Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre le calcul littéral en classe de cinquième du programme français : conventions d'écriture, valeur numérique, réduction, distributivité, factorisation et programmes de calcul, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France, au Collège Stanislas à Montréal et dans tout le réseau AEFE.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : une lettre se traite exactement comme un nombre, jamais comme une étiquette.
Le fil du chapitre
Une lettre est un NOMBRE qu'on ne connaît pas encore : tout ce qui est vrai pour les nombres reste vrai pour elle, et rien de plus. C'est pourquoi et ne sont pas la même chose, et pourquoi trois essais ne prouvent jamais une égalité.
Pour calculer une valeur numérique, on remet d'abord tous les signes : pour s'écrit . Sauter cette réécriture est la source de la réponse .
Un développement se contrôle toujours en donnant une valeur à la lettre : si les deux écritures ne donnent pas le même nombre, l'une des deux est fausse.
La conclusion d'une preuve littérale se termine par « quel que soit » ou « pour tout nombre ». Sans cette formule, le correcteur ne voit qu'un exemple de plus.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , c'est deux fois . »
Ce qu'il faut écrire
« et . Pour : contre , donc ce sont deux expressions différentes. »
Pourquoi : Le petit dit COMBIEN DE FOIS on multiplie, le grand dit combien de fois on ajoute. Les deux ne se rejoignent qu'en et , ce qui suffit à tromper une vérification faite avec .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« et n'ont pas la même partie littérale : ne se réduit pas, on la laisse telle quelle. »
Pourquoi : Additionner pommes et n'a aucun sens tant qu'on ne sait pas quoi. La réponse « on ne peut pas réduire » est une réponse complète et vaut tous ses points.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« . Le facteur multiplie TOUS les termes. »
Pourquoi : La parenthèse vaut EN ENTIER, et c'est ce bloc entier qui est doublé. Le test le montre en une seconde : , pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , le tout seul ne compte pas. »
Ce qu'il faut écrire
« vaut , donc . »
Pourquoi : Un terme sans coefficient écrit n'est pas un terme sans coefficient : le est sous-entendu, exactement comme le signe qu'on n'écrit plus.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le moins change le signe de TOUS les termes de la parenthèse. »
Pourquoi : Soustraire une somme, c'est soustraire chacun de ses termes. Le test tranche : et non .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« est vraie, j'ai vérifié avec et . »
Ce qu'il faut écrire
« Pour : et . L'égalité est donc FAUSSE, et un seul contre-exemple suffit à le dire. »
Pourquoi : Un exemple ne prouve rien, un contre-exemple prouve tout. C'est le premier raisonnement du collège où la logique compte plus que le calcul, et il revient jusqu'au lycée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le double de la somme de et de : . »
Ce qu'il faut écrire
« : la SOMME se fait d'abord, elle a donc besoin de parenthèses pour être doublée en entier. »
Pourquoi : Sans parenthèses, la priorité fait doubler le seul . Le mot qui suit « le double de » décide : une somme exige la parenthèse, un nombre seul non.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Pour , . »
Ce qu'il faut écrire
« Pour , : on réécrit le produit avant de remplacer. »
Pourquoi : L'écriture est une abréviation, pas une juxtaposition de chiffres. Réécrire AVANT de substituer supprime l'erreur définitivement.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le rectangle de côtés et a pour périmètre . »
Ce qu'il faut écrire
« est l'AIRE. Le périmètre vaut , et il s'exprime en centimètres, pas en centimètres carrés. »
Pourquoi : Le périmètre est une longueur, l'aire une surface : elles n'ont ni la même formule, ni la même unité, ni le même ordre de grandeur. Le contrôle est de tester .
On regarde la FORME de l'expression écrite : y a-t-il une parenthèse, et si oui de quel côté du signe se trouve-t-elle ?
Si une somme de termes, sans parenthèse, dont certains ont la même partie littérale → réduire : regrouper les termes semblables
Exemple :
si aucun terme n'est semblable à un autre, l'expression est déjà réduite et on le dit
Si un nombre ou une lettre COLLÉ à une parenthèse → développer : le facteur multiplie chaque terme
Exemple :
Si un signe juste devant une parenthèse → développer en changeant TOUS les signes de la parenthèse
Exemple :
c'est le seul cas où le facteur invisible vaut
Si une somme où le même nombre ou la même lettre revient dans chaque terme → factoriser : sortir le facteur commun MAXIMAL
Exemple :
sortir au lieu de n'est pas faux, mais la factorisation n'est pas terminée
Après un développement, on réduit toujours, sur une NOUVELLE ligne. Les deux gestes sur la même ligne, c'est un point de méthode perdu et une erreur de signe sur deux copies.
Le mot qui suit « le double de », « le triple de » ou « la moitié de » décide, et rien d'autre.
Si « le double de LA SOMME de et de » → parenthèses obligatoires : la somme se fait d'abord
Exemple :
Si « LA SOMME du double de et de » → aucune parenthèse : le double se fait d'abord
Exemple :
les deux phrases contiennent les mêmes mots dans un autre ordre, et donnent deux expressions différentes
Si « le carré de », « au carré » → , à ne jamais confondre avec le double
Exemple : le carré de vaut , son double vaut
Si « augmenté de », « diminué de », « de plus que » → addition ou soustraction, dans l'ordre où le texte les cite
Exemple : « diminué de » donne , et non
En cas de doute, testez la phrase avec un nombre : « le double de la somme de et de » vaut , alors que vaut . La bonne écriture est celle qui rend .
