Cinquième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre les nombres relatifs en classe de cinquième du programme français : comparaison, opposé, distance à zéro, additions, soustractions, sommes algébriques et repérage dans le plan, tels qu'ils sont évalués au Lycée Marie de France, au Collège Stanislas à Montréal et dans tout le réseau AEFE.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : en cas de doute, on place les nombres sur la droite graduée et le doute disparaît.
Le fil du chapitre
Un nombre relatif porte deux informations qui ne varient pas dans le même sens : son SIGNE, qui dit de quel côté de zéro il se trouve, et sa DISTANCE À ZÉRO, qui dit de combien. Presque toutes les erreurs du chapitre viennent de l'une prise pour l'autre.
Un négatif est toujours plus petit qu'un positif, quelles que soient les distances à zéro : . C'est la seule comparaison qui ne demande aucun calcul.
Transformer TOUTES les soustractions en additions avant de calculer, en une ligne : c'est le geste qui supprime la moitié des erreurs de signe, et il est noté.
Le signe d'une variation est une réponse à lui seul : un correcteur attend « la température a augmenté de degrés », pas « ».
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« car . »
Ce qu'il faut écrire
« : sur la droite graduée, est plus à GAUCHE. Chez les négatifs, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. »
Pourquoi : C'est l'erreur numéro un du chapitre, et elle vient d'un réflexe juste chez les positifs. La droite graduée la supprime : elle est le seul juge de l'ordre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'opposé de est , donc la distance à zéro de est . »
Ce qu'il faut écrire
« L'opposé de est , et la distance à zéro de comme de vaut . Une distance n'est JAMAIS négative. »
Pourquoi : L'opposé change de côté, la distance à zéro mesure. Deux questions différentes qui donnent le même nombre pour , ce qui entretient la confusion.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : soustraire, c'est ajouter l'opposé, donc retirer un négatif AUGMENTE le résultat. »
Pourquoi : Retirer une dette, c'est s'enrichir. La transformation en addition doit être écrite sur une ligne à part : c'est là que le signe se sécurise, pas dans la tête.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« Signes contraires : on SOUSTRAIT les distances à zéro, , et on garde le signe du plus éloigné de zéro, donc . »
Pourquoi : Deux nombres de signes contraires se compensent : le résultat ne peut pas être plus éloigné de zéro que le plus éloigné des deux. Cela se contrôle sans refaire le calcul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le point est à vers le haut et vers la droite, donc c'est . »
Ce qu'il faut écrire
« L'abscisse d'abord : vers la droite, vers le haut, donc le point est . »
Pourquoi : L'ordre est une convention, pas une déduction : rien sur la figure ne le rappelle. Le repère mnémotechnique : on marche AVANT de monter.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« De degrés à degrés : , il a fait degrés de moins. »
Ce qu'il faut écrire
« Variation arrivée départ : il a fait degrés de PLUS. »
Pourquoi : Le signe de la variation est la réponse elle-même. L'inverser fait écrire qu'il a fait plus froid alors qu'il a fait plus chaud, ce qu'aucun demi-point ne rattrape.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« car est bien plus grand. »
Ce qu'il faut écrire
« Tout nombre négatif est plus petit que tout nombre positif : , sans aucun calcul. »
Pourquoi : Zéro sépare la droite en deux : à gauche tous les négatifs, à droite tous les positifs. Aucune distance à zéro ne fait franchir cette frontière.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , en calculant de gauche à droite dans la tête. »
Ce qu'il faut écrire
« Je regroupe : , et j'écris le regroupement AVANT de calculer. »
Pourquoi : Le signe appartient au nombre qui le suit. Regrouper positifs et négatifs séparément rend visible chaque signe et transforme quatre calculs en deux.
On regarde les DEUX signes : celui de l'opération et celui du second nombre. Rien d'autre ne décide.
Si le signe de l'opération est → le transformer d'abord en addition de l'opposé, sur une ligne à part
Exemple :
cette ligne seule vaut souvent un demi-point : elle prouve que la règle est connue
Si addition de deux nombres de MÊME signe → additionner les distances à zéro, garder le signe commun
Exemple :
Si addition de deux nombres de signes CONTRAIRES → soustraire les distances à zéro, garder le signe du plus éloigné de zéro
Exemple :
le résultat est forcément plus près de zéro que le plus éloigné des deux : c'est le contrôle immédiat
Si il y a plus de deux termes → regrouper les positifs entre eux et les négatifs entre eux, puis faire une seule soustraction
Exemple :
Si aucune branche ne s'applique, c'est qu'il reste des parenthèses : les ouvrir d'abord, en changeant tous les signes de celles qui sont précédées d'un moins.
Le vocabulaire du problème dit quelle opération poser. On souligne le mot avant de calculer.
Si « de combien a augmenté », « de combien a baissé », « quelle est l'évolution » → calculer ARRIVÉE moins DÉPART, et lire le signe du résultat
Exemple : de à : , donc une hausse de
Si « quel écart », « quelle différence de température », « combien de degrés séparent » → prendre la distance entre les deux, donc un résultat POSITIF
Exemple : entre et , l'écart vaut degrés
un écart n'a pas de signe : répondre à cette question est faux même si le calcul est juste
Si « il doit », « découvert », « dette », « au-dessous du niveau de la mer » → traduire par un nombre NÉGATIF avant tout calcul
Exemple : un découvert de dollars s'écrit
Si « quelle est la position finale », « quel est le solde » → faire la somme algébrique de tous les mouvements, dans l'ordre qui arrange
Exemple :
Deux questions se ressemblent et n'attendent pas la même réponse : la VARIATION porte un signe, l'ÉCART n'en porte jamais.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'expression enchaîne plus de deux termes relatifs, avec des parenthèses ou des signes qui se suivent.
