Exercice 1 : Huit calculs avec des quotients relatifs

Calculez chaque expression à la main et donnez le résultat sous forme de fraction simplifiée, avec son signe devant. Rappel : $\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$ ; on ramène toujours le signe devant la fraction avant de calculer.

1) $A=\dfrac{-12}{-18}$
2) $B=\dfrac{3}{-4}+\dfrac{1}{4}$
3) $C=-\dfrac{5}{6}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
4) $D=\dfrac{-4}{9}\times\dfrac{15}{-8}$
5) $E=-\dfrac{7}{5}\div\dfrac{14}{-15}$
6) $F=-2+\dfrac{7}{-3}$
7) $G=-\left(-\dfrac{3}{4}\right)\times(-2)$
8) $H=\left(1-\dfrac{3}{2}\right)\div\left(-\dfrac{1}{4}\right)$

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Réponses

1) $A=\dfrac{2}{3}$
2) $B=-\dfrac{1}{2}$
3) $C=-\dfrac{1}{6}$
4) $D=\dfrac{5}{6}$
5) $E=\dfrac{3}{2}$
6) $F=-\dfrac{13}{3}$
7) $G=-\dfrac{3}{2}$
8) $H=2$

1)

Deux signes moins : le quotient est positif, $A=\dfrac{12}{18}$ . On simplifie par $6$ : $A=\dfrac{2}{3}$ .

2)

On ramène le signe devant : $\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$ . $B=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}$ . Le piège est de lire $\dfrac{3}{-4}$ comme positif parce que le numérateur l'est.

3)

Soustraire $-\dfrac{2}{3}$ , c'est ajouter $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$ . $C=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{4}{6}=-\dfrac{1}{6}$ .

4)

Le signe d'abord : deux signes moins dans l'écriture, résultat positif. Puis $\dfrac{4\times 15}{9\times 8}=\dfrac{4\times 3\times 5}{3\times 3\times 4\times 2}=\dfrac{5}{6}$ . $D=\dfrac{5}{6}$ .

5)

Deux signes moins : quotient positif. Diviser par $\dfrac{14}{15}$ , c'est multiplier par $\dfrac{15}{14}$ : $\dfrac{7\times 15}{5\times 14}=\dfrac{7\times 3\times 5}{5\times 2\times 7}=\dfrac{3}{2}$ . $E=\dfrac{3}{2}$ .

6)

$\dfrac{7}{-3}=-\dfrac{7}{3}$ et $-2=-\dfrac{6}{3}$ . $F=-\dfrac{6}{3}-\dfrac{7}{3}=-\dfrac{13}{3}$ . L'erreur fréquente est $-\dfrac{6}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{1}{3}$ , en perdant le signe du dénominateur.

7)

$-\left(-\dfrac{3}{4}\right)$ est l'opposé d'un négatif : $\dfrac{3}{4}$ . Puis $G=\dfrac{3}{4}\times(-2)=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}$ .

8)

La parenthèse : $1-\dfrac{3}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$ . Diviser par $-\dfrac{1}{4}$ , c'est multiplier par $-4$ : $H=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times(-4)=2$ . Deux négatifs, résultat positif.

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Exercice 2 : Trois écritures pour un seul nombre

Un quotient de deux nombres relatifs porte un signe, et ce signe se décide tout seul, sans calculer les nombres. On le pose d'abord, on calcule ensuite.

1) Écrire le nombre $\dfrac{-5}{8}$ de deux autres façons.
2) Donner, sans poser aucun calcul, le signe de $\dfrac{-7}{-3}$ , de $\dfrac{12}{-5}$ et de $\dfrac{-9}{4}$ .
3) Calculer $\dfrac{-24}{6}$ , puis $\dfrac{35}{-7}$ , puis $\dfrac{-48}{-12}$ .
4) Compléter : $-\dfrac{3}{7}=\dfrac{\dots}{7}=\dfrac{3}{\dots}$
5) Parmi $\dfrac{-2}{5}$ , $\dfrac{2}{-5}$ , $-\dfrac{-2}{-5}$ et $\dfrac{-4}{-10}$ , lesquels sont égaux à $-\dfrac{2}{5}$ ?
6) Un produit comporte $7$ facteurs négatifs et $3$ facteurs positifs. Quel est son signe ? Justifier en une phrase.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

1)

Égal à

\dfrac{-5}{8}

2)

Signe de

\dfrac{-7}{-3}

Signe de

\dfrac{12}{-5}

Signe de

\dfrac{-9}{4}

3)

\dfrac{-24}{6}

\dfrac{35}{-7}

\dfrac{-48}{-12}

4)

Numérateur manquant

Dénominateur manquant

5)

Égaux à

-\dfrac{2}{5}

6)

Signe du produit

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Réponses

1) $\frac{5}{-8}=-\frac{5}{8}$
2) Positif, négatif, négatif
3) $-4$ ; $-5$ ; 4
4) $\frac{-3}{7}=\frac{3}{-7}$
5) Les trois premiers
6) Négatif : 7 moins, nombre impair

1)

$\dfrac{-5}{8}=\dfrac{5}{-8}=-\dfrac{5}{8}$ . Ces trois écritures désignent le MÊME nombre, celui qui vaut $-0{,}625$ . Le signe moins peut se placer au numérateur, au dénominateur ou devant la barre : partager $-5$ en $8$ parts, ou prendre l'opposé de $5$ parts sur $8$ , revient au même. Sur la copie, on écrit de préférence le dénominateur positif.

2)

$\dfrac{-7}{-3}$ est POSITIF : deux facteurs négatifs, donc un nombre pair de moins. $\dfrac{12}{-5}$ est NÉGATIF : un seul moins. $\dfrac{-9}{4}$ est NÉGATIF : un seul moins. On n'a rien calculé, on a compté les moins.

3)

$\dfrac{-24}{6}=-4$ : signes contraires, et $24\div 6=4$ . $\dfrac{35}{-7}=-5$ : signes contraires. $\dfrac{-48}{-12}=4$ : même signe, donc positif. Méthode en deux temps, toujours la même : d'abord le signe, ensuite la division des nombres sans leur signe.

4)

$-\dfrac{3}{7}=\dfrac{-3}{7}=\dfrac{3}{-7}$ . Le moins descend au numérateur ou au dénominateur, jamais aux deux à la fois : $\dfrac{-3}{-7}$ vaudrait $+\dfrac{3}{7}$ , c'est-à-dire l'opposé de la réponse attendue.

