Exercice 1 : Huit développements à la main

Développez chaque expression, à la main, puis réduisez si c'est possible. Un seul réflexe à tenir : le facteur placé devant la parenthèse multiplie TOUS les termes qu'elle contient, avec leur signe.

1) $A=7(x-2)$
2) $B=-3(x+5)$
3) $C=0{,}5(4x+6)$
4) $D=-2(3x-4)$
5) $E=x(2x-7)$
6) $F=-(x-9)$
7) $G=1{,}2(10x+5)$
8) $H=-4(-2x+3)$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

1)

A

vaut

2)

B

vaut

3)

C

vaut

4)

D

vaut

5)

E

vaut

6)

F

vaut

7)

G

vaut

8)

H

vaut

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Réponses

1) $A=7x-14$
2) $B=-3x-15$
3) $C=2x+3$
4) $D=-6x+8$
5) $E=2x^{2}-7x$
6) $F=-x+9$
7) $G=12x+6$
8) $H=8x-12$

1) $A=7\times x-7\times 2=7x-14$ . Le $7$ multiplie aussi le $2$ : écrire $7x-2$ est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. Contrôle pour $x=1$ : l'expression de départ vaut $7\times(-1)=-7$ , et $7-14=-7$ ✓, alors que la forme fautive donnerait $5$ .

2) Le facteur est négatif, donc les deux produits le sont : $B=-3\times x+(-3)\times 5=-3x-15$ . Le signe $+$ de la parenthèse ne protège pas le $5$ . Beaucoup d'élèves écrivent $-3x+15$ par réflexe de « moins par plus », il faut donc poser la multiplication terme à terme.

3) Un facteur décimal se distribue comme un autre : $C=0{,}5\times 4x+0{,}5\times 6=2x+3$ . Multiplier par $0{,}5$ , c'est prendre la moitié, et la moitié de $6$ est $3$ , pas $6$ . Contrôle pour $x=2$ : $0{,}5\times 14=7$ et $4+3=7$ ✓.

4) Ici les deux pièges se cumulent, facteur négatif ET signe moins dans la parenthèse : $D=-2\times 3x-(-2)\times 4=-6x+8$ . Le produit $(-2)\times(-4)$ vaut $+8$ . Contrôle pour $x=0$ : $-2\times(-4)=8$ et $0+8=8$ ✓.

5) Le facteur devant la parenthèse peut être une lettre : $E=x\times 2x-x\times 7=2x^{2}-7x$ . Le premier produit fait apparaître un carré parce que $x$ est multiplié par $x$ . On n'écrit surtout pas $2x^{2}-7$ .

6) Un signe moins tout seul est un facteur $-1$ : $F=-1\times x-1\times(-9)=-x+9$ . Les DEUX signes changent. Contrôle pour $x=12$ : $-(12-9)=-3$ et $-12+9=-3$ ✓.

7) $G=1{,}2\times 10x+1{,}2\times 5=12x+6$ . Le premier produit est facile, $1{,}2\times 10=12$ , le second l'est moins et c'est celui qu'on rate : $1{,}2\times 5=6$ . Contrôle pour $x=1$ : $1{,}2\times 15=18$ et $12+6=18$ ✓.

8) Trois signes négatifs se croisent : $H=-4\times(-2x)+(-4)\times 3=8x-12$ . Le premier produit est positif, le second négatif. Contrôle pour $x=1$ : $-4\times 1=-4$ et $8-12=-4$ ✓. Retenir la règle générale : un facteur négatif RENVERSE les deux signes de la parenthèse.

Exercice 2 : Le signe moins devant la parenthèse

Soustraire une parenthèse, c'est enlever TOUT ce qu'elle contient. Le moins se distribue donc sur chacun de ses termes, et chaque signe à l'intérieur s'inverse. La figure montre le cas de la question 1 sur une longueur.

1) Développez et réduisez $9-(x+4)$ , puis expliquez ce que montre la figure.
2) Développez et réduisez $6-(2x-5)$ .
3) Développez et réduisez $-(3x-7)+2x$ .
4) Développez et réduisez $10-3(x-2)$ .
5) Développez et réduisez $4x-2(x+6)$ .
6) Un élève écrit $6-(2x-5)=6-2x-5=1-2x$ . Où est l'erreur, et quel contrôle numérique la détecte en cinq secondes ?

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Réponses

1) $5-x$
2) $11-2x$
3) $-x+7$
4) $16-3x$
5) $2x-12$
6) Le $-5$ devait devenir $+5$ : le résultat est $11-2x$ . Pour $x=0$ , le départ vaut $11$ et la ligne fautive $1$ .

1) Le moins porte sur les deux termes : $9-(x+4)=9-x-4=5-x$ . La figure le lit sur une longueur. Une barre mesure $9$ ; on en retire un morceau de longueur $x+4$ , c'est-à-dire un bout de $x$ ET un bout de $4$ . Ce qui reste est donc amputé deux fois, une fois de $x$ et une fois de $4$ : il reste $5-x$ . Écrire $9-x+4$ reviendrait à RENDRE les quatre unités au lieu de les enlever.

