Exercices corrigés : distributivité et factorisation (Cinquième)

$6$ est dans les deux termes : $6x+6y=6(x+y)$. Facteur $6$ ; en $x=2$, $y=1$, la parenthèse vaut $2+1=3$.

$11=11\times 1$ : $11x+11=11(x+1)$. Facteur $11$ ; la parenthèse vaut $2+1=3$. Piège : écrire $11x$ ou $11(x)$, en oubliant le $1$ que laisse le second terme ; redévelopper $11\times x$ ne redonne pas le $+11$.

Les diviseurs communs de $18$ et $24$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$ ; le plus grand est $6$. $18x+24=6(3x+4)$. Facteur $6$ ; la parenthèse vaut $3\times 2+4=10$. Piège : $2(9x+12)$ ou $3(6x+8)$ sont justes mais inachevés, il reste un facteur commun dans la parenthèse.

$28=14\times 2$ et $42=14\times 3$ : $28x-42=14(2x-3)$. Facteur $14$ ; la parenthèse vaut $2\times 2-3=1$. Piège : s'arrêter à $7(4x-6)$ ou à $2(14x-21)$, car $14$ ne se voit pas d'un coup d'œil.

La lettre $x$ est dans les deux termes, puisque $4x=x\times 4$ et $xy=x\times y$ : $4x+xy=x(4+y)$. Facteur $x$ ; en $y=1$, la parenthèse vaut $4+1=5$.

$x^{2}=x\times x$ et $6x=x\times 6$ : $x^{2}+6x=x(x+6)$. Facteur $x$ ; la parenthèse vaut $2+6=8$. Piège : sortir $x^{2}$, alors que $6x$ ne contient qu'UN facteur $x$.

Trois termes, et $3$ divise $6$, $9$ et $12$ : $6x+9y+12=3(2x+3y+4)$. Facteur $3$ ; la parenthèse vaut $4+3+4=11$. Piège : oublier le troisième terme et écrire $3(2x+3y)+12$, qui n'est pas une factorisation.

On sort $-4$ : $-8x=(-4)\times 2x$ et $-12=(-4)\times 3$, donc $-8x-12=-4(2x+3)$. Facteur $-4$ ; la parenthèse vaut $4+3=7$. Piège : écrire $-4(2x-3)$ ; en redéveloppant, $-4\times(-3)=+12$, le signe ne colle pas.

$7{,}3$ est dans les deux produits : $7{,}3\times(46+54)=7{,}3\times 100=730$.

$9{,}2\times(1{,}35-0{,}35)=9{,}2\times 1=9{,}2$. Piège : poser les deux multiplications ; c'est juste, mais long, et chaque retenue est une chance de se tromper.

$A=7\times x-7\times 2=7x-14$. Le $7$ multiplie aussi le $2$ : écrire $7x-2$ est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. Contrôle pour $x=1$ : l'expression de départ vaut $7\times(-1)=-7$, et $7-14=-7$ ✓, alors que la forme fautive donnerait $5$.

Le facteur est négatif, donc les deux produits le sont : $B=-3\times x+(-3)\times 5=-3x-15$. Le signe $+$ de la parenthèse ne protège pas le $5$. Beaucoup d'élèves écrivent $-3x+15$ par réflexe de « moins par plus », il faut donc poser la multiplication terme à terme.

Un facteur décimal se distribue comme un autre : $C=0{,}5\times 4x+0{,}5\times 6=2x+3$. Multiplier par $0{,}5$, c'est prendre la moitié, et la moitié de $6$ est $3$, pas $6$. Contrôle pour $x=2$ : $0{,}5\times 14=7$ et $4+3=7$ ✓.

Ici les deux pièges se cumulent, facteur négatif ET signe moins dans la parenthèse : $D=-2\times 3x-(-2)\times 4=-6x+8$. Le produit $(-2)\times(-4)$ vaut $+8$. Contrôle pour $x=0$ : $-2\times(-4)=8$ et $0+8=8$ ✓.

Le facteur devant la parenthèse peut être une lettre : $E=x\times 2x-x\times 7=2x^{2}-7x$. Le premier produit fait apparaître un carré parce que $x$ est multiplié par $x$. On n'écrit surtout pas $2x^{2}-7$.

Un signe moins tout seul est un facteur $-1$ : $F=-1\times x-1\times(-9)=-x+9$. Les DEUX signes changent. Contrôle pour $x=12$ : $-(12-9)=-3$ et $-12+9=-3$ ✓.