5)

$\dfrac{-2}{5}$ est égal à $-\dfrac{2}{5}$ , et $\dfrac{2}{-5}$ aussi. $-\dfrac{-2}{-5}$ également : à l'intérieur, $\dfrac{-2}{-5}=+\dfrac{2}{5}$ , et le moins de devant en prend l'opposé, donc $-\dfrac{2}{5}$ . En revanche $\dfrac{-4}{-10}=+\dfrac{2}{5}$ n'est PAS égal à $-\dfrac{2}{5}$ : c'est son opposé. Le piège est de simplifier $\dfrac{-4}{-10}$ en $\dfrac{-2}{5}$ en n'effaçant qu'un seul des deux moins.

6)

Le produit est NÉGATIF. Les facteurs négatifs se regroupent deux par deux et chaque paire donne un produit positif ; avec $7$ facteurs négatifs, il reste un moins tout seul après trois paires. Nombre impair de moins, donc résultat négatif. Les $3$ facteurs positifs ne changent rien au signe.

Exercice 3 : Simplifier sans perdre le signe

Simplifier une fraction, c'est couper le gâteau en parts plus grosses : la valeur ne change pas, et le signe non plus.

1) Simplifier $\dfrac{-18}{24}$ .
2) Simplifier $\dfrac{45}{-60}$ et écrire le résultat avec un dénominateur positif.
3) Simplifier $\dfrac{-56}{-42}$ .
4) Simplifier $\dfrac{-100}{-250}$ .
5) Écrire $\dfrac{15}{-9}$ sous forme irréductible, avec un dénominateur positif.
6) Trouver le nombre entier $x$ tel que $\dfrac{-3}{5}=\dfrac{x}{-35}$ .

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Réponses

1) $-\frac{3}{4}$
2) $-\frac{3}{4}$
3) $\frac{4}{3}$
4) $\frac{2}{5}$
5) $-\frac{5}{3}$
6) $x=21$

1)

$18$ et $24$ ont $6$ pour plus grand diviseur commun : $\dfrac{-18}{24}=\dfrac{-18\div 6}{24\div 6}=\dfrac{-3}{4}$ . Le signe est celui du départ, un seul moins au numérateur, donc un nombre négatif, $-0{,}75$ . Vérification : $-18\div 24=-0{,}75$ .

2)

$\dfrac{45}{-60}$ : le quotient est négatif car il y a un seul moins, et $45\div 15=3$ , $60\div 15=4$ . Donc $\dfrac{45}{-60}=-\dfrac{3}{4}=\dfrac{-3}{4}$ . Écrire $\dfrac{3}{-4}$ n'est pas faux, mais le dénominateur positif est la forme attendue au collège.

3)

$\dfrac{-56}{-42}$ est POSITIF : deux moins. Le plus grand diviseur commun de $56$ et $42$ est $14$ , donc le résultat est $\dfrac{4}{3}$ . Piège classique : garder un moins et écrire $-\dfrac{4}{3}$ . On vérifie : $56\div 42\approx 1{,}33$ , un nombre positif un peu plus grand que $1$ , ce qui est cohérent car $56>42$ .

4)

$\dfrac{-100}{-250}$ est positif. On divise haut et bas par $50$ : $\dfrac{100}{250}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ . Vérification décimale immédiate : $100\div 250=0{,}4$ .

5)

$\dfrac{15}{-9}$ est négatif ; $15$ et $9$ se divisent par $3$ , ce qui donne $\dfrac{5}{3}$ . Réponse : $-\dfrac{5}{3}$ , soit environ $-1{,}67$ . Le résultat est plus petit que $-1$ , ce qui est cohérent car $15>9$ .

6)

On passe de $5$ à $-35$ en multipliant par $-7$ : il faut donc multiplier aussi le numérateur par $-7$ , ce qui donne $x=(-3)\times(-7)=21$ . Vérification : $\dfrac{21}{-35}=-0{,}6=-\dfrac{3}{5}$ . L'erreur fréquente est de répondre $-21$ , en oubliant que le facteur $-7$ apporte lui aussi un moins.

Exercice 4 : Comparer, ranger, placer

Sur la droite graduée, le plus petit est toujours le plus à gauche. C'est la seule définition qui ne trompe jamais chez les nombres négatifs.

1) Comparer $-\dfrac{5}{6}$ et $-\dfrac{2}{3}$ .
2) Comparer $-\dfrac{7}{6}$ et $-\dfrac{7}{5}$ .
3) Ranger dans l'ordre croissant : $-\dfrac{5}{3}$ ; $-\dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{1}{6}$ ; $-\dfrac{7}{6}$ ; $\dfrac{2}{3}$ .
4) Placer ces cinq nombres sur la droite graduée ci-dessus.
5) Donner un nombre strictement compris entre $-\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{1}{3}$ .
6) Vrai ou faux : si $a<b$ , alors $-a<-b$ . Justifier avec un exemple.

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Réponses

1) $-\frac{5}{6}<-\frac{2}{3}$
2) $-\frac{7}{5}<-\frac{7}{6}$
3) $-\frac{5}{3}<-\frac{7}{6}<-\frac{1}{2}<\frac{1}{6}<\frac{2}{3}$
4) 10, 7 et 3 à gauche ; 1 et 4 à droite
5) $-\frac{5}{12}$ par exemple
6) Faux : $-a>-b$

1)

On met au même dénominateur : $-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{6}$ . Il faut comparer $-\dfrac{5}{6}$ et $-\dfrac{4}{6}$ , c'est-à-dire $-5$ parts et $-4$ parts d'un sixième. Comme $-5<-4$ , on obtient $-\dfrac{5}{6}<-\dfrac{2}{3}$ . En décimal : $-0{,}83<-0{,}67$ . Le piège est de comparer $5$ et $4$ en oubliant les signes.

2)

Numérateurs égaux, dénominateurs différents. Chez les positifs, $\dfrac{7}{5}>\dfrac{7}{6}$ , car couper en $5$ donne des parts plus grosses qu'en $6$ . Chez les négatifs tout se retourne : la plus grosse part en valeur est la plus loin à gauche de zéro, donc $-\dfrac{7}{5}<-\dfrac{7}{6}$ . Vérification : $-1{,}4<-1{,}17$ .

