Exercices corrigés : le calcul littéral (Cinquième)

1) On obtient $3x$, $xy$ et $a$. Dans le dernier cas, multiplier par $1$ ne change rien, donc on n'écrit pas le facteur $1$ : écrire $1a$ n'est pas faux mais ne se fait pas.

2) $x\times x$ s'écrit $x^{2}$, et $5\times(a+b)$ s'écrit $5(a+b)$. Le signe de multiplication disparaît aussi devant une parenthèse.

3) Additionner trois fois le même terme, c'est le multiplier par trois : $a+a+a=3a$. Attention à ne pas confondre avec $a\times a\times a$, qui vaut $a^{3}$.

4) Parce que $23$ désigne déjà un nombre, vingt-trois, et non le produit $2\times 3=6$. C'est précisément pour éviter cette ambiguïté que la convention d'omission ne s'applique JAMAIS entre deux nombres. Elle ne fonctionne qu'avec des lettres, dont la juxtaposition n'a pas d'autre sens possible.

5) L'écriture $2x$ signifie $2\times x$, c'est-à-dire le double du nombre désigné par $x$. Elle ne signifie pas « le chiffre 2 suivi du chiffre x », ni « 2 plus x ». Pour $x=7$, $2x$ vaut $14$ et non $27$.

6) NON, elles ne sont pas égales en général. Pour $x=3$, $x^{2}=9$ alors que $2x=6$ : elles diffèrent. Pour $x=2$, en revanche, $x^{2}=4$ et $2x=4$ : elles coïncident. C'est le point important de la question. Deux expressions littérales peuvent prendre la même valeur pour CERTAINS nombres sans être égales pour autant : il ne suffit pas d'un exemple pour affirmer une égalité. On peut d'ailleurs chercher tous les cas d'égalité, et il n'y en a que deux, $x=0$ et $x=2$. Une égalité entre expressions n'est une IDENTITÉ que si elle est vraie pour toutes les valeurs de la lettre, ce qui est le cas de $a+a+a=3a$ mais pas de $x^{2}=2x$.

1) On remplace la lettre par sa valeur, en rétablissant le signe de multiplication : $E=3\times 2+5=6+5=11$.

2) $E=3\times 0+5=0+5=5$. Le terme en $x$ disparaît, mais le $5$ reste : répondre $0$ serait oublier la constante.

3) $E=3\times(-4)+5=-12+5=-7$. Les parenthèses autour de $-4$ sont indispensables à l'écriture : $3\times -4$ ne s'écrit pas.

4) L'exposant ne porte que sur $x$, donc on calcule le carré d'abord : $F=2\times 3^{2}-3=2\times 9-3=18-3=15$. Calculer $(2\times 3)^{2}$ donnerait $36$, ce qui n'est pas l'expression demandée.

5) $F=2\times(-2)^{2}-(-2)$. Le carré d'un nombre négatif est positif, donc $(-2)^{2}=4$ et le premier terme vaut $8$. Quant au second, soustraire $-2$ revient à ajouter $2$. On obtient $F=8+2=10$. Cette question cumule les deux pièges de signe du chapitre, et il faut les traiter séparément.

6) $F=2\times 0{,}5^{2}-0{,}5=2\times 0{,}25-0{,}5=0{,}5-0{,}5=0$. Le résultat est nul, ce qui n'a rien d'étonnant : $2x^{2}-x=x(2x-1)$, expression qui s'annule dès que $2x=1$, c'est-à-dire pour $x=0{,}5$. On voit ici l'intérêt de la factorisation, qui révèle les valeurs annulant une expression bien plus vite que des essais successifs.

1) Les deux termes sont semblables : $5x+3x=8x$. On additionne les coefficients et on garde la lettre.

2) Les trois termes sont en $a$, et le dernier a un coefficient sous-entendu de $1$ : $7-2+1=6$, donc le résultat est $6a$. Oublier ce coefficient invisible est une erreur fréquente et donnerait $5a$.

