Exercices corrigés : la notion de fonction (Troisième)

a) On remplace $x$ par $4$ : $f(4)=3\times 4-5=12-5=7$. Phrase attendue : l'image de $4$ par la fonction $f$ est $7$. On peut aussi dire que $4$ a pour image $7$. Dans les deux formulations, le nombre de départ est $4$ et le résultat du calcul est $7$.

b) $f(-2)=3\times(-2)-5=-6-5=-11$. L'image de $-2$ par $f$ est donc $-11$. Attention au signe : $3\times(-2)$ vaut $-6$, et on retire ensuite $5$, ce qui éloigne encore de zéro. Écrire $-6-5=-1$ est l'erreur de calcul la plus fréquente sur cette question.

c) Ici on connaît le résultat et on cherche le nombre de départ : c'est donc une équation. On résout $f(x)=7$, soit $3x-5=7$, puis $3x=12$, donc $x=4$. L'antécédent de $7$ par $f$ est $4$. Vérification indispensable : $f(4)=7$ ✓, ce qui est exactement ce qu'on avait trouvé à la question a). Les questions a) et c) sont donc les deux sens d'un même aller-retour.

d) Avec le mot image : l'image de $0$ par $f$ est $-5$. Avec le mot antécédent : $0$ est un antécédent de $-5$ par $f$. La même égalité se lit dans les deux sens, et c'est tout ce qu'il faut comprendre du vocabulaire. Repère de rédaction : le nombre écrit ENTRE PARENTHÈSES est celui dont on prend l'image, le nombre écrit APRÈS le signe égal est l'image.

e) La phrase inverse les deux rôles. Le calcul de la question a) donne $f(4)=7$, ce qui signifie que $7$ est l'image de $4$, et donc que $4$ est un antécédent de $7$. La phrase correcte est : « l'antécédent de $7$ est $4$ ». Pour ne plus se tromper, un réflexe suffit : on écrit toujours $f(\text{départ})=\text{arrivée}$, donc le nombre dont on cherche l'antécédent est celui qui se trouve à droite du signe égal.

a) On cherche $-1$ dans la ligne du haut et on lit en dessous : l'image de $-1$ par $g$ est $2$. Autrement dit, $g(-1)=2$.

b) Même lecture, aux colonnes $4$ et $5$ : $g(4)=1$ et $g(5)=9$. On lit toujours de haut en bas dans le tableau, jamais l'inverse.

c) Cette fois la lecture se fait dans l'autre sens : on cherche $6$ dans la ligne du BAS, et on remonte. Le nombre $6$ apparaît deux fois, sous $x=-3$ et sous $x=2$. Les antécédents de $6$ lisibles ici sont donc $-3$ et $2$. Il y en a deux, ce qui est parfaitement normal : un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

d) Le nombre $1$ apparaît lui aussi deux fois dans la ligne du bas, sous $x=0$ et sous $x=4$ : les antécédents de $1$ lisibles ici sont $0$ et $4$. Comparez avec la question a) : chaque colonne fournit UNE image, mais une même valeur peut se retrouver dans plusieurs colonnes. C'est exactement la dissymétrie entre image et antécédent, et c'est le point que le chapitre cherche à faire comprendre.

e) Non dans les deux cas, et pour deux raisons différentes qu'il faut distinguer. Le nombre $1$ ne figure pas dans la ligne du haut, donc $g(1)$ n'est pas lisible dans ce tableau : cela ne veut pas dire que $g(1)$ n'existe pas, seulement que le tableau ne le donne pas. Pour l'image de $3$, c'est la même chose : $3$ n'apparaît pas non plus en première ligne. Attention au piège : le nombre $3$ n'apparaît nulle part dans le tableau, ni comme départ ni comme arrivée. En revanche, si l'on connaissait l'expression de $g$, on pourrait calculer ces deux valeurs. Un tableau est un extrait de la fonction, jamais la fonction entière.

a) Pour $h(3)$, on part de $3$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit à gauche : $h(3)=0$. La courbe touche ici l'axe des abscisses, ce qui se lit sans ambiguïté. De même pour $x=7$ : on trouve $h(7)=2$.