$G=1{,}2\times 10x+1{,}2\times 5=12x+6$. Le premier produit est facile, $1{,}2\times 10=12$, le second l'est moins et c'est celui qu'on rate : $1{,}2\times 5=6$. Contrôle pour $x=1$ : $1{,}2\times 15=18$ et $12+6=18$ ✓.

Trois signes négatifs se croisent : $H=-4\times(-2x)+(-4)\times 3=8x-12$. Le premier produit est positif, le second négatif. Contrôle pour $x=1$ : $-4\times 1=-4$ et $8-12=-4$ ✓. Retenir la règle générale : un facteur négatif RENVERSE les deux signes de la parenthèse.

Le moins porte sur les deux termes : $9-(x+4)=9-x-4=5-x$. La figure le lit sur une longueur. Une barre mesure $9$ ; on en retire un morceau de longueur $x+4$, c'est-à-dire un bout de $x$ ET un bout de $4$. Ce qui reste est donc amputé deux fois, une fois de $x$ et une fois de $4$ : il reste $5-x$. Écrire $9-x+4$ reviendrait à RENDRE les quatre unités au lieu de les enlever.

Le moins inverse aussi les signes négatifs : $6-(2x-5)=6-2x+5=11-2x$. Le $-5$ de la parenthèse est retiré, or retirer une dette est un gain, d'où le $+5$. Contrôle pour $x=1$ : $6-(2-5)=6-(-3)=9$ et $11-2=9$ ✓.

Un moins seul est un facteur $-1$ : $-(3x-7)=-3x+7$. On ajoute ensuite $2x$ : $-3x+7+2x=-x+7$. On regroupe les termes en $x$ entre eux, $-3x+2x=-x$, et le $7$ reste seul. Contrôle pour $x=2$ : $-(6-7)+4=1+4=5$ et $-2+7=5$ ✓.

Le facteur est $3$ précédé d'un moins, donc le facteur réel est $-3$ : $10-3(x-2)=10-3x+6=16-3x$. L'erreur classique est $10-3x-6$, qui oublie que $-3\times(-2)=+6$. Contrôle pour $x=4$ : $10-3\times 2=4$ et $16-12=4$ ✓.

$4x-2(x+6)=4x-2x-12=2x-12$. Ici les deux termes de la parenthèse sont positifs, donc les deux deviennent négatifs. Contrôle pour $x=3$ : $12-2\times 9=12-18=-6$ et $6-12=-6$ ✓.

L'erreur est le signe du $-5$ : l'élève a distribué le moins sur le $2x$ mais pas sur le $5$, qui aurait dû devenir $+5$. La bonne réponse est $11-2x$, pas $1-2x$. Le contrôle coûte cinq secondes : on prend $x=0$. L'expression de départ vaut $6-(0-5)=6+5=11$, la ligne fautive donne $1$. Les deux ne peuvent pas être égales, la ligne est condamnée. Retenir la méthode générale : un essai numérique ne prouve JAMAIS qu'un développement est juste, mais un seul essai qui ne colle pas prouve qu'il est faux, et c'est exactement ce dont on a besoin en contrôle.

On cherche ce qui divise à la fois $14$ et $21$. Les diviseurs communs sont $1$ et $7$, le plus grand est $7$. On écrit $14x=7\times 2x$ et $21=7\times 3$, donc $14x+21=7(2x+3)$. Vérification en redéveloppant : $7\times 2x+7\times 3=14x+21$ ✓. La figure le lit comme une aire. Le rectangle a pour hauteur $7$ et sa base est coupée en deux morceaux, $2x$ et $3$. Son aire se lit donc de deux façons : d'un bloc, $7\times(2x+3)$, ou morceau par morceau, $14x+21$. Factoriser, c'est recoller les deux morceaux en un seul rectangle.

Les diviseurs communs de $8$ et $20$ sont $1$, $2$ et $4$ ; le plus grand est $4$. On obtient $8x-20=4(2x-5)$. Le signe moins reste à l'intérieur. Vérification : $4\times 2x-4\times 5=8x-20$ ✓. Sortir seulement $2$ donnerait $2(4x-10)$, exact mais inachevé, car la parenthèse se factorise encore.

Ici le facteur commun n'est pas un nombre mais la lettre. Le second terme s'écrit $x=1\times x$ : son coefficient invisible vaut $1$, et c'est tout le piège. Donc $5x^{2}+x=x\times 5x+x\times 1=x(5x+1)$. Écrire $x(5x)$ est l'erreur classique, elle fait disparaître un terme entier. Vérification : $x\times 5x+x\times 1=5x^{2}+x$ ✓.

