Exercices corrigés : les fonctions affines (Troisième)

$a=\dfrac{21-9}{5-2}=\dfrac{12}{3}=4$. Puis $f(2)=4\times 2+b=9$, donc $b=9-8=1$. Ainsi $f(x)=4x+1$. Contrôle : $f(5)=20+1=21$.

L'image de $0$ donne $b$ directement : $g(0)=a\times 0+b=b$, donc $b=6$. Puis $a=\dfrac{18-6}{4-0}=\dfrac{12}{4}=3$. Ainsi $g(x)=3x+6$. Contrôle : $g(4)=12+6=18$.

$a=\dfrac{2-8}{3-1}=\dfrac{-6}{2}=-3$. Puis $h(1)=-3\times 1+b=8$, donc $b=8+3=11$. Ainsi $h(x)=-3x+11$. Piège : $b=8-3=5$, en oubliant que $a$ est négatif. Contrôle : $h(3)=-9+11=2$.

$a=\dfrac{5-1}{5-3}=\dfrac{4}{2}=2$. Puis $k(3)=2\times 3+b=1$, donc $b=1-6=-5$. Ainsi $k(x)=2x-5$. L'ordonnée à l'origine peut être négative alors que les deux images sont positives. Contrôle : $k(5)=10-5=5$.

$a=\dfrac{12-(-3)}{2-(-1)}=\dfrac{15}{3}=5$. Puis $m(2)=5\times 2+b=12$, donc $b=2$. Ainsi $m(x)=5x+2$. Piège : écrire $\dfrac{12-3}{2-1}=9$ en perdant les deux signes moins. Contrôle : $m(-1)=-5+2=-3$.

$a=\dfrac{6-(-12)}{-2-(-5)}=\dfrac{18}{3}=6$. Puis $n(-2)=6\times(-2)+b=6$, donc $b=6+12=18$. Ainsi $n(x)=6x+18$. Contrôle : $n(-5)=-30+18=-12$.

$a=\dfrac{4-1}{10-4}=\dfrac{3}{6}=0{,}5$. Puis $p(4)=0{,}5\times 4+b=1$, donc $b=1-2=-1$. Ainsi $p(x)=0{,}5x-1$. Piège : diviser dans le mauvais sens, $\dfrac{6}{3}=2$. Contrôle : $p(10)=5-1=4$.

$a=\dfrac{0-9}{2-(-4)}=\dfrac{-9}{6}=-1{,}5$. Puis $q(2)=-1{,}5\times 2+b=0$, donc $b=3$. Ainsi $q(x)=-1{,}5x+3$. Choisir l'image qui vaut $0$ rend le calcul de $b$ immédiat. Contrôle : $q(-4)=6+3=9$.

$a=\dfrac{8-2}{6-(-3)}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$. On garde la fraction, on ne l'arrondit pas. Puis $r(6)=\dfrac{2}{3}\times 6+b=8$, soit $4+b=8$, donc $b=4$. Ainsi $r(x)=\dfrac{2}{3}x+4$. Prendre $x=6$ plutôt que $x=-3$ évite tout calcul de fraction. Contrôle : $r(-3)=-2+4=2$.

$a=\dfrac{-4-(-4)}{5-(-2)}=\dfrac{0}{7}=0$. Puis $b=-4$. Ainsi $s(x)=-4$ : c'est une fonction CONSTANTE, cas particulier de fonction affine où $a=0$. Piège : croire qu'un écart nul en haut rend le calcul impossible ; c'est un écart nul EN BAS qui le rendrait impossible.

Oui, $f$ est affine, avec $a=5$ et $b=-2$. Attention au signe de $b$ : l'expression s'écrit $5x+(-2)$, donc l'ordonnée à l'origine vaut $-2$ et non $2$. Ce n'est pas un cas particulier, puisque $a$ et $b$ sont tous deux non nuls.

Oui, $g$ est affine. On l'écrit $g(x)=0\times x+7$, donc $a=0$ et $b=7$ : c'est une fonction CONSTANTE, cas particulier où l'image ne dépend pas du tout du nombre de départ. Sa représentation graphique est une droite horizontale, à la hauteur $7$. Beaucoup d'élèves refusent d'y voir une fonction affine, alors que c'en est une.

Oui, $h$ est affine, avec $a=-3$ et $b=0$. C'est le cas particulier d'une fonction LINÉAIRE, celle du chapitre précédent : toute fonction linéaire est affine, l'inverse étant faux. Sa droite passe par l'origine, ce qui est exactement la traduction graphique de $b=0$.