b) On lit de la même façon en $x=6$ : l'image de $6$ par $h$ est $4$. C'est le point le plus haut de toute la courbe, remarque qui resservira à la question e).

c) On change de sens de lecture : on part cette fois de $3$ sur l'axe VERTICAL et on trace une horizontale. Cette horizontale coupe la courbe en deux points, d'abscisses $1$ et $5$. Les antécédents de $3$ sont donc $1$ et $5$. Vérification en revenant au sens image : $h(1)=3$ ✓ et $h(5)=3$ ✓.

d) Même méthode avec l'horizontale d'ordonnée $1$, que l'on suit jusqu'au BOUT de la courbe : elle la coupe en $x=2$, en $x=4$, puis une troisième fois sur le dernier morceau, qui descend de $2$ à $-1$ entre $x=7$ et $x=8$. Ce troisième point ne tombe pas sur un nœud du quadrillage : on lit environ $7{,}3$, et le calcul sur ce morceau, qui perd $3$ unités en $1$, donne exactement $7+\frac{1}{3}$. Le nombre $1$ a donc TROIS antécédents : $2$, $4$ et environ $7{,}3$. Le piège est de s'arrêter aux deux premiers, bien placés sur le quadrillage. Autre remarque : la valeur $1$ est ici une ORDONNÉE, alors que les trois nombres trouvés sont des ABSCISSES.

e) Résoudre $h(x)=4$ revient exactement à chercher les antécédents de $4$, donc à tracer l'horizontale d'ordonnée $4$. Elle ne touche la courbe qu'en un seul point, d'abscisse $6$ : l'équation admet une seule solution, $x=6$. Comme aucun point de la courbe ne monte plus haut, le maximum de $h$ vaut $4$, et il est atteint en $x=6$. Deux formulations à ne pas mélanger dans la rédaction : le maximum est la valeur $4$, lue sur l'axe VERTICAL, tandis que $6$ est l'endroit où ce maximum est atteint, lu sur l'axe horizontal. De la même façon, le minimum vaut $-1$ et il est atteint en $x=8$.

a) $f(3)=2\times 3+7=6+7=13$. $f(-1)=2\times(-1)+7=-2+7=5$. $f(0)=2\times 0+7=7$. Remarquez que $f(0)$ se lit directement dans l'expression : c'est le terme qui ne contient pas $x$.

b) $g(4)=4^2-3=16-3=13$. $g(-4)=(-4)^2-3=16-3=13$. $g(0)=0^2-3=-3$. Les parenthèses autour de $-4$ ne sont pas facultatives : elles indiquent que c'est le nombre entier $-4$ qui est élevé au carré.

c) $k(2)=5-4\times 2=5-8=-3$. $k(-3)=5-4\times(-3)=5+12=17$. Le produit $-4\times(-3)$ est positif, donc le résultat AUGMENTE : c'est le calcul qui piège le plus dans cet exercice, et le contrôle de bon sens consiste à remarquer que la fonction $k$ diminue quand $x$ augmente, donc doit être plus grande pour un $x$ négatif.

d) On trouve $g(4)=g(-4)=13$ : deux nombres opposés ont la même image par $g$. La raison est que $g$ ne fait intervenir $x$ que par son carré, et que deux nombres opposés ont le même carré. Conséquence sur le vocabulaire : le nombre $13$ a au moins DEUX antécédents par $g$, à savoir $4$ et $-4$. Cela ne contredit rien, puisque seule l'image doit être unique.

e) L'élève a oublié les parenthèses. L'écriture $-4^2$ signifie l'opposé de $4^2$, c'est-à-dire $-16$, alors que $(-4)^2$ vaut $+16$ : la mise au carré porte sur le nombre entier, signe compris. Son résultat, $-19$, est donc faux de $32$. La règle est constante en mathématiques : sans parenthèses, l'exposant ne porte QUE sur le nombre qui le précède immédiatement, jamais sur le signe. On écrit donc systématiquement $(-4)^2$ quand on remplace $x$ par un nombre négatif.