3)

On passe tout en sixièmes : $-\dfrac{10}{6}$ ; $-\dfrac{3}{6}$ ; $\dfrac{1}{6}$ ; $-\dfrac{7}{6}$ ; $\dfrac{4}{6}$ . On range les numérateurs : $-10<-7<-3<1<4$ . Ordre croissant : $-\dfrac{5}{3}<-\dfrac{7}{6}<-\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{6}<\dfrac{2}{3}$ , soit $-1{,}67$ ; $-1{,}17$ ; $-0{,}5$ ; $0{,}17$ ; $0{,}67$ .

4)

Chaque petite graduation vaut un sixième. On compte donc, à partir de $0$ : dix graduations vers la gauche pour $-\dfrac{5}{3}$ , sept pour $-\dfrac{7}{6}$ , trois pour $-\dfrac{1}{2}$ , puis une et quatre vers la droite pour $\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{2}{3}$ . Les points doivent apparaître de gauche à droite dans l'ordre trouvé à la question $3$ : c'est la vérification du rangement.

5)

Au même dénominateur $12$ : $-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{6}{12}$ et $-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{12}$ . Entre les deux se glisse $-\dfrac{5}{12}$ , soit environ $-0{,}42$ . On pouvait aussi passer en vingt-quatrièmes et proposer $-\dfrac{11}{24}$ : entre deux fractions, il y en a toujours une infinité.

6)

FAUX. L'ordre se retourne quand on prend les opposés : si $a<b$ , alors $-a>-b$ . Exemple : $a=-\dfrac{5}{6}$ et $b=-\dfrac{2}{3}$ vérifient $a<b$ , mais $-a=\dfrac{5}{6}$ et $-b=\dfrac{2}{3}$ vérifient $-a>-b$ . Sur la droite, prendre l'opposé c'est faire le symétrique par rapport à $0$ , et une symétrie échange la gauche et la droite.

Exercice 5 : Additionner et soustraire

Additionner un nombre négatif, c'est reculer sur la droite ; en soustraire un, c'est avancer. La droite ci-dessous, graduée au quart, sert à contrôler chaque résultat.

1) Calculer $\dfrac{-3}{4}+\dfrac{5}{4}$ .
2) Calculer $\dfrac{-2}{3}+\dfrac{-5}{6}$ .
3) Calculer $\dfrac{7}{10}-\dfrac{-3}{5}$ .
4) Calculer $-\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{4}$ .
5) Calculer $\dfrac{-4}{9}+2$ .
6) Calculer $\dfrac{-1}{6}+\dfrac{3}{4}$ .

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Réponses

1) $\frac{1}{2}$
2) $-\frac{3}{2}$
3) $\frac{13}{10}$
4) $-\frac{7}{8}$
5) $\frac{14}{9}$
6) $\frac{7}{12}$

1)

Même dénominateur : on ajoute les numérateurs et on garde le $4$ . $\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ . Sur la droite : on part de trois quarts vers la gauche et on avance de cinq quarts, on arrive à deux quarts. Le résultat est positif car on avance plus loin qu'on n'était en retard.

2)

On réduit au dénominateur $6$ : $\dfrac{-2}{3}=\dfrac{-4}{6}$ . Donc $\dfrac{-4}{6}+\dfrac{-5}{6}=\dfrac{-9}{6}=\dfrac{-3}{2}=-1{,}5$ . Deux reculs s'additionnent : le résultat est forcément plus négatif que chacun des deux, ce qui se vérifie car $-1{,}5<-0{,}83$ .

3)

Soustraire un négatif, c'est ajouter son opposé : $\dfrac{7}{10}-\left(\dfrac{-3}{5}\right)=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{7}{10}+\dfrac{6}{10}=\dfrac{13}{10}=1{,}3$ . Le piège est de calculer $\dfrac{7}{10}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{10}$ : on aurait oublié le moins de $-\dfrac{3}{5}$ et perdu $1{,}2$ au passage.

4)

$\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}$ , donc $-\dfrac{5}{8}-\dfrac{2}{8}=-\dfrac{7}{8}=-0{,}875$ . On enlève encore à un nombre déjà négatif : on s'éloigne de $0$ vers la gauche, et $-0{,}875$ est bien plus petit que $-0{,}625$ .

5)

L'entier $2$ s'écrit $\dfrac{18}{9}$ . Alors $\dfrac{-4}{9}+\dfrac{18}{9}=\dfrac{14}{9}$ , soit environ $1{,}56$ . Le résultat est positif car $2$ est bien plus grand que $\dfrac{4}{9}$ , qui vaut moins de $0{,}5$ .

6)

Le dénominateur commun de $6$ et $4$ est $12$ : $\dfrac{-1}{6}=\dfrac{-2}{12}$ et $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ . Somme : $\dfrac{7}{12}$ , environ $0{,}58$ . Erreur à éviter : prendre $24$ comme dénominateur commun n'est pas faux, mais oblige à simplifier $\dfrac{14}{24}$ à la fin. Le plus petit dénominateur commun de $6$ et $4$ est $12$ , pas leur produit.

Exercice 6 : Multiplier, diviser, inverser

Pour multiplier, on ne réduit surtout pas au même dénominateur : on multiplie les numérateurs entre eux, les dénominateurs entre eux, et on décide le signe à part.

1) Calculer $\dfrac{-3}{7}\times\dfrac{14}{9}$ .
2) Calculer $\dfrac{-5}{8}\times\dfrac{-4}{15}$ .
3) Calculer $\dfrac{-6}{11}\div\dfrac{3}{-22}$ .
4) Donner l'inverse de $-\dfrac{9}{4}$ , puis son opposé.
5) Calculer $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}$ puis $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{3}$ .
6) Trouver le nombre $x$ tel que $-\dfrac{5}{6}\times x=1$ .

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Réponses

1) $-\frac{2}{3}$
2) $\frac{1}{6}$
3) 4
4) Inverse $-\frac{4}{9}$ , opposé $\frac{9}{4}$
5) $\frac{4}{9}$ et $-\frac{8}{27}$
6) $x=-\frac{6}{5}$

1)

Un seul facteur négatif, donc le résultat est négatif. On simplifie avant de multiplier : $14$ et $7$ se divisent par $7$ , $9$ et $3$ se divisent par $3$ . Il reste $-\dfrac{1\times 2}{1\times 3}=-\dfrac{2}{3}$ . Vérification décimale : $-0{,}43\times 1{,}56\approx-0{,}67$ .