La proposition n'est pas fausse : $6(4x+6)=24x+36$, on peut le vérifier en redéveloppant. Mais elle n'est pas terminée, car $4x+6$ se factorise encore par $2$. En sortant $2$ de plus, $6\times 2=12$ et on arrive à $24x+36=12(2x+3)$. Le plus grand diviseur commun de $24$ et $36$ est bien $12$. La règle : une factorisation est finie quand la parenthèse n'a plus aucun facteur commun autre que $1$, et ici $2x+3$ n'en a plus.

Un facteur décimal se sort comme un autre. Les deux nombres sont des multiples de $2{,}5$ : $7{,}5=2{,}5\times 3$. Donc $2{,}5x+7{,}5=2{,}5(x+3)$. Vérification : $2{,}5\times x+2{,}5\times 3=2{,}5x+7{,}5$ ✓. Celui qui ne voit pas le facteur décimal peut toujours passer par $0{,}5$, mais il obtient $0{,}5(5x+15)$, qui n'est pas fini.

Les deux termes sont négatifs, donc on sort un facteur négatif : le plus grand diviseur commun de $6$ et $9$ est $3$, et on sort $-3$. Alors $-6x=-3\times 2x$ et $-9=-3\times 3$, d'où $-6x-9=-3(2x+3)$. Attention, les deux signes de la parenthèse deviennent positifs. Vérification : $-3\times 2x-3\times 3=-6x-9$ ✓. La forme $3(-2x-3)$ est également exacte, mais on préfère celle dont la parenthèse commence par un terme positif.

Le facteur commun est $6{,}4$, placé devant les deux produits : $A=6{,}4\times(27-17)=6{,}4\times 10=64$. Multiplier par $10$ décale la virgule d'un rang, c'est le calcul le plus simple qui soit. Posé, il aurait fallu deux multiplications à virgule et une soustraction, donc trois occasions de se tromper au lieu de zéro.

Même facteur commun des deux côtés du $+$ : $B=3{,}5\times(98+2)=3{,}5\times 100=350$. La factorisation vaut aussi pour une somme, et c'est ici qu'elle paie le plus : $98+2$ tombe sur une centaine ronde. Quand deux nombres d'un énoncé se complètent à $10$, $100$ ou $1000$, c'est presque toujours le signe qu'il fallait factoriser.

Cette fois le facteur commun n'est pas au même endroit dans les deux produits : il est à droite dans $17\times 8{,}3$ et à droite aussi dans $83\times 8{,}3$. Comme la multiplication se lit dans les deux sens, on peut l'écrire devant : $C=8{,}3\times(17+83)=8{,}3\times 100=830$. Le piège de cette question est de ne pas reconnaître le facteur commun parce qu'il n'est pas écrit en premier.

Le second terme n'est pas un produit, il est tout seul : c'est là qu'est le piège. On l'écrit $2{,}7=2{,}7\times 1$, son coefficient invisible vaut $1$. Alors $D=2{,}7\times(99+1)=2{,}7\times 100=270$. L'élève qui factorise par $2{,}7$ en oubliant ce $1$ écrit $2{,}7\times 99=267{,}3$ et perd exactement $2{,}7$.

Le facteur commun $12{,}5$ est à droite dans les deux produits : $E=12{,}5\times(48-38)=12{,}5\times 10=125$. Vérification d'ordre de grandeur : $48\times 12{,}5$ vaut $600$ et $38\times 12{,}5$ vaut $475$, la différence fait bien $125$ ✓. Cette vérification n'est pas obligatoire, mais elle rassure quand le résultat semble trop simple.

Trois produits, un seul facteur commun : $F=9{,}6\times(15-5-10)$. Or $15-5-10=0$, donc $F=9{,}6\times 0=0$. Le résultat ne dépend même pas de $9{,}6$ : n'importe quel nombre à la place aurait donné $0$. Celui qui pose les trois multiplications trouve $144-48-96$ et doit encore soustraire deux fois pour arriver au même $0$, avec trois fois plus de risques. C'est la démonstration la plus nette de l'intérêt de factoriser AVANT de calculer.

Le signe du milieu appartient à la seconde parenthèse : le facteur y est $-2$, pas $2$. On développe : $3(2x-1)=6x-3$ et $-2(x-4)=-2x+8$. On réduit : $6x-3-2x+8=4x+5$. Contrôle pour $x=1$ : $3\times 1-2\times(-3)=3+6=9$ et $4+5=9$ ✓.