2) Le moins inverse aussi les signes négatifs : $6-(2x-5)=6-2x+5=11-2x$ . Le $-5$ de la parenthèse est retiré, or retirer une dette est un gain, d'où le $+5$ . Contrôle pour $x=1$ : $6-(2-5)=6-(-3)=9$ et $11-2=9$ ✓.

3) Un moins seul est un facteur $-1$ : $-(3x-7)=-3x+7$ . On ajoute ensuite $2x$ : $-3x+7+2x=-x+7$ . On regroupe les termes en $x$ entre eux, $-3x+2x=-x$ , et le $7$ reste seul. Contrôle pour $x=2$ : $-(6-7)+4=1+4=5$ et $-2+7=5$ ✓.

4) Le facteur est $3$ précédé d'un moins, donc le facteur réel est $-3$ : $10-3(x-2)=10-3x+6=16-3x$ . L'erreur classique est $10-3x-6$ , qui oublie que $-3\times(-2)=+6$ . Contrôle pour $x=4$ : $10-3\times 2=4$ et $16-12=4$ ✓.

5) $4x-2(x+6)=4x-2x-12=2x-12$ . Ici les deux termes de la parenthèse sont positifs, donc les deux deviennent négatifs. Contrôle pour $x=3$ : $12-2\times 9=12-18=-6$ et $6-12=-6$ ✓.

6) L'erreur est le signe du $-5$ : l'élève a distribué le moins sur le $2x$ mais pas sur le $5$ , qui aurait dû devenir $+5$ . La bonne réponse est $11-2x$ , pas $1-2x$ . Le contrôle coûte cinq secondes : on prend $x=0$ . L'expression de départ vaut $6-(0-5)=6+5=11$ , la ligne fautive donne $1$ . Les deux ne peuvent pas être égales, la ligne est condamnée. Retenir la méthode générale : un essai numérique ne prouve JAMAIS qu'un développement est juste, mais un seul essai qui ne colle pas prouve qu'il est faux, et c'est exactement ce dont on a besoin en contrôle.

Exercice 3 : Factoriser : le facteur commun le plus grand

Factoriser, c'est faire le chemin inverse du développement : on repère ce qui est commun à tous les termes et on l'écrit une seule fois devant une parenthèse. La figure lit la question 1 comme une aire de rectangle.

1) Factorisez $14x+21$ , puis expliquez ce que montre la figure.
2) Factorisez $8x-20$ .
3) Factorisez $5x^{2}+x$ .
4) Factorisez $24x+36$ . Un élève propose $6(4x+6)$ : est-ce faux, ou est-ce seulement inachevé ?
5) Factorisez $2{,}5x+7{,}5$ .
6) Factorisez $-6x-9$ .

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Réponses

1) $14x+21=7(2x+3)$
2) $8x-20=4(2x-5)$
3) $5x^{2}+x=x(5x+1)$
4) $24x+36=12(2x+3)$ ; $6(4x+6)$ est exact mais inachevé
5) $2{,}5x+7{,}5=2{,}5(x+3)$
6) $-6x-9=-3(2x+3)$

1) On cherche ce qui divise à la fois $14$ et $21$ . Les diviseurs communs sont $1$ et $7$ , le plus grand est $7$ . On écrit $14x=7\times 2x$ et $21=7\times 3$ , donc $14x+21=7(2x+3)$ . Vérification en redéveloppant : $7\times 2x+7\times 3=14x+21$ ✓. La figure le lit comme une aire. Le rectangle a pour hauteur $7$ et sa base est coupée en deux morceaux, $2x$ et $3$ . Son aire se lit donc de deux façons : d'un bloc, $7\times(2x+3)$ , ou morceau par morceau, $14x+21$ . Factoriser, c'est recoller les deux morceaux en un seul rectangle.

2) Les diviseurs communs de $8$ et $20$ sont $1$ , $2$ et $4$ ; le plus grand est $4$ . On obtient $8x-20=4(2x-5)$ . Le signe moins reste à l'intérieur. Vérification : $4\times 2x-4\times 5=8x-20$ ✓. Sortir seulement $2$ donnerait $2(4x-10)$ , exact mais inachevé, car la parenthèse se factorise encore.

3) Ici le facteur commun n'est pas un nombre mais la lettre. Le second terme s'écrit $x=1\times x$ : son coefficient invisible vaut $1$ , et c'est tout le piège. Donc $5x^{2}+x=x\times 5x+x\times 1=x(5x+1)$ . Écrire $x(5x)$ est l'erreur classique, elle fait disparaître un terme entier. Vérification : $x\times 5x+x\times 1=5x^{2}+x$ ✓.