Oui, mais il faut d'abord réécrire l'expression en séparant la fraction : $k(x)=\frac{2x}{4}+\frac{1}{4}=0{,}5x+0{,}25$. Donc $a=0{,}5$ et $b=0{,}25$. L'erreur à éviter est de conclure trop vite qu'une fonction n'est pas affine parce qu'elle comporte une barre de fraction : diviser toute l'expression par un NOMBRE ne fait pas sortir du cadre affine, contrairement à une division par $x$.

La fonction $m$ n'est pas affine : $x$ y apparaît au carré, ce qui n'est pas de la forme $ax+b$. On le vérifie sur les valeurs, puisque les écarts entre images ne sont pas constants : $m(0)=3$, $m(1)=4$, $m(2)=7$, et les écarts valent $1$ puis $3$. La fonction $n$, elle, est affine : il suffit de la réécrire dans l'ordre habituel, $n(x)=-x+4$, donc $a=-1$ et $b=4$. L'ordre d'écriture des termes ne change rien à la nature de la fonction, et il faut prendre l'habitude de réordonner avant d'identifier $a$ et $b$.

$f(4)=3\times 4-7=12-7=5$. $f(0)=3\times 0-7=-7$, ce qui est aussi l'ordonnée à l'origine : pour une fonction affine, $f(0)$ vaut toujours $b$, et c'est le calcul le plus rapide du chapitre. $f(-2)=3\times(-2)-7=-6-7=-13$.

$g(3)=-2\times 3+5=-6+5=-1$. $g(-1)=-2\times(-1)+5=2+5=7$. Là encore, attention au produit de deux nombres négatifs, qui est positif : c'est le calcul le plus souvent raté de l'exercice.

On résout $f(x)=8$, c'est-à-dire $3x-7=8$. On ajoute $7$ aux deux membres : $3x=15$, puis on divise par $3$ : $x=5$. L'antécédent de $8$ par $f$ est donc $5$. Vérification : $f(5)=15-7=8$ ✓. Point de rédaction : on transforme l'équation en isolant progressivement $x$, en effectuant la même opération des DEUX côtés du signe égal.

On résout $-2x+5=11$, soit $-2x=6$, donc $x=\frac{6}{-2}=-3$. L'antécédent de $11$ par $g$ est $-3$. Vérification : $g(-3)=6+5=11$ ✓. La division par un nombre négatif change le signe, et une réponse positive ici aurait dû alerter : la fonction $g$ est décroissante, donc une image supérieure à $g(0)=5$ ne peut venir que d'un nombre négatif.

On cherche $x$ tel que $f(x)=g(x)$, donc on résout $3x-7=-2x+5$. On regroupe les termes en $x$ à gauche et les nombres à droite : $3x+2x=5+7$, soit $5x=12$, donc $x=\frac{12}{5}=2{,}4$. Vérification par les deux membres : $f(2{,}4)=7{,}2-7=0{,}2$ et $g(2{,}4)=-4{,}8+5=0{,}2$ ✓, les deux images coïncident bien. Interprétation graphique, qui sera réutilisée dans toute la partie B : le nombre $2{,}4$ est l'abscisse du point d'intersection des deux droites, et $0{,}2$ en est l'ordonnée.

On calcule d'abord le coefficient directeur, qui est le quotient de l'écart des images par l'écart des nombres de départ : $a=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{16-7}{3}=\frac{9}{3}=3$. On sait donc que $f(x)=3x+b$. Il reste à trouver $b$ en utilisant l'une des deux données, par exemple $f(2)=7$ : $3\times 2+b=7$, soit $6+b=7$, donc $b=1$. La fonction est $f(x)=3x+1$. Ordre des opérations à respecter : toujours $a$ d'abord, $b$ ensuite, car $b$ ne peut se calculer qu'une fois $a$ connu.

Ici la première donnée est offerte : $g(0)=4$ signifie directement que $b=4$, puisque $g(0)=b$ pour toute fonction affine. Reste $a=\frac{g(3)-g(0)}{3-0}=\frac{-2-4}{3}=\frac{-6}{3}=-2$. La fonction est $g(x)=-2x+4$. Elle est décroissante, ce qui est cohérent avec des images qui diminuent quand $x$ augmente.

$a=\frac{h(3)-h(-1)}{3-(-1)}=\frac{5-5}{4}=\frac{0}{4}=0$. Le coefficient directeur est nul, donc $h(x)=0\times x+b$ avec $b=5$ : la fonction est CONSTANTE, égale à $5$ partout. On le remarquait déjà sur l'énoncé, puisque deux nombres différents avaient la même image. Graphiquement, la droite est horizontale. Attention à l'écart au dénominateur : $3-(-1)$ vaut $4$ et non $2$.

