Exercices corrigés : les fonctions affines (Troisième)

a) Oui, $f$ est affine, avec $a=5$ et $b=-2$. Attention au signe de $b$ : l'expression s'écrit $5x+(-2)$, donc l'ordonnée à l'origine vaut $-2$ et non $2$. Ce n'est pas un cas particulier, puisque $a$ et $b$ sont tous deux non nuls.

b) Oui, $g$ est affine. On l'écrit $g(x)=0\times x+7$, donc $a=0$ et $b=7$ : c'est une fonction CONSTANTE, cas particulier où l'image ne dépend pas du tout du nombre de départ. Sa représentation graphique est une droite horizontale, à la hauteur $7$. Beaucoup d'élèves refusent d'y voir une fonction affine, alors que c'en est une.

c) Oui, $h$ est affine, avec $a=-3$ et $b=0$. C'est le cas particulier d'une fonction LINÉAIRE, celle du chapitre précédent : toute fonction linéaire est affine, l'inverse étant faux. Sa droite passe par l'origine, ce qui est exactement la traduction graphique de $b=0$.

d) Oui, mais il faut d'abord réécrire l'expression en séparant la fraction : $k(x)=\frac{2x}{4}+\frac{1}{4}=0{,}5x+0{,}25$. Donc $a=0{,}5$ et $b=0{,}25$. L'erreur à éviter est de conclure trop vite qu'une fonction n'est pas affine parce qu'elle comporte une barre de fraction : diviser toute l'expression par un NOMBRE ne fait pas sortir du cadre affine, contrairement à une division par $x$.

e) La fonction $m$ n'est pas affine : $x$ y apparaît au carré, ce qui n'est pas de la forme $ax+b$. On le vérifie sur les valeurs, puisque les écarts entre images ne sont pas constants : $m(0)=3$, $m(1)=4$, $m(2)=7$, et les écarts valent $1$ puis $3$. La fonction $n$, elle, est affine : il suffit de la réécrire dans l'ordre habituel, $n(x)=-x+4$, donc $a=-1$ et $b=4$. L'ordre d'écriture des termes ne change rien à la nature de la fonction, et il faut prendre l'habitude de réordonner avant d'identifier $a$ et $b$.

a) $f(4)=3\times 4-7=12-7=5$. $f(0)=3\times 0-7=-7$, ce qui est aussi l'ordonnée à l'origine : pour une fonction affine, $f(0)$ vaut toujours $b$, et c'est le calcul le plus rapide du chapitre. $f(-2)=3\times(-2)-7=-6-7=-13$.

b) $g(3)=-2\times 3+5=-6+5=-1$. $g(-1)=-2\times(-1)+5=2+5=7$. Là encore, attention au produit de deux nombres négatifs, qui est positif : c'est le calcul le plus souvent raté de l'exercice.

c) On résout $f(x)=8$, c'est-à-dire $3x-7=8$. On ajoute $7$ aux deux membres : $3x=15$, puis on divise par $3$ : $x=5$. L'antécédent de $8$ par $f$ est donc $5$. Vérification : $f(5)=15-7=8$ ✓. Point de rédaction : on transforme l'équation en isolant progressivement $x$, en effectuant la même opération des DEUX côtés du signe égal.

d) On résout $-2x+5=11$, soit $-2x=6$, donc $x=\frac{6}{-2}=-3$. L'antécédent de $11$ par $g$ est $-3$. Vérification : $g(-3)=6+5=11$ ✓. La division par un nombre négatif change le signe, et une réponse positive ici aurait dû alerter : la fonction $g$ est décroissante, donc une image supérieure à $g(0)=5$ ne peut venir que d'un nombre négatif.

e) On cherche $x$ tel que $f(x)=g(x)$, donc on résout $3x-7=-2x+5$. On regroupe les termes en $x$ à gauche et les nombres à droite : $3x+2x=5+7$, soit $5x=12$, donc $x=\frac{12}{5}=2{,}4$. Vérification par les deux membres : $f(2{,}4)=7{,}2-7=0{,}2$ et $g(2{,}4)=-4{,}8+5=0{,}2$ ✓, les deux images coïncident bien. Interprétation graphique, qui sera réutilisée dans toute la partie B : le nombre $2{,}4$ est l'abscisse du point d'intersection des deux droites, et $0{,}2$ en est l'ordonnée.

a) On calcule d'abord le coefficient directeur, qui est le quotient de l'écart des images par l'écart des nombres de départ : $a=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{16-7}{3}=\frac{9}{3}=3$. On sait donc que $f(x)=3x+b$. Il reste à trouver $b$ en utilisant l'une des deux données, par exemple $f(2)=7$ : $3\times 2+b=7$, soit $6+b=7$, donc $b=1$. La fonction est $f(x)=3x+1$. Ordre des opérations à respecter : toujours $a$ d'abord, $b$ ensuite, car $b$ ne peut se calculer qu'une fois $a$ connu.

b) Ici la première donnée est offerte : $g(0)=4$ signifie directement que $b=4$, puisque $g(0)=b$ pour toute fonction affine. Reste $a=\frac{g(3)-g(0)}{3-0}=\frac{-2-4}{3}=\frac{-6}{3}=-2$. La fonction est $g(x)=-2x+4$. Elle est décroissante, ce qui est cohérent avec des images qui diminuent quand $x$ augmente.

