Mathématiques Cinquième • programme français à Montréal
C'est le chapitre qui sert ensuite pendant cinq ans : la Quatrième, la Troisième, la Seconde et le lycée entier reposent sur ces deux gestes. Une distributivité mal apprise en Cinquième se paie encore au moment des identités remarquables.
Cette fiche prend les huit erreurs qui reviennent le plus souvent sur les copies, montre ce qu'il faut écrire à la place de chacune, et donne le contrôle qui les attrape toutes : redévelopper ce qu'on vient de factoriser.
Le fil du chapitre
Un facteur devant une parenthèse multiplie CHAQUE terme, et un moins devant une parenthèse change TOUS les signes : presque toutes les fautes du chapitre viennent d'avoir oublié le deuxième terme.
Compter les termes avant et après : une parenthèse à deux termes donne deux termes après développement. Un seul terme signale un oubli.
Si le moins vous gêne, remplacez-le mentalement par « ». C'est plus long à écrire, mais cela ne laisse passer aucun terme.
Factoriser et développer sont deux chemins opposés sur la même route. Si le retour ne vous ramène pas au point de départ, c'est que l'aller était faux.
Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.
La dernière colonne donne le résultat. Chaque ligne se vérifie avec des nombres, et c'est exactement ce qu'il faut faire sur la copie. Les deux cases rouges ne sont pas des résultats.
| Expression | Ce qu'on fait | Résultat |
|---|---|---|
| distribuer le | ||
| Exemple : En : , et . | ||
| distribuer le | ||
| Exemple : Avec et : , et . | ||
| distribuer le moins | ||
| Exemple : , et . | ||
| sortir le facteur | ||
| Exemple : En : , et . | ||
| sortir le facteur | ||
| Exemple : En : , et . | ||
| ne changer qu'un signe | n'existe pas règle inexistante | |
| Exemple : , alors que . Deux résultats, donc l'un des deux est faux. Ce qu'il faut faire : Le moins se distribue à TOUS les termes de la parenthèse, sans exception. | ||
| chercher un facteur commun | il n'y en a pas pas factorisable | |
| Exemple : et n'ont que comme diviseur commun. En , l'expression vaut , qui n'est ni multiple de ni multiple de . Ce qu'il faut faire : Écrire que l'expression est déjà sous sa forme la plus simple, et passer à la suite. | ||
Les cinq premières lignes sont à savoir refaire, pas à apprendre par cœur : chacune se retrouve en testant avec des nombres.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« . Le multiplie les DEUX termes. »
Pourquoi : C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le regard s'arrête au premier terme, alors que le facteur doit voyager jusqu'au dernier.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« . Le moins change le signe des DEUX termes de la parenthèse. »
Pourquoi : On enlève deux morceaux, donc on doit obtenir moins que . Un résultat plus grand que le nombre de départ signale l'erreur sans aucun calcul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , c'est factorisé. »
Ce qu'il faut écrire
« a encore le facteur commun , donc ce n'est pas terminé : . »
Pourquoi : Une factorisation est terminée quand ce qui reste dans la parenthèse n'a plus de facteur commun. Il suffit de regarder les deux nombres restants.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« . Le second terme a le coefficient , qui reste dans la parenthèse. »
Pourquoi : Un ne s'écrit pas devant une lettre, mais il est bien là. En le faisant disparaître, on supprime tout un terme.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« et ne sont pas de même nature : l'un compte des , l'autre compte des unités. L'expression est déjà réduite. »
Pourquoi : On ne peut additionner que des termes semblables, comme on n'additionne pas trois pommes et quatre kilogrammes. Un essai en le montre aussitôt.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« doit bien se factoriser, je cherche encore. »
Ce qu'il faut écrire
« et n'ont pas de facteur commun autre que : ne se factorise pas, et c'est une réponse complète. »
Pourquoi : Chercher trop longtemps pousse à écrire quelque chose de faux. Vérifier que les deux nombres n'ont pas de diviseur commun prend cinq secondes et ferme la question.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je ne vois pas de facteur commun. »
Ce qu'il faut écrire
« Je réduis d'abord : . Maintenant le facteur commun saute aux yeux, et . »
Pourquoi : Réduire avant de factoriser fait apparaître des facteurs invisibles au départ. C'est l'ordre des gestes qui rend la factorisation facile.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« J'ai factorisé, je passe à la question suivante. »
Ce qu'il faut écrire
« Je redéveloppe : je retombe sur l'expression de départ, donc la factorisation est juste. »
Pourquoi : Redévelopper prend dix secondes et vérifie tout : le facteur, les signes et le terme oublié. Aucun autre contrôle ne fait autant pour aussi peu.
