Exercices corrigés : multiplier et diviser les nombres relatifs (Quatrième)

1) Le produit d'abord : $4\times(-3)=-12$, signes contraires. Puis $A=-6+(-12)=-18$. Le piège est de calculer $-6+4=-2$ en premier, puis $(-2)\times(-3)=6$ : un résultat de signe opposé.

2) Les deux parenthèses, chacune de son côté : $-8-7=-15$ et $5-8=-3$. Puis le quotient de deux négatifs est positif : $B=(-15)\div(-3)=5$.

3) La parenthèse : $4-1=3$. Le produit : $3\times(-5)=-15$. Il reste une somme, de gauche à droite : $C=-30-15+17=-45+17=-28$.

4) La division d'abord : $24\div(-6)=-4$. Puis $D=-9+(-4)=-13$. Faire $-9+24=15$ puis $15\div(-6)$ donnerait $-2{,}5$, sans rapport.

5) Les deux calculs prioritaires : $56\div(-7)=-8$ et $(-3)\times(-6)=18$, deux négatifs donc positif. Puis $E=-8+18=10$.

6) De l'intérieur vers l'extérieur. Parenthèse : $5-9=-4$. Produit dans le crochet : $(-2)\times(-4)=8$. Crochet : $7-8=-1$. Enfin $F=2-(-1)=2+1=3$. Deux pièges se cumulent ici : le produit passe avant la soustraction DANS le crochet, et retrancher $-1$ revient à ajouter $1$.

7) On décide le signe d'abord : quatre facteurs négatifs (le diviseur compte comme un facteur), nombre pair, donc résultat positif. Puis les distances : $2\times 3\times 5=30$ et $30\div 10=3$. $G=3$. De gauche à droite, on vérifie : $6$, puis $-30$, puis $3$.

8) Dans le crochet, le produit d'abord : $(-2)\times(-6)=12$. Puis $(-3)+12=9$. Enfin $H=-4\times 9=-36$.

1) $(-7)\times 8=-56$, $(-7)\times(-8)=56$, $7\times(-8)=-56$ et $7\times 8=56$. Les quatre résultats ont la MÊME distance à zéro, $56$ : les signes des facteurs ne changent que le signe du produit. C'est exactement ce qui autorise à traiter le signe à part, puis à calculer $7\times 8$ une seule fois.

2) Ligne $-3$ : $(-3)\times(-6)=18$, $(-3)\times(-1{,}5)=4{,}5$, $(-3)\times 4=-12$. Ligne $2{,}5$ : $2{,}5\times(-6)=-15$, $2{,}5\times(-1{,}5)=-3{,}75$, $2{,}5\times 4=10$. On calcule d'abord $3\times 6$, $3\times 1{,}5$, etc., puis on pose le signe.

3) Deux facteurs de MÊME signe donnent un produit positif, deux facteurs de signes CONTRAIRES donnent un produit négatif.

4) $(-2{,}5)\times(-4)=10$ : deux facteurs négatifs, produit positif, et $2{,}5\times 4=10$. $(-0{,}5)\times 12=-6$ : signes contraires, produit négatif, et $0{,}5\times 12=6$. Notez que multiplier par $-0{,}5$ revient à prendre la moitié puis à changer le signe.

5) $(-3)\times 5\times(-2)$ compte DEUX facteurs négatifs, nombre pair, donc le produit est positif : il vaut $30$. $(-1)\times(-1)\times(-1)$ compte trois facteurs négatifs, nombre impair, donc le produit est négatif : il vaut $-1$.

6) L'erreur est de croire que les moins s'accumulent. Ils se COMPENSENT deux par deux : $(-4)\times(-5)=20$. La bonne image est celle de l'opposé, $(-4)\times(-5)$ est l'opposé de $4\times(-5)=-20$, donc $20$. Cette erreur coûte deux points à chaque question où elle apparaît, car elle se propage à tout le calcul qui suit.

