Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Ce chapitre croise deux difficultés que l'élève maîtrise séparément : les nombres relatifs vus en cinquième et les fractions vues à peine plus tôt. Prises ensemble, elles produisent des erreurs nouvelles, en particulier sur l'ordre, qui se retourne dès qu'on passe à gauche de zéro.
Cette fiche ne réexplique ni les fractions ni les relatifs : elle traite ce qui naît de leur rencontre, avec la ligne exacte à écrire et le nombre de points que chaque confusion coûte.
Le fil du chapitre
Un quotient négatif s'écrit de trois façons pour un seul nombre, et l'ordre des négatifs marche à l'envers de celui des positifs. Tout le chapitre tient dans ces deux phrases, et chaque piège en est une conséquence directe.
Un énoncé écrit volontiers pour voir si l'élève reconnaît un nombre négatif. Réécrire toutes les fractions avec un dénominateur positif, dès la première ligne, désamorce la question.
Ne jamais conclure une comparaison sans avoir dessiné la droite graduée à main levée. C'est le seul juge de l'ordre, et il coûte trois secondes.
Transformer toutes les soustractions en additions de l'opposé, sur une ligne entière, avant de chercher le dénominateur commun : deux gestes séparés, deux fois moins d'erreurs.
Un inverse ne change jamais de signe. C'est la moitié de la définition, et c'est précisément la moitié qu'on oublie en retournant la fraction.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est positif, puisque le moins est en bas. »
Ce qu'il faut écrire
« : un seul facteur négatif, où qu'il se trouve, rend le quotient négatif. »
Pourquoi : La règle des signes compte les facteurs négatifs sans se soucier de leur place. Le dénominateur est un facteur du quotient au même titre que le numérateur.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , car . »
Ce qu'il faut écrire
« et , donc : chez les négatifs, le plus grand numérateur donne le plus PETIT nombre. »
Pourquoi : Passer à l'opposé retourne l'inégalité, comme un miroir posé sur zéro. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et la droite graduée la rend impossible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : on divise le numérateur et le dénominateur par , ce qui ne touche pas au signe. »
Pourquoi : Simplifier est un geste mécanique qui mobilise toute l'attention sur les nombres. Écrire le signe devant la barre, avant de simplifier, le met hors de portée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'inverse de est , puisqu'on retourne la fraction. »
Ce qu'il faut écrire
« L'inverse de est : on retourne la fraction et on GARDE le signe, car leur produit doit valoir . »
Pourquoi : Retourner et changer de signe sont deux gestes indépendants. Le test est immédiat : le produit d'un nombre et de son inverse vaut , et .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , car moins par moins donne plus. »
Ce qu'il faut écrire
« : la règle des signes ne concerne pas les additions. »
Pourquoi : La règle vient d'être révisée, donc elle s'invite partout. Deux quantités négatives qu'on ajoute donnent une quantité plus négative encore, comme deux dettes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : retirer un nombre négatif fait AUGMENTER le résultat. »
Pourquoi : Les deux signes moins se suivent et l'œil n'en voit qu'un. Écrire la transformation en addition sur une ligne à part la rend visible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , car un dénominateur plus petit donne une fraction plus grande. »
Ce qu'il faut écrire
« et , donc : la règle des positifs se retourne. »
Pourquoi : La règle citée est vraie pour les positifs. Chez les négatifs, plus la fraction est grande en distance à zéro, plus le nombre est petit : le passage au décimal tranche en trois secondes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« Le diviseur vaut , donc son inverse est : . »
Pourquoi : L'inverse garde le signe du nombre. En écrivant d'abord le diviseur avec un dénominateur positif, le signe se voit et ne peut plus s'égarer dans le retournement.
On nomme d'abord l'opération, ensuite seulement on regarde les signes. L'inverse conduit toujours à l'erreur.
Si somme ou différence de fractions relatives → dénominateur commun, puis addition ou soustraction des NUMÉRATEURS relatifs, sans règle des signes
Exemple :
transformer d'abord les soustractions en additions de l'opposé, sur une ligne à part
Si produit de fractions relatives → compter les facteurs négatifs, annoncer le signe, puis multiplier les distances à zéro après simplification croisée
Exemple :
Si quotient de fractions relatives → réécrire le diviseur avec un dénominateur positif, retourner ce diviseur seul en gardant son signe, puis appliquer la branche du produit
Exemple :
Si l'énoncé demande l'opposé → changer le signe et garder la fraction : la somme doit valoir
Exemple : l'opposé de est
Si l'énoncé demande l'inverse → retourner la fraction et garder le signe : le produit doit valoir
Exemple : l'inverse de est
Si aucune branche ne colle, c'est qu'il reste une parenthèse ou une barre de fraction : on la réduit à un seul nombre avant de choisir.
On regarde d'abord les signes, ensuite seulement les nombres.
Si une fraction est négative et l'autre positive → la négative est la plus petite, sans aucun calcul
Exemple :
Si les deux sont négatives et de même dénominateur → la plus grande en numérateur est la plus PETITE
Exemple :
Si les deux sont négatives de dénominateurs différents → les mettre au même dénominateur, puis appliquer la branche précédente
Exemple : , donc
le passage aux décimales approchées donne la même réponse et sert de contrôle
Si les deux sont négatives de même numérateur → le plus grand dénominateur donne le plus GRAND nombre
Exemple :
Aucune de ces branches ne remplace la droite graduée : elle se dessine à main levée et vérifie le rangement d'un coup d'œil.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne quatre ou cinq fractions, certaines avec le moins au dénominateur, et demande l'ordre croissant.