a) On résout $f(x)=10$, c'est-à-dire $4x-6=10$. On ajoute $6$ aux deux membres : $4x=16$, puis on divise par $4$ : $x=4$. L'antécédent de $10$ par $f$ est donc $4$. Vérification : $f(4)=16-6=10$ ✓. Cette vérification doit devenir un réflexe, elle ne coûte qu'une ligne et sécurise toute la question.

b) On résout $4x-6=0$, soit $4x=6$, donc $x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5$. L'antécédent de $0$ par $f$ est $1{,}5$. Vérification : $4\times 1{,}5-6=6-6=0$ ✓. Un antécédent n'a aucune raison d'être un nombre entier, et il ne faut surtout pas arrondir.

c) On résout $-2x+9=15$, soit $-2x=6$, donc $x=\frac{6}{-2}=-3$. L'antécédent de $15$ par $g$ est $-3$. Attention à la division par un nombre négatif, qui change le signe : trouver $x=3$ est l'erreur classique, et la vérification l'attrape aussitôt, puisque $g(3)=-6+9=3\neq 15$.

d) Pour $49$, on résout $x^2=49$. Cette équation a DEUX solutions, $x=7$ et $x=-7$, car les deux nombres ont pour carré $49$ : le nombre $49$ a donc deux antécédents par $m$. Pour $-1$, on résout $x^2=-1$ : aucun carré n'est négatif, donc cette équation n'a aucune solution et le nombre $-1$ n'a AUCUN antécédent par $m$. C'est la démonstration, sur un exemple, qu'un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, alors qu'il n'a jamais qu'une seule image.

e) Un seul. L'équation $x^2=0$ n'a que la solution $x=0$, puisqu'un produit de deux facteurs n'est nul que si l'un d'eux l'est, et qu'ici les deux facteurs sont le même. Le nombre $0$ est donc le seul nombre à n'avoir qu'un unique antécédent par $m$ : tous les nombres strictement positifs en ont deux, et tous les nombres strictement négatifs n'en ont aucun. Ce petit bilan est exactement ce qu'un graphique de la fonction carré montrerait d'un seul coup d'œil, avec sa forme en U.

a) Pour $5$ : on ajoute $4$, ce qui donne $9$ ; on multiplie par $3$, ce qui donne $27$ ; on retranche le triple de $5$, c'est-à-dire $15$, et il reste $12$. Pour $-2$ : on ajoute $4$, ce qui donne $2$ ; on multiplie par $3$, ce qui donne $6$ ; on retranche le triple de $-2$, c'est-à-dire $-6$, donc on calcule $6-(-6)=6+6=12$. Les deux résultats valent $12$, ce qui est déjà troublant et oriente la suite. Attention à la dernière étape avec $-2$ : retrancher un nombre négatif revient à ajouter.

b) On traduit chaque étape dans l'ordre. Choisir un nombre : $x$. Lui ajouter $4$ : $x+4$. Multiplier le résultat par $3$ : $3(x+4)$, et les parenthèses sont indispensables, car c'est bien la SOMME entière qui est multipliée. Retrancher le triple du nombre choisi : $3(x+4)-3x$. On développe : $3x+12-3x=12$. Le résultat du programme est donc $12$, quel que soit $x$.

c) On remarque que le résultat ne dépend pas de $x$ : c'est toujours $12$, ce que les deux essais de la question a) laissaient soupçonner. Le nombre choisi au départ disparaît, parce qu'on le multiplie par $3$ à la deuxième étape puis qu'on lui retire exactement son triple à la dernière : les deux termes $3x$ et $-3x$ s'annulent. Point de méthode important : deux essais ne prouvent rien, seul le calcul littéral de la question b) DÉMONTRE que le résultat est constant.

d) Non, et le contre-exemple est immédiat. Avec $x=5$ le résultat est $12$, qui est bien plus grand que $5$ ; mais avec $x=20$, le résultat est encore $12$, qui est plus petit que $20$. Comme le résultat vaut toujours $12$, il est plus grand que le nombre de départ uniquement lorsque celui-ci est inférieur à $12$. L'élève a généralisé à partir d'exemples trop petits, ce qui est exactement l'erreur que le calcul littéral permet d'éviter.

