Exercices corrigés : calcul littéral et équations (Quatrième)

1) Les $x$ ensemble, $5x+2x=7x$ ; les nombres ensemble, $-3+8=5$. $A=7x+5$.

2) Signe d'abord : un facteur négatif, résultat négatif. Puis $3\times 4=12$ et $x\times x=x^{2}$. $B=-12x^{2}$.

3) Le $-2$ multiplie chaque terme, SIGNE COMPRIS : $-2\times 3x=-6x$ et $-2\times(-5)=+10$. $C=-6x+10$. Le piège est $-6x-10$, en oubliant que moins par moins donne plus.

4) Double distributivité, quatre produits : $x\times x-3x+4x-12=x^{2}+x-12$. $D=x^{2}+x-12$. Vérification pour $x=1$ : $5\times(-2)=-10$ et $1+1-12=-10$.

5) $E=6x^{2}+4x-3x-2=6x^{2}+x-2$. Le produit $-1\times 2=-2$ est celui qu'on rate le plus souvent. Vérification pour $x=1$ : $1\times 5=5$ et $6+1-2=5$.

6) Le moins devant la parenthèse change TOUS les signes : $-(2x-7)=-2x+7$. $F=4-2x+7+3x=x+11$. Écrire $4-2x-7+3x=x-3$ est l'erreur classique. Vérification pour $x=0$ : $4-(-7)=11$.

7) On regroupe les $x$ à gauche : $5x-2x=7+8$, soit $3x=15$, donc $x=5$. Vérification : $5\times 5-8=17$ et $2\times 5+7=17$.

8) On développe les deux membres : $3x-6=-x-10$. Puis $3x+x=-10+6$, soit $4x=-4$, donc $x=-1$. Vérification : $3\times(-3)=-9$ et $-(-1+10)=-9$. Oublier le moins devant la parenthèse du second membre donnerait $3x-6=x+10$, puis $x=8$.

1) $5x+3x-2x=6x$ : les trois termes ont la même partie littérale $x$, on additionne donc les coefficients, $5+3-2=6$. De même $7a-2a+a=6a$, à condition de compter le dernier terme comme $+1a$ : un coefficient invisible vaut $1$, jamais $0$.

2) On regroupe séparément les termes en $x$ et les nombres seuls : $(3x+5x)+(2-7)=8x-5$. Le résultat comporte deux termes, et c'est normal : une expression réduite n'est pas forcément un seul terme.

3) $x^{2}+2x^{2}=3x^{2}$ et $3x-x=2x$, donc l'expression réduite est $3x^{2}+2x$. Les termes en $x^{2}$ et en $x$ ne sont PAS semblables : pour $x=3$, l'un vaut $9$ et l'autre $3$, ils ne peuvent donc pas être fusionnés.

4) $4x\times 3x=4\times 3\times x\times x=12x^{2}$, alors que $4x+3x=7x$. La multiplication fait apparaître un carré, l'addition non. C'est la confusion la plus fréquente du chapitre, et elle se détecte en testant une valeur : pour $x=2$, on trouve $12\times 4=48$ d'un côté et $7\times 2=14$ de l'autre.

5) $-x+5x=4x$, car $-x$ signifie $-1x$. Écrire $5x$ comme réponse revient à oublier purement et simplement le premier terme.

6) NON, on ne peut pas. Les deux termes ne sont pas semblables : $3x$ dépend de $x$, alors que $2$ n'en dépend pas. Écrire $3x+2=5x$ serait faux, comme le montre le test $x=1$ : $3+2=5$ d'un côté, mais pour $x=4$ on aurait $14$ et $20$. Une expression peut donc être déjà réduite tout en comportant plusieurs termes.

1) $4(x+3)=4x+12$ et $5(2x-7)=10x-35$. Chaque terme de la parenthèse est multiplié, y compris celui qui porte un signe moins.

2) $-3(x+2)=-3x-6$ : le facteur $-3$ multiplie aussi le $+2$, ce qui donne $-6$. Et $-(x-5)=-x+5$ : le signe moins devant la parenthèse équivaut à un facteur $-1$, donc il CHANGE le signe de chaque terme. Le $-5$ devient $+5$, ce que l'on oublie une fois sur deux.

3) $2x(3x+4)=6x^{2}+8x$. Le facteur contient une lettre, donc le premier produit fait apparaître un carré : $2x\times 3x=6x^{2}$.

4) $3(x+2)=3x+6$ et $4(x-1)=4x-4$. La somme vaut $3x+6+4x-4=7x+2$. On développe d'abord chaque parenthèse, on réduit ensuite : mélanger les deux étapes est la meilleure façon de perdre un terme en route.

