Exercices corrigés : les nombres relatifs (Cinquième)

1) Signes contraires : on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro, ici $-7$, et on soustrait les distances, $7-4=3$. $A=-3$.

2) Soustraire $-8$, c'est ajouter son opposé $+8$ : $B=5+8=13$. Le piège est d'écrire $5-8=-3$ en oubliant que le second signe moins appartient au nombre.

3) Soustraire $+9$, c'est ajouter $-9$ : $C=(-6)+(-9)$. Même signe : on additionne les distances et on garde le signe, $C=-15$.

4) On lit l'expression comme une somme de termes $-12$, $+7$ et $-5$, de gauche à droite : $-12+7=-5$, puis $-5-5=-10$. $D=-10$. On peut aussi regrouper les termes négatifs, $-12-5=-17$, puis $-17+7=-10$ : même résultat, c'est la vérification.

5) De gauche à droite : $8-15=-7$, puis $-7+4=-3$, puis $-3-2=-5$. $E=-5$. Vérification par regroupement : positifs $8+4=12$, négatifs $-15-2=-17$, et $12-17=-5$.

6) On supprime d'abord les parenthèses en transformant la soustraction : $-(-6)$ devient $+6$. $F=-3+11+6-9$. Positifs : $11+6=17$. Négatifs : $-3-9=-12$. $F=17-12=5$.

7) $-(-10)$ devient $+10$ et $+(-2)$ devient $-2$ : $G=-4+10-7-2$. Positifs : $10$. Négatifs : $-4-7-2=-13$. $G=10-13=-3$.

8) La parenthèse d'abord : $3-9=-6$. Puis $H=15-(-6)=15+6=21$. Enlever la parenthèse sans calculer, en écrivant $15-3-9=3$, est l'erreur à éviter : le moins devant la parenthèse porte sur TOUT son contenu, il faut donc écrire $15-3+9=21$.

1) On lit directement : $A$ a pour abscisse $-4$, $B$ a pour abscisse $-1{,}5$, $C$ a pour abscisse $2$ et $D$ a pour abscisse $3{,}5$. On note cela $A(-4)$, $B(-1{,}5)$, et ainsi de suite. Attention à ne pas oublier le signe moins : une abscisse à gauche de l'origine est NÉGATIVE, et l'omettre change complètement le nombre.

2) L'origine est le point de référence de la graduation, et son abscisse est $0$. C'est le seul nombre qui n'est ni positif ni négatif.

3) Le point $B$ se situe entre $-2$ et $-1$. C'est un point où l'intuition trompe souvent : $-1{,}5$ est plus GRAND que $-2$, même si $1{,}5$ est plus petit que $2$. Sur la droite, être plus grand signifie être plus à droite.

4) Le point $E$ se placerait entre $-3$ et $-2$, exactement au milieu. Il serait donc à gauche de $B$, puisque $-2{,}5<-1{,}5$.

5) Les points $A$ et $B$, ceux qui sont situés à GAUCHE de l'origine. Les points $C$ et $D$ ont une abscisse positive.

6) Deux points symétriques par rapport à l'origine ont des abscisses OPPOSÉES : même distance à zéro, mais de part et d'autre. Le symétrique de $C(2)$ a donc pour abscisse $-2$. On remarquera que l'origine est son propre symétrique, ce qui est cohérent avec le fait que $0$ est son propre opposé.

1) Sur la droite graduée, $-7$ est plus à gauche que $-3$, donc $-7<-3$. Une autre façon de le voir : $-7$ est une dette de sept euros, $-3$ une dette de trois euros, et il vaut mieux devoir trois euros que sept.

2) On compare les distances à zéro, $2{,}5$ et $2{,}05$. Comme $2{,}5>2{,}05$, le nombre $-2{,}5$ est plus LOIN de zéro à gauche, donc plus petit : $-2{,}5<-2{,}05$. Le piège est que les deux nombres n'ont pas le même nombre de décimales ; on compare en écrivant $2{,}50$ et $2{,}05$.

3) Tout nombre négatif est plus petit que zéro, donc $-0{,}1<0$, même si $-0{,}1$ en est très proche.

4) On place mentalement les cinq nombres sur la droite. Les négatifs viennent d'abord, du plus loin de zéro au plus proche : $-3{,}2$, puis $-3$, puis $-0{,}8$. Vient ensuite $0$, puis le seul positif, $1{,}5$. L'ordre croissant est donc $-3{,}2<-3<-0{,}8<0<1{,}5$.

