenthèse.

1) L'exposant $7$ est impair, donc il reste un facteur négatif non apparié : $(-5)^{7}$ est NÉGATIF. L'exposant $8$ est pair, tous les facteurs s'apparient : $(-5)^{8}$ est POSITIF. Aucun calcul n'est nécessaire, et c'est heureux, car $(-5)^{8}$ vaut $390\,625$.

2) Pour $a>0$ : si $n$ est PAIR, $(-a)^{n}=a^{n}$, un nombre positif ; si $n$ est IMPAIR, $(-a)^{n}=-a^{n}$, un nombre négatif. La démonstration tient en une phrase : on regroupe les facteurs deux par deux, chaque paire donnant un produit positif, et il reste un facteur négatif isolé exactement lorsque l'exposant est impair.

3) $(-2)^{4}=16$, car la base est $-2$ et l'exposant est pair. En revanche $-2^{4}=-(2^{4})=-16$. Les deux résultats sont opposés : $(-2)^{4}>-2^{4}$, l'un est positif et l'autre négatif.

4) $(-1)^{2026}=1$, car $2026$ est pair, et $(-1)^{2027}=-1$, car $2027$ est impair. Les puissances de $-1$ alternent indéfiniment entre $1$ et $-1$, ce qui en fait un outil commode pour changer un signe une fois sur deux.

5) $2^{3}=8$ ; $3^{2}=9$ ; $4^{1}=4$ ; $1^{4}=1$. L'ordre croissant est donc $1^{4}<4^{1}<2^{3}<3^{2}$. Remarquez que $1$ élevé à n'importe quelle puissance vaut toujours $1$, et que le classement des puissances ne suit ni celui des bases ni celui des exposants.

6) $(-2)^{3}=-8$ et $(-3)^{2}=9$, donc $(-2)^{3}<(-3)^{2}$. La base la plus grande en valeur absolue ne donne pas le plus grand résultat, parce que le signe l'emporte : un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, quels que soient les chiffres en présence.

1) $10^{3}=1000$ ; $10^{6}=1\,000\,000$ ; $10^{-2}=0{,}01$ ; $10^{-5}=0{,}00001$. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il le rend PETIT, entre $0$ et $1$.

2) $0{,}001=10^{-3}$, car le $1$ occupe le rang des millièmes. Et $1\,000\,000=10^{6}$, car il y a six zéros. On lit donc directement l'exposant sur le rang du chiffre $1$.

3) Exactement $n$ zéros : $10^{n}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros. C'est le moyen le plus rapide de contrôler un calcul de puissance de $10$ : dans $10^{9}$, on doit compter neuf zéros, pas dix.

4) $1$ km $=10^{3}$ m ; $1$ mm $=10^{-3}$ m ; $1$ micromètre $=10^{-6}$ m. La frise se lit ainsi : chaque préfixe correspond à un exposant, et l'écart entre deux préfixes voisins est de trois rangs, donc un facteur $1000$.

5) $2{,}5$ km $=2{,}5\times 10^{3}$ m. Comme $1$ m $=10^{3}$ mm, on obtient $2{,}5\times 10^{3}\times 10^{3}=2{,}5\times 10^{6}$ mm, soit $2\,500\,000$ mm. Passer par les puissances de $10$ évite de compter les zéros à la main, où l'on se trompe presque toujours.

6) $1$ Go vaut $10^{9}$ octets, donc on divise : $\dfrac{2\times 10^{12}}{10^{9}}=2\times 10^{3}=2000$ Go. Un disque de $2$ To contient donc $2000$ Go, ce qui se retrouve aussi sur la frise, téra et giga étant séparés de trois rangs.

1) $10^{5}\times 10^{3}=10^{8}$ ; $10^{7}\div 10^{4}=10^{3}$ ; $(10^{3})^{4}=10^{12}$ ; $10^{-2}\times 10^{5}=10^{3}$. Dans le dernier cas, on additionne bien les exposants avec leur signe : $-2+5=3$.

2) $a^{m}$ est un produit de $m$ facteurs égaux à $a$, et $a^{n}$ un produit de $n$ facteurs égaux à $a$. En les multipliant, on obtient un seul produit contenant $m+n$ facteurs égaux à $a$, c'est-à-dire $a^{m+n}$. La même lecture donne $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$ : on répète $n$ fois un paquet de $m$ facteurs, ce qui en fait $m\times n$ en tout.