3) On regroupe séparément les termes en $x$ et les nombres seuls : $4x-x=3x$ et $3+5=8$. Le résultat est $3x+8$, et il ne peut pas être réduit davantage.

4) Il n'y a qu'un seul terme en $y$, donc seuls les nombres se regroupent : $5-7=-2$, ce qui donne $2y-2$.

5) Deux familles de termes semblables cohabitent. Les termes en $x$ donnent $3x-x=2x$ et ceux en $y$ donnent $2y+y=3y$. Le résultat est $2x+3y$. Il est essentiel de ne pas mélanger les deux lettres : $2x+3y$ ne se réduit pas en $5xy$ ni en $5(x+y)$.

6) Ici encore deux familles, mais elles ne se distinguent pas par la lettre : elles se distinguent par l'EXPOSANT. Les termes en $x^{2}$ donnent $1+2=3$, soit $3x^{2}$, et les termes en $x$ donnent $3-1=2$, soit $2x$. Le résultat est $3x^{2}+2x$. Il faut bien voir que $x^{2}$ et $x$ ne sont PAS des termes semblables : pour $x=3$ le premier vaut $9$ et le second $3$, ils ne représentent pas la même quantité et l'on ne peut donc pas les additionner. Écrire $5x^{3}$ en additionnant tout serait doublement faux.

1) On distribue : $3(x+4)=3\times x+3\times 4=3x+12$. La figure le justifie par les aires. Le grand rectangle a pour hauteur $3$ et pour largeur $x+4$, donc son aire vaut $3(x+4)$. Mais il est découpé en deux morceaux : l'un de largeur $x$ et d'aire $3x$, l'autre de largeur $4$ et d'aire $12$. Comme l'aire totale est la somme des deux, on obtient $3(x+4)=3x+12$. La distributivité n'est donc pas une règle arbitraire à mémoriser : c'est le découpage d'un rectangle.

2) $5(2x-3)=5\times 2x-5\times 3=10x-15$. La distributivité vaut aussi pour la soustraction.

3) On développe d'abord, on réduit ensuite : $2(3x+1)+4=6x+2+4=6x+6$. On pourrait aussi factoriser le résultat en $6(x+1)$, mais l'exercice demande de développer et de réduire, pas de factoriser.

4) Deux développements, puis une réduction : $4(x+2)=4x+8$ et $3(x-1)=3x-3$. La somme vaut $4x+8+3x-3$, qui se réduit en $7x+5$.

5) Le facteur devant la parenthèse peut être une lettre : $x(x+5)=x\times x+x\times 5=x^{2}+5x$. Le premier produit donne bien un carré.

6) $2(3x-4)-5=6x-8-5=6x-13$. Attention à ne pas oublier de multiplier le $-4$ par $2$ : écrire $6x-4-5$ est l'erreur classique, et un contrôle numérique la détecte immédiatement. Pour $x=1$, l'expression de départ vaut $2\times(-1)-5=-7$, et la forme réduite donne $6-13=-7$ ✓, alors que la forme fautive donnerait $-3$. Ce contrôle par une valeur particulière coûte cinq secondes et attrape presque toutes les erreurs de développement.

1) Le plus grand facteur commun à $6$ et $9$ est $3$. On écrit donc $6x+9=3\times 2x+3\times 3=3(2x+3)$. La figure lit le même calcul à l'envers du développement : on a un rectangle de hauteur $3$ formé de deux morceaux d'aires $6x$ et $9$, donc de largeurs $2x$ et $3$ ; sa largeur totale est $2x+3$ et son aire $3(2x+3)$. Factoriser, c'est recoller les deux morceaux pour retrouver le rectangle entier.

2) Le facteur commun est $5$ : $5x-15=5(x-3)$. Le second terme de la parenthèse est $-3$ et non $-15$, puisque $-15$ divisé par $5$ vaut $-3$.