5) La distance à zéro de $-7$ vaut $7$ et celle de $3$ vaut $3$, donc la première est plus GRANDE. C'est l'occasion de bien séparer deux notions : $-7$ est plus PETIT que $3$, mais sa distance à zéro est plus grande. Comparer des nombres et comparer leurs distances à zéro sont deux questions différentes.

6) L'élève compare les distances à zéro au lieu de comparer les nombres. Il est vrai que $7>3$, mais chez les négatifs cette relation s'INVERSE : plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit, puisqu'il est plus à gauche. La conclusion correcte est $-7<-3$. Le remède le plus sûr est de dessiner la droite graduée dès qu'un doute apparaît, ou de penser en termes de dettes, où l'ordre est immédiatement intuitif.

1) L'opposé d'un nombre s'obtient en changeant son signe. L'opposé de $-5$ est $5$, celui de $2{,}7$ est $-2{,}7$, et celui de $0$ est $0$.

2) La distance à zéro est la longueur qui sépare le point de l'origine, donc un nombre toujours POSITIF. Celle de $-8$ vaut $8$, celle de $4{,}5$ vaut $4{,}5$.

3) Deux nombres opposés ont exactement la MÊME distance à zéro : ils sont situés de part et d'autre de l'origine, à égale distance. C'est même une autre façon de définir l'opposé.

4) C'est $0$, et c'est le seul. En effet un nombre et son opposé ont pour somme zéro, donc si un nombre est égal à son opposé, son double est nul, ce qui n'arrive que pour zéro.

5) Il y a DEUX réponses : $6$ et $-6$. C'est le point important de la question. La distance à zéro ne conserve pas l'information du signe, donc la remonter ne permet pas de retrouver un nombre unique. Répondre seulement $6$ est incomplet.

6) FAUX. L'opposé de $-3$ est $3$, qui est positif. La règle correcte est que l'opposé d'un nombre POSITIF est négatif, et que l'opposé d'un nombre NÉGATIF est positif ; quant à l'opposé de zéro, il est nul. La confusion vient du symbole moins, qui joue deux rôles distincts : dans $-3$ il fait partie de l'écriture du nombre, tandis que dans « l'opposé de $x$ », noté $-x$, il désigne une opération. Lorsque $x$ vaut $-3$, l'écriture $-x$ désigne donc $3$, un nombre positif, ce qui déroute au premier abord.

1) Même signe, tous deux négatifs : on additionne $7$ et $5$, ce qui donne $12$, et l'on garde le signe moins. Le résultat est $-12$. Avec l'image des dettes, deux dettes qui s'accumulent font une dette plus grande.

2) Signes contraires. On soustrait les distances à zéro, $9-4=5$, et l'on garde le signe de $-9$, qui est le plus loin de zéro. Le résultat est $-5$.

3) Signes contraires encore : $10-6=4$, et le plus loin de zéro est $-10$, donc le résultat est $-4$. Notez que l'ordre des deux termes ne change rien, l'addition étant commutative même chez les relatifs.

4) Les deux nombres sont OPPOSÉS, donc leur somme est nulle : le résultat est $0$. C'est une somme qu'il faut apprendre à repérer d'un coup d'œil, car elle simplifie énormément les calculs plus longs.

5) Même signe : $2{,}4+0{,}6=3$, et le signe commun est le moins. Le résultat est $-3$.

6) On calcule de gauche à droite. Le premier groupe, $8+(-8)$, vaut $0$ puisque les deux nombres sont opposés, et il reste $0+(-5)=-5$. C'est tout l'intérêt de repérer les paires d'opposés AVANT de se lancer : sans cette remarque il faudrait faire deux calculs de signes contraires, alors qu'ici un seul regard suffit. Cette stratégie devient essentielle dans les sommes longues de l'exercice 7.

1) On transforme en addition : $5-8=5+(-8)$. Signes contraires, $8-5=3$, et le plus loin de zéro est $-8$, donc le résultat est $-3$. Une soustraction où le second nombre est le plus grand donne bien un résultat négatif, ce qui n'était pas possible avant l'introduction des relatifs.

2) $(-3)-7=(-3)+(-7)$. Même signe : $3+7=10$, signe moins, donc $-10$.