3) $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$ ; $\dfrac{5^{6}}{5^{2}}=5^{4}=625$ ; $(3^{2})^{3}=3^{6}=729$. Attention à ne pas confondre les deux dernières règles : dans un quotient on SOUSTRAIT les exposants, dans une puissance de puissance on les MULTIPLIE.

4) Première façon : $(2\times 5)^{3}=10^{3}=1000$. Seconde façon : $(2\times 5)^{3}=2^{3}\times 5^{3}=8\times 125=1000$. Les deux coïncident, ce qui illustre la règle $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$. Attention, cette règle vaut pour un PRODUIT, jamais pour une somme : $(2+5)^{3}$ ne vaut pas $2^{3}+5^{3}$, comme le montre $343\neq 133$.

5) $2^{3}+2^{4}=8+16=24$, alors que $2^{7}=128$ : l'égalité est FAUSSE. La règle sur la somme des exposants concerne le PRODUIT de deux puissances, pas leur somme. Une somme de puissances ne se simplifie généralement pas ; ici, tout ce qu'on peut faire est de factoriser par $2^{3}$, ce qui donne $2^{3}(1+2)=8\times 3=24$.

6) On traite le numérateur d'abord : $10^{4}\times 10^{-6}=10^{-2}$. Puis on divise : $\dfrac{10^{-2}}{10^{-3}}=10^{-2-(-3)}=10^{1}=10$. Soustraire un exposant négatif revient à l'ajouter, exactement comme pour les nombres relatifs.

1) $45\,000=4{,}5\times 10^{4}$ ; $0{,}00072=7{,}2\times 10^{-4}$ ; $6\,400\,000=6{,}4\times 10^{6}$ ; $0{,}08=8\times 10^{-2}$. La méthode est toujours la même : on place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs on l'a déplacée. Vers la gauche, l'exposant est positif ; vers la droite, il est négatif.

2) $3{,}2\times 10^{4}=32\,000$ et $5{,}7\times 10^{-3}=0{,}0057$. On déplace la virgule de quatre rangs vers la droite dans le premier cas, de trois rangs vers la gauche dans le second, en complétant par des zéros.

3) Seule $7{,}2\times 10^{5}$ est en écriture scientifique, car $1\leq 7{,}2<10$. Dans $12\times 10^{3}$ le facteur $12$ est trop grand, dans $0{,}5\times 10^{6}$ il est trop petit.

4) $12\times 10^{3}=1{,}2\times 10^{4}$ : on a divisé $12$ par $10$, donc il faut multiplier la puissance par $10$, ce qui augmente l'exposant d'une unité. $0{,}5\times 10^{6}=5\times 10^{5}$ : on a multiplié $0{,}5$ par $10$, donc l'exposant diminue d'une unité. Le produit total ne change pas, seule sa présentation change.

5) $10^{7}=1\times 10^{7}$. Il faut écrire le facteur $1$, même s'il ne change rien au calcul, car la définition impose un nombre entre $1$ et $10$ devant la puissance.

6) OUI. L'écriture scientifique d'un nombre est UNIQUE : le facteur $a$ et l'exposant $n$ sont entièrement déterminés. C'est justement ce qui en fait un format de comparaison commode, puisque deux nombres se comparent d'abord par leur exposant, puis, en cas d'égalité, par leur facteur.

1) $(3\times 2)\times(10^{4}\times 10^{5})=6\times 10^{9}$. Le facteur $6$ est bien compris entre $1$ et $10$ : le résultat est déjà en écriture scientifique.

2) $(5\times 4)\times(10^{6}\times 10^{-2})=20\times 10^{4}$. Mais $20$ n'est pas compris entre $1$ et $10$ : il faut renormaliser en écrivant $20=2\times 10$, d'où $2\times 10^{5}$. C'est l'étape que l'on saute le plus souvent, et elle coûte des points à chaque contrôle.

3) $\dfrac{8}{2}\times\dfrac{10^{7}}{10^{3}}=4\times 10^{4}$, soit $40\,000$. Les exposants se soustraient : $7-3=4$.

