Exercices corrigés : développement et factorisation (Troisième)

1) $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=x$ et $b=6$ : $A=x^{2}+2\times x\times 6+36=x^{2}+12x+36$. Le piège est $x^{2}+36$, sans le double produit. Vérification pour $x=1$ : $7^{2}=49$ et $1+12+36=49$.

2) $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=3x$ et $b=2$. Attention, $a^{2}=(3x)^{2}=9x^{2}$ et non $3x^{2}$. $B=9x^{2}-12x+4$. Vérification pour $x=1$ : $1^{2}=1$ et $9-12+4=1$.

3) $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=2x$ et $b=7$ : $C=4x^{2}-49$. Les termes en $x$ se sont annulés, $-14x+14x=0$, et c'est ce qui rend cette identité si rapide.

4) Pas d'identité ici : double distributivité. $D=2x^{2}+3x-8x-12=2x^{2}-5x-12$. Vérification pour $x=1$ : $(-3)\times 5=-15$ et $2-5-12=-15$.

5) On développe chaque carré : $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ et $(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$. Le moins devant le second carré change tous ses signes : $E=x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1=4x$. Vérification pour $x=3$ : $16-4=12$ et $4\times 3=12$.

6) $25x^{2}-16$ est une différence de deux carrés, $(5x)^{2}-4^{2}$. $F=(5x-4)(5x+4)$. Vérification pour $x=1$ : $25-16=9$ et $1\times 9=9$. Le piège est d'oublier que $25x^{2}$ est le carré de $5x$, et non de $25x$.

7) $4x^{2}=(2x)^{2}$, $25=5^{2}$, et le terme du milieu vaut bien $-2\times 2x\times 5=-20x$ : c'est le carré d'une différence. $G=(2x-5)^{2}$. Vérifier le double produit n'est pas facultatif : $4x^{2}-10x+25$ ne se factorise pas ainsi. Vérification pour $x=1$ : $4-20+25=9$ et $(-3)^{2}=9$.

8) Le facteur commun $(x+2)$ apparaît dans les deux termes. On le met devant et on écrit ce qui reste de chaque terme : $H=(x+2)\left[(3x-1)+(x+5)\right]=(x+2)(4x+4)$. On peut aller plus loin, $4x+4=4(x+1)$, d'où $H=4(x+2)(x+1)$. Vérification pour $x=0$ : $2\times(-1)+2\times 5=8$ et $2\times 4=8$.

1) On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : $A=x\times x+x\times 5+3\times x+3\times 5=x^{2}+5x+3x+15$. Les deux termes en $x$ sont semblables, donc on les additionne : $A=x^{2}+8x+15$. Vérification numérique, la seule qui protège vraiment : pour $x=1$, la forme de départ vaut $(1+3)(1+5)=4\times 6=24$ et la forme développée vaut $1+8+15=24$. Prenez l'habitude de tester avec $x=1$, c'est instantané et cela attrape presque toutes les erreurs de signe.

2) $B=2x\times x+2x\times 4-1\times x-1\times 4=2x^{2}+8x-x-4=2x^{2}+7x-4$. Le piège est le signe du $-1$ : il faut le porter sur les DEUX termes de la seconde parenthèse, pas seulement sur le premier. Vérification pour $x=2$ : $(4-1)(2+4)=3\times 6=18$, et $2\times 4+14-4=8+14-4=18$.

3) $C=(x+3)(x+3)=x^{2}+3x+3x+9=x^{2}+6x+9$. Le terme $6x$ vient de deux produits identiques, $3x$ et $3x$, qui se sont additionnés. C'est exactement le double produit, et c'est lui que l'on oublie quand on écrit à tort $x^{2}+9$.

4) Le morceau $1$ est un carré de côté $a$, son aire vaut $a^{2}$. Le morceau $2$ est un rectangle de dimensions $b$ et $a$, son aire vaut $ab$. Le morceau $3$ est un rectangle de dimensions $a$ et $b$, son aire vaut aussi $ab$. Le morceau $4$ est un carré de côté $b$, son aire vaut $b^{2}$. En additionnant les quatre morceaux on trouve $a^{2}+2ab+b^{2}$ ; mais la figure entière est un carré de côté $a+b$, donc son aire vaut aussi $(a+b)^{2}$. Comme c'est la même surface, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. Le double produit $2ab$ n'est pas une bizarrerie de calcul : ce sont les deux rectangles que l'on voit sur le dessin, et qui occupent ici la plus grande partie de la figure.