1) $A$ a pour abscisse $2$, $B$ vaut $-4$, $C$ vaut $8$ et $D$ vaut $-16$. On vérifie : $2\times(-2)=-4$, puis $(-4)\times(-2)=8$, puis $8\times(-2)=-16$. Le multiplicateur est $-2$. Le signe alterne à chaque étape parce qu'on ajoute à chaque fois UN facteur négatif, et la distance à zéro double. Retenez la formulation : le multiplicateur est le quotient d'un terme par le précédent, ici $\dfrac{-4}{2}=-2$, et l'on vérifie ce quotient sur les TROIS passages avant de conclure. Un seul passage ne prouverait rien.

2) $E$ a pour abscisse $(-16)\times(-2)=32$, hors de la fenêtre dessinée, du côté positif.

3) $(-2)^{5}$ est un produit de CINQ facteurs négatifs, nombre impair, donc il est négatif : il vaut $-32$. $(-2)^{6}$ compte six facteurs négatifs, nombre pair, donc il est positif : il vaut $64$. On répond sur le signe sans jamais calculer la puissance. La règle se démontre en une ligne : $(-2)^{5}=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)$, où les quatre premiers facteurs se compensent deux à deux et laissent un dernier facteur négatif. C'est cette compensation par paires qui explique toute la parité.

4) Quatre facteurs négatifs, nombre pair, donc le produit est positif. Reste $1\times 3\times 5\times 2=30$. Le résultat est $30$.

5) Trois facteurs négatifs, nombre impair, donc le produit est négatif. Reste $4\times 2{,}5\times 3\times 1=30$. Le résultat est $-30$. Remarquez que les deux produits ont la même distance à zéro, seule la parité du nombre de moins les sépare.

6) Le produit vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair. C'est la formulation générale de tout l'exercice : seule la PARITÉ du nombre de facteurs négatifs compte, jamais leur position dans le produit. Cette question résume la série : dans un produit, seul le NOMBRE de facteurs négatifs importe, ni leur ordre, ni leur taille. Un élève qui calcule la distance à zéro puis pose le signe en dernier ne se trompe plus, alors que celui qui traîne les signes dans le calcul en perd un sur deux.

1) $\dfrac{-56}{7}=-8$ (signes contraires, quotient négatif), $\dfrac{-56}{-7}=8$ (même signe, quotient positif) et $\dfrac{56}{-7}=-8$. Comme pour le produit, les trois résultats partagent la distance à zéro $8$.

2) $(-4{,}8)\div(-0{,}6)$ : deux négatifs, quotient positif, et $4{,}8\div 0{,}6=8$, donc le résultat est $8$. $(-4{,}8)\div 1{,}2$ : signes contraires, quotient négatif, et $4{,}8\div 1{,}2=4$, donc le résultat est $-4$. Astuce de contrôle : diviser par $0{,}6$ AGRANDIT, diviser par $1{,}2$ diminue.

3) $\dfrac{x}{-5}=-9$ donne $x=(-9)\times(-5)=45$. Vérification : $\dfrac{45}{-5}=-9$. On passe du quotient au dividende en MULTIPLIANT par le diviseur, signe compris.

4) $\dfrac{-72}{y}=-6$ donne $y=\dfrac{-72}{-6}=12$. Vérification : $\dfrac{-72}{12}=-6$. Attention, le nombre cherché est ici au DÉNOMINATEUR : on ne multiplie pas, on divise.

5) La variation totale vaut arrivée moins départ, soit $-15-9=-24$ degrés. Par heure : $\dfrac{-24}{8}=-3$ degrés par heure. Le signe négatif porte l'information utile, la température baisse de $3$ degrés chaque heure. Écrire $9-(-15)=24$ serait la variation du sens inverse, donc un contresens.

6) Le numérateur et le dénominateur sont tous deux négatifs, donc le quotient est POSITIF : $\dfrac{-3}{-4}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$. Réponse $0{,}75$. L'erreur fréquente consiste à garder un moins parce qu'on en voit deux dans l'écriture, alors qu'ils se compensent exactement.

1) $(-3)^{2}=(-3)\times(-3)=9$, $(-3)^{3}=(-3)\times(-3)\times(-3)=-27$ et $(-3)^{4}=81$. Le signe suit la parité de l'exposant, parce que l'exposant compte exactement le nombre de facteurs négatifs.