2)

Deux facteurs négatifs, donc résultat POSITIF. On calcule $\dfrac{5\times 4}{8\times 15}$ en simplifiant $5$ avec $15$ et $4$ avec $8$ : il reste $\dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{6}$ . Piège : garder un signe moins par réflexe alors que les deux se sont annulés.

3)

Diviser, c'est multiplier par l'inverse : $\dfrac{-6}{11}\times\dfrac{-22}{3}$ . Deux moins, donc résultat positif. $22$ et $11$ donnent $2$ , $6$ et $3$ donnent $2$ , il reste $2\times 2=4$ . Vérification : $-0{,}545\div(-0{,}136)\approx 4$ .

4)

L'inverse de $-\dfrac{9}{4}$ est $-\dfrac{4}{9}$ : on retourne la fraction et on GARDE le signe, car le produit doit valoir $1$ , un nombre positif. L'opposé, lui, est $\dfrac{9}{4}$ : on change le signe et la fraction reste debout, car la somme doit valoir $0$ . Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

5)

$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{9}$ : deux moins, résultat positif. $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{3}=-\dfrac{8}{27}$ : trois moins, résultat négatif. Règle générale : un exposant pair rend le résultat positif, un exposant impair lui laisse le signe de la base.

6)

Le nombre cherché est l'inverse de $-\dfrac{5}{6}$ , c'est-à-dire $x=-\dfrac{6}{5}$ , soit $-1{,}2$ . Vérification : $-\dfrac{5}{6}\times\left(-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{30}{30}=1$ . Répondre $\dfrac{6}{5}$ donnerait $-1$ et non $1$ .

Exercice 7 : Des expressions à plusieurs opérations

Les priorités ne changent pas parce que les nombres sont négatifs : parenthèses, puis puissances, puis produits et quotients, puis sommes et différences.

1) Calculer $A=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{-5}{3}$ .
2) Calculer $B=\left(\dfrac{-2}{5}+\dfrac{7}{10}\right)\times\dfrac{-4}{3}$ .
3) Calculer $C=\dfrac{-5}{6}-\left(\dfrac{-1}{3}-\dfrac{3}{4}\right)$ .
4) Calculer $D=\dfrac{-3}{4}\div\dfrac{9}{-8}$ .
5) Calculer $E=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{3}\times\dfrac{-4}{5}$ .
6) Léa écrit : $\dfrac{-3}{5}+\dfrac{2}{5}\times 4=\dfrac{-1}{5}\times 4=\dfrac{-4}{5}$ . Trouver son erreur et donner le résultat correct.

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Réponses

1) $A=-\frac{19}{12}$
2) $B=-\frac{2}{5}$
3) $C=\frac{1}{4}$
4) $D=\frac{2}{3}$
5) $E=\frac{1}{10}$
6) Produit d'abord : 1

1)

Le produit passe avant la somme : $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-5}{6}$ . Puis $\dfrac{-3}{4}+\dfrac{-5}{6}$ au dénominateur $12$ : $\dfrac{-9}{12}+\dfrac{-10}{12}=\dfrac{-19}{12}$ , soit environ $-1{,}58$ . Deux nombres négatifs additionnés donnent bien un résultat plus négatif que chacun d'eux.

2)

La parenthèse d'abord : $\dfrac{-4}{10}+\dfrac{7}{10}=\dfrac{3}{10}$ , un nombre positif. Puis $\dfrac{3}{10}\times\dfrac{-4}{3}=\dfrac{-12}{30}=-\dfrac{2}{5}=-0{,}4$ . Un seul facteur négatif dans le produit final, donc résultat négatif.

3)

La parenthèse : $\dfrac{-1}{3}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{-4}{12}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{-13}{12}$ . Puis $C=\dfrac{-5}{6}-\left(\dfrac{-13}{12}\right)=\dfrac{-10}{12}+\dfrac{13}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$ . Le résultat est positif : soustraire un nombre très négatif revient à ajouter beaucoup. Piège : écrire $\dfrac{-10}{12}-\dfrac{13}{12}$ en oubliant que le moins devant la parenthèse change le signe de son contenu.

4)

On multiplie par l'inverse de $\dfrac{9}{-8}$ , qui est $\dfrac{-8}{9}$ : $D=\dfrac{-3}{4}\times\dfrac{-8}{9}$ . Deux moins, donc positif, et $\dfrac{3\times 8}{4\times 9}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}$ . Vérification : $-0{,}75\div(-1{,}125)\approx 0{,}67$ .

5)

La puissance d'abord : $\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{3}=\dfrac{-1}{8}$ , négatif car l'exposant est impair. Puis $\dfrac{-1}{8}\times\dfrac{-4}{5}=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$ , positif car deux moins se rencontrent.

6)

Léa a additionné avant de multiplier : elle a calculé $\dfrac{-3}{5}+\dfrac{2}{5}$ d'abord, alors que le produit $\dfrac{2}{5}\times 4$ est prioritaire. Le calcul correct est $\dfrac{2}{5}\times 4=\dfrac{8}{5}$ , puis $\dfrac{-3}{5}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{5}{5}=1$ . Sa réponse, $-0{,}8$ , n'a même pas le bon signe : le contrôle du signe aurait dû l'alerter.

Exercice 8 : Le nombre qui manque

Retrouver un nombre caché, c'est défaire l'opération dans l'autre sens. Chaque réponse se vérifie en la remettant dans l'énoncé.

1) Trouver $x$ tel que $x+\dfrac{-3}{4}=\dfrac{1}{2}$ .
2) Trouver $x$ tel que $\dfrac{-2}{3}\times x=\dfrac{4}{9}$ .
3) Trouver $x$ tel que $\dfrac{5}{6}-x=\dfrac{-1}{3}$ .
4) Trouver $x$ tel que $x\div\dfrac{-3}{7}=2$ .
5) Programme de calcul : choisir un nombre, le multiplier par $-\dfrac{3}{4}$ , puis ajouter $\dfrac{1}{2}$ . Quel résultat donne le nombre $-\dfrac{2}{3}$ ?
6) Quel nombre de départ donne $0$ à la sortie de ce programme ?

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Réponses

1) $\frac{5}{4}$
2) $-\frac{2}{3}$
3) $\frac{7}{6}$
4) $-\frac{6}{7}$
5) 1
6) $\frac{2}{3}$

1)

Pour défaire l'ajout de $-\dfrac{3}{4}$ , on ajoute $\dfrac{3}{4}$ : $x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}$ . Vérification : $\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ . Le nombre cherché est plus grand que $\dfrac{1}{2}$ , ce qui est logique puisqu'on lui retire ensuite quelque chose.