4) La proposition n'est pas fausse : $6(4x+6)=24x+36$ , on peut le vérifier en redéveloppant. Mais elle n'est pas terminée, car $4x+6$ se factorise encore par $2$ . En sortant $2$ de plus, $6\times 2=12$ et on arrive à $24x+36=12(2x+3)$ . Le plus grand diviseur commun de $24$ et $36$ est bien $12$ . La règle : une factorisation est finie quand la parenthèse n'a plus aucun facteur commun autre que $1$ , et ici $2x+3$ n'en a plus.

5) Un facteur décimal se sort comme un autre. Les deux nombres sont des multiples de $2{,}5$ : $7{,}5=2{,}5\times 3$ . Donc $2{,}5x+7{,}5=2{,}5(x+3)$ . Vérification : $2{,}5\times x+2{,}5\times 3=2{,}5x+7{,}5$ ✓. Celui qui ne voit pas le facteur décimal peut toujours passer par $0{,}5$ , mais il obtient $0{,}5(5x+15)$ , qui n'est pas fini.

6) Les deux termes sont négatifs, donc on sort un facteur négatif : le plus grand diviseur commun de $6$ et $9$ est $3$ , et on sort $-3$ . Alors $-6x=-3\times 2x$ et $-9=-3\times 3$ , d'où $-6x-9=-3(2x+3)$ . Attention, les deux signes de la parenthèse deviennent positifs. Vérification : $-3\times 2x-3\times 3=-6x-9$ ✓. La forme $3(-2x-3)$ est également exacte, mais on préfère celle dont la parenthèse commence par un terme positif.

Exercice 4 : Le facteur commun caché : calculer astucieusement

Ces six calculs sont pénibles posés, immédiats factorisés. Dans chacun, un même nombre revient dans tous les produits : sortez-le, et ce qui reste entre parenthèses se calcule de tête. Aucune multiplication posée n'est autorisée.

1) $A=6{,}4\times 27-6{,}4\times 17$
2) $B=3{,}5\times 98+3{,}5\times 2$
3) $C=17\times 8{,}3+83\times 8{,}3$
4) $D=2{,}7\times 99+2{,}7$
5) $E=48\times 12{,}5-38\times 12{,}5$
6) $F=9{,}6\times 15-9{,}6\times 5-9{,}6\times 10$

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Réponses

1) $A=6{,}4\times 10=64$
2) $B=3{,}5\times 100=350$
3) $C=8{,}3\times 100=830$
4) $D=2{,}7\times 100=270$
5) $E=12{,}5\times 10=125$
6) $F=9{,}6\times 0=0$

1) Le facteur commun est $6{,}4$ , placé devant les deux produits : $A=6{,}4\times(27-17)=6{,}4\times 10=64$ . Multiplier par $10$ décale la virgule d'un rang, c'est le calcul le plus simple qui soit. Posé, il aurait fallu deux multiplications à virgule et une soustraction, donc trois occasions de se tromper au lieu de zéro.

2) Même facteur commun des deux côtés du $+$ : $B=3{,}5\times(98+2)=3{,}5\times 100=350$ . La factorisation vaut aussi pour une somme, et c'est ici qu'elle paie le plus : $98+2$ tombe sur une centaine ronde. Quand deux nombres d'un énoncé se complètent à $10$ , $100$ ou $1000$ , c'est presque toujours le signe qu'il fallait factoriser.

3) Cette fois le facteur commun n'est pas au même endroit dans les deux produits : il est à droite dans $17\times 8{,}3$ et à droite aussi dans $83\times 8{,}3$ . Comme la multiplication se lit dans les deux sens, on peut l'écrire devant : $C=8{,}3\times(17+83)=8{,}3\times 100=830$ . Le piège de cette question est de ne pas reconnaître le facteur commun parce qu'il n'est pas écrit en premier.

4) Le second terme n'est pas un produit, il est tout seul : c'est là qu'est le piège. On l'écrit $2{,}7=2{,}7\times 1$ , son coefficient invisible vaut $1$ . Alors $D=2{,}7\times(99+1)=2{,}7\times 100=270$ . L'élève qui factorise par $2{,}7$ en oubliant ce $1$ écrit $2{,}7\times 99=267{,}3$ et perd exactement $2{,}7$ .

5) Le facteur commun $12{,}5$ est à droite dans les deux produits : $E=12{,}5\times(48-38)=12{,}5\times 10=125$ . Vérification d'ordre de grandeur : $48\times 12{,}5$ vaut $600$ et $38\times 12{,}5$ vaut $475$ , la différence fait bien $125$ ✓. Cette vérification n'est pas obligatoire, mais elle rassure quand le résultat semble trop simple.

6) Trois produits, un seul facteur commun : $F=9{,}6\times(15-5-10)$ . Or $15-5-10=0$ , donc $F=9{,}6\times 0=0$ . Le résultat ne dépend même pas de $9{,}6$ : n'importe quel nombre à la place aurait donné $0$ . Celui qui pose les trois multiplications trouve $144-48-96$ et doit encore soustraire deux fois pour arriver au même $0$ , avec trois fois plus de risques. C'est la démonstration la plus nette de l'intérêt de factoriser AVANT de calculer.