3) $(-4)-(-9)=(-4)+9$. L'opposé de $-9$ est $+9$. Signes contraires : $9-4=5$, et le plus loin de zéro est $+9$, donc le résultat est $+5$. C'est le cas qui surprend le plus : soustraire un nombre négatif AUGMENTE le résultat.

4) $2-(-6)=2+6=8$.

5) $(-1{,}5)-(-1{,}5)=(-1{,}5)+1{,}5=0$. Tout nombre moins lui-même donne zéro, y compris chez les négatifs.

6) $0-(-4)=0+4=4$. Quant à l'explication, la voici : le premier signe moins est celui de la SOUSTRACTION, qui demande d'ajouter l'opposé, et le second appartient à l'ÉCRITURE du nombre $-4$. Or l'opposé de $-4$ est $4$. Retirer une dette de quatre euros revient bien à s'enrichir de quatre euros, et c'est exactement ce que dit le calcul. La règle mnémotechnique « moins et moins font plus » est donc juste, mais elle ne s'applique qu'ici, entre le signe d'une opération et celui d'un nombre : elle ne dit rien de l'addition, où $(-7)+(-5)$ vaut bien $-12$ et non $12$.

1) De gauche à droite : $-7+3=-4$, puis $-4-5=-9$, puis $-9+12=3$. Le résultat est $3$.

2) $4-9=-5$, puis $-5-2=-7$, puis $-7+6=-1$. Le résultat est $-1$.

3) On commence par simplifier les signes doubles : $-(-8)$ devient $+8$ et $+(-2)$ devient $-2$. Le calcul s'écrit $-3+8-2$, ce qui donne $5-2=3$.

4) Chaque couple de signes se réduit : $+(+3)$ devient $+3$, $-(-7)$ devient $+7$, et $-(+2)$ devient $-2$. L'expression s'écrit donc $-5+3+7-2$, et vaut $3$. Cette simplification d'écriture est le premier réflexe à avoir : elle supprime toutes les parenthèses et rend le calcul beaucoup plus lisible.

5) On regroupe les positifs, $3+12=15$, et les négatifs, $-7-5=-12$. La somme vaut $15-12=3$ ✓, le même résultat qu'en 1. Ce regroupement est autorisé parce que l'addition est commutative et associative, et il est souvent plus rapide et plus sûr que le calcul de gauche à droite, car il n'y a plus qu'une seule soustraction à la fin.

6) Le résultat est $-3$. Le regroupement le plus simple n'est pas celui des positifs contre les négatifs, mais celui qui fait apparaître des nombres ENTIERS : $2{,}5+1{,}5=4$ et $-4-3=-7$, d'où $4-7=-3$. En appariant les deux décimaux dont les parties fractionnaires se complètent, on élimine complètement le calcul décimal. La leçon générale est qu'un regroupement n'est jamais imposé : on choisit celui qui donne les calculs les plus faciles, et savoir repérer la bonne paire fait toute la différence.

1) On lit d'abord l'abscisse, puis l'ordonnée : $A(3\,;2)$, $B(-2\,;4)$, $C(-3\,;-1)$ et $D(2\,;-3)$. L'ordre est une convention absolue : $A(3\,;2)$ et le point $(2\,;3)$ sont deux points DIFFÉRENTS.

2) L'origine a pour coordonnées $(0\,;0)$. C'est le point d'intersection des deux axes.

3) C'est le point $C(-3\,;-1)$, le seul qui se trouve en bas à gauche, dans la région où les deux coordonnées sont négatives.

4) Une symétrie par rapport à l'axe des ORDONNÉES, c'est-à-dire par rapport à l'axe vertical, change le côté gauche-droite : l'abscisse devient son opposée et l'ordonnée ne bouge pas. Le symétrique de $A(3\,;2)$ est donc $(-3\,;2)$.

5) Une symétrie par rapport à l'ORIGINE change les deux à la fois : les deux coordonnées deviennent leurs opposées. Le symétrique de $A(3\,;2)$ est donc $(-3\,;-2)$. Il ne faut pas confondre les deux symétries de cette question et de la précédente : la première ne change qu'une coordonnée, la seconde les change toutes les deux.

6) L'abscisse de $B$ vaut $-2$ et l'ordonnée de $D$ vaut $-3$, donc le point cherché est $(-2\,;-3)$. Ce point se situe, comme $C$, dans la région où les deux coordonnées sont négatives. Un dernier repère utile : les quatre régions découpées par les axes se distinguent uniquement par les SIGNES des coordonnées, et savoir dans laquelle on se trouve permet de vérifier immédiatement qu'une lecture n'est pas absurde.