Les deux gestes sont opposés, et la consigne dit toujours lequel. On lit le mot avant de commencer.
Si « développer », « supprimer les parenthèses » → faire passer le facteur sur chaque terme
Exemple : devient
Si « factoriser », « mettre en facteur » → trouver le facteur commun et l'écrire devant une parenthèse
Exemple : devient
Si « réduire », « simplifier l'écriture » → regrouper les termes semblables, sans changer de forme
Exemple : devient
Si « calculer astucieusement », « sans poser l'opération » → factoriser pour faire apparaître un calcul facile
Exemple :
Si « calculer pour », « donner la valeur » → remplacer la lettre par le nombre, dans la forme la plus courte
Exemple : avec donne
Quand la consigne demande de factoriser une expression à trois termes, il faut presque toujours RÉDUIRE d'abord : le facteur commun n'apparaît qu'ensuite.
On regarde les nombres d'un côté et les lettres de l'autre, puis on prend tout ce qui est commun.
Si les deux nombres ont un diviseur commun → prendre le PLUS GRAND de ces diviseurs
Exemple : et donnent , pas
Si la même lettre est dans les deux termes → la sortir aussi, avec le plus petit exposant présent
Exemple : donne
Si un terme est seul, sans coefficient visible → son coefficient est , et ce reste dans la parenthèse
Exemple :
Si les nombres n'ont que comme diviseur commun et aucune lettre commune → l'expression ne se factorise pas, et on le dit
Exemple :
Si il reste un facteur commun dans la parenthèse après avoir sorti → ce n'est pas terminé : recommencer avec le facteur complet
Exemple : devient
c'est le test qui dit si la factorisation est finie
Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou les deux à la fois. On sort tout ce qui est commun d'un seul coup, en une seule étape.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Dès que la consigne dit « factoriser » ou « mettre en facteur ».
Phrase de conclusion
« . Vérification : , on retrouve bien l'expression de départ. »
Le piège : Écrire directement le résultat sans la ligne intermédiaire . Cette ligne vaut un point et elle empêche d'oublier un terme.
Barème : 1 point pour le facteur commun le plus grand, 1 point pour la parenthèse complète, 1 point pour la vérification.
Quand l'utiliser : Dès qu'un problème parle d'un nombre inconnu d'objets et demande une expression ou un prix total.
Phrase de conclusion
« Soit le nombre de joueurs. Le coût total est dollars. Pour , cela fait dollars. »
Le piège : Oublier de dire ce que représente la lettre. Sans cette phrase, l'expression n'est qu'une suite de symboles et le barème ne peut rien accorder.
Barème : 1 point pour la lettre définie, 2 points pour l'expression, 1 point pour la forme factorisée, 1 point pour la phrase de réponse.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Redévelopper ce qu'on vient de factoriser
Reprendre le résultat et refaire le chemin à l'envers. On doit retomber exactement sur l'expression de départ, terme pour terme.
redonne : c'est juste. Si on obtenait , le facteur n'aurait pas été distribué au second terme.
L'essai avec un nombre
Choisir une valeur simple, par exemple, et calculer les deux écritures. Elles doivent donner le même nombre.
et . Deux résultats différents condamnent la ligne, même si un seul essai ne prouve pas qu'elle est juste.
Compter les termes
Une parenthèse à deux termes donne deux termes après développement, une parenthèse à trois en donne trois. Compter avant et après.
doit donner deux termes. Obtenir en donne bien deux, mais le second n'a pas été multiplié : compter ne suffit pas, il faut aussi regarder.
La parenthèse est-elle terminée
Regarder les nombres restés dans la parenthèse et se demander s'ils ont encore un diviseur commun. S'ils en ont un, la factorisation n'est pas finie.
Dans , les nombres et ont le diviseur commun : il fallait sortir et non .
Le résultat a-t-il du sens
Dans un problème, relire le nombre trouvé et se demander s'il est possible. Un total plus grand après une remise signale une erreur de signe.