3) Le facteur commun est $4$ : $4x+4y=4(x+y)$. La parenthèse contient deux lettres différentes, ce qui est normal et ne se réduit pas.

4) Le facteur commun n'est pas un nombre mais une LETTRE : les deux termes contiennent $x$, puisque $x^{2}=x\times x$. On factorise donc par $x$ : $x^{2}+3x=x(x+3)$.

5) Le plus grand facteur commun à $12$ et $18$ est $6$ : $12x-18=6(2x-3)$. Factoriser par $2$ donnerait $2(6x-9)$, exact mais incomplet ; l'exercice attend le facteur commun MAXIMAL.

6) L'erreur est d'avoir divisé le premier terme par $3$ sans diviser le second : le $9$ est resté intact au lieu de devenir $3$. La factorisation correcte est $3(2x+3)$. Quant à la détection, elle est immédiate par deux moyens. Le premier est de REDÉVELOPPER : $3(2x+9)=6x+27$, qui n'est pas l'expression de départ. Le second est de tester une valeur, par exemple $x=1$ : l'expression initiale vaut $6+9=15$, alors que la forme proposée donne $3\times 11=33$. Prendre l'habitude de redévelopper systématiquement après une factorisation supprime presque toutes les erreurs de ce chapitre, et cela ne coûte que quelques secondes.

1) Le double de $x$ s'écrit $2x$, et $x$ augmenté de $7$ s'écrit $x+7$. Il faut lire l'énoncé mot à mot : « double » appelle une multiplication, « augmenté » une addition.

2) On calcule d'abord la somme, donc elle doit être entre PARENTHÈSES, puis on triple le tout : $3(x+4)$.

3) Un carré a quatre côtés égaux, donc son périmètre vaut $4x$.

4) L'aire d'un rectangle est le produit de ses dimensions : $x(x+3)$, que l'on peut développer en $x^{2}+3x$. Les deux écritures sont correctes et représentent la même aire.

5) Les $n$ stylos coûtent $1{,}20n$, et les frais s'ajoutent une seule fois : le prix total s'écrit $1{,}20n+3$. Le piège serait d'écrire $(1{,}20+3)n$, qui ferait payer les frais de livraison pour CHAQUE stylo.

6) Les deux formulations donnent des expressions différentes, et c'est tout l'enjeu de la lecture d'un énoncé. « Le triple de la somme de $x$ et $4$ » s'écrit $3(x+4)$ : on additionne d'abord, on triple ensuite. « La somme du triple de $x$ et de $4$ » s'écrit $3x+4$ : on triple d'abord, on ajoute ensuite. Les deux ne sont égales pour aucune valeur, sauf une : $3(x+4)=3x+12$ vaut $3x+4$ seulement si $12=4$, ce qui est impossible, donc elles ne coïncident JAMAIS. Numériquement, pour $x=2$, la première vaut $18$ et la seconde $10$. La règle de lecture est celle-ci : le mot « de » qui suit un multiplicateur porte sur tout ce qui vient ensuite, ce qui appelle des parenthèses.

1) Membre de gauche : $3\times 4-2=12-2=10$. Membre de droite : $10$. Les deux sont égaux, donc OUI, $4$ est solution.

2) Membre de gauche : $2\times 5+1=11$. Membre de droite : $12$. Comme $11\neq 12$, NON, $5$ n'est pas solution.

3) $(-3)^{2}=9$, et le membre de droite vaut $9$ : OUI, $-3$ est solution. Le carré d'un nombre négatif étant positif, cela ne pose aucune difficulté.

4) $3^{2}=9$ également, donc OUI, $3$ est aussi solution. Il faut en conclure qu'une égalité peut avoir PLUSIEURS solutions. Répondre à la question « quelle est la solution » en n'en donnant qu'une serait donc incomplet ici : cette égalité en a exactement deux, $-3$ et $3$.