Exercice 5 : Deux parenthèses, un moins au milieu

Chaque expression contient deux parenthèses séparées par un signe. On développe d'abord les deux, en faisant bien entrer le signe du milieu dans la seconde, et on réduit seulement ensuite. Développer puis réduire, jamais l'inverse.

1) Développez et réduisez $3(2x-1)-2(x-4)$ .
2) Développez et réduisez $5(x+3)-4(x+2)$ .
3) Développez et réduisez $2(4x-5)-3(2x-1)$ .
4) Développez et réduisez $0{,}5(6x+8)-2(x-1)$ .
5) Développez et réduisez $-2(x-3)-(4-x)$ .
6) Développez et réduisez $4(2x+1)-2(3x+5)+x$ .

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Réponses

1) $4x+5$
2) $x+7$
3) $2x-7$
4) $x+6$
5) $-x+2$
6) $3x-6$ , que l'on peut encore factoriser en $3(x-2)$

1) Le signe du milieu appartient à la seconde parenthèse : le facteur y est $-2$ , pas $2$ . On développe : $3(2x-1)=6x-3$ et $-2(x-4)=-2x+8$ . On réduit : $6x-3-2x+8=4x+5$ . Contrôle pour $x=1$ : $3\times 1-2\times(-3)=3+6=9$ et $4+5=9$ ✓.

2) $5(x+3)=5x+15$ et $-4(x+2)=-4x-8$ . Somme : $5x+15-4x-8=x+7$ . Le coefficient de $x$ vaut $5-4=1$ , donc on écrit $x$ et non $1x$ . Contrôle pour $x=2$ : $5\times 5-4\times 4=25-16=9$ et $2+7=9$ ✓.

3) $2(4x-5)=8x-10$ et $-3(2x-1)=-6x+3$ . Somme : $8x-10-6x+3=2x-7$ . Le $-1$ de la seconde parenthèse devient $+3$ parce que $-3\times(-1)=+3$ . Contrôle pour $x=0$ : $2\times(-5)-3\times(-1)=-10+3=-7$ et $-7$ ✓.

4) Le premier facteur est décimal, le second négatif : $0{,}5(6x+8)=3x+4$ et $-2(x-1)=-2x+2$ . Somme : $3x+4-2x+2=x+6$ . Contrôle pour $x=2$ : $0{,}5\times 20-2\times 1=10-2=8$ et $2+6=8$ ✓.

5) Deux pièges d'un coup, un facteur négatif puis un moins tout seul : $-2(x-3)=-2x+6$ et $-(4-x)=-4+x$ . Somme : $-2x+6-4+x=-x+2$ . Le terme en $x$ vaut $-2x+x=-x$ , et la partie numérique $6-4=2$ . Contrôle pour $x=3$ : $-2\times 0-(4-3)=0-1=-1$ et $-3+2=-1$ ✓.

6) Trois morceaux : $4(2x+1)=8x+4$ , $-2(3x+5)=-6x-10$ , et le $+x$ isolé. On regroupe les termes en $x$ , $8x-6x+x=3x$ , puis les nombres, $4-10=-6$ . Résultat : $3x-6$ . On peut d'ailleurs le factoriser en $3(x-2)$ , ce que l'exercice ne demande pas mais qui montre que les deux opérations du chapitre se suivent naturellement. Contrôle pour $x=1$ : $4\times 3-2\times 8+1=12-16+1=-3$ et $3-6=-3$ ✓.

Exercice 6 : Six factorisations à vérifier

Six élèves rendent chacun une factorisation. Pour chacune, redéveloppez le membre de droite et comparez au membre de gauche, puis classez la ligne dans l'une des trois catégories : juste et terminée, juste mais inachevée, ou fausse. Corrigez les fausses et achevez les inachevées.

1) $10x+15=5(2x+3)$
2) $6x-8=2(3x-8)$
3) $x^{2}-4x=x(x-4)$
4) $20x-30=5(4x-6)$
5) $-4x+10=-2(2x-5)$
6) $3x+6y=3(x+6y)$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

1)

Ligne 1

2)

Ligne 2

La bonne écriture

3)

Ligne 3

4)

Ligne 4

La forme achevée

5)

Ligne 5

6)

Ligne 6

La bonne écriture

Voir la correction

Réponses

1) Juste et terminée
2) Fausse : $6x-8=2(3x-4)$
3) Juste et terminée
4) Juste mais inachevée : $20x-30=10(2x-3)$
5) Juste et terminée
6) Fausse : $3x+6y=3(x+2y)$

1) Redéveloppement : $5\times 2x+5\times 3=10x+15$ , identique au membre de gauche. Est-elle terminée ? La parenthèse est $2x+3$ , et $2$ et $3$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ : on ne peut plus rien sortir. Ligne JUSTE ET TERMINÉE.