5) Pour $x=2$ : $(2+3)^{2}=5^{2}=25$, alors que $2^{2}+9=4+9=13$. Les deux résultats diffèrent de $12$, et $12=2\times 2\times 3$, c'est-à-dire exactement le double produit $2ab$ avec $a=2$ et $b=3$. L'élève a donc gardé les deux carrés des morceaux $1$ et $4$ et perdu les deux rectangles $2$ et $3$. Un seul contre-exemple suffit à démolir une égalité qui se prétend vraie pour tout $x$ : c'est la façon la plus rapide de trancher, en devoir comme au brevet.

6) On développe séparément les deux morceaux. D'une part $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$. D'autre part $(x+5)(x-1)=x^{2}-x+5x-5=x^{2}+4x-5$. Il reste à soustraire, et c'est ici que se joue l'exercice : le signe moins porte sur TOUTE la seconde expression, donc $D=x^{2}+6x+9-(x^{2}+4x-5)=x^{2}+6x+9-x^{2}-4x+5$. Le $-5$ devient $+5$. Les carrés se suppriment et il reste $D=2x+14$. Vérification pour $x=0$ : $9-5\times(-1)=9+5=14$, et $2\times 0+14=14$.

1) Ici $a=x$ et $b=7$, donc $(x+7)^{2}=x^{2}+2\times x\times 7+7^{2}=x^{2}+14x+49$. Contrôle rapide et systématique : le double produit doit être le double du produit des racines carrées des deux termes extrêmes, ici $2\sqrt{x^{2}}\times\sqrt{49}=2\times x\times 7=14x$.

2) Avec $a=x$ et $b=4$, $(x-4)^{2}=x^{2}-2\times x\times 4+4^{2}=x^{2}-8x+16$. Seul le terme du milieu change de signe : le dernier terme reste POSITIF, puisque $(-4)^{2}=+16$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est facile à repérer avec $x=0$, qui donne $16$ des deux côtés. La figure du corrigé montre d'où vient ce signe. Le carré de côté $a$ se partage en quatre morceaux : le carré $(a-b)^{2}$ en bas à gauche, deux rectangles $b(a-b)$ et le carré $b^{2}$. Donc $a^{2}=(a-b)^{2}+2b(a-b)+b^{2}$, et en isolant le morceau cherché, $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+2b^{2}-b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$. Le double produit est encore là, simplement soustrait au lieu d'être ajouté.

3) C'est le troisième modèle, celui qui fait disparaître le terme du milieu : $(x-6)(x+6)=x^{2}-36$. Si l'on développe à la main, on voit pourquoi : $x^{2}+6x-6x-36$, les deux termes en $x$ sont opposés et s'annulent.

4) Le rôle de $a$ est tenu par $3x$ tout entier : $(3x+2)^{2}=(3x)^{2}+2\times 3x\times 2+2^{2}=9x^{2}+12x+4$. Le carré porte sur le $3$ ET sur le $x$, ce qui donne $9x^{2}$ et non $3x^{2}$. Vérification pour $x=1$ : $(3+2)^{2}=25$ et $9+12+4=25$.

5) Avec $a=5x$ et $b=3$, $(5x-3)(5x+3)=(5x)^{2}-3^{2}=25x^{2}-9$. Là encore, $(5x)^{2}=25x^{2}$. Vérification pour $x=1$ : $2\times 8=16$ et $25-9=16$.

6) On développe les deux carrés : $(2x-7)^{2}=4x^{2}-28x+49$ et $(2x+7)^{2}=4x^{2}+28x+49$. La soustraction porte sur toute la seconde expression : $E=4x^{2}-28x+49-4x^{2}-28x-49=-56x$. Tout disparaît sauf les doubles produits, qui s'additionnent au lieu de s'annuler parce que le second change de signe. On peut retrouver ce résultat sans rien développer, en reconnaissant une différence de deux carrés avec $A=(2x-7)$ et $B=(2x+7)$ : $E=(A-B)(A+B)=(-14)\times(4x)=-56x$. Vérification pour $x=1$ : $(-5)^{2}-9^{2}=25-81=-56$.

1) Les deux termes contiennent $x$ : $7x^{2}=x\times 7x$ et $3x=x\times 3$. Le facteur commun est donc $x$, et $A=x(7x+3)$. Contrôle obligatoire : on redéveloppe, $x\times 7x+x\times 3=7x^{2}+3x$, on retombe bien sur l'expression de départ. Attention à ne pas écrire $x(7x)$ en oubliant le second terme : chaque terme de la somme doit laisser une trace dans la parenthèse.