2)

On divise par $-\dfrac{2}{3}$ , c'est-à-dire qu'on multiplie par son inverse $-\dfrac{3}{2}$ : $x=\dfrac{4}{9}\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{12}{18}=-\dfrac{2}{3}$ . Le signe se lit d'avance : un facteur négatif qui donne un produit positif oblige l'autre facteur à être négatif lui aussi.

3)

Ici $x$ est retranché. On isole : $x=\dfrac{5}{6}-\left(\dfrac{-1}{3}\right)=\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{7}{6}$ . Vérification : $\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{-2}{6}=\dfrac{-1}{3}$ . L'erreur classique est de répondre $\dfrac{1}{2}$ , obtenu en calculant $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$ sans tenir compte du signe moins de $-\dfrac{1}{3}$ .

4)

$x=2\times\left(\dfrac{-3}{7}\right)=\dfrac{-6}{7}$ . Vérification : $\dfrac{-6}{7}\div\dfrac{-3}{7}=\dfrac{-6}{7}\times\dfrac{7}{-3}=2$ . Diviser deux nombres négatifs donne bien un résultat positif.

5)

On applique le programme à $-\dfrac{2}{3}$ : $\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$ , puis $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ . Le résultat est $1$ . La première étape donne un nombre positif car les deux facteurs sont négatifs.

6)

On cherche $x$ tel que $-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}=0$ , donc $-\dfrac{3}{4}x=-\dfrac{1}{2}$ , puis $x=-\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ . Vérification : $\dfrac{2}{3}\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{1}{2}$ , et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0$ .

Exercice 9 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « $-\dfrac{2}{3}$ est plus grand que $-\dfrac{1}{3}$ , car $2$ est plus grand que $1$ . »
2) « $\dfrac{-4}{-6}$ est un nombre négatif, puisqu'il contient des signes moins. »
3) « Pour additionner $\dfrac{-1}{2}$ et $\dfrac{1}{3}$ , on additionne les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : le résultat est $\dfrac{0}{5}$ , donc $0$ . »
4) « L'inverse de $-\dfrac{5}{2}$ est $\dfrac{5}{2}$ . »
5) « Le quotient de deux nombres négatifs, divisé par un nombre négatif, est positif. »

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Réponses

1) $-\frac{2}{3}<-\frac{1}{3}$
2) Positif : $\frac{2}{3}$
3) $-\frac{1}{6}$
4) Inverse : $-\frac{2}{5}$
5) Négatif : trois moins

1)

FAUX. Au même dénominateur, il s'agit de $-\dfrac{2}{3}$ contre $-\dfrac{1}{3}$ , soit $-2$ tiers contre $-1$ tiers. Comme $-2<-1$ , on a $-\dfrac{2}{3}<-\dfrac{1}{3}$ : $-0{,}67$ est à GAUCHE de $-0{,}33$ . Énoncé correct : $-\dfrac{2}{3}$ est plus PETIT que $-\dfrac{1}{3}$ . Chez les négatifs, plus le nombre paraît gros, plus il est petit.

2)

FAUX. Il y a DEUX signes moins, donc un nombre pair : le quotient est positif. $\dfrac{-4}{-6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}67$ . Énoncé correct : $\dfrac{-4}{-6}$ est positif et vaut $\dfrac{2}{3}$ . Ce n'est pas la présence de moins qui décide du signe, c'est leur nombre.

3)

FAUX. On n'additionne jamais les dénominateurs : le dénominateur dit en combien de parts on coupe, et couper en $2$ puis en $3$ ne donne pas des parts de cinquième. Il faut le même dénominateur, ici $6$ : $\dfrac{-3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{-1}{6}\approx-0{,}17$ . Énoncé correct : la somme vaut $-\dfrac{1}{6}$ , et non $0$ .

4)

FAUX. $\dfrac{5}{2}$ est l'OPPOSÉ de $-\dfrac{5}{2}$ : leur somme vaut $0$ . L'inverse est le nombre dont le produit avec $-\dfrac{5}{2}$ vaut $1$ , c'est $-\dfrac{2}{5}$ , car $-\dfrac{5}{2}\times\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{10}{10}=1$ . Énoncé correct : l'inverse de $-\dfrac{5}{2}$ est $-\dfrac{2}{5}$ . L'inverse garde toujours le signe du nombre.

5)

FAUX. Il y a TROIS facteurs négatifs, un nombre impair, donc le résultat est négatif. Exemple : $\dfrac{-6}{-3}=2$ , puis $2\div(-2)=-1$ . Énoncé correct : le quotient de deux nombres négatifs divisé par un nombre négatif est NÉGATIF. La règle utile est le comptage des moins, pas leur simple présence.

Exercice 10 : Problème : la réserve d'eau du chalet

La cuve d'un chalet contient $240$ litres quand elle est pleine, et sa paroi est graduée en douze parts égales. Le premier janvier, le niveau est aux trois quarts. Un voyant d'alerte s'allume dès que le niveau descend sous le quart de la cuve.

Quatre jours de suite, on note la variation du niveau, en fraction de la cuve : jour $1$ : $-\dfrac{1}{3}$ ; jour $2$ : $+\dfrac{1}{12}$ ; jour $3$ : $-\dfrac{1}{6}$ ; jour $4$ : $+\dfrac{1}{4}$ .

1) Écrire le niveau de départ et le seuil d'alerte en douzièmes de cuve.
2) Donner le niveau à la fin du jour $1$ , en fraction de cuve puis en litres.
3) Calculer la somme des quatre variations.
4) En déduire le niveau final, en fraction irréductible puis en litres.
5) Le voyant d'alerte s'est-il allumé pendant ces quatre jours ? Justifier.
6) Quelle variation, le cinquième jour, ramènerait la cuve exactement à la moitié ?

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Réponses

1) $\frac{9}{12}$ et $\frac{3}{12}$
2) $\frac{5}{12}$ : 100 L
3) $-\frac{1}{6}$
4) $\frac{7}{12}$ : 140 L
5) Non : minimum 80 L
6) $-\frac{1}{12}$ , soit $-20$ L

1)

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}$ : on multiplie numérateur et dénominateur par $3$ . Travailler en douzièmes est le bon choix, car $3$ , $12$ , $6$ et $4$ divisent tous $12$ : toutes les variations s'écriront sans nouveau calcul de dénominateur.