5) $-2(x-3)=-2x+6$, donc l'expression vaut $5-2x+6=11-2x$. Attention, le $5$ n'est pas multiplié par $-2$ : il n'est pas dans la parenthèse. On peut vérifier pour $x=1$ : l'expression de départ vaut $5-2\times(-2)=9$, et $11-2=9$ également.

6) L'élève n'a multiplié que le premier terme de la parenthèse et a recopié le second. Or le facteur $3$ doit multiplier $x$ ET $2$ : $3(x+2)=3x+6$. Le test d'une valeur le confirme immédiatement : pour $x=1$, l'expression de départ vaut $3\times 3=9$, alors que $3x+2$ donnerait $5$.

1) L'aire d'un rectangle est le produit de ses dimensions : $\mathcal{A}=(x+3)(x+2)$.

2) Les quatre morceaux ont pour aires $x^{2}$, $2x$, $3x$ et $6$. Leur somme vaut $x^{2}+2x+3x+6$, c'est-à-dire $x^{2}+5x+6$ après réduction.

3) Les deux expressions décrivent la MÊME aire, donc $(x+3)(x+2)=x^{2}+5x+6$. La règle générale se lit sur la figure : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, ce qui fait quatre produits, autant que de morceaux dans le découpage.

4) $(2x+1)(x+4)=2x\times x+2x\times 4+1\times x+1\times 4=2x^{2}+8x+x+4=2x^{2}+9x+4$. Les deux termes du milieu se réduisent, comme toujours dans ce type de développement.

5) $(x-2)(x+5)=x^{2}+5x-2x-10=x^{2}+3x-10$. Le signe moins se traite comme faisant partie du terme : c'est $-2$ qui multiplie $x$ puis $5$, ce qui donne $-2x$ puis $-10$.

6) Pour $x=1$, le produit vaut $(1+3)(1+2)=4\times 3=12$, et la forme développée vaut $1+5+6=12$. Les deux coïncident. Ce test ne PROUVE pas l'égalité, mais un désaccord aurait prouvé une erreur : il faut le faire systématiquement, il coûte dix secondes et rattrape la plupart des fautes de signe.

1) Les deux termes sont divisibles par $5$ : $5x+15=5(x+3)$. Vérification immédiate en redéveloppant : $5\times x=5x$ et $5\times 3=15$.

2) Le facteur commun contient une partie numérique et une partie littérale. Pour le numérique, $12$ et $8$ ont pour plus grand diviseur commun $4$ ; pour le littéral, les deux termes contiennent $x$. Donc $12x^{2}-8x=4x(3x-2)$. Sortir seulement $4$, ou seulement $x$, donnerait une factorisation incomplète.

3) $7x-7=7(x-1)$. Le second terme vaut $7\times 1$, donc il reste $1$ dans la parenthèse, et non $0$. C'est l'erreur classique : quand un terme EST le facteur commun, il laisse un $1$ derrière lui.

4) $3x+6y+9=3(x+2y+3)$. Deux lettres différentes ne posent aucun problème : elles ne se réduisent pas entre elles, on se contente de sortir le facteur numérique commun.

5) Ici le facteur commun est une PARENTHÈSE entière, $(x+1)$, présente dans les deux termes. On la sort : $(x+1)\big[(x+7)+2x\big]=(x+1)(3x+7)$. C'est la forme de factorisation qui prépare la troisième, où elle servira à résoudre des équations produit.

6) En redéveloppant : $4x(3x-2)=12x^{2}-8x$, on retrouve bien l'expression de départ. Pour $x=2$ : l'expression initiale vaut $12\times 4-16=32$, et la forme factorisée vaut $8\times 4=32$. Les deux contrôles concordent.

1) Pour $x=2$ : $A=3\times 4-4+1=9$. Pour $x=-1$ : $A=3\times(-1)^{2}-2\times(-1)+1=3+2+1=6$. Attention au carré d'un nombre négatif, qui est positif, et à la soustraction d'un nombre négatif, qui ajoute.

2) $B=5-2\times 4=5-8=-3$. Une expression littérale peut parfaitement prendre une valeur négative.

3) On remplace : $4\times 3-5=12-5=7$. On obtient bien $7$, donc OUI, $3$ est solution. Tester une valeur consiste à calculer séparément les deux membres et à comparer, jamais à transformer l'équation.

4) On remplace : $(-2)^{2}+3\times(-2)=4-6=-2$. Le membre de droite vaut $-2$ : OUI, $-2$ est bien solution. Notez que cette équation en possède une autre, $-1$, car $1-3=-2$ également.