e) Les trois premières étapes sont inchangées, seule la dernière diffère : le résultat s'écrit $3(x+4)-2x=3x+12-2x=x+12$. Cette fois le nombre de départ ne disparaît plus, puisque $3x$ et $-2x$ ne se compensent pas entièrement et laissent $x$. Pour $x=5$, on obtient $5+12=17$. Vérification en déroulant le programme : $5+4=9$, puis $9\times 3=27$, puis $27-10=17$ ✓. Le nouveau programme ajoute donc simplement $12$ au nombre choisi, et cette fois le résultat est toujours plus grand que le nombre de départ, ce qui répond aussi à la question d) dans ce cas modifié.

a) Le point $M$ se déplace sur le segment $[AB]$, donc la longueur $AM$ vaut au minimum $0$, lorsque $M$ est confondu avec $A$, et au maximum $10$ cm, lorsque $M$ est confondu avec $B$. Ainsi $x$ varie entre $0$ et $10$. Préciser cet intervalle n'est pas une formalité : il servira à répondre à la dernière question.

b) Le triangle $AMD$ est rectangle en $A$, puisque $ABCD$ est un rectangle. Ses deux côtés perpendiculaires sont $AM=x$ et $AD=6$. Son aire vaut donc $\frac{AM\times AD}{2}$. Pour $x=4$ : $\frac{4\times 6}{2}=\frac{24}{2}=12$ centimètres carrés. Pour $x=9$ : $\frac{9\times 6}{2}=27$ centimètres carrés.

c) En remplaçant le nombre par la lettre : $A(x)=\frac{x\times 6}{2}=3x$. L'aire du triangle est donc le triple de la distance $AM$. Vérification sur les deux valeurs de la question b) : $3\times 4=12$ ✓ et $3\times 9=27$ ✓. On reconnaît au passage une fonction linéaire, celle du chapitre suivant : doubler $AM$ double l'aire.

d) On cherche $x$ tel que $A(x)=21$, donc on résout $3x=21$, ce qui donne $x=7$. Le point $M$ doit être placé à $7$ cm du point $A$. Cette valeur appartient bien à l'intervalle $[0\ ;\ 10]$, donc la position existe réellement sur la figure. Vérification : $\frac{7\times 6}{2}=21$ ✓. Remarquez la nature de la question : on connaît l'aire et on cherche la longueur, c'est donc une recherche d'ANTÉCÉDENT.

e) Non. En résolvant $3x=35$, on obtiendrait $x=\frac{35}{3}\approx 11{,}67$ cm, or $x$ ne peut pas dépasser $10$ puisque $M$ reste sur le segment $[AB]$. Cette valeur est donc à rejeter et l'aire $35$ n'est jamais atteinte. Autre façon de le voir, plus rapide : l'aire est maximale quand $M$ est en $B$, et elle vaut alors $3\times 10=30$ centimètres carrés, ce qui est inférieur à $35$. On retiendra que dans un problème concret, une équation peut avoir une solution mathématique qui ne convient pas à la situation : il faut toujours revenir à l'intervalle de départ avant de conclure.

a) Pour B2, on calcule $f(-1)=(-1)^2-2\times(-1)=1+2=3$ ✓, ce qui correspond bien à la valeur affichée. Attention au double signe : $-2\times(-1)$ vaut $+2$. Pour D2, on calcule $f(1)=1^2-2\times 1=1-2=-1$ ✓.

b) La cellule F2 correspond à $x=3$ : $f(3)=3^2-2\times 3=9-6=3$. La cellule doit donc afficher $3$.

c) La bonne formule est $\texttt{=B1*B1-2*B1}$, qui traduit $x^2-2x$ en allant chercher la valeur de $x$ dans la cellule située juste au-dessus. La deuxième, $\texttt{=x*x-2*x}$, est fausse parce qu'un tableur ne connaît pas la lettre $x$ : il ne manipule que des références de cellules. La troisième, $\texttt{=B1*B1-2*A1}$, est fausse aussi, et l'erreur est plus subtile : le second terme va chercher la cellule A1, qui contient le texte « $x$ » et non un nombre. Il fallait référencer B1 dans les deux termes. Contrôle utile : une formule correcte doit rester juste une fois recopiée vers la droite, ce qui n'est le cas que de la première.