2)

Niveau après le jour $1$ : $\dfrac{9}{12}+\left(-\dfrac{4}{12}\right)=\dfrac{5}{12}$ de cuve. En litres : $\dfrac{5}{12}\times 240=5\times 20=100$ litres. Repère utile pour toute la suite : un douzième de cuve vaut $240\div 12=20$ litres.

3)

En douzièmes : $-\dfrac{4}{12}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{-4+1-2+3}{12}=\dfrac{-2}{12}=-\dfrac{1}{6}$ . Le bilan des quatre jours est une BAISSE, même si deux jours sur quatre ont fait monter le niveau : les baisses l'emportent de deux douzièmes.

4)

Niveau final $=\dfrac{9}{12}-\dfrac{2}{12}=\dfrac{7}{12}$ de cuve, soit $7\times 20=140$ litres. La fraction $\dfrac{7}{12}$ est irréductible, car $7$ est premier et ne divise pas $12$ . Contrôle : $180$ litres au départ, moins $\dfrac{1}{6}$ de $240$ litres c'est-à-dire $40$ litres, donnent bien $140$ litres.

5)

NON. On suit les niveaux jour après jour : $\dfrac{9}{12}$ , puis $\dfrac{5}{12}$ , puis $\dfrac{6}{12}$ , puis $\dfrac{4}{12}$ , puis $\dfrac{7}{12}$ . Le minimum est $\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ , soit $80$ litres, et le seuil vaut $\dfrac{3}{12}$ , soit $60$ litres. Comme $\dfrac{4}{12}>\dfrac{3}{12}$ , le voyant est resté éteint. Attention : il ne suffit pas de regarder le niveau final, il faut vérifier CHAQUE jour, car la cuve est descendue bien plus bas au jour $3$ qu'à la fin.

6)

Il faut passer de $\dfrac{7}{12}$ à $\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}$ : la variation cherchée est $\dfrac{6}{12}-\dfrac{7}{12}=-\dfrac{1}{12}$ de cuve, soit une baisse de $20$ litres. Le signe négatif était prévisible, puisque la cuve doit descendre.

Exercice 11 : Problème : cinq relevés de température

Une station météo enregistre la température minimale de cinq nuits de janvier, en degrés Celsius : $-\dfrac{11}{4}$ ; $-\dfrac{3}{2}$ ; $\dfrac{5}{4}$ ; $-\dfrac{17}{4}$ ; $-\dfrac{7}{2}$ .

Le graphique ci-dessous représente ces cinq relevés.

1) Ranger les cinq relevés dans l'ordre croissant.
2) Calculer l'écart entre le relevé le plus haut et le relevé le plus bas.
3) Calculer la somme des cinq relevés.
4) En déduire la température moyenne, en fraction irréductible puis en écriture décimale.
5) Combien de nuits ont été plus froides que la moyenne ?
6) Une sixième nuit est enregistrée. Quelle température donnerait une moyenne de $-2$ degrés sur les six nuits ?

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Réponses

1) $-\frac{17}{4}<-\frac{7}{2}<-\frac{11}{4}<-\frac{3}{2}<\frac{5}{4}$
2) $5{,}5$ degrés
3) $-\frac{43}{4}=-10{,}75$
4) $-\frac{43}{20}=-2{,}15$
5) Trois nuits
6) $-1{,}25$ degré

1)

On écrit tout en quarts : $-\dfrac{11}{4}$ ; $-\dfrac{6}{4}$ ; $\dfrac{5}{4}$ ; $-\dfrac{17}{4}$ ; $-\dfrac{14}{4}$ . On range les numérateurs : $-17<-14<-11<-6<5$ . Ordre croissant : $-\dfrac{17}{4}<-\dfrac{7}{2}<-\dfrac{11}{4}<-\dfrac{3}{2}<\dfrac{5}{4}$ , soit $-4{,}25$ ; $-3{,}5$ ; $-2{,}75$ ; $-1{,}5$ ; $1{,}25$ . Le graphique confirme : la barre la plus longue vers le bas est celle de la nuit $4$ .

2)

L'écart s'obtient en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande : $\dfrac{5}{4}-\left(-\dfrac{17}{4}\right)=\dfrac{5+17}{4}=\dfrac{22}{4}=\dfrac{11}{2}=5{,}5$ degrés. Un écart est toujours positif : soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé, et c'est bien ce qui fait grandir l'écart.

3)

Somme, en quarts : $\dfrac{-11-6+5-17-14}{4}=\dfrac{-43}{4}=-10{,}75$ degrés. Le total est négatif, ce qui est attendu puisque quatre nuits sur cinq sont sous zéro.

4)

Moyenne $=\dfrac{-43}{4}\div 5=\dfrac{-43}{4}\times\dfrac{1}{5}=-\dfrac{43}{20}=-2{,}15$ degrés. La fraction est irréductible car $43$ est un nombre premier. Contrôle de cohérence : la moyenne doit se situer entre le minimum $-4{,}25$ et le maximum $1{,}25$ , ce qui est bien le cas.

5)

On compare chaque relevé à $-2{,}15$ : $-4{,}25$ , $-3{,}5$ et $-2{,}75$ sont plus petits, tandis que $-1{,}5$ et $1{,}25$ sont plus grands. TROIS nuits ont été plus froides que la moyenne. Il est normal que la majorité des valeurs soient sous la moyenne : la seule nuit positive, $1{,}25$ , tire à elle seule la moyenne vers le haut.

6)

Pour une moyenne de $-2$ sur six nuits, la somme doit valoir $6\times(-2)=-12$ degrés. La sixième température est donc $-12-\left(-\dfrac{43}{4}\right)=-\dfrac{48}{4}+\dfrac{43}{4}=-\dfrac{5}{4}=-1{,}25$ degré. Vérification : $-\dfrac{43}{4}-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{48}{4}=-12$ , et $-12\div 6=-2$ .

Exercice 12 : Le milieu de deux nombres sur la droite graduée

Sur une droite graduée, le milieu du segment qui joint les points d'abscisses $a$ et $b$ a pour abscisse $\dfrac{a+b}{2}$ . La distance entre ces deux points est la différence entre la plus grande et la plus petite abscisse.

La figure ci-dessous représente les deux points de la question 1.