On recalcule avec $f(x)=3x+1$ : $f(2)=6+1=7$ ✓ et $f(5)=15+1=16$ ✓. Les deux données de départ sont retrouvées, donc la fonction est bien la bonne. Cette vérification est indispensable, car une erreur de signe dans le calcul de $b$ ne se voit pas autrement, et elle ne coûte que deux lignes.

Non, une seule donnée ne suffit pas : il reste une infinité de possibilités. Toutes les fonctions affines dont la droite passe par le point de coordonnées $(1\ ;\ 3)$ conviennent, et il en existe une pour chaque inclinaison. Par exemple $u(x)=x+2$ donne $u(1)=3$ ✓, et $u(x)=5x-2$ donne aussi $u(1)=3$ ✓, alors que ces deux fonctions sont très différentes, notamment en $0$ où l'une vaut $2$ et l'autre $-2$. La règle générale à retenir : une donnée fixe un point, et par un point passent une infinité de droites. Il en faut deux pour n'en laisser qu'une seule.

L'ordonnée à l'origine se lit à l'endroit où la droite coupe l'axe VERTICAL. La droite de $f$ le coupe en $-3$, donc $b=-3$ pour $f$. La droite de $g$ le coupe en $4$, donc $b=4$ pour $g$. Autre formulation du même fait : $f(0)=-3$ et $g(0)=4$.

On choisit deux points bien placés sur les nœuds du quadrillage, ici $(0\ ;\ -3)$ et $(1\ ;\ -1)$. En avançant de $1$ vers la droite, on monte de $2$ : le coefficient directeur de $f$ vaut $2$. On peut aussi le calculer comme un quotient d'écarts : $\frac{-1-(-3)}{1-0}=\frac{2}{1}=2$ ✓. Conseil de lecture : toujours prendre deux points situés exactement sur des intersections du quadrillage, sinon la lecture est approximative et le résultat faux.

La droite de $g$ descend de gauche à droite, donc son coefficient directeur est négatif : c'est un contrôle à faire AVANT de calculer. On utilise les points $(0\ ;\ 4)$ et $(4\ ;\ 0)$ : $\frac{0-4}{4-0}=\frac{-4}{4}=-1$. Le coefficient directeur de $g$ vaut donc $-1$, et il est bien négatif ✓. Concrètement, quand on avance de $1$, on descend de $1$.

On assemble les deux nombres trouvés pour chaque fonction : $f(x)=2x-3$ et $g(x)=-x+4$. Contrôle sur un point non utilisé : la droite de $f$ passe par $(3\ ;\ 3)$, et $f(3)=6-3=3$ ✓.

Le point d'intersection se lit aux coordonnées $\left(\frac{7}{3}\ ;\ \frac{5}{3}\right)$, c'est-à-dire environ $(2{,}33\ ;\ 1{,}67)$ : il ne tombe pas sur un nœud du quadrillage, et la lecture graphique ne peut donc en donner qu'une valeur approchée, autour de $2{,}3$ pour l'abscisse. Le calcul, lui, donne la valeur exacte : on résout $2x-3=-x+4$, soit $3x=7$, donc $x=\frac{7}{3}$, et l'ordonnée vaut $f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{14}{3}-3=\frac{5}{3}$ ✓. C'est la leçon principale de cette question : le graphique donne une estimation et permet de contrôler, mais seul le calcul donne la valeur exacte. On rédige donc toujours la lecture graphique en écrivant environ.

$u(0)=-\frac{1}{2}\times 0+3=3$, donc la droite passe par le point de coordonnées $(0\ ;\ 3)$, qui est son point de rencontre avec l'axe vertical. Et $u(4)=-\frac{1}{2}\times 4+3=-2+3=1$, donc elle passe aussi par $(4\ ;\ 1)$.

Parce que le coefficient directeur est $-\frac{1}{2}$ : en prenant $x=1$, on obtiendrait $u(1)=2{,}5$, une valeur à placer entre deux graduations, donc imprécise. En prenant $x=4$, qui est un multiple de $2$, le calcul tombe sur l'entier $1$ et le point se place exactement sur un nœud du quadrillage. Règle pratique valable pour tout tracé : quand le coefficient est une fraction, on choisit un $x$ multiple du dénominateur.

$v(0)=4\times 0-1=-1$, donc la droite passe par $(0\ ;\ -1)$. Et $v(1)=4-1=3$, donc elle passe par $(1\ ;\ 3)$. Le coefficient étant entier et grand, un écart de $1$ en abscisse suffit largement : inutile d'aller chercher $x=4$, qui donnerait $15$ et sortirait probablement du repère.