d) On cherche $0$ dans la ligne des $f(x)$ : il apparaît deux fois, sous $x=0$ et sous $x=2$. Les antécédents de $0$ lisibles dans ce tableau sont donc $0$ et $2$. On peut le confirmer par le calcul en factorisant : $x^2-2x=x(x-2)$, produit qui est nul si $x=0$ ou si $x=2$. Le tableau et le calcul se confirment mutuellement, et il n'existe pas d'autre antécédent que ces deux-là.

e) Pour $x=4$ : $f(4)=16-8=8$. En regardant la suite des valeurs à partir de $x=1$, on lit $-1$, puis $0$, puis $3$, puis $8$ : la fonction augmente, et de plus en plus vite, les écarts successifs valant $1$, $3$ puis $5$. C'est le comportement typique d'une fonction où $x$ apparaît au carré, à la différence d'une fonction affine dont les écarts seraient constants. Attention toutefois à la formulation : ce tableau ne montre le comportement qu'aux valeurs calculées, et il ne permet pas d'affirmer quoi que ce soit entre deux colonnes, ni avant $x=-1$.

a) Faux. Avec la fonction carré $m(x)=x^2$, le nombre $9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$, puisque $3^2=9$ et $(-3)^2=9$. Le nombre $-1$, lui, n'en a aucun, car aucun carré n'est négatif. L'énoncé correct inverse les rôles : c'est l'IMAGE qui est unique. Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

b) Faux, les deux rôles sont inversés. L'égalité $f(2)=5$ signifie que l'image de $2$ est $5$, donc que $2$ est un antécédent de $5$. La phrase correcte est : « l'antécédent de $5$ est $2$ ». Moyen sûr de ne jamais se tromper : dans l'écriture $f(2)=5$, le nombre entre parenthèses est le nombre de DÉPART, celui après le signe égal est l'ARRIVÉE, et un antécédent est toujours un nombre de départ.

c) Faux, c'est de nouveau la même confusion, sous une forme plus pernicieuse parce qu'elle mélange les deux méthodes. Pour calculer l'image de $3$, on REMPLACE $x$ par $3$ et on calcule $f(3)$ : aucune équation à résoudre. Résoudre $f(x)=3$ donnerait au contraire les antécédents de $3$. Sur $f(x)=2x+7$, par exemple, l'image de $3$ vaut $13$, tandis que l'antécédent de $3$ vaut $-2$ : deux résultats bien différents pour deux questions qui se ressemblent à l'écrit.

d) Faux. Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre un résultat et un seul, et ce procédé peut être décrit de plusieurs manières : par une formule, mais aussi par un tableau de valeurs, par une courbe, par un programme de calcul ou même par une phrase. L'exercice 3 de cette série en donne un exemple, où la fonction $h$ n'est connue que par sa courbe, sans qu'aucune formule ne soit fournie, et où l'on a pourtant pu lire des images et des antécédents.

e) Faux. Sur un graphique, les nombres de départ se lisent sur l'axe HORIZONTAL et leurs images sur l'axe VERTICAL. Pour trouver une image, on part donc de l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe et on lit à gauche. Pour trouver un antécédent, on fait exactement le trajet inverse, en partant de l'axe vertical. Sur la courbe de l'exercice 3, lire $h(6)$ donne $4$ : le $6$ se lit en bas et le $4$ à gauche, jamais l'inverse.

a) Pour l'atelier 1, on part de $4$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe en trait plein et on lit à gauche : $12$ objets. Pour l'atelier 2, on monte cette fois jusqu'à la courbe en pointillé, et on lit $18$ objets. On lit donc deux images différentes pour un même nombre de départ, tout simplement parce qu'il s'agit de deux fonctions différentes.

b) On part cette fois de $28$ sur l'axe VERTICAL, on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe en trait plein, puis on descend : on lit $6$ heures. C'est une recherche d'antécédent, et il faut donc bien lire dans ce sens, en partant de la gauche.

c) Les deux ateliers ont produit autant l'un que l'autre exactement là où les deux courbes se croisent. Le point d'intersection se lit à $5$ heures, pour $20$ objets. Retenir la traduction : un point d'intersection de deux courbes, c'est une valeur de départ commune donnant la même image aux deux fonctions.