$5(x+3)=5x+15$ et $-4(x+2)=-4x-8$. Somme : $5x+15-4x-8=x+7$. Le coefficient de $x$ vaut $5-4=1$, donc on écrit $x$ et non $1x$. Contrôle pour $x=2$ : $5\times 5-4\times 4=25-16=9$ et $2+7=9$ ✓.

$2(4x-5)=8x-10$ et $-3(2x-1)=-6x+3$. Somme : $8x-10-6x+3=2x-7$. Le $-1$ de la seconde parenthèse devient $+3$ parce que $-3\times(-1)=+3$. Contrôle pour $x=0$ : $2\times(-5)-3\times(-1)=-10+3=-7$ et $-7$ ✓.

Le premier facteur est décimal, le second négatif : $0{,}5(6x+8)=3x+4$ et $-2(x-1)=-2x+2$. Somme : $3x+4-2x+2=x+6$. Contrôle pour $x=2$ : $0{,}5\times 20-2\times 1=10-2=8$ et $2+6=8$ ✓.

Deux pièges d'un coup, un facteur négatif puis un moins tout seul : $-2(x-3)=-2x+6$ et $-(4-x)=-4+x$. Somme : $-2x+6-4+x=-x+2$. Le terme en $x$ vaut $-2x+x=-x$, et la partie numérique $6-4=2$. Contrôle pour $x=3$ : $-2\times 0-(4-3)=0-1=-1$ et $-3+2=-1$ ✓.

Trois morceaux : $4(2x+1)=8x+4$, $-2(3x+5)=-6x-10$, et le $+x$ isolé. On regroupe les termes en $x$, $8x-6x+x=3x$, puis les nombres, $4-10=-6$. Résultat : $3x-6$. On peut d'ailleurs le factoriser en $3(x-2)$, ce que l'exercice ne demande pas mais qui montre que les deux opérations du chapitre se suivent naturellement. Contrôle pour $x=1$ : $4\times 3-2\times 8+1=12-16+1=-3$ et $3-6=-3$ ✓.

Redéveloppement : $5\times 2x+5\times 3=10x+15$, identique au membre de gauche. Est-elle terminée ? La parenthèse est $2x+3$, et $2$ et $3$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ : on ne peut plus rien sortir. Ligne JUSTE ET TERMINÉE.

Redéveloppement : $2\times 3x-2\times 8=6x-16$, alors que la gauche vaut $6x-8$. Les deux ne coïncident pour aucune valeur de $x$, puisque $-16$ ne sera jamais $-8$. L'élève a sorti le $2$ du premier terme mais l'a oublié dans le second : il fallait écrire $8=2\times 4$. Ligne FAUSSE, la bonne réponse est $2(3x-4)$.

Redéveloppement : $x\times x-x\times 4=x^{2}-4x$, identique. Terminée ? La parenthèse est $x-4$, où rien n'est commun aux deux termes. Ligne JUSTE ET TERMINÉE. Ce cas rappelle que le facteur commun peut être une lettre et pas seulement un nombre.

Redéveloppement : $5\times 4x-5\times 6=20x-30$, identique : la ligne n'est donc pas fausse. Mais la parenthèse $4x-6$ est encore divisible par $2$. En sortant ce $2$, $5\times 2=10$, et on obtient $20x-30=10(2x-3)$, où $2$ et $3$ n'ont plus rien en commun. Ligne JUSTE MAIS INACHEVÉE. C'est la catégorie que les élèves oublient : un correcteur enlève des points sur une factorisation exacte qui n'est pas menée jusqu'au bout.

Redéveloppement : $-2\times 2x=-4x$ et $-2\times(-5)=+10$, donc $-2(2x-5)=-4x+10$, identique à la gauche. Le facteur sorti est négatif et cela reste une factorisation correcte, à condition d'inverser les deux signes de la parenthèse, ce que l'élève a bien fait. Terminée, car $2$ et $5$ n'ont rien en commun. Ligne JUSTE ET TERMINÉE.

Redéveloppement : $3\times x+3\times 6y=3x+18y$, alors que la gauche vaut $3x+6y$. C'est faux. L'élève a sorti le $3$ devant, mais l'a laissé aussi dans la parenthèse pour le second terme : on ne peut pas compter le facteur deux fois. Comme $6y=3\times 2y$, la bonne réponse est $3(x+2y)$. Ligne FAUSSE. Le contrôle par redéveloppement l'attrape en trois secondes, et c'est exactement pour cela qu'il faut le faire systématiquement.