5) Pour $x=0$ : $4\times 2=8$ et $0+8=8$, égaux. Pour $x=1$ : $4\times 3=12$ et $4+8=12$, égaux. Pour $x=5$ : $4\times 7=28$ et $20+8=28$, égaux. On remarque que l'égalité est vérifiée à chaque fois, et ce n'est pas un hasard : $4(x+2)$ développé donne exactement $4x+8$.

6) La différence est fondamentale. L'égalité de la question 1, $3x-2=10$, n'est vraie que pour CERTAINES valeurs de $x$, ici la seule valeur $4$ : c'est une ÉQUATION, et la résoudre consiste à trouver ces valeurs. L'égalité de la question 5, $4(x+2)=4x+8$, est vraie pour TOUTES les valeurs de $x$ : c'est une IDENTITÉ, et elle traduit une règle de calcul, ici la distributivité. Une conséquence pratique importante : tester trois valeurs ne suffit jamais à PROUVER une identité, car une équation pourrait avoir ces trois nombres pour solutions ; seule la démonstration par le calcul littéral, en développant, l'établit. En revanche un seul contre-exemple suffit à réfuter une identité, ce qui est la façon la plus rapide de montrer que $2(x+3)$ ne vaut pas $2x+3$.

1) FAUX. Les termes $3x$ et $2$ ne sont pas SEMBLABLES : l'un contient la lettre, l'autre non, et ils ne représentent pas la même quantité. L'expression $3x+2$ est déjà réduite et ne peut pas s'écrire autrement. Un contrôle numérique le confirme : pour $x=1$, $3x+2$ vaut $5$ alors que $5x$ vaut $5$ également, ce qui pourrait tromper, mais pour $x=2$ on obtient $8$ contre $10$.

2) FAUX. Le facteur $2$ doit multiplier les DEUX termes de la parenthèse : $2(x+3)=2x+6$. L'affirmation a oublié de multiplier le $3$. Pour $x=0$, l'expression vaut $6$ et non $3$.

3) FAUX en général. Les expressions $x^{2}$ et $2x$ ne sont égales que pour $x=0$ et $x=2$ ; partout ailleurs elles diffèrent, par exemple $9$ contre $6$ pour $x=3$. Confondre l'exposant et le coefficient est l'une des erreurs les plus tenaces du calcul littéral : $x^{2}$ signifie $x\times x$, alors que $2x$ signifie $x+x$.

4) FAUX. L'affirmation ne vaut que pour $x$ strictement positif. Pour $x=0$, les deux expressions valent $0$ et sont donc égales. Et pour $x$ négatif, l'inégalité s'INVERSE : pour $x=-2$, on a $5x=-10$ qui est plus PETIT que $-2$. C'est un piège classique : une lettre ne désigne pas nécessairement un nombre positif, et toute affirmation du type « toujours » doit être testée sur un négatif et sur zéro avant d'être acceptée.

5) FAUX. En factorisant par $3$, il faut diviser CHAQUE terme par $3$ : le $6x$ donne $2x$, mais le $9$ donne $3$ et non $9$. La factorisation correcte est $3(2x+3)$. La détection est immédiate en redéveloppant : $3(2x+9)=6x+27$, ce qui n'est pas l'expression de départ. Redévelopper après chaque factorisation devrait être un réflexe.

1) Programme A : $5\times 4=20$, puis $20+6=26$, puis $26\div 2=13$. Programme B : $5\times 2=10$, puis $10+3=13$. Les deux donnent $13$.

2) Programme A : $-3\times 4=-12$, puis $-12+6=-6$, puis $-6\div 2=-3$. Programme B : $-3\times 2=-6$, puis $-6+3=-3$. Les deux donnent $-3$. On remarquera au passage que le programme A appliqué à $-3$ redonne $-3$, ce qui est une coïncidence propre à ce nombre.