1) Calculez l'abscisse du milieu des points d'abscisses $-\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{6}$ .
2) Calculez la distance entre ces deux points.
3) Calculez l'abscisse du milieu des points d'abscisses $-\dfrac{5}{3}$ et $-\dfrac{1}{2}$ .
4) Le milieu de $[AB]$ a pour abscisse $-\dfrac{1}{4}$ , et $A$ a pour abscisse $\dfrac{2}{3}$ . Quelle est l'abscisse de $B$ ?
5) Pour le milieu de la question 1, un élève calcule $\dfrac{1}{6}-\left(-\dfrac{3}{4}\right)$ puis divise par $2$ . Quel nombre obtient-il, et que représente ce nombre ?

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Réponses

1) $-\frac{7}{24}$
2) $\frac{11}{12}$
3) $-\frac{13}{12}$
4) $-\frac{7}{6}$
5) $\frac{11}{24}$ : moitié de la distance

1)

$-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}=-\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}=-\dfrac{7}{12}$ , puis $-\dfrac{7}{12}\div 2=-\dfrac{7}{24}$ , soit environ $-0{,}29$ . Le milieu est négatif, car $-\dfrac{3}{4}$ est plus loin de zéro que $\dfrac{1}{6}$ .

2)

$\dfrac{1}{6}-\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{2}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{11}{12}$ . Une distance est toujours positive.

3)

$-\dfrac{5}{3}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{10}{6}-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{13}{6}$ , puis $-\dfrac{13}{6}\div 2=-\dfrac{13}{12}$ , soit environ $-1{,}08$ . Contrôle : $-\dfrac{13}{12}$ est bien entre $-\dfrac{20}{12}$ et $-\dfrac{6}{12}$ .

4)

Le milieu est à mi-chemin : $B$ est aussi loin du milieu que $A$ , de l'autre côté. $\dfrac{a+b}{2}=-\dfrac{1}{4}$ donne $a+b=-\dfrac{1}{2}$ , donc $b=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{3}{6}-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{7}{6}$ . Vérification : $\dfrac{2}{3}+\left(-\dfrac{7}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$ , et la moitié vaut $-\dfrac{1}{4}$ .

5)

Il obtient $\dfrac{11}{12}\div 2=\dfrac{11}{24}$ , soit environ $0{,}46$ . C'est la moitié de la DISTANCE entre les deux points, pas l'abscisse du milieu : pour trouver le milieu, il faudrait encore l'ajouter à la plus petite abscisse, $-\dfrac{3}{4}+\dfrac{11}{24}=-\dfrac{18}{24}+\dfrac{11}{24}=-\dfrac{7}{24}$ .

Le fil : le milieu est une moyenne, on ADDITIONNE les abscisses ; la distance est un écart, on les SOUSTRAIT.

Exercice 13 : La valeur d'une expression pour une fraction négative

On pose $x=-\dfrac{2}{3}$ . Pour calculer une expression, on remplace $x$ par cette valeur écrite ENTRE PARENTHÈSES, puis on respecte les priorités opératoires.

1) Calculez $A=3x+1$ .
2) Calculez $B=x^{2}$ .
3) Calculez $C=-x^{2}$ .
4) Calculez $D=2x^{2}-x$ .
5) Calculez $E=\dfrac{x-1}{x+1}$ .

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Réponses

1) $-1$
2) $\frac{4}{9}$
3) $-\frac{4}{9}$
4) $\frac{14}{9}$
5) $-5$

1)

$A=3\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)+1=-2+1=-1$ .

2)

$B=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$ : deux facteurs négatifs, résultat positif.

3)

$C=-\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}=-\dfrac{4}{9}$ . Le carré se calcule d'abord, le moins de devant s'applique ensuite. Sans parenthèses autour de la valeur, on écrirait $-\dfrac{2}{3}^{2}$ , une écriture ambiguë qui fait perdre le signe.

4)

$D=2\times\dfrac{4}{9}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{8}{9}+\dfrac{6}{9}=\dfrac{14}{9}$ , soit environ $1{,}56$ . Retrancher $x$ , qui est négatif, revient à ajouter $\dfrac{2}{3}$ .

5)

Numérateur : $-\dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{5}{3}$ . Dénominateur : $-\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{1}{3}$ . Donc $E=-\dfrac{5}{3}\div\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{3}\times 3=-5$ . La barre de fraction groupe le numérateur et le dénominateur, qu'on calcule chacun en entier.

Le fil : une valeur négative se remplace toujours entre parenthèses ; c'est ce qui garde le bon signe dans les carrés et les soustractions.

Exercice 14 : Le carré magique

Dans un carré magique, les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales ont toutes la même somme, appelée somme magique. Le carré magique ci-dessous est incomplet ; les nombres sont écrits en quarts et en demis.

Colonne 1	Colonne 2	Colonne 3
-1	?	?
3/4	-1/4	?
-1/2	?	1/2

1) Calculez la somme de la diagonale qui part du coin en haut à gauche. Quelle est la somme magique ?
2) Complétez la case du milieu de la ligne du bas.
3) Complétez la case de droite de la ligne du milieu.
4) Complétez les deux cases manquantes de la ligne du haut.
5) On multiplie toutes les cases du carré complet par $-4$ . Le nouveau carré est-il encore magique ? Quelle est sa somme magique ?

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Réponses

1) $-\frac{3}{4}$
2) $-\frac{3}{4}$
3) $-\frac{5}{4}$
4) $\frac{1}{4}$ et 0
5) Oui, somme magique 3

1)

La diagonale contient $-1$ , $-\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{2}$ : $-\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}=-\dfrac{3}{4}$ . La somme magique est $-\dfrac{3}{4}$ .

2)

Ligne du bas : $-\dfrac{1}{2}+c+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{4}$ , donc $c=-\dfrac{3}{4}$ .

3)

Ligne du milieu : $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}+c=-\dfrac{3}{4}$ , donc $c=-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{5}{4}$ .

4)

Colonne de droite : $c+\left(-\dfrac{5}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{4}$ , donc $c=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{4}-\dfrac{2}{4}=0$ . Puis ligne du haut : $-1+c+0=-\dfrac{3}{4}$ , donc $c=\dfrac{1}{4}$ . Contrôle par la colonne du milieu : $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{3}{4}$ , et par l'autre diagonale : $0-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{4}$ .