2) $-3^{2}=-(3\times 3)=-9$. Sans parenthèse, l'exposant ne porte QUE sur le $3$ ; le signe moins reste en dehors et s'applique à la fin. On obtient donc $-9$, l'opposé de la réponse précédente. C'est le piège le plus rentable du chapitre pour un correcteur : deux écritures presque identiques, deux résultats opposés. L'erreur coûte cher parce qu'elle est invisible : les deux écritures se ressemblent au point qu'un élève relit sa copie sans rien voir. La parade est de systématiquement réécrire $-3^{2}$ sous la forme $-(3^{2})$ avant de calculer, et de ne jamais taper une puissance de nombre négatif à la calculatrice sans parenthèses.

3) $(-2)^{4}=16$ et $-2^{4}=-(2^{4})=-16$. Même phénomène, même conclusion.

4) $(-10)^{3}=-1000$ : trois facteurs négatifs, résultat négatif. $(-0{,}1)^{2}=0{,}01$ : deux facteurs négatifs, résultat positif, et la distance à zéro DIMINUE parce qu'on élève un nombre compris entre $-1$ et $1$. Vérification utile pour la seconde : élever un nombre compris entre $-1$ et $1$ RAPPROCHE de zéro, alors qu'élever un nombre plus éloigné de zéro que $1$ en éloigne encore. C'est la même règle que pour la multiplication, appliquée au nombre par lui-même.

5) $(-5)^{11}$ est négatif, l'exposant $11$ étant impair. $(-5)^{12}$ est positif, l'exposant $12$ étant pair. Aucun calcul n'est nécessaire, et ces deux nombres sont bien trop grands pour être posés.

6) $(-2)^{n}>0$ exactement quand $n$ est pair, donc pour $n=2$, $n=4$ et $n=6$. Pour $n=1$, $n=3$ et $n=5$, la puissance est négative : $-2$, $-8$ et $-32$.

1) La multiplication passe avant l'addition : $3\times(-4)=-12$, puis $-5+(-12)=-17$. Le résultat est $-17$.

2) La parenthèse passe en premier : $-5+3=-2$, puis $(-2)\times(-4)=8$. Le résultat est $8$. Comparez avec la question 1 : le même trio de nombres, deux résultats sans rapport, $-17$ et $8$. La parenthèse n'est jamais décorative. Écrire la parenthèse n'est donc pas une précaution de style, c'est une opération. Quand un énoncé s'écrit sur une ligne, on gagne à la recopier en soulignant d'abord le bloc à calculer en premier : cette seule habitude supprime la plupart des erreurs de l'exercice.

3) Division et multiplication d'abord : $-12\div(-3)=4$ et $(-2)\times 5=-10$. Il reste $4+(-10)=-6$. Le résultat est $-6$.

4) La puissance d'abord : $(-2)^{3}=-8$. Puis le produit : $(-4)\times(-2)=8$. Il reste $-8-8=-16$. Attention, on SOUSTRAIT un nombre positif, ce qui éloigne encore de zéro du côté négatif.

5) La barre de fraction est une parenthèse invisible : on calcule le numérateur en entier, $-18+6=-12$, puis on divise, $\dfrac{-12}{-4}=3$. Le résultat est $3$, positif. Écrire $-18+\dfrac{6}{-4}$ serait un tout autre calcul, et une erreur classique. Le contrôle décimal confirme : $\dfrac{-18+6}{-4}=\dfrac{-12}{-4}=3$, tandis que $-18+\dfrac{6}{-4}=-18-1{,}5=-19{,}5$. Deux résultats sans rapport, pour deux lectures d'une même ligne, ce qui montre à quel point la barre de fraction est structurante.

6) Puissance : $(-1)^{5}=-1$. Produit : $(-3)\times(-2)=6$. Il reste $-7-6+(-1)=-14$. Le résultat est $-14$. Notez que le produit de deux négatifs est positif, mais qu'on le RETRANCHE, ce qui fait bien descendre le total.

1) Avec $a=-6$ et $b=-2$ : $a+b=-8$, $a-b=-6-(-2)=-6+2=-4$, $a\times b=12$ et $a\div b=3$. Deux résultats négatifs et deux positifs, pour un seul couple de nombres.