2) Redéveloppement : $2\times 3x-2\times 8=6x-16$ , alors que la gauche vaut $6x-8$ . Les deux ne coïncident pour aucune valeur de $x$ , puisque $-16$ ne sera jamais $-8$ . L'élève a sorti le $2$ du premier terme mais l'a oublié dans le second : il fallait écrire $8=2\times 4$ . Ligne FAUSSE, la bonne réponse est $2(3x-4)$ .

3) Redéveloppement : $x\times x-x\times 4=x^{2}-4x$ , identique. Terminée ? La parenthèse est $x-4$ , où rien n'est commun aux deux termes. Ligne JUSTE ET TERMINÉE. Ce cas rappelle que le facteur commun peut être une lettre et pas seulement un nombre.

4) Redéveloppement : $5\times 4x-5\times 6=20x-30$ , identique : la ligne n'est donc pas fausse. Mais la parenthèse $4x-6$ est encore divisible par $2$ . En sortant ce $2$ , $5\times 2=10$ , et on obtient $20x-30=10(2x-3)$ , où $2$ et $3$ n'ont plus rien en commun. Ligne JUSTE MAIS INACHEVÉE. C'est la catégorie que les élèves oublient : un correcteur enlève des points sur une factorisation exacte qui n'est pas menée jusqu'au bout.

5) Redéveloppement : $-2\times 2x=-4x$ et $-2\times(-5)=+10$ , donc $-2(2x-5)=-4x+10$ , identique à la gauche. Le facteur sorti est négatif et cela reste une factorisation correcte, à condition d'inverser les deux signes de la parenthèse, ce que l'élève a bien fait. Terminée, car $2$ et $5$ n'ont rien en commun. Ligne JUSTE ET TERMINÉE.

6) Redéveloppement : $3\times x+3\times 6y=3x+18y$ , alors que la gauche vaut $3x+6y$ . C'est faux. L'élève a sorti le $3$ devant, mais l'a laissé aussi dans la parenthèse pour le second terme : on ne peut pas compter le facteur deux fois. Comme $6y=3\times 2y$ , la bonne réponse est $3(x+2y)$ . Ligne FAUSSE. Le contrôle par redéveloppement l'attrape en trois secondes, et c'est exactement pour cela qu'il faut le faire systématiquement.

Exercice 7 : Choisir la forme qui rend le calcul court

Une expression développée et sa forme factorisée donnent toujours le même nombre. Elles ne demandent pas le même travail pour autant : selon la valeur qu'on remplace, l'une se calcule de tête et l'autre se pose. Savoir laquelle choisir fait gagner du temps à chaque contrôle.

1) Soit $A=8(x+7)$ . Calculez $A$ pour $x=3$ avec la forme factorisée, puis avec la forme développée.
2) Calculez $A$ pour $x=93$ . Quelle forme choisissez-vous, et pourquoi ?
3) Soit $B=9x-54$ . Factorisez $B$ , puis calculez $B$ pour $x=106$ .
4) Soit $C=4x+4$ . Calculez $C$ pour $x=249$ en choisissant la forme la plus rapide.
5) Soit $D=2x+11$ . Peut-on la factoriser ? Calculez $D$ pour $x=44{,}5$ .
6) Résumez en une phrase : quand la forme factorisée fait-elle gagner du temps ?

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Réponses

1) $A=80$ par les deux formes
2) $A=800$ ; la forme factorisée, car $93+7=100$
3) $B=9(x-6)$ et $B=900$ pour $x=106$
4) $C=4(x+1)$ , donc $C=4\times 250=1000$
5) $D$ ne se factorise pas ( $2$ et $11$ n'ont que $1$ en commun) ; $D=100$
6) Quand la valeur de $x$ rend la parenthèse ronde

1) Forme factorisée : $A=8\times(3+7)=8\times 10=80$ . Forme développée : $8x+56$ , donc $A=24+56=80$ . Même résultat, évidemment, puisque les deux écritures désignent le même nombre pour n'importe quel $x$ . Sur cette valeur, la forme factorisée est déjà la plus courte parce que $3+7$ tombe sur $10$ .

2) Forme factorisée : $A=8\times(93+7)=8\times 100=800$ , calculable de tête. Forme développée : $8\times 93+56=744+56=800$ , qui demande une multiplication posée. On choisit donc la forme FACTORISÉE, parce que la valeur donnée complète le contenu de la parenthèse jusqu'à une centaine ronde. C'est le signal à repérer : quand $x$ plus le nombre de la parenthèse tombe rond, la forme factorisée gagne.

3) Le plus grand diviseur commun de $9$ et $54$ est $9$ , et $54=9\times 6$ , donc $B=9(x-6)$ . Vérification en redéveloppant : $9x-54$ ✓. Pour $x=106$ : $B=9\times(106-6)=9\times 100=900$ . La forme développée aurait donné $954-54$ , ce qui marche aussi mais impose la multiplication $9\times 106$ . Ici encore, la factorisation transforme le calcul en une multiplication par $100$ .