5)

Oui. Chaque somme de trois cases est multipliée par $-4$ , comme chaque case, grâce à la distributivité : toutes les sommes restent égales entre elles et valent $-\dfrac{3}{4}\times(-4)=3$ . Le carré obtenu ne contient plus que des entiers : $4$ ; $-1$ ; $0$ en haut.

Le fil : chaque case manquante se trouve dans une ligne où elle est la SEULE inconnue ; il faut choisir l'ordre des calculs.

Exercice 15 : Problème : deux horloges mal réglées

Deux horloges sont mises à l'heure exacte le même jour. Chaque jour, on note leur écart avec l'heure exacte, compté positivement pour une avance et négativement pour un retard. L'horloge A varie de $+\dfrac{3}{4}$ de minute par jour, l'horloge B de $-\dfrac{5}{6}$ de minute par jour.

La figure ci-dessous représente la situation.

1) Quel est l'écart de chaque horloge avec l'heure exacte au bout de $8$ jours ?
2) De combien de minutes la différence entre les deux horloges augmente-t-elle chaque jour ?
3) Au bout de combien de jours l'horloge B a-t-elle exactement $10$ minutes de retard ?
4) Au bout de combien de jours entiers la différence entre les deux horloges dépasse-t-elle une heure pour la première fois ?
5) Au bout de $30$ jours, quel est l'écart de chaque horloge avec l'heure exacte ? Laquelle est la plus proche de l'heure exacte ?

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Réponses

1) $+6$ et $-\frac{20}{3}$ min
2) $\frac{19}{12}$ min par jour
3) 12 jours
4) 38 jours
5) $22{,}5$ et $-25$ : A la plus juste

1)

Horloge A : $8\times\dfrac{3}{4}=6$ minutes d'avance, écart $+6$ . Horloge B : $8\times\left(-\dfrac{5}{6}\right)=-\dfrac{40}{6}=-\dfrac{20}{3}$ , soit environ $-6{,}67$ minutes, c'est-à-dire $6$ min $40$ s de retard.

2)

$\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}$ de minute par jour. L'une avance, l'autre retarde : les deux écarts s'ajoutent.

3)

Un retard de $10$ minutes correspond à l'écart $-10$ : $-10\div\left(-\dfrac{5}{6}\right)=10\times\dfrac{6}{5}=12$ jours. Le quotient de deux négatifs est positif, comme une durée doit l'être.

4)

$60\div\dfrac{19}{12}=\dfrac{720}{19}\approx 37{,}9$ . Au bout de $37$ jours, la différence vaut $37\times\dfrac{19}{12}\approx 58{,}6$ minutes ; au bout de $38$ jours, $\dfrac{722}{12}\approx 60{,}2$ minutes. C'est donc au bout de $38$ jours.

5)

A : $30\times\dfrac{3}{4}=22{,}5$ minutes. B : $30\times\left(-\dfrac{5}{6}\right)=-25$ minutes. La plus proche de l'heure exacte est celle dont l'écart est le plus près de zéro : l'horloge A, puisque $22{,}5<25$ . Comparer $22{,}5$ et $-25$ directement ferait croire à tort que B est la plus juste.

Le fil : un écart signé se multiplie par le nombre de jours ; pour comparer la justesse, on compare les distances à zéro.

Exercice 16 : Problème : la mise en route d'un congélateur

On branche un congélateur dont l'intérieur est à $20$ degrés. Pendant les $40$ premières minutes, sa température varie de $-\dfrac{3}{4}$ de degré par minute. Ensuite, elle varie de $-\dfrac{1}{8}$ de degré par minute, jusqu'à atteindre $-18$ degrés ; le moteur se met alors en pause.

La figure ci-dessous représente la situation.

1) Quelle est la variation de température pendant les $40$ premières minutes ?
2) Quelle température règne dans le congélateur au bout de $40$ minutes ?
3) Au bout de combien de temps la température vaut-elle exactement $0$ degré ? Donnez la réponse en minutes et secondes.
4) Combien de minutes faut-il ensuite pour passer de la température de la question 2 à $-18$ degrés ?
5) Au bout de combien de temps, depuis le branchement, le moteur se met-il en pause ? Quelle est la variation moyenne de température par minute sur toute cette durée, au centième ?

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Réponses

1) $-30$ degrés
2) $-10$ degrés
3) 26 min 40 s
4) 64 minutes
5) 1 h 44 min ; $\approx -0{,}37$ degré par minute

1)

$40\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-30$ degrés.

2)

$20+(-30)=-10$ degrés.

3)

Il faut une variation de $-20$ degrés : $-20\div\left(-\dfrac{3}{4}\right)=20\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{80}{3}$ minutes, soit $26$ minutes et $\dfrac{2}{3}$ de minute, c'est-à-dire $26$ min $40$ s. Cela se passe bien pendant les $40$ premières minutes.

4)

Il faut encore une variation de $-18-(-10)=-8$ degrés : $-8\div\left(-\dfrac{1}{8}\right)=8\times 8=64$ minutes.

5)

$40+64=104$ minutes, soit $1$ h $44$ min. La variation totale vaut $-18-20=-38$ degrés, donc la variation moyenne vaut $\dfrac{-38}{104}=-\dfrac{19}{52}\approx-0{,}37$ degré par minute. Ce n'est pas la moyenne $-\dfrac{7}{16}$ des deux vitesses de refroidissement : la phase lente dure plus longtemps et pèse plus lourd.

Le fil : variation = vitesse × durée et durée = variation ÷ vitesse, avec des nombres signés dont les signes se compensent dans le quotient.

Exercices corrigés : les nombres relatifs en écriture fractionnaire (Quatrième)

Rappel de cours

Calculs : calcul pur (/10)

Exercice 1 : Huit calculs avec des quotients relatifs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 2 : Trois écritures pour un seul nombre

Exercice 3 : Simplifier sans perdre le signe

Exercice 4 : Comparer, ranger, placer

Exercice 5 : Additionner et soustraire

Exercice 6 : Multiplier, diviser, inverser

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 7 : Des expressions à plusieurs opérations

Exercice 8 : Le nombre qui manque

Exercice 9 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 10 : Problème : la réserve d'eau du chalet

Exercice 11 : Problème : cinq relevés de température

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 12 : Le milieu de deux nombres sur la droite graduée

Exercice 13 : La valeur d'une expression pour une fraction négative

Exercice 14 : Le carré magique

Exercice 15 : Problème : deux horloges mal réglées

Exercice 16 : Problème : la mise en route d'un congélateur

Voir aussi

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