2) Avec $a=-6$ et $b=3$ : $a+b=-3$, $a-b=-9$, $a\times b=-18$ et $a\div b=-2$. Ici les quatre résultats sont négatifs, ce qui n'est PAS une règle mais une coïncidence liée au fait que $a$ est plus éloigné de zéro que $b$.

3) Avec $a=4$ et $b=-0{,}5$ : $a+b=3{,}5$, $a-b=4{,}5$, $a\times b=-2$ et $a\div b=-8$. Le quotient est huit fois plus éloigné de zéro que $a$ : diviser par un nombre compris entre $-1$ et $1$ agrandit la distance à zéro.

4) Il suffit de prendre deux nombres NÉGATIFS, par exemple $-2$ et $-5$ : la somme vaut $-7$, négative, et le produit vaut $10$, positif. Tout autre couple de négatifs convient.

5) Oui, c'est possible. Un produit négatif impose des signes contraires ; il suffit alors que le positif soit le plus éloigné de zéro. Par exemple $7$ et $-3$ : la somme vaut $4$, positive, et le produit vaut $-21$, négatif.

6) Contre-exemple : $(-4)+(-5)=-9$, deux moins et un résultat négatif. Ce qu'il faut retenir : la règle des signes ne concerne QUE la multiplication et la division. Pour une addition, on raisonne sur la droite graduée ou avec l'image des dettes, deux dettes s'ajoutent et donnent une dette plus grande.

1) $x$ est MULTIPLIÉ par $-4$, donc on divise par $-4$ : $x=\dfrac{36}{-4}=-9$. Vérification : $-4\times(-9)=36$. Le signe du résultat est négatif parce que $36$ est positif et $-4$ négatif. La méthode générale tient en une phrase : on identifie l'opération qui ENTOURE le nombre cherché, puis on applique l'opération inverse aux deux membres. Ici, une multiplication par $-4$ se défait par une division par $-4$, signe compris.

2) $x$ est DIVISÉ par $-3$, donc on multiplie par $-3$ : $x=7\times(-3)=-21$. Vérification : $\dfrac{-21}{-3}=7$.

3) On ajoute $9$ aux deux membres : $x=-2+9=7$. Vérification : $7+(-9)=-2$. Aucune règle des signes ici, c'est une addition.

4) $x=\dfrac{-45}{-5}=9$. Vérification : $-5\times 9=-45$. Deux nombres négatifs, quotient positif.

5) $x=\dfrac{10}{-2{,}5}=-4$. Vérification : $(-4)\times(-2{,}5)=10$. Diviser par $2{,}5$ revient à prendre les deux cinquièmes.

6) Ici $x$ est au DÉNOMINATEUR. On ne multiplie donc pas par $-4$, on divise : $x=\dfrac{-24}{-4}=6$. Vérification : $\dfrac{-24}{6}=-4$. La différence avec la question 2 tient à la place du nombre cherché : au numérateur on défait une division par une multiplication, au dénominateur on échange le diviseur et le quotient. Retenez la distinction, elle vaut deux points à chaque contrôle : quand l'inconnue est au numérateur on la libère en multipliant, quand elle est au dénominateur on échange sa place avec celle du résultat. Un élève qui applique ici la méthode de la question 2 écrit $x=(-4)\times(-24)=96$, et la vérification le détrompe aussitôt : $\dfrac{-24}{96}=-0{,}25$ et non $-4$.

1) FAUX. La règle des signes ne vaut que pour le produit et le quotient. Deux nombres négatifs s'ajoutent en s'éloignant de zéro du côté négatif : $(-4)+(-5)=-9$. Énoncé correct : la somme de deux nombres négatifs est négative.

2) FAUX. Sans parenthèse, l'exposant ne porte que sur le $5$ : $-5^{2}=-(5\times 5)=-25$. Le nombre qui vaut $25$ s'écrit $(-5)^{2}$. Énoncé correct : $-5^{2}=-25$ et $(-5)^{2}=25$.