5) NON. Pour $x=2$ les deux valent $4$, mais pour $x=3$ l'une vaut $9$ et l'autre $6$. Un exemple ne prouve JAMAIS une égalité entre deux expressions ; en revanche un seul contre-exemple suffit à la réfuter. Il se trouve d'ailleurs que $x^{2}=2x$ n'est vraie que pour $x=0$ et $x=2$.

6) Avec $5$ : $5+3=8$, puis $8\times 2=16$, puis $16-6=10$, c'est-à-dire le double de $5$. Avec $-4$ : $-1$, puis $-2$, puis $-8$, le double de $-4$. La démonstration se fait en littéral : en partant de $x$, on obtient $x+3$, puis $2(x+3)=2x+6$, puis $2x+6-6=2x$. Ce programme renvoie donc TOUJOURS le double du nombre choisi, et seul le calcul littéral le prouve pour tous les nombres à la fois.

1) On retranche $7$ des deux côtés : $x=12-7=5$. Vérification : $5+7=12$, l'égalité est vraie.

2) On divise les deux côtés par $5$ : $x=\dfrac{45}{5}=9$. Vérification : $5\times 9=45$.

3) Première étape, on enlève $2$ sur chaque plateau : $3x+2-2=14-2$, donc $3x=12$. Seconde étape, on partage chaque plateau en trois parts égales : $x=\dfrac{12}{3}=4$. Vérification dans l'équation de DÉPART : $3\times 4+2=14$. On enlève toujours d'abord le terme constant, puis on divise par le coefficient : l'ordre inverse fonctionne aussi mais fait apparaître des fractions inutiles.

4) On ajoute $5$ des deux côtés : $2x=14$. Puis on divise par $2$ : $x=7$. Vérification : $2\times 7-5=9$.

5) On multiplie les deux côtés par $4$ : $x=12$. Vérification : $\dfrac{12}{4}=3$. Diviser par $4$ et multiplier par $4$ sont deux opérations inverses, exactement comme ajouter et retrancher.

6) Parce qu'une égalité reste vraie si l'on effectue la même opération sur ses deux membres : c'est ce que montre la balance, où retirer la même masse des deux plateaux ne rompt pas l'équilibre. En revanche, retirer $2$ d'un seul côté détruirait l'égalité, exactement comme alléger un seul plateau ferait pencher la balance. Toute la résolution repose sur cette règle unique, appliquée deux ou trois fois.

1) On retranche $2x$ des deux côtés : $2x+3=11$. Puis on retranche $3$ : $2x=8$, donc $x=4$. Vérification : à gauche $19$, à droite $19$.

2) On développe le membre de gauche : $5x-10=3x+4$. On retranche $3x$ : $2x-10=4$. On ajoute $10$ : $2x=14$, donc $x=7$. Vérification : $5\times 5=25$ à gauche, $21+4=25$ à droite.

3) On développe les deux membres : $6x+3-4=2x+10+1$, soit $6x-1=2x+11$. On retranche $2x$ : $4x-1=11$. On ajoute $1$ : $4x=12$, donc $x=3$.

4) On ajoute $2x$ des deux côtés : $7=3x+1$. On retranche $1$ : $6=3x$, donc $x=2$. Le fait que l'inconnue se retrouve à droite ne change rien, une égalité se lit dans les deux sens.

5) Pour $x=3$ : le membre de gauche vaut $3\times 7-4=17$, et celui de droite $2\times 8+1=17$. Les deux coïncident, la solution est confirmée. La vérification doit toujours se faire dans l'équation de DÉPART, jamais dans une ligne intermédiaire, sinon on ne détecte pas une erreur commise dès la première étape.

6) En retranchant $x$ des deux côtés, il reste $5=8$, ce qui est FAUX. Aucune valeur de $x$ ne peut convenir : cette équation n'a AUCUNE solution. C'est logique, ajouter $5$ ou ajouter $8$ à un même nombre ne peut pas donner le même résultat. Une équation du premier degré n'a donc pas toujours exactement une solution.

1) FAUX. Les termes $3x$ et $2$ ne sont pas semblables : l'un dépend de $x$, l'autre non. L'expression $3x+2$ est déjà réduite. Un test suffit : pour $x=4$, $3x+2$ vaut $14$ alors que $5x$ vaut $20$.

2) FAUX. Le facteur $3$ doit multiplier TOUS les termes de la parenthèse : $3(x+2)=3x+6$. L'élève a oublié le second produit. Pour $x=1$ : $3\times 3=9$ d'un côté, $5$ de l'autre.