1) FAUX. L'affirmation compare les distances à zéro au lieu des nombres eux-mêmes. Chez les négatifs l'ordre est inversé : plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. La comparaison correcte est $-7<-3$.

2) FAUX. L'affirmation a additionné les distances à zéro en gardant le signe moins, comme s'il s'agissait d'une addition de deux négatifs. Mais soustraire $-9$ revient à AJOUTER $9$ : $(-4)-(-9)=(-4)+9=5$. Le résultat correct est $5$, et il est positif.

3) FAUX. L'opposé de $-3$ est $3$, qui est positif. L'énoncé correct est que l'opposé d'un nombre positif est négatif, et réciproquement, l'opposé de zéro étant nul.

4) FAUX. Une distance est toujours positive ou nulle, par définition : c'est une longueur. La distance à zéro de $-8$ vaut $8$. L'affirmation confond le nombre et sa distance à zéro.

5) FAUX. Une abscisse négative place le point à GAUCHE de l'axe vertical, et une ordonnée positive le place AU-DESSUS de l'axe horizontal : il se trouve donc en haut à gauche. C'est le cas du point $B(-2\,;4)$ de l'exercice 8. La bonne méthode de repérage est de traiter les deux coordonnées séparément, l'abscisse pour le gauche-droite et l'ordonnée pour le haut-bas, plutôt que d'essayer de mémoriser une liste de régions.

1) Le plus froid est lundi, avec $-6\ \mathrm{^{\circ}C}$, et le plus chaud vendredi, avec $5\ \mathrm{^{\circ}C}$. Attention à ne pas désigner mardi comme le plus froid : $-2$ est plus grand que $-6$.

2) L'amplitude est la différence entre la plus haute et la plus basse : $5-(-6)=5+6=11\ \mathrm{^{\circ}C}$. C'est ici que la règle de la soustraction d'un négatif intervient, et l'oublier donnerait $-1$, une amplitude négative, ce qui est impossible pour un écart.

3) La variation est la température d'arrivée moins celle de départ : $(-2)-(-6)=-2+6=+4\ \mathrm{^{\circ}C}$. La température a donc AUGMENTÉ de quatre degrés, ce que le signe positif indique.

4) De mercredi à jeudi : $(-1)-3=-4\ \mathrm{^{\circ}C}$. Le signe négatif signale une BAISSE de quatre degrés. Comparez avec la question 3 : les deux variations ont la même valeur absolue mais des sens opposés, et seul le signe permet de les distinguer. C'est tout l'intérêt des nombres relatifs pour décrire une évolution.

5) L'ordre croissant est $-6<-2<-1<3<5$. Les trois négatifs viennent d'abord, du plus loin de zéro au plus proche.

6) On additionne les cinq relevés : $(-6)+(-2)+3+(-1)+5$. En regroupant, les négatifs donnent $-9$ et les positifs $8$, donc la somme vaut $-1$. La moyenne est $\dfrac{-1}{5}=-0{,}2\ \mathrm{^{\circ}C}$. Deux remarques valent d'être faites. La moyenne est NÉGATIVE alors que deux jours sur cinq ont été positifs : les températures négatives étaient plus marquées, et c'est ce que la moyenne traduit. Et cette moyenne de $-0{,}2$ ne correspond à AUCUN relevé réel de la semaine, ce qui est normal : une moyenne est une valeur de synthèse, pas une mesure.

1) Un retrait diminue le solde, on l'écrit donc avec un signe MOINS, et un versement l'augmente, avec un signe plus. Les quatre opérations sont $-85$, $+40$, $-95$ et $+30$. Tout l'intérêt des relatifs est là : une seule liste de nombres suffit à décrire des mouvements de sens opposés.

2) On ajoute les opérations une par une. Après la première, $120+(-85)=35$ dollars. Après la deuxième, $35+40=75$. Après la troisième, $75+(-95)=-20$. Après la quatrième, $-20+30=10$ dollars.

3) Oui, le compte a été à découvert après la TROISIÈME opération, avec un solde de $-20$ dollars, soit un découvert de $20$ dollars. La figure du corrigé montre le solde passer sous l'axe horizontal à ce moment précis, puis remonter au-dessus.