Enlever dollars à une commande doit faire baisser le prix. Un prix qui monte veut dire que le moins n'a pas été distribué.
Un club de handball commande, pour chacun de ses joueurs, un maillot à dollars et un short à dollars.
Le magasin accorde une remise de dollars sur la commande totale.
Écrire le coût total en fonction du nombre de joueurs, sous la forme la plus courte possible, puis calculer ce coût pour joueurs.
Étape 1
Soit le nombre de joueurs du club. Chaque joueur reçoit un maillot et un short.
Pourquoi
Dire ce que représente la lettre est la première ligne de toute mise en équation, et elle vaut un point à elle seule.
Étape 2
Les maillots coûtent dollars, les shorts dollars, et la remise enlève dollars. Le coût total est donc .
Pourquoi
On écrit d'abord l'expression morceau par morceau, sans chercher à simplifier. Simplifier trop tôt fait perdre un morceau.
Étape 3
On RÉDUIT : et sont des termes semblables, donc , et l'expression devient .
Pourquoi
C'est l'étape qui fait apparaître le facteur commun. Sur l'expression de départ à trois termes, il était invisible.
Étape 4
On FACTORISE : et ont le facteur commun , qui est le plus grand possible. Donc .
Pourquoi
Le second terme a le coefficient , qui reste dans la parenthèse. L'oublier donnerait , qui n'est pas égal à l'expression de départ.
Étape 5
Vérification par redéveloppement : . On retrouve bien l'expression réduite.
Pourquoi
Dix secondes qui garantissent que ni le facteur ni le n'ont été perdus en route.
Étape 6
Pour : dollars.
Pourquoi
La forme factorisée rend le calcul beaucoup plus court : une soustraction et une multiplication, au lieu de deux multiplications et une soustraction.
Étape 7
Contrôle avec la forme longue : dollars.
Pourquoi
Les deux chemins donnent le même nombre, ce qui confirme toute la chaîne depuis la mise en équation.
Étape 8
Lecture : dit que le club paie dollars par joueur, comme s'il y avait un joueur de moins.
Pourquoi
La forme factorisée raconte quelque chose que la forme développée cache. C'est souvent la vraie raison de factoriser.
Conclusion rédigée
« Soit le nombre de joueurs. Le coût total est dollars. Pour joueurs, le club paiera dollars. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire en oubliant le . Pour joueurs, cela donnerait dollars au lieu de , c'est-à-dire la commande SANS la remise.
On multiplie le facteur qui est devant par chacun des termes de la parenthèse, l'un après l'autre. Pour quatre fois la parenthèse deux x plus trois, on calcule quatre fois deux x, ce qui donne huit x, puis quatre fois trois, ce qui donne douze. Le résultat est huit x plus douze. L'erreur la plus fréquente est de s'arrêter au premier terme.
Il change le signe de tous les termes de la parenthèse, pas seulement du premier. Vingt moins la parenthèse trois plus quatre vaut treize, parce qu'on enlève trois puis quatre. Écrire vingt moins trois plus quatre donnerait vingt et un, c'est-à-dire plus qu'au départ, ce qui est impossible quand on enlève quelque chose.
On regarde ce qui reste dans la parenthèse. S'il y a encore un diviseur commun entre les nombres, la factorisation n'est pas finie. Par exemple cinq fois la parenthèse quatre x moins six n'est pas terminé, parce que quatre et six sont tous les deux divisibles par deux. La réponse complète est dix fois la parenthèse deux x moins trois.
Parce qu'un terme comme cinq x plus cinq cache un facteur un. Le second terme est cinq fois un, donc en sortant le cinq il reste un dans la parenthèse. La réponse est cinq fois la parenthèse x plus un. Oublier ce un supprime tout un morceau de l'expression, et le résultat devient faux.
Non. Trois x plus sept ne se factorise pas, parce que trois et sept n'ont aucun diviseur commun à part un. Dans ce cas la bonne réponse est de dire que l'expression est déjà sous sa forme la plus simple. Chercher trop longtemps pousse souvent à écrire une factorisation inventée, qui coûte des points.
En la redéveloppant. On reprend le résultat, on distribue le facteur sur chaque terme de la parenthèse, et on doit retomber exactement sur l'expression de départ. On peut aussi tester avec un nombre, par exemple x égale deux, et comparer les deux résultats. Deux nombres différents prouvent qu'il y a une erreur.