4) On factorise d'abord, en n'oubliant pas que le second terme $4$ est $4\times 1$ : $C=4(x+1)$ . Pour $x=249$ : $C=4\times 250=1000$ . C'est du calcul mental pur. La forme développée aurait imposé $4\times 249=996$ puis $996+4$ . Même résultat, quatre fois plus de travail.

5) Non, $D=2x+11$ ne se factorise pas : les diviseurs de $2$ sont $1$ et $2$ , ceux de $11$ sont $1$ et $11$ , le seul diviseur commun est $1$ , et sortir $1$ ne change rien. C'est un point important : toute expression ne se factorise pas, et chercher un facteur commun là où il n'y en a pas fait perdre du temps. On calcule donc avec la forme donnée : $D=2\times 44{,}5+11=89+11=100$ . Remarquez qu'ici c'est la forme DÉVELOPPÉE qui tombe rond, parce que $2\times 44{,}5$ vaut $89$ et que $89+11$ fait $100$ .

6) La forme factorisée fait gagner du temps quand la valeur de $x$ rend la parenthèse ronde, c'est-à-dire quand $x$ complète le nombre de la parenthèse jusqu'à une dizaine, une centaine ou un millier. Dans tous les autres cas, et en particulier quand on doit calculer pour beaucoup de valeurs différentes, c'est la forme développée qui est la plus commode. La question 5 rappelle en outre que la factorisation n'est pas toujours possible : on la cherche, on ne la force pas.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Les cinq affirmations ci-dessous sont toutes fausses. Pour chacune, dites où est l'erreur, donnez la bonne écriture, et fournissez une valeur de $x$ qui prouve que l'affirmation ne tient pas.

1) « $-2(x-3)=-2x-6$ »
2) « $5-(x+1)=4+x$ »
3) « $6x+8=2(3x+8)$ »
4) « $0{,}5(4x+6)=2x+6$ »
5) « $-3(x+2)$ est toujours négatif »

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Réponses

1) Faux : $-2(x-3)=-2x+6$ (pour $x=0$ , $6$ et non $-6$ )
2) Faux : $5-(x+1)=4-x$ (pour $x=2$ , $2$ et non $6$ )
3) Faux : $6x+8=2(3x+4)$ (pour $x=0$ , $8$ et non $16$ )
4) Faux : $0{,}5(4x+6)=2x+3$ (pour $x=0$ , $3$ et non $6$ )
5) Faux : pour $x=-5$ , $-3(x+2)=9$ , qui est positif

1) L'erreur est le signe du second produit. Le facteur $-2$ multiplie $-3$ , et $(-2)\times(-3)=+6$ , pas $-6$ . La bonne écriture est $-2(x-3)=-2x+6$ . Contre-exemple : pour $x=0$ , l'expression de départ vaut $-2\times(-3)=6$ alors que l'affirmation donne $-6$ . Retenir que le signe du terme de la parenthèse compte autant que celui du facteur.

2) L'erreur est que le moins n'a été distribué que sur le premier terme. Le $+1$ est retiré lui aussi, il devient $-1$ : $5-(x+1)=5-x-1=4-x$ . L'affirmation écrit $4+x$ , qui n'est pas la même chose. Contre-exemple : pour $x=2$ , le départ vaut $5-3=2$ et l'affirmation donne $6$ . Une façon simple de s'en souvenir : si $x$ augmente, ce qu'il reste après avoir enlevé la parenthèse doit DIMINUER, donc le résultat doit contenir $-x$ .

3) L'erreur est un facteur sorti à moitié. En redéveloppant la proposition, $2(3x+8)=6x+16$ , ce qui n'est pas $6x+8$ . L'élève a divisé $6$ par $2$ mais a laissé le $8$ tel quel ; il fallait écrire $8=2\times 4$ . La bonne réponse est $6x+8=2(3x+4)$ . Contre-exemple : pour $x=0$ , la gauche vaut $8$ et la droite $16$ . C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et le redéveloppement systématique l'élimine.

4) L'erreur est que le facteur $0{,}5$ n'a été appliqué qu'au premier terme. Il porte aussi sur le $6$ , et la moitié de $6$ est $3$ : $0{,}5(4x+6)=2x+3$ . Contre-exemple : pour $x=0$ , le départ vaut $0{,}5\times 6=3$ et l'affirmation donne $6$ . Un facteur décimal inférieur à $1$ ne dispense de rien : il divise, mais il divise TOUT.