3) Les deux essais suggèrent que les deux programmes donnent TOUJOURS le même résultat, quel que soit le nombre choisi.

4) On appelle $x$ le nombre choisi et l'on traduit chaque programme en une expression. Programme A : on obtient successivement $4x$, puis $4x+6$, puis $\dfrac{4x+6}{2}$. Or $\dfrac{4x+6}{2}=\dfrac{4x}{2}+\dfrac{6}{2}=2x+3$. Programme B donne directement $2x+3$. Les deux expressions sont IDENTIQUES, donc les deux programmes donnent le même résultat pour tout nombre choisi : la conjecture est démontrée.

5) Parce que deux essais ne montrent que deux cas particuliers, alors que la conjecture porte sur une infinité de nombres. Rien n'interdit a priori que deux programmes coïncident pour $5$ et pour $-3$ et diffèrent ailleurs. C'est exactement le rôle du calcul littéral : la lettre $x$ représente n'importe quel nombre à la fois, si bien qu'un seul calcul remplace une infinité de vérifications. C'est la différence entre CONSTATER et DÉMONTRER.

6) Non. Le programme C se traduit par $2x+4$, alors que les deux autres donnent $2x+3$. La différence est constante et vaut $1$ : le programme C donne toujours un résultat supérieur d'exactement une unité. Aucun nombre choisi ne peut donc rendre les trois programmes équivalents, puisque $2x+4=2x+3$ conduirait à $4=3$. C'est une leçon utile : deux expressions littérales qui ne diffèrent que par leur terme constant ne coïncident jamais, alors que deux expressions différant par leur coefficient, comme $2x+3$ et $3x+3$, coïncident en un point, ici $x=0$.

1) Le périmètre est la somme des quatre côtés, soit deux largeurs et deux longueurs : $P=2\left(x+(x+5)\right)=2(2x+5)=4x+10$.

2) L'aire est le produit des deux dimensions : $\mathcal{A}=x(x+5)$, que l'on peut développer en $x^{2}+5x$.

3) Pour $x=3$, le rectangle mesure $3$ cm sur $8$ cm. Le périmètre vaut $4\times 3+10=22$ cm, ce que confirme le calcul direct $2\times(3+8)=22$ ✓. L'aire vaut $3\times 8=24\ \mathrm{cm^{2}}$, et la forme développée donne $9+15=24$ ✓.

4) On cherche $x$ tel que $4x+10=30$, donc $4x=20$ et $x=5$. Le rectangle mesure alors $5$ cm sur $10$ cm, et l'on vérifie que son périmètre vaut $2\times 15=30$ cm ✓.

5) Le périmètre passe de $4x+10$ à $4(x+1)+10=4x+14$ : il augmente de $4$ cm. Cette augmentation ne dépend PAS de $x$, elle vaut toujours quatre centimètres. La raison est que le périmètre est une expression du premier degré : son coefficient devant $x$, ici $4$, mesure exactement l'augmentation par unité ajoutée.

6) L'aire vaut $24\ \mathrm{cm^{2}}$ pour $x=3$, puis $4\times 9=36$ pour $x=4$, puis $5\times 10=50$ pour $x=5$. Les augmentations sont donc de $12$ puis de $14\ \mathrm{cm^{2}}$ : elles ne sont PAS constantes et dépendent de $x$. C'est la différence essentielle entre les deux grandeurs. Le périmètre croît régulièrement, comme une expression du premier degré, tandis que l'aire croît de plus en plus vite, à cause du terme $x^{2}$. On en tire une conséquence contre-intuitive mais importante : agrandir un rectangle d'un centimètre coûte toujours la même longueur de clôture, mais gagne une surface de plus en plus grande. L'aire n'est donc pas proportionnelle à $x$, alors que le périmètre ne l'est pas non plus à cause du terme constant $10$, mais ses ACCROISSEMENTS le sont.