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « développer puis réduire », ou « écrire l'expression sous forme réduite ».
Phrase de conclusion
« Donc , pour tout nombre . »
Le piège : Développer et réduire sur la même ligne. C'est là que le devient au lieu de .
Barème : 1 point pour le développement complet, 1 point pour la réduction : une forme réduite juste sans ligne intermédiaire ne prend souvent que la moitié des points.
Quand l'utiliser : L'énoncé décrit un programme (« choisir un nombre, ajouter... ») et demande de montrer que le résultat est toujours le double, ou toujours le nombre de départ.
Phrase de conclusion
« Soit le nombre choisi. Le programme donne . Le résultat est donc le double du nombre choisi, quel que soit . »
Le piège : Tester trois nombres et écrire « donc c'est toujours vrai ». Trois exemples n'ont jamais prouvé une identité, et cette réponse ne prend aucun point de démonstration.
Barème : 0,5 point pour « soit le nombre choisi », 1 point pour le calcul littéral mené jusqu'au bout, 0,5 point pour la conclusion avec « quel que soit ».
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le test par une valeur, sur les DEUX écritures
Remplacer la lettre par un nombre dans l'expression de départ, puis dans la forme réduite. Les deux doivent donner exactement le même résultat.
pour donne , et donne : le développement tient.
La valeur , la plus rapide de toutes
Remplacer par zéro fait disparaître tous les termes en et ne laisse que le terme constant. C'est le contrôle qui attrape les erreurs de distributivité en deux secondes.
vaut pour ; la réponse vaudrait , donc elle est fausse.
Compter les termes après un développement
Développer donne exactement DEUX termes, en donne trois. Un terme manquant se voit sans refaire le calcul.
ne contient que le produit : le second produit n'a jamais été écrit.
Remettre les signes avant de substituer
Réécrire l'expression avec tous ses signes de multiplication, puis seulement remplacer la lettre par sa valeur entre parenthèses.
pour s'écrit . Sans cette réécriture, la copie affiche .
Un rectangle a pour largeur centimètres et pour longueur centimètres.
Exprimer son périmètre puis son aire en fonction de , sous forme développée et réduite, puis calculer les deux pour .
Étape 1
Périmètre : , puis .
Pourquoi
La parenthèse est indispensable : c'est la SOMME des deux dimensions qui est doublée. Écrire donnerait , une expression qui n'a rien à voir.
Étape 2
Aire : , donc .
Pourquoi
Le facteur est ici une lettre, mais la distributivité ne change pas : elle multiplie les deux termes. Le premier produit donne , et c'est bien un carré, pas un double.
Étape 3
Pour : centimètres.
Pourquoi
On remet le signe avant de remplacer, et on écrit l'unité. Une longueur se mesure en centimètres, l'unité fait partie de la réponse.
Étape 4
Pour : centimètres carrés.
Pourquoi
L'aire s'exprime en centimètres CARRÉS. Une même valeur de donne deux nombres différents, et , ce qui rappelle que périmètre et aire ne sont pas comparables.
Étape 5
Vérification directe : pour le rectangle mesure sur , donc et .
Pourquoi
On refait le calcul sans passer par les formules littérales : les deux chemins doivent se rejoindre. C'est le seul contrôle qui valide À LA FOIS le développement et la substitution.
Conclusion rédigée
« Le périmètre vaut centimètres et l'aire centimètres carrés. Pour , on obtient centimètres et centimètres carrés. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire en oubliant que le porte sur la somme entière : on obtient , soit pour , alors que le vrai périmètre vaut . La vérification directe sur le rectangle la détecte immédiatement.
Deux x, c'est x ajouté à lui-même. X au carré, c'est x multiplié par lui-même. Pour x égal à cinq, le premier vaut dix et le second vingt-cinq. Les deux ne donnent le même résultat que pour zéro et pour deux, ce qui explique pourquoi une vérification faite avec deux ne détecte rien.
Non, et c'est une réponse complète qui vaut tous ses points. On ne regroupe que des termes qui ont la même partie littérale. Trois x et deux sont de natures différentes, exactement comme trois pommes et deux poires : l'expression est déjà sous forme réduite.
Le facteur placé devant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient, sans en oublier un seul. Deux fois la parenthèse x plus trois donne deux x plus six. Le contrôle le plus rapide est de remplacer x par zéro : il ne doit rester que le terme constant, ici six.
Il change le signe de tous les termes de la parenthèse, pas seulement du premier. Cinq moins la parenthèse x plus deux donne cinq moins x moins deux, c'est-à-dire trois moins x. Le moins joue ici le rôle d'un facteur égal à moins un.
En remplaçant le nombre choisi par une lettre et en suivant les instructions avec cette lettre, ligne par ligne. On développe et on réduit l'expression obtenue, puis on conclut par la formule quel que soit le nombre choisi. Trois essais numériques ne prouvent rien, même s'ils marchent tous.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/5eme-calcul-litteral. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