La droite coupe l'axe des abscisses là où l'ordonnée est nulle, donc on résout $u(x)=0$ : $-\frac{1}{2}x+3=0$, soit $-\frac{1}{2}x=-3$, donc $x=-3\times(-2)=6$. La droite de $u$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(6\ ;\ 0)$. Vérification : $u(6)=-3+3=0$ ✓. Ne pas confondre les deux axes : l'ordonnée à l'origine, $3$, se lit sur l'axe VERTICAL, tandis que ce point-ci est sur l'axe horizontal.

On teste les deux fonctions en remplaçant l'abscisse du point. Pour $u$ : $u(2)=-1+3=2$, ce qui correspond exactement à l'ordonnée de $C$, donc $C$ appartient à la droite de $u$. Pour $v$ : $v(2)=8-1=7$, qui vaut $7$ et non $2$, donc $C$ n'appartient pas à la droite de $v$. La méthode est toujours la même et doit être rédigée ainsi : on calcule l'image de l'abscisse, puis on la compare à l'ordonnée. Un point n'appartient à la droite que si les deux coïncident.

Avec la formule A, on paie $4$ dollars pour chaque entrée et rien d'autre : $A(x)=4x$. C'est une fonction LINÉAIRE, car il n'y a aucun montant fixe. Avec la formule B, on paie d'abord $30$ dollars quoi qu'il arrive, puis $1{,}50$ dollar par entrée : $B(x)=1{,}5x+30$. C'est une fonction AFFINE, où $30$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire ce que l'on paie même sans venir une seule fois. C'est la lecture concrète de $b$ dans un problème de tarif, et elle est presque toujours demandée.

Pour $8$ entrées : $A(8)=32$ dollars et $B(8)=12+30=42$ dollars, donc la formule A est moins chère. Pour $16$ entrées : $A(16)=64$ dollars et $B(16)=24+30=54$ dollars, donc cette fois c'est la formule B. Le classement s'inverse donc entre ces deux valeurs, ce qui garantit qu'il existe un nombre d'entrées où les deux se valent.

On résout $A(x)=B(x)$, c'est-à-dire $4x=1{,}5x+30$. On regroupe les termes en $x$ : $4x-1{,}5x=30$, soit $2{,}5x=30$, donc $x=\frac{30}{2{,}5}=12$. Pour $12$ entrées, les deux formules coûtent le même prix, et ce prix vaut $A(12)=48$ dollars, ce que confirme $B(12)=18+30=48$ dollars ✓.

Graphiquement, on cherche le point d'intersection des deux droites : il se lit à $12$ entrées et $48$ dollars, ce qui confirme le calcul. Ensuite on compare les positions : avant $12$ entrées, la droite en trait plein est en dessous, donc la formule A est la moins chère ; après $12$ entrées, c'est la droite en pointillé qui est en dessous, donc la formule B devient la plus avantageuse. Rédaction attendue au brevet : la formule A est plus avantageuse pour moins de $12$ entrées, la formule B pour plus de $12$ entrées, et les deux se valent exactement pour $12$ entrées. Le sens de la comparaison se justifie par le coefficient directeur : la formule B fait payer moins cher chaque entrée, donc elle finit toujours par rattraper son abonnement.

Avec la formule A, on résout $4x\leq 60$, donc $x\leq 15$ : elle peut entrer $15$ fois. Avec la formule B, on résout $1{,}5x+30\leq 60$, soit $1{,}5x\leq 30$, donc $x\leq 20$ : elle peut entrer $20$ fois. La formule B permet donc $5$ entrées de plus pour le même budget, ce qui est cohérent avec la question précédente, puisque $15$ et $20$ sont tous deux supérieurs au seuil de $12$. Attention à la nature de la réponse : le nombre d'entrées est forcément entier, donc une solution comme $x\leq 15{,}7$ aurait dû être arrondie à $15$ par le bas, jamais à $16$.

À chaque minute écoulée, la cuve perd $12$ litres, donc au bout de $t$ minutes elle a perdu $12t$ litres. Le volume restant est donc $V(t)=300-12t$, que l'on écrit aussi $V(t)=-12t+300$ pour retrouver la forme habituelle. Le coefficient directeur vaut $-12$ : il est négatif parce que le volume DIMINUE, et sa valeur absolue est le débit, soit $12$ litres perdus par minute. L'ordonnée à l'origine vaut $300$ : c'est le volume au moment de l'ouverture, c'est-à-dire $V(0)$. Interpréter ces deux nombres est presque toujours l'une des questions notées.

$V(5)=300-60=240$ litres. $V(20)=300-240=60$ litres. Contrôle de cohérence : le volume diminue bien quand le temps augmente ✓, ce qui est le comportement attendu d'une fonction de coefficient directeur négatif.