Phrase de conclusion
« Donc . »
Le piège : Calculer de gauche à droite dans la tête en gardant les signes en mémoire. C'est exactement là que le troisième signe se perd.
Barème : 0,5 point pour la ligne des additions, 0,5 pour le regroupement, 1 pour le résultat : deux tiers des points sont dans les étapes.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux valeurs datées (deux températures, deux soldes, deux altitudes) et demande l'évolution.
Phrase de conclusion
« La variation vaut degrés : la température a augmenté de degrés. »
Le piège : Écrire parce que est cité en premier dans l'énoncé. L'ordre du texte n'est pas l'ordre du calcul.
Barème : 1 point pour le calcul dans le bon sens, 1 point pour la phrase qui interprète le signe.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le résultat est-il du bon côté de zéro ?
Avant tout calcul, dire quel nombre est le plus éloigné de zéro : c'est son signe que le résultat d'une addition doit porter.
Dans , le plus éloigné de zéro est : le résultat est donc négatif, et est immédiatement faux.
L'encadrement d'une addition de signes contraires
Le résultat doit être plus PRÈS de zéro que le plus éloigné des deux nombres. Un résultat plus loin signale des distances additionnées à tort.
doit tomber entre et : la réponse est hors de cet intervalle, donc fausse.
La droite graduée dessinée à main levée
Tracer un trait, poser zéro, poser les deux nombres. Toute question d'ordre, de distance ou d'écart se lit alors directement.
Pour ranger , , et , le dessin suffit et évite d'appliquer une règle à l'envers.
La substitution inverse sur une variation
Repartir du départ et ajouter la variation trouvée : on doit retomber exactement sur l'arrivée.
Départ , variation : , qui est bien l'arrivée. Avec on trouverait , donc la variation était fausse.
Voici les températures relevées à midi : lundi degrés, mardi degré, mercredi degrés, jeudi degrés, vendredi degrés.
Ranger ces températures dans l'ordre croissant, donner l'écart entre la plus basse et la plus haute, puis la variation de mardi à mercredi et celle de mercredi à jeudi.
Étape 1
Ordre croissant : .
Pourquoi
On range d'abord tous les négatifs, du plus éloigné de zéro au plus proche, puis tous les positifs dans l'ordre habituel. La droite graduée rend l'ordre visible sans règle à réciter.
Étape 2
La plus basse est , la plus haute . Écart : degrés.
Pourquoi
Un écart est une distance, donc un nombre positif. On calcule quand même la plus haute moins la plus basse, ce qui garantit le signe sans avoir à y penser.
Étape 3
De mardi à mercredi : arrivée moins départ, degrés.
Pourquoi
Le départ est mardi parce qu'il vient en premier dans le temps, pas parce qu'il est écrit en premier. Le résultat est positif, donc c'est une hausse.
Étape 4
De mercredi à jeudi : degrés.
Pourquoi
Ici la soustraction porte sur un nombre positif : elle devient l'addition de . Le résultat est négatif, donc c'est une baisse, et il faut le dire en toutes lettres.
Étape 5
Vérification : , qui est bien mercredi ; , qui est bien jeudi.
Pourquoi
Chaque variation se recontrôle en la rajoutant à son point de départ. Deux additions d'une ligne suffisent à valider les deux signes.
Conclusion rédigée
« L'ordre croissant est . L'écart entre les extrêmes vaut degrés. De mardi à mercredi, la température a augmenté de degrés ; de mercredi à jeudi, elle a baissé de degrés. »
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre à la question de l'écart, en calculant . Un écart entre deux températures ne peut pas être négatif : c'est une distance, et la question ne demandait aucun sens d'évolution.
Parce que l'ordre se lit sur la droite graduée, et que moins sept est plus à gauche que moins trois. Chez les nombres négatifs, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. Une dette de sept dollars est bien pire qu'une dette de trois dollars.
Parce que soustraire, c'est ajouter l'opposé. Retirer moins neuf revient à ajouter neuf. L'image qui marche est celle de la dette : si on vous retire une dette de neuf dollars, vous êtes plus riche de neuf dollars. Moins quatre moins moins neuf fait donc cinq.
L'opposé change le signe et garde la valeur : celui de moins huit est plus huit. La distance à zéro mesure l'éloignement et ne peut jamais être négative : celle de moins huit comme celle de plus huit vaut huit. Les deux notions donnent le même nombre pour un négatif, ce qui les fait confondre.
Toujours arrivée moins départ, jamais l'inverse, et le départ est le plus ancien dans le temps, pas le premier écrit. De moins cinq degrés à plus deux degrés, la variation vaut deux moins moins cinq, soit plus sept : la température a augmenté de sept degrés.
L'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite. L'abscisse se lit horizontalement, l'ordonnée verticalement. Le point trois deux et le point deux trois sont deux points différents, donc inverser les deux nombres coûte la question. Le repère : on marche avant de monter.