5) L'affirmation confond le signe du facteur et le signe du résultat. L'expression vaut $-3x-6$ , et sa valeur dépend de $x$ . Pour $x=1$ elle vaut $-9$ , effectivement négative. Mais pour $x=-5$ , la parenthèse vaut $-5+2=-3$ , et $-3\times(-3)=+9$ , un nombre positif. L'affirmation est donc fausse. Le principe à retenir dépasse ce seul exercice : une lettre ne désigne pas forcément un nombre positif, et presque toutes les affirmations en « toujours » se cassent sur une valeur négative bien choisie. Il suffit d'ailleurs de chercher quand la parenthèse devient négative, c'est-à-dire dès que $x$ est inférieur à $-2$ .

Exercice 9 : Problème : la commande du club de handball

Un club de handball équipe ses $24$ joueurs. Chaque joueur reçoit un maillot à $18{,}50$ dollars et une paire de chaussettes à $6{,}50$ dollars. La figure représente la dépense totale, décomposée en deux blocs.

1) Écrivez la dépense totale sous la forme d'une seule multiplication, puis calculez-la.
2) Vérifiez ce résultat en calculant séparément le prix des maillots et celui des chaussettes.
3) Le fournisseur baisse le prix du maillot de $1{,}50$ dollar. Calculez la nouvelle dépense de deux façons différentes.
4) Le club commande finalement $n$ ensembles au nouveau tarif. Écrivez la dépense en fonction de $n$ , sous forme factorisée puis développée.
5) Le club dispose de $700$ dollars. Combien d'ensembles peut-il commander au maximum, et combien lui reste-t-il ?
6) Pourquoi la forme factorisée était-elle la plus rapide dès la question 1 ?

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Réponses

1) $24\times(18{,}50+6{,}50)=24\times 25=600$ dollars
2) $444+156=600$ dollars ✓
3) $24\times 23{,}50=564$ dollars, soit $600-36$
4) Factorisée $23{,}50n$ , développée $17n+6{,}50n$
5) $29$ ensembles pour $681{,}50$ dollars, il reste $18{,}50$ dollars
6) Parce qu'elle additionne avant de multiplier, et $18{,}50+6{,}50$ tombe sur $25$

1) Chaque joueur coûte $18{,}50+6{,}50=25$ dollars, et il y a $24$ joueurs : la dépense est $24\times(18{,}50+6{,}50)=24\times 25=600$ dollars. Le calcul se fait de tête parce que les deux prix se complètent à $25$ , un nombre rond.

2) Les maillots coûtent $24\times 18{,}50=444$ dollars, les chaussettes $24\times 6{,}50=156$ dollars, et la somme vaut $444+156=600$ dollars ✓. C'est exactement la lecture développée de la question 1, et c'est ce que montre la figure : le rectangle total, d'aire $600$ , est coupé en un bloc de $444$ et un bloc de $156$ . Les deux chemins mènent au même nombre, mais celui de la question 1 n'a demandé aucune multiplication à virgule.

3) Premier chemin, on refait le calcul complet : le maillot passe à $18{,}50-1{,}50=17$ dollars, l'ensemble à $17+6{,}50=23{,}50$ dollars, et la dépense à $24\times 23{,}50=564$ dollars. Second chemin, on calcule seulement la baisse : chaque joueur coûte $1{,}50$ dollar de moins, donc le club économise $24\times 1{,}50=36$ dollars, et $600-36=564$ dollars ✓. Le second chemin est la distributivité appliquée à la différence, $24\times(25-1{,}50)=24\times 25-24\times 1{,}50$ .

4) Chaque ensemble coûte $23{,}50$ dollars, donc $n$ ensembles coûtent $23{,}50\times n$ dollars : c'est la forme factorisée, celle où le contenu de la parenthèse a déjà été additionné. La forme développée sépare les deux articles : $17n+6{,}50n$ . Les deux écritures donnent le même nombre pour n'importe quel $n$ , et la première est celle qu'on utilise pour calculer.

5) On cherche le plus grand entier $n$ tel que $23{,}50\times n$ ne dépasse pas $700$ . Essais : $23{,}50\times 30=705$ , trop cher ; $23{,}50\times 29=681{,}50$ , qui passe. Le club peut donc commander $29$ ensembles, et il lui reste $700-681{,}50=18{,}50$ dollars. Attention au réflexe de l'arrondi : la division $700\div 23{,}50$ donne environ $29{,}8$ , et il faut arrondir vers le BAS, car un ensemble ne se commande pas en morceaux. Arrondir à $30$ ferait dépasser le budget de $5$ dollars.

6) Parce que la distributivité permet de faire l'addition AVANT la multiplication. Additionner $18{,}50$ et $6{,}50$ donne $25$ , un nombre rond que l'on multiplie de tête par $24$ ; développer aurait imposé deux multiplications à virgule. La règle qui se dégage et qui vaut bien au-delà de ce problème : quand un même nombre multiplie plusieurs termes, on regroupe d'abord et on multiplie une seule fois.

Exercice 10 : Problème : le terrain coupé par une allée

Un terrain rectangulaire mesure $9$ mètres de large et $x$ mètres de long. Sur toute la largeur, une allée de $2$ mètres est réservée au passage : elle n'est pas cultivée. La partie restante est cultivée.