3) FAUX. $-x$ désigne l'OPPOSÉ de $x$, pas un nombre négatif. Si $x=-7$, alors $-x=7$, qui est positif. Énoncé correct : si $x$ est négatif, son opposé $-x$ est positif. Le signe moins devant une lettre ne dit rien du signe du nombre.

4) FAUX. Cela dépend du signe du nombre de départ. $2\times(-3)=-6$ diminue bien, mais $(-2)\times(-3)=6$ AUGMENTE, et $0\times(-3)=0$ ne change rien. Énoncé correct : multiplier par $-3$ change le signe et triple la distance à zéro.

5) FAUX. Multiplication et division ont la MÊME priorité et s'effectuent de gauche à droite. On calcule donc $-20\div 4=-5$, puis $(-5)\times(-5)=25$. Le calcul proposé donnerait $-20\div(-20)=1$, un résultat différent. Énoncé correct : à priorité égale, on lit de gauche à droite.

6) Multiplier par $-3$ multiplie la distance à zéro par $3$ et change le signe du nombre, sauf pour $0$ qui reste $0$.

1) $-1{,}5\times 20=-30$. Il est à $-30$ mètres. La vitesse est comptée négativement parce qu'elle fait descendre, et la profondeur obtenue est bien négative. Notez la cohérence des unités : des mètres par seconde multipliés par des secondes donnent des mètres. Écrire les unités dans le calcul est le contrôle le plus rapide sur ce genre de problème, et il attrape immédiatement une multiplication faite à la place d'une division.

2) On cherche la durée $t$ telle que $-1{,}5\times t=-42$, donc $t=\dfrac{-42}{-1{,}5}=28$ secondes. Deux nombres négatifs, quotient positif : une durée ne peut évidemment pas être négative, et c'est un bon contrôle de vraisemblance.

3) Remonter compte positivement : $0{,}8\times 15=12$ mètres gagnés, donc $-42+12=-30$ mètres. Il repasse exactement par la profondeur de la question 1. Écrire $-42-12$ serait supposer qu'il continue de descendre.

4) Il descend de $-2{,}4\times 12=-28{,}8$ mètres à partir de $-6$ mètres : $-6+(-28{,}8)=-34{,}8$ mètres.

5) $-34{,}8<-30$ : le second plongeur est le plus profond. Attention, sa profondeur est le nombre le PLUS PETIT, alors que sa distance à zéro est la plus grande. C'est exactement le renversement d'ordre des négatifs. Ce renversement est le point le plus testé du chapitre. Sur la droite verticale des profondeurs, être PLUS PROFOND, c'est être plus BAS, donc avoir la plus petite valeur. Répondre le premier plongeur parce que $34{,}8>30$ revient à comparer des distances à zéro là où l'énoncé demande de comparer des positions.

6) L'écart est la différence entre la plus haute et la plus basse position : $-30-(-34{,}8)=-30+34{,}8=4{,}8$ mètres. Un écart est toujours positif ; retrancher un nombre négatif revient bien à ajouter son opposé.

1) $400+120-85-240=195$ dollars. On cumule les variations dans l'ordre, sans jamais oublier qu'un retrait s'écrit avec un signe moins.

2) On repart de $195$ : $195+310-150-75=280$ dollars. Le solde final est de $280$ dollars.

3) $120-85-240+310-150-75=-120$. La variation du solde vaut $280-400=-120$ dollars. Les deux nombres coïncident, et ce n'est pas un hasard : le solde final est le solde initial augmenté de la SOMME des variations, quel que soit leur ordre. Cette égalité est la meilleure vérification du calcul de la question 2.

4) $\dfrac{-120}{6}=-20$ dollars par mois. Le compte a donc perdu $20$ dollars par mois en moyenne, alors qu'aucun mois n'affiche exactement $-20$ : une moyenne de nombres relatifs n'a pas à figurer dans la liste.

5) Non. Les soldes successifs valent $520$, $435$, $195$, $505$, $355$ et $280$ dollars. Le minimum est $195$ dollars, atteint à la fin du troisième mois, et il reste positif. Il ne suffit pas de regarder la variation la plus forte, $-240$ dollars au troisième mois, il faut CUMULER.