3) FAUX. Le signe moins devant la parenthèse équivaut au facteur $-1$, qui change le signe de CHAQUE terme : $-(x-4)=-x+4$. Le $-4$ devient $+4$. Test avec $x=0$ : l'expression de départ vaut $-(0-4)=4$, alors que $-x-4$ donnerait $-4$.

4) FAUX, ou plutôt incomplet. Il y a DEUX nombres dont le carré vaut $9$ : $3$ et $-3$, puisque $(-3)^{2}=9$. L'énoncé correct est : si $x^{2}=9$, alors $x=3$ ou $x=-3$. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente dès qu'un carré apparaît dans une équation.

5) FAUX. Dans $2x$, le $2$ n'est pas ajouté à $x$, il le MULTIPLIE : on ne peut donc pas le retirer par une soustraction. L'opération inverse d'une multiplication est une division, il faut diviser les deux côtés par $2$, ce qui donne $x=3$. Retrancher $2$ conduirait à l'écriture absurde $2x-2=4$, qui n'isole rien du tout.

1) Club A : $40+3x$ dollars, l'inscription étant payée une seule fois. Club B : $8x$ dollars. La différence de structure est visible dans les expressions : celle de A comporte un terme constant, celle de B non.

2) Pour $5$ séances : A coûte $40+15=55$ dollars et B coûte $40$ dollars, donc B est moins cher. Pour $12$ séances : A coûte $40+36=76$ dollars et B coûte $96$ dollars, donc A est moins cher. Le classement s'inverse entre les deux, il existe donc un nombre de séances où ils coûtent la même chose.

3) On résout $40+3x=8x$. On retranche $3x$ des deux côtés : $40=5x$, donc $x=8$. Pour $8$ séances, les deux clubs coûtent $40+24=64$ dollars, ce que confirme $8\times 8=64$.

4) Sur le graphique, les deux droites se coupent au point d'abscisse $8$ et d'ordonnée $64$ : le point d'intersection est exactement la solution de l'équation. Avant ce point, la droite du club B est en dessous, donc B est moins cher ; après, c'est l'inverse.

5) À partir de $9$ séances. Pour $x=8$ les prix sont égaux, et au-delà la droite de A passe sous celle de B. On peut le confirmer par le calcul : pour $9$ séances, A coûte $67$ dollars et B $72$ dollars. La réponse est un nombre ENTIER de séances, car on ne suit pas une demi-séance.

6) Il faut que $100<40+3x$, c'est-à-dire $60<3x$, donc $x>20$. À partir de $21$ séances, le club C revient moins cher que le club A : pour $21$ séances, A coûte $103$ dollars contre $100$ pour C. Notez qu'à $20$ séances exactement, les deux coûtent $100$ dollars, et que C est donc préférable dès qu'on dépasse ce seuil.

1) La longueur vaut $x+3$ et la largeur $x-3$. La condition $x>3$ est indispensable : sans elle, la largeur serait nulle ou négative, ce qui n'a aucun sens pour une figure.

2) Carré : $P=4x$. Rectangle : $P=2\big[(x+3)+(x-3)\big]=2\times 2x=4x$. Les deux périmètres sont ÉGAUX, car le $+3$ et le $-3$ se compensent exactement dans la somme. Augmenter un côté et diminuer l'autre de la même quantité ne change donc jamais le périmètre.

3) Aire du carré : $x^{2}$. Aire du rectangle : $(x+3)(x-3)=x^{2}-3x+3x-9=x^{2}-9$. Les deux termes du milieu se compensent, exactement comme dans le périmètre, mais il reste le produit $-9$. Vous retrouverez cette égalité en troisième sous le nom d'identité remarquable.

4) L'aire est passée de $x^{2}$ à $x^{2}-9$ : elle a diminué de $9$ cm², quelle que soit la valeur de $x$. C'est le point remarquable du problème. Deux figures de même périmètre n'ont pas la même aire, et ici la perte est CONSTANTE : que l'on parte d'un carré de $4$ cm ou de $400$ cm de côté, on perd toujours exactement $9$ cm².

5) Pour $x=8$ : le carré a une aire de $64$ cm², et le rectangle mesure $11$ cm sur $5$ cm, soit $55$ cm². La différence vaut bien $9$ cm², et les deux périmètres valent $32$ cm.

6) L'aire du nouveau rectangle serait $(x+5)(x-5)=x^{2}-25$ : la perte serait de $25$ cm², c'est-à-dire le CARRÉ de l'écart. Avec un écart de $3$ on perdait $9$, avec un écart de $5$ on perd $25$ : la perte grandit beaucoup plus vite que la déformation, ce qui explique qu'un rectangle très allongé enferme si peu de surface à périmètre donné.