Quatrième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Le calcul littéral est le chapitre qui décide de tout le lycée : une lettre n'est pas un objet mystérieux, c'est un nombre dont on ignore la valeur, et toutes les règles du calcul numérique continuent de s'appliquer à elle, sans exception ni faveur.
Cette fiche ne réexplique pas la distributivité : elle range les huit erreurs qui la rendent inefficace en contrôle, avec la ligne exacte à écrire et le nombre de points que chacune coûte.
Le fil du chapitre
Développer et factoriser parcourent la même route en sens inverse, et une seule chose décide du succès : un signe moins devant une parenthèse vaut le facteur , et ce facteur touche TOUS les termes de la parenthèse, sans exception.
Souligner d'un même trait tous les termes en , d'un autre tous les termes en , et entourer les constantes. Trois secondes qui suppriment la moitié des erreurs de réduction.
Tracer une flèche du facteur vers chaque terme avant de calculer. Deux flèches pour une parenthèse à deux termes, quatre pour une double distributivité : on voit tout de suite s'il en manque une.
Un énoncé qui dit « factoriser » attend un PRODUIT à la fin ; un énoncé qui dit « développer » attend une SOMME. La forme du résultat dit déjà si la consigne a été respectée.
Vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation de DÉPART, jamais dans une ligne intermédiaire : une erreur recopiée s'y vérifierait toute seule.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« ne se réduit pas : et ne sont pas des termes semblables, l'un porte la lettre et l'autre non. »
Pourquoi : L'envie de « finir » l'expression pousse à écrire un seul terme. Le test qui tranche : pour , vaut , mais pour il vaut alors que vaut .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le moins devant la parenthèse vaut le facteur , et . »
Pourquoi : Le facteur est invisible, donc il ne se distribue pas dans la tête. Le réécrire explicitement, , le rend aussi mécanique qu'un facteur ordinaire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le facteur multiplie les DEUX termes de la parenthèse. »
Pourquoi : L'œil traite la parenthèse comme un mot dont seul le début compte. Une flèche tracée du vers chaque terme rend l'oubli visible avant même le calcul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : on multiplie les coefficients entre eux et les lettres entre elles, et . »
Pourquoi : L'addition garde la lettre inchangée, donc le réflexe se transporte au produit. Multiplier, c'est empiler les lettres, pas les compter.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , en sortant le . »
Ce qu'il faut écrire
« : le second terme vaut , donc il reste dans la parenthèse. »
Pourquoi : Sortir un facteur ne le fait pas disparaître : il reste toujours quelque chose à sa place, et ce quelque chose vaut . Le contrôle par redéveloppement le montre en une ligne.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« donne , donc : on enlève d'abord le des deux côtés, on divise ensuite. »
Pourquoi : Les deux opérations sont mélangées dans la même ligne mentale, et le signe s'y perd. Une opération par ligne, annoncée en marge, supprime le problème.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« donne OU , car aussi. »
Pourquoi : Élever au carré efface le signe, donc deux nombres opposés donnent le même carré. La question demande toutes les solutions, pas une seule.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je barre les : , donc pas de solution. »
Ce qu'il faut écrire
« donne , donc et : on ne barre jamais une lettre, qui pourrait valoir . »
Pourquoi : Barrer, c'est diviser par , ce qui n'est permis que si n'est pas nul. Or c'est justement qui est la solution ici. On soustrait, on ne divise pas.
On lit la CONSIGNE, puis la forme de l'expression. La consigne dit la forme attendue à l'arrivée.
Si la consigne dit « développer » et l'expression est → distribuer le facteur sur chaque terme, puis réduire
Exemple :
Si un signe moins précède la parenthèse → le réécrire comme le facteur et distribuer sur TOUS les termes
Exemple :
c'est la branche qui coûte le plus de points de tout le chapitre
Si la consigne dit « développer » et l'expression est → écrire les QUATRE produits, puis réduire
Exemple :
Si la consigne dit « factoriser » et tous les termes partagent un nombre ou une lettre → sortir le facteur commun maximal, en laissant là où un terme sort en entier
Exemple :
Si la consigne dit « factoriser » et une même parenthèse apparaît dans les deux termes → sortir cette parenthèse entière comme facteur commun
Exemple :
le contrôle est toujours le redéveloppement, jamais l'impression
Une réponse en forme de somme après une consigne « factoriser », ou en forme de produit après « développer », est fausse même si le calcul est juste.
On regarde où se trouve l'inconnue et ce qui l'entoure, dans cet ordre.
Si il reste des parenthèses → développer les deux membres avant tout
Exemple : devient
Si l'inconnue apparaît des deux côtés → la rassembler d'un seul côté en soustrayant le même terme des deux membres
Exemple : devient
on ne barre jamais la lettre, on soustrait le terme entier
Si il reste un terme constant du côté de l'inconnue → le retirer des deux côtés
Exemple : devient
Si il ne reste que le coefficient devant l'inconnue → diviser les deux membres par ce coefficient
Exemple : donne
Si l'inconnue disparaît complètement → lire ce qui reste : une égalité fausse signifie aucune solution, une égalité vraie signifie que tout nombre est solution
Exemple : donne , donc aucune solution
Terminer par la vérification dans l'équation de DÉPART. C'est une ligne, elle est souvent notée, et elle attrape toutes les erreurs de signe.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une expression avec des parenthèses et demande de la développer, de la réduire, ou les deux.