4) $\dfrac{3}{6}\times\dfrac{10^{2}}{10^{5}}=0{,}5\times 10^{-3}$. Le facteur $0{,}5$ est trop petit, on renormalise : $0{,}5=5\times 10^{-1}$, donc le résultat vaut $5\times 10^{-4}$, c'est-à-dire $0{,}0005$.

5) Ici on ADDITIONNE, donc les règles sur les exposants ne s'appliquent pas. Il faut ramener les deux termes à la même puissance de $10$ : $3\times 10^{5}+0{,}4\times 10^{5}=3{,}4\times 10^{5}$. On peut aussi repasser en écriture décimale, $300\,000+40\,000=340\,000$, et retrouver $3{,}4\times 10^{5}$. Une somme de puissances ne s'additionne jamais exposant par exposant.

6) $(2\times 10^{3})^{2}=2^{2}\times(10^{3})^{2}=4\times 10^{6}$. Le carré porte sur les DEUX facteurs, celui de devant comme la puissance de $10$ : écrire $2\times 10^{6}$ serait oublier de mettre $2$ au carré.

1) $3{,}2\times 10^{5}>9{,}8\times 10^{4}$, car $5>4$. Le facteur $9{,}8$ a beau être presque trois fois plus grand que $3{,}2$, il ne peut pas compenser un rang complet : $9{,}8\times 10^{4}$ vaut $98\,000$ et $3{,}2\times 10^{5}$ vaut $320\,000$.

2) Les exposants sont égaux, on compare donc les facteurs : $4{,}5>2{,}1$, donc $4{,}5\times 10^{-3}>2{,}1\times 10^{-3}$. Le fait que les exposants soient négatifs ne change rien à cette étape.

3) On classe d'abord par exposant : $9{,}9\times 10^{2}$, puis $7\times 10^{3}$, puis les deux nombres en $10^{4}$, qu'on départage par leur facteur. L'ordre croissant est $9{,}9\times 10^{2}<7\times 10^{3}<1{,}2\times 10^{4}<2\times 10^{4}$.

4) Le cheveu mesure environ $10^{-4}$ m et le virus $10^{-7}$ m. On divise : $\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^{-4+7}=10^{3}$. Un cheveu est donc environ $1000$ fois plus épais qu'un virus.

5) Une bactérie mesure environ $10^{-6}$ m et $1$ cm vaut $10^{-2}$ m. On divise : $\dfrac{10^{-2}}{10^{-6}}=10^{4}$, soit $10\,000$ bactéries alignées par centimètre. Ce genre de calcul est précisément ce que les puissances de $10$ rendent immédiat, alors qu'en écriture décimale il faudrait manipuler $0{,}000001$ sans se tromper de rang.

6) $\dfrac{10^{7}}{10^{0}}=10^{7}$ : la Terre est environ dix millions de fois plus grande qu'un être humain. Sur la frise, cet écart se lit directement comme un écart de SEPT graduations, ce qui est l'intérêt d'une échelle en puissances de $10$ : des rapports gigantesques y tiennent sur quelques centimètres.

1) FAUX. L'affirmation multiplie aussi les bases. Or seule la base $2$ intervient : on additionne les exposants et l'on GARDE la base, donc $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$. La valeur proposée, $4^{7}$, vaut $16\,384$, soit $128$ fois trop.

2) FAUX. Les parenthèses indiquent que la base est $-3$, et le produit de deux nombres négatifs est positif : $(-3)^{2}=9$. C'est l'écriture $-3^{2}$, sans parenthèses, qui vaut $-9$, car la puissance y est prioritaire sur le signe.

3) FAUX. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il le rend petit : $10^{-3}=\dfrac{1}{10^{3}}=0{,}001$, qui est bien positif. Toute puissance de $10$ est strictement positive, quel que soit le signe de l'exposant.

4) FAUX. Dans une écriture scientifique, le facteur doit vérifier $1\leq a<10$, or $12$ dépasse $10$. Le produit $12\times 10^{5}$ vaut bien $1\,200\,000$, mais son écriture scientifique est $1{,}2\times 10^{6}$.

5) FAUX. Il s'agit d'une SOMME, pas d'un produit : les exposants ne s'additionnent pas. Les deux termes ayant la même puissance de $10$, on peut la mettre en facteur : $(3+4)\times 10^{5}=7\times 10^{5}$, c'est-à-dire $700\,000$. La valeur annoncée, $7\times 10^{10}$, est cent mille fois trop grande.