1) Exprimez l'aire cultivée en fonction de $x$ , sous forme factorisée puis développée.
2) Calculez cette aire pour $x=15$ .
3) Un élève écrit $9(x-2)=9x-2$ . Que trouve-t-il pour $x=15$ , et de combien se trompe-t-il ?
4) L'allée est élargie de $2$ à $3$ mètres. Exprimez la nouvelle aire cultivée, puis la surface perdue.
5) Cette perte dépend-elle de la longueur $x$ du terrain ? Justifiez par le calcul.
6) Pour quelle longueur $x$ l'aire cultivée de la question 1 vaut-elle exactement $180$ mètres carrés ?

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Réponses

1) $9(x-2)$ , soit $9x-18$ mètres carrés
2) $117$ mètres carrés
3) Il trouve $133$ , soit $16$ mètres carrés de trop
4) $9(x-3)=9x-27$ ; la perte vaut $9$ mètres carrés
5) Non : $9(x-2)-9(x-3)=9$ , le terme en $x$ s'annule
6) $x=22$ mètres

1) La partie cultivée est un rectangle de largeur $9$ mètres et de longueur $x-2$ mètres, puisque l'allée mange $2$ mètres sur la longueur. Son aire vaut donc $9(x-2)$ mètres carrés sous forme factorisée. En développant : $9\times x-9\times 2=9x-18$ mètres carrés. Les deux écritures disent la même chose de deux façons. La forme factorisée raconte la figure, largeur fois longueur ; la forme développée raconte le calcul, aire totale du terrain moins aire de l'allée, car $9x$ est l'aire totale et $18$ l'aire de l'allée, qui mesure $9\times 2$ .

2) Forme factorisée : $9\times(15-2)=9\times 13=117$ mètres carrés. Forme développée : $9\times 15-18=135-18=117$ mètres carrés ✓. Les deux chemins donnent le même nombre, comme attendu.

3) Il trouve $9\times 15-2=135-2=133$ mètres carrés au lieu de $117$ . L'écart est de $133-117=16$ mètres carrés. L'erreur est toujours la même, le facteur $9$ n'a pas été distribué sur le $2$ : il a retiré $2$ mètres carrés au lieu de retirer les $18$ mètres carrés de l'allée, d'où un excédent de $16$ . Ici l'erreur a un sens concret, elle revient à oublier que l'allée est large de $9$ mètres et pas de $1$ mètre.

4) Avec une allée de $3$ mètres, la longueur cultivée devient $x-3$ et l'aire vaut $9(x-3)=9x-27$ mètres carrés. La surface perdue est la différence entre l'ancienne aire et la nouvelle : $9(x-2)-9(x-3)$ . On développe les deux : $(9x-18)-(9x-27)=9x-18-9x+27=9$ mètres carrés. On aurait pu le voir directement en factorisant par $9$ : $9\big((x-2)-(x-3)\big)=9\times 1=9$ . Attention au signe de la seconde parenthèse dans la soustraction, c'est le piège de la question.

5) Non, la perte ne dépend pas de $x$ : le calcul de la question 4 donne $9$ mètres carrés, un nombre où $x$ a entièrement disparu. C'est logique, car la bande perdue est un rectangle de $9$ mètres de large sur $1$ mètre de long, et sa surface ne regarde pas la longueur du terrain. Vérification sur deux valeurs : pour $x=15$ , on passe de $117$ à $108$ , soit $9$ de moins ; pour $x=40$ , on passe de $342$ à $333$ , encore $9$ de moins ✓. Voilà ce que la forme développée rend visible et que la seule figure ne montrait pas : le terme en $x$ est identique dans les deux aires, il s'annule, et seule la partie numérique subsiste.

6) On cherche $x$ tel que $9(x-2)=180$ . Comme $180=9\times 20$ , la parenthèse doit valoir $20$ , donc $x-2=20$ et $x=22$ mètres. Vérification : $9\times(22-2)=9\times 20=180$ ✓. La forme factorisée mène directement au résultat, alors que la forme développée $9x-18=180$ obligerait à ajouter $18$ puis à diviser par $9$ . Encore un cas où choisir sa forme fait gagner deux lignes.

Exercices corrigés : distributivité et factorisation (Cinquième)

Rappel de cours

Échauffement : calcul pur (/10)

Exercice 1 : Huit développements à la main

Partie A : les bases (/50)

Exercice 2 : Le signe moins devant la parenthèse

Exercice 3 : Factoriser : le facteur commun le plus grand

Exercice 4 : Le facteur commun caché : calculer astucieusement

Exercice 5 : Deux parenthèses, un moins au milieu

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Six factorisations à vérifier

Exercice 7 : Choisir la forme qui rend le calcul court

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : la commande du club de handball

Exercice 10 : Problème : le terrain coupé par une allée

Voir aussi

Votre enfant bute sur les parenthèses à Montréal ?