2) Le facteur commun est ici un nombre. On cherche le plus grand diviseur commun de $12$ et $18$, qui vaut $6$ : $12x=6\times 2x$ et $18=6\times 3$, donc $B=6(2x-3)$. Écrire $B=2(6x-9)$ ou $B=3(4x-6)$ n'est pas faux, mais la factorisation n'est pas terminée, car la parenthèse peut encore être factorisée.

3) Le facteur commun est la parenthèse $(x+2)$ tout entière : $C=(x+2)\left[(x-5)+(3x+1)\right]$. On réduit ce qui reste dans le crochet : $x-5+3x+1=4x-4$. Donc $C=(x+2)(4x-4)$. La factorisation n'est pas finie, car $4x-4=4(x-1)$ : la réponse complète est $C=4(x+2)(x-1)$. Vérification pour $x=0$ : l'expression de départ vaut $2\times(-5)+2\times 1=-10+2=-8$, et $4\times 2\times(-1)=-8$.

4) C'est le piège du facteur invisible. Le second terme est $(2x-1)$, c'est-à-dire $(2x-1)\times 1$ : ce $1$ ne disparaît pas, il reste dans la parenthèse. Donc $D=(2x-1)\left[(x+6)-1\right]=(2x-1)(x+5)$. L'erreur classique consiste à écrire $(2x-1)(x+6)$ en croyant que le terme soustrait s'est évaporé. Vérification pour $x=1$ : $1\times 7-1=6$, et $1\times 6=6$.

5) Le carré $(3x+4)^{2}$ est le produit $(3x+4)\times(3x+4)$, donc $(3x+4)$ est bien facteur commun : $E=(3x+4)\left[(3x+4)+(x-2)\right]=(3x+4)(4x+2)$. On termine en sortant le $2$ de la seconde parenthèse : $E=2(3x+4)(2x+1)$. Vérification pour $x=0$ : $16+4\times(-2)=16-8=8$, et $2\times 4\times 1=8$.

6) Le rectangle de gauche a pour aire $7\times x=7x$, celui de droite $3\times x=3x$, donc l'aire totale vaut $7x+3x$. Mais les deux rectangles mis bout à bout forment un seul rectangle de hauteur $x$ et de base $7+3=10$, dont l'aire vaut $10x$. On obtient $7x+3x=(7+3)x=10x$. C'est la factorisation par facteur commun vue en surface : mettre $x$ en évidence, c'est refuser de couper le rectangle et le mesurer d'un seul coup. Pour $x=4$ par exemple, $28+12=40$ et $10\times 4=40$.

1) On reconnaît une différence de deux carrés : $x^{2}$ est le carré de $x$ et $49$ est le carré de $7$. Donc $a=x$, $b=7$ et $A=(x-7)(x+7)$. Contrôle par redéveloppement : $x^{2}+7x-7x-49=x^{2}-49$. L'ordre des deux parenthèses n'a aucune importance, la multiplication étant commutative.

2) Les deux termes extrêmes sont des carrés, $x^{2}$ et $25=5^{2}$, et le signe du milieu est un plus. On teste donc $(x+5)^{2}$, mais on ne conclut qu'après avoir vérifié le double produit : $2\times x\times 5=10x$, c'est bien le terme du milieu. Donc $B=(x+5)^{2}$. Cette vérification n'est pas une formalité : dans $x^{2}+7x+25$, les termes extrêmes sont les mêmes et pourtant rien ne se factorise ainsi.

3) Mêmes carrés extrêmes, $x^{2}$ et $36=6^{2}$, mais le milieu est négatif : on teste $(x-6)^{2}$. Le double produit vaut $2\times x\times 6=12x$, précédé du signe moins, ce qui correspond. Donc $C=(x-6)^{2}$. Vérification pour $x=0$ : $36$ des deux côtés.

4) $9x^{2}=(3x)^{2}$ et $64=8^{2}$, donc $a=3x$ et $b=8$ : $D=(3x-8)(3x+8)$. La difficulté est de voir $9x^{2}$ comme un carré ; le réflexe est de prendre la racine du coefficient et de garder le $x$. Vérification pour $x=1$ : $9-64=-55$, et $(-5)\times 11=-55$.