d) Pendant les trois premières heures, la courbe en pointillé est au-dessus de la courbe en trait plein : c'est donc l'atelier 2 qui est en avance, avec par exemple $16$ objets contre $8$ au bout de $3$ heures. Après le croisement à $5$ heures, c'est l'inverse. Au bout de $7$ heures, la courbe en trait plein est bien plus haute, avec $36$ objets contre $24$ : l'atelier 1 termine largement en tête. Le vocabulaire à employer est celui de la position relative des courbes, au-dessus ou en dessous, pas celui de la montée.

e) Oui, c'est lisible, mais pas de la façon dont on le dit souvent. La courbe en pointillé continue de monter après la troisième heure, donc l'atelier 2 ne s'arrête pas et ne perd aucun objet : sa production augmente toujours. Ce qui change, c'est la PENTE, qui devient plus faible : entre $1$ et $3$ heures, il produisait $8$ objets en $2$ heures, soit $4$ par heure, alors qu'entre $3$ et $7$ heures il n'en produit plus que $8$ en $4$ heures, soit $2$ par heure. Il ralentit donc bien, au sens où son rythme diminue, tout en continuant d'avancer. C'est exactement la distinction entre la valeur de la fonction, qui augmente, et sa pente, qui diminue, et c'est ce que le chapitre des fonctions affines permettra bientôt de chiffrer par un coefficient directeur.

a) Oui. Chaque nombre de départ, $-2$, $-1$, $0$, $1$ et $2$, apparaît UNE seule fois dans la ligne du haut, donc il reçoit une seule image. Que la même image, $4$ ou $1$, revienne deux fois dans la ligne du bas n'a aucune importance : c'est permis.

b) Non. Le nombre $3$ reçoit deux images différentes, $4$ et $6$ : on ne saurait pas dire ce que vaut « l'image de $3$ ». Une seule colonne en conflit suffit à rejeter le tableau entier.

c) Le nombre $1$ apparaît deux fois en bas, sous $-1$ et sous $1$ : il a deux antécédents lisibles. Le nombre $0$ apparaît une fois, sous $0$ : un antécédent. Le nombre $3$ n'apparaît pas : aucun antécédent lisible. Zéro, un ou deux antécédents, alors que chaque nombre de départ a exactement une image : c'est toute la dissymétrie du vocabulaire.

d) Chaque image est le carré du nombre de départ : $f(x)=x^2$. Vérification : $f(-2)=(-2)^2=4$ ✓ et $f(1)=1^2=1$ ✓. L'expression $2x$ conviendrait pour $x=0$ mais donne $f(-2)=-4$, et $x+2$ donne $f(-2)=0$ : une formule se contrôle sur plusieurs colonnes, jamais sur une seule.

e) Non. Dans le tableau échangé, le nombre de départ $4$ est associé à $-2$ ET à $2$, et le nombre $1$ à $-1$ et à $1$ : ils ont deux images. Échanger les rôles transforme les antécédents multiples en images multiples, ce qu'une fonction interdit.

Le fil : le test porte sur la ligne des nombres de DÉPART. Une répétition en bas est normale, une répétition en haut avec deux résultats différents disqualifie le tableau.

a) $f(0)=(0-1)(0+3)=(-1)\times 3=-3$. $f(1)=(1-1)(1+3)=0\times 4=0$. $f(-2)=(-2-1)(-2+3)=(-3)\times 1=-3$. On calcule chaque facteur séparément, puis on multiplie : c'est plus sûr que de développer d'abord.

b) $f(-5)=(-5-1)(-5+3)=(-6)\times(-2)=12$, positif car produit de deux négatifs. $f(0{,}5)=(0{,}5-1)(0{,}5+3)=(-0{,}5)\times 3{,}5=-1{,}75$.

c) On résout $(x-1)(x+3)=0$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x-1=0$ ou $x+3=0$, donc $x=1$ ou $x=-3$. Le nombre $0$ a DEUX antécédents, $-3$ et $1$. Contrôle : $f(1)=0$ se lisait déjà à la question a).

d) Double distributivité : $(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$. Le terme constant $-3$ est bien $f(0)$ ✓, ce qui contrôle le signe.