4) La somme des opérations vaut $-85+40-95+30$. En regroupant, les retraits donnent $-180$ et les versements $+70$, donc la somme vaut $-110$ dollars. Le solde final est alors $120+(-110)=10$ dollars ✓, la même valeur qu'en 2). Cette seconde méthode est plus rapide, mais elle a un défaut décisif : elle donne le solde final et rien de plus, alors que la question 3 exige de suivre le solde à chaque étape. Le chemin compte, pas seulement l'arrivée.

5) Le solde le plus bas atteint est $-20$ dollars. Il aurait donc fallu $20$ dollars de plus au départ, soit $140$ dollars, pour que ce minimum soit exactement nul. Avec un dollar de moins, le découvert se produirait encore.

6) Les frais s'ajoutent comme une opération négative supplémentaire : $10+(-8)=2$ dollars. Le solde final réel n'est donc que de $2$ dollars. On notera l'effet pervers du mécanisme : un découvert de $20$ dollars pendant une seule opération coûte $8$ dollars, soit quarante pour cent du montant découvert, et ces frais rapprochent le compte d'un nouveau découvert le mois suivant.

1) $B$ est à droite de $A$ : la distance vaut $4-(-6)=4+6=10$. On peut aussi la compter en deux morceaux : $6$ de $A$ jusqu'à l'origine, puis $4$ de l'origine jusqu'à $B$.

2) Les $5$ crans se partagent une distance de $10$ : un cran vaut $10\div 5=2$.

3) $-6+3\times 2=-6+6=0$. Cette graduation est l'origine.

4) Aller vers la gauche, c'est ajouter un nombre négatif : $-6+2\times(-2)=-6-4=-10$. Le piège est d'écrire $-6+4=-2$, qui déplace vers la droite.

5) Le milieu est à la moitié de la distance, soit $5$, à droite de $A$ : $-6+5=-1$. En crans, cela fait $5\div 2=2{,}5$ crans : $M$ tombe entre deux graduations, celles de $-2$ et de $0$.

Le fil : sur une droite graduée, un déplacement vers la droite s'ajoute, un déplacement vers la gauche s'ajoute en négatif.

1) $10-3=7$. Puis $7-(-4)=7+4=11$ : il y a $4$ unités de $-4$ à $0$, puis $7$ de $0$ à $7$.

2) Le plus grand des deux est $-2$ : $-2-(-9)=-2+9=7$. Écrire $-9-(-2)=-7$ donne un résultat négatif, impossible pour une distance : c'est le signe qu'on a retranché dans le mauvais sens.

3) L'élève a oublié le signe de $-5$ et fait comme si les deux points étaient du même côté de zéro. Le calcul correct est $3-(-5)=3+5=8$. Sur la droite, on voit $5$ unités de $-5$ à $0$, plus $3$ de $0$ à $3$.

4) À droite : $-1+6=5$. À gauche : $-1-6=-7$. Il y a DEUX nombres, $5$ et $-7$, un de chaque côté.

5) La distance de $-8$ à $2$ vaut $2-(-8)=10$. Le point cherché est au milieu, à $5$ de chacun : $-8+5=-3$. Contrôle : $2-(-3)=5$ ✓.

Le fil : une distance, c'est « le plus grand moins le plus petit », et soustraire un négatif revient à ajouter.

1) Les négatifs d'abord, du plus éloigné de zéro au plus proche : $-10\,994<-3\,800<-430<4\,806<8\,849$.

2) $4\,806-(-430)=4\,806+430=5\,236$ mètres. Un dénivelé est un écart : il est positif, et soustraire l'altitude négative revient à l'ajouter.

3) $8\,849-(-10\,994)=8\,849+10\,994=19\,843$ mètres, près de vingt kilomètres entre le point le plus haut et le point le plus profond de la Terre.

4) Remonter, c'est ajouter : $-3\,800+2\,500=-1\,300$ mètres. Le robot est encore à $1\,300$ mètres sous la surface.

5) La différence d'altitude vaut $-3\,800-(-430)=-3\,800+430=-3\,370$ : il faudrait descendre de $3\,370$ mètres. Le signe négatif indique la descente, la distance à zéro le nombre de mètres.

Le fil : une altitude est un nombre relatif repéré à partir du niveau de la mer ; un écart d'altitudes se calcule par une soustraction.