Phrase de conclusion
« Donc . »
Le piège : Ranger sans avoir uniformisé les écritures. Une fraction dont le moins est encore au dénominateur passe pour positive et se retrouve du mauvais côté.
Barème : 0,5 point pour les écritures uniformisées, 1 point pour le dénominateur commun, 0,5 pour l'ordre final.
Quand l'utiliser : L'expression contient un signe de division, et l'une au moins des deux fractions porte un signe moins.
Phrase de conclusion
« Donc . »
Le piège : Retourner le diviseur en laissant son signe derrière. L'inverse garde toujours le signe du nombre.
Barème : 1 point pour la ligne de transformation en multiplication, 0,5 pour le signe justifié, 0,5 pour le résultat.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le passage aux décimales approchées
Remplacer chaque fraction par sa valeur décimale à la calculatrice, puis refaire le calcul ou la comparaison en décimal. Les deux doivent donner la même réponse.
et : l'ordre se lit tout de suite, et un écrit sur la copie tombe immédiatement.
Le signe annoncé avant le calcul
Avant tout produit ou quotient, compter les facteurs négatifs et annoncer le signe du résultat. Le calcul ne peut plus le contredire.
Dans , deux facteurs négatifs annoncent un résultat positif : un trouvé ensuite se repère sans relire.
La droite graduée à main levée
Tracer un trait, poser zéro, placer approximativement les fractions. Toute question d'ordre ou de position se lit alors directement.
Pour ranger , et , le dessin suffit et évite d'appliquer à l'envers la règle des positifs.
La substitution inverse sur une division
Multiplier le quotient trouvé par le diviseur : on doit retomber exactement sur le dividende, signe compris.
Pour , le contrôle donne , qui est bien le dividende.
Calculer .
Calculer ensuite , et donner les deux résultats sous forme irréductible.
Étape 1
Dans , le produit passe avant la somme : . Un seul facteur négatif, donc le résultat sera négatif.
Pourquoi
Le signe s'annonce avant le calcul, ce qui le met hors d'atteinte des simplifications qui suivent. La priorité, elle, ne se voit pas dans l'écriture : elle se souligne.
Étape 2
Simplifier en croisant : avec donne et , puis avec donne et . Il reste .
Pourquoi
Sans cette étape il faudrait écrire puis chercher son irréductible. Simplifier avant garde tous les nombres à un chiffre et supprime la deuxième source d'erreur.
Étape 3
.
Pourquoi
Les dénominateurs sont déjà égaux : on additionne les deux numérateurs relatifs, et la règle des signes n'a rien à dire ici. Deux quantités négatives donnent une quantité plus négative.
Étape 4
Dans , réécrire le diviseur avec un dénominateur positif : .
Pourquoi
Tant que le moins est au dénominateur, il ne se voit pas et le diviseur passe pour positif. Cette réécriture est la seule protection contre l'erreur de signe qui suit.
Étape 5
L'inverse du diviseur garde son signe : . Donc .
Pourquoi
Retourner et changer de signe sont deux gestes distincts, et seul le premier est demandé. Le test est immédiat : le produit d'un nombre et de son inverse doit valoir .
Étape 6
Deux facteurs négatifs, donc un résultat positif. Simplifier : avec donne et , puis avec donne et . Donc .
Pourquoi
Le signe a été décidé avant la simplification, donc les deux comptages ne se gênent pas. C'est ce qui permet de manipuler quatre nombres sans jamais hésiter sur le résultat.
Étape 7
Vérification : , qui est bien le dividende.
Pourquoi
La substitution inverse contrôle en une ligne l'endroit le plus fragile du calcul, celui où une fraction a été retournée et où un signe pouvait disparaître.
Conclusion rédigée
« Donc et . »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire , en retournant le diviseur sans son signe. La valeur est juste, le signe est faux, et la question entière est perdue.
Oui. Un signe moins au numérateur, au dénominateur ou devant la barre de fraction donne exactement le même nombre négatif. On écrit de préférence le dénominateur positif et le signe devant la fraction, parce que c'est l'écriture où le signe se voit du premier coup d'oeil.
Parce que moins deux tiers vaut moins quatre sixièmes, et que sur la droite graduée moins cinq sixièmes est plus à gauche. Chez les nombres négatifs, le plus grand numérateur donne le plus petit nombre : l'ordre des positifs se retourne comme dans un miroir posé sur zéro.
L'opposé change le signe et garde la fraction : celui de moins cinq demis est plus cinq demis, et leur somme vaut zéro. L'inverse retourne la fraction et garde le signe : celui de moins cinq demis est moins deux cinquièmes, et leur produit vaut un.
On réécrit d'abord le diviseur avec un dénominateur positif, pour que son signe soit visible. On multiplie ensuite par son inverse, qui garde ce signe. On compte enfin les facteurs négatifs de la multiplication obtenue : un nombre pair donne un résultat positif, un nombre impair un résultat négatif.
Non. Elle ne vaut que pour les produits et les quotients. Moins un demi plus moins un tiers fait moins cinq sixièmes, et non plus cinq sixièmes. Pour une somme, on met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs relatifs, comme pour des nombres entiers relatifs.