Phrase de conclusion
« Donc . »
Le piège : Réduire au fil du développement, en tête. Il faut d'abord écrire les quatre termes du produit, ensuite seulement regrouper : deux gestes séparés, deux fois moins d'erreurs.
Barème : 1 point pour le développement complet, 0,5 pour le signe du second facteur, 0,5 pour la réduction.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une égalité avec une inconnue et demande de la résoudre, ou de trouver la valeur cherchée dans un problème mis en équation.
Phrase de conclusion
« L'équation a pour unique solution , et la vérification donne . »
Le piège : Diviser avant d'avoir isolé le terme en . Le nombre constant traverse alors la barre de fraction sans changer de signe, et le résultat est faux.
Barème : 0,5 point par étape annoncée, 0,5 pour la solution, 0,5 pour la vérification écrite.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le test par une valeur choisie
Remplacer la lettre par un nombre simple, comme ou , dans l'expression de départ ET dans le résultat. Les deux doivent donner le même nombre.
Pour avec : l'énoncé donne , la réponse donne , mais la réponse donne . Le test tranche sans discussion.
Le redéveloppement d'une factorisation
Après avoir factorisé, redévelopper le produit obtenu : on doit retomber exactement sur l'expression de départ, terme pour terme.
redéveloppé donne , qui est bien l'expression initiale. Un redonnerait , donc il manquait un terme.
Le compte des termes après un développement
Une simple distributivité produit autant de termes que la parenthèse en contient ; une double distributivité en produit quatre, avant réduction.
doit donner quatre termes. Trois termes seulement signalent un produit croisé oublié, presque toujours ou .
La substitution dans l'équation de départ
Remplacer la solution trouvée dans l'équation initiale, jamais dans une ligne intermédiaire, et calculer les deux membres séparément.
Pour et : le membre de gauche donne , égal au membre de droite. Avec on trouverait , donc la solution était fausse.
On pose . Développer et réduire .
Résoudre ensuite l'équation .
Étape 1
Double distributivité : .
Pourquoi
Les quatre produits s'écrivent AVANT toute réduction. Écrire les quatre garantit qu'aucun terme croisé n'est oublié, et c'est cette ligne que le barème paie.
Étape 2
Réduire ce premier morceau : .
Pourquoi
Seuls et sont semblables, donc eux seuls se regroupent. Le et le attendent, car aucun autre terme ne leur ressemble encore.
Étape 3
Le second morceau : , car .
Pourquoi
Le facteur négatif se distribue exactement comme un facteur positif, et le second signe change. C'est ici que la moitié des copies perdent deux points.
Étape 4
Rassembler : .
Pourquoi
On regroupe les entre eux et les constantes entre elles. Le terme en reste seul de son espèce, ce qui est normal et non un oubli.
Étape 5
L'équation : on soustrait des deux membres, ce qui donne .
Pourquoi
Les deux membres portent le même terme en , donc il s'élimine : l'équation, qui semblait du second degré, est en réalité du premier. Reconnaître cela est toute la difficulté de la question.
Étape 6
, donc .
Pourquoi
On enlève le terme constant d'abord, on divise ensuite. Le quotient de deux nombres négatifs est positif : la règle des signes s'applique ici comme partout ailleurs.
Étape 7
Vérification dans l'énoncé : , et .
Pourquoi
Les deux membres sont recalculés séparément à partir de l'expression de DÉPART. Une erreur recopiée dans une ligne intermédiaire ne pourrait pas passer ce contrôle.
Conclusion rédigée
« Donc , et l'équation a pour unique solution . »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire . Le facteur multiplie les deux termes, et vaut : le signe du second produit est le point de contrôle de tout l'exercice.
Parce que trois x et deux ne sont pas des termes semblables : l'un porte la lettre, l'autre non. On ne peut regrouper que des termes de même partie littérale. Le test le prouve : pour x égal deux, trois x plus deux vaut huit, alors que cinq x vaut dix.
Le signe moins vaut le facteur moins un, et il multiplie tous les termes de la parenthèse, donc chacun change de signe. Cinq moins la parenthèse x moins quatre devient cinq moins x plus quatre, soit neuf moins x. C'est l'erreur la plus courante du chapitre.
Développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit. Les deux gestes parcourent la même route en sens inverse, et chacun sert de vérification à l'autre : on redéveloppe toujours une factorisation pour la contrôler.
On développe d'abord les parenthèses, puis on rassemble les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre, en faisant la même opération des deux côtés. On divise seulement en dernier, par le coefficient de x. Diviser avant d'avoir enlevé la constante donne un résultat faux.
Deux : trois et moins trois, car les deux nombres ont le même carré. Élever au carré efface le signe, donc il faut toujours penser à la solution négative. Une équation du premier degré, elle, a une seule solution, sauf cas particuliers où elle n'en a aucune ou une infinité.