5) $4x^{2}=(2x)^{2}$ et $25=5^{2}$, avec un milieu positif : on teste $(2x+5)^{2}$ et l'on vérifie le double produit, $2\times 2x\times 5=20x$. C'est exact, donc $E=(2x+5)^{2}$. Vérification pour $x=1$ : $4+20+25=49$, et $7^{2}=49$.

6) La surface grise est le grand carré privé du petit, donc son aire vaut $a^{2}-b^{2}$. Découpons maintenant cette équerre par une horizontale prolongeant le bord inférieur du carré retiré. On obtient un rectangle du bas, de dimensions $a$ et $a-b$, et un rectangle du haut, de dimensions $a-b$ et $b$. Les deux ont donc le même côté $a-b$ : on peut faire pivoter le rectangle du haut d'un quart de tour et le recoller contre le rectangle du bas. La figure devient un seul rectangle de hauteur $a-b$ et de base $a+b$, dont l'aire vaut $(a+b)(a-b)$. Comme on n'a rien ajouté ni enlevé, $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$. Avec $a=9$ et $b=4$ : $81-16=65$, et $(9+4)(9-4)=13\times 5=65$. C'est cette lecture qui explique pourquoi une différence de carrés se factorise toujours, alors qu'une somme de carrés, elle, ne se factorise pas : on ne peut pas recoller deux carrés en un rectangle.

1) $101^{2}=(100+1)^{2}=100^{2}+2\times 100\times 1+1^{2}=10\,000+200+1=10\,201$. Le calcul se fait de tête parce que le carré de $100$ et le double produit sont des nombres ronds. Poser la multiplication $101\times 101$ demanderait trois lignes et offrirait trois occasions de se tromper.

2) $99^{2}=(100-1)^{2}=10\,000-200+1=9\,801$. Le signe moins ne porte que sur le double produit : le dernier terme reste $+1$. C'est la même erreur qu'à l'exercice 3, mais elle devient ici visible, car $9\,799$ n'est manifestement pas un carré.

3) On reconnaît la troisième identité : $101\times 99=(100+1)(100-1)=100^{2}-1^{2}=10\,000-1=9\,999$. Remarquez au passage que $101\times 99=9\,999$ est plus petit que $100^{2}=10\,000$ : à somme constante, le produit est maximal quand les deux nombres sont égaux, et il perd exactement le carré de l'écart à la moyenne, ici $1^{2}$.

4) $53^{2}-47^{2}=(53+47)(53-47)=100\times 6=600$. Le calcul direct demanderait deux multiplications à deux chiffres et une soustraction ; la forme factorisée le rend immédiat. C'est le signal à retenir : dès qu'on voit une différence de deux carrés, on factorise AVANT de calculer.

5) Le facteur commun est $(x+4)$, donc $E=(x+4)\left[(x+4)-(x-3)\right]$. Dans le crochet, attention au signe : $x+4-x+3=7$. Le $x$ disparaît et il reste $E=7(x+4)$. Pour $x=996$ : $E=7\times 1000=7\,000$. La forme développée, $E=7x+28$, donnerait le même résultat mais en deux opérations au lieu d'une, et la forme de départ demanderait deux multiplications à quatre chiffres.

6) On développe le carré : $(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$. La différence de deux carrés consécutifs est donc toujours un nombre impair, et c'est même ainsi que l'on obtient tous les impairs. On peut aussi factoriser directement : $(n+1)^{2}-n^{2}=\left[(n+1)-n\right]\left[(n+1)+n\right]=1\times(2n+1)$, ce qui donne le résultat sans aucun développement. Avec $n=2025$ : $2026^{2}-2025^{2}=2\times 2025+1=4\,051$, qui est aussi la somme $2025+2026$. Retenez cette lecture, elle rend le calcul instantané : la différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale à leur somme.

1) Le produit est nul, donc $x-3=0$ ou $x+7=0$, c'est-à-dire $x=3$ ou $x=-7$. Le mot « ou » est essentiel : les deux valeurs conviennent séparément, il n'est pas question de choisir. Vérification : pour $x=3$, le premier facteur vaut $0$ et le produit vaut $0$ ; pour $x=-7$, c'est le second facteur qui s'annule. Piège de signe très fréquent : la solution associée au facteur $(x+7)$ est $-7$ et non $+7$.

2) $2x-5=0$ donne $2x=5$ puis $x=\dfrac{5}{2}=2{,}5$ ; $x+1=0$ donne $x=-1$. Les solutions sont $2{,}5$ et $-1$. Une solution n'a aucune raison d'être entière : il faut résoudre chaque petite équation du premier degré jusqu'au bout.