c) $a=\frac{h(3)-h(-1)}{3-(-1)}=\frac{5-5}{4}=\frac{0}{4}=0$. Le coefficient directeur est nul, donc $h(x)=0\times x+b$ avec $b=5$ : la fonction est CONSTANTE, égale à $5$ partout. On le remarquait déjà sur l'énoncé, puisque deux nombres différents avaient la même image. Graphiquement, la droite est horizontale. Attention à l'écart au dénominateur : $3-(-1)$ vaut $4$ et non $2$.

d) On recalcule avec $f(x)=3x+1$ : $f(2)=6+1=7$ ✓ et $f(5)=15+1=16$ ✓. Les deux données de départ sont retrouvées, donc la fonction est bien la bonne. Cette vérification est indispensable, car une erreur de signe dans le calcul de $b$ ne se voit pas autrement, et elle ne coûte que deux lignes.

e) Non, une seule donnée ne suffit pas : il reste une infinité de possibilités. Toutes les fonctions affines dont la droite passe par le point de coordonnées $(1\ ;\ 3)$ conviennent, et il en existe une pour chaque inclinaison. Par exemple $u(x)=x+2$ donne $u(1)=3$ ✓, et $u(x)=5x-2$ donne aussi $u(1)=3$ ✓, alors que ces deux fonctions sont très différentes, notamment en $0$ où l'une vaut $2$ et l'autre $-2$. La règle générale à retenir : une donnée fixe un point, et par un point passent une infinité de droites. Il en faut deux pour n'en laisser qu'une seule.

a) L'ordonnée à l'origine se lit à l'endroit où la droite coupe l'axe VERTICAL. La droite de $f$ le coupe en $-3$, donc $b=-3$ pour $f$. La droite de $g$ le coupe en $4$, donc $b=4$ pour $g$. Autre formulation du même fait : $f(0)=-3$ et $g(0)=4$.

b) On choisit deux points bien placés sur les nœuds du quadrillage, ici $(0\ ;\ -3)$ et $(1\ ;\ -1)$. En avançant de $1$ vers la droite, on monte de $2$ : le coefficient directeur de $f$ vaut $2$. On peut aussi le calculer comme un quotient d'écarts : $\frac{-1-(-3)}{1-0}=\frac{2}{1}=2$ ✓. Conseil de lecture : toujours prendre deux points situés exactement sur des intersections du quadrillage, sinon la lecture est approximative et le résultat faux.

c) La droite de $g$ descend de gauche à droite, donc son coefficient directeur est négatif : c'est un contrôle à faire AVANT de calculer. On utilise les points $(0\ ;\ 4)$ et $(4\ ;\ 0)$ : $\frac{0-4}{4-0}=\frac{-4}{4}=-1$. Le coefficient directeur de $g$ vaut donc $-1$, et il est bien négatif ✓. Concrètement, quand on avance de $1$, on descend de $1$.

d) On assemble les deux nombres trouvés pour chaque fonction : $f(x)=2x-3$ et $g(x)=-x+4$. Contrôle sur un point non utilisé : la droite de $f$ passe par $(3\ ;\ 3)$, et $f(3)=6-3=3$ ✓.

e) Le point d'intersection se lit aux coordonnées $\left(\frac{7}{3}\ ;\ \frac{5}{3}\right)$, c'est-à-dire environ $(2{,}33\ ;\ 1{,}67)$ : il ne tombe pas sur un nœud du quadrillage, et la lecture graphique ne peut donc en donner qu'une valeur approchée, autour de $2{,}3$ pour l'abscisse. Le calcul, lui, donne la valeur exacte : on résout $2x-3=-x+4$, soit $3x=7$, donc $x=\frac{7}{3}$, et l'ordonnée vaut $f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{14}{3}-3=\frac{5}{3}$ ✓. C'est la leçon principale de cette question : le graphique donne une estimation et permet de contrôler, mais seul le calcul donne la valeur exacte. On rédige donc toujours la lecture graphique en écrivant environ.

a) $u(0)=-\frac{1}{2}\times 0+3=3$, donc la droite passe par le point de coordonnées $(0\ ;\ 3)$, qui est son point de rencontre avec l'axe vertical. Et $u(4)=-\frac{1}{2}\times 4+3=-2+3=1$, donc elle passe aussi par $(4\ ;\ 1)$.

b) Parce que le coefficient directeur est $-\frac{1}{2}$ : en prenant $x=1$, on obtiendrait $u(1)=2{,}5$, une valeur à placer entre deux graduations, donc imprécise. En prenant $x=4$, qui est un multiple de $2$, le calcul tombe sur l'entier $1$ et le point se place exactement sur un nœud du quadrillage. Règle pratique valable pour tout tracé : quand le coefficient est une fraction, on choisit un $x$ multiple du dénominateur.

c) $v(0)=4\times 0-1=-1$, donc la droite passe par $(0\ ;\ -1)$. Et $v(1)=4-1=3$, donc elle passe par $(1\ ;\ 3)$. Le coefficient étant entier et grand, un écart de $1$ en abscisse suffit largement : inutile d'aller chercher $x=4$, qui donnerait $15$ et sortirait probablement du repère.

d) La droite coupe l'axe des abscisses là où l'ordonnée est nulle, donc on résout $u(x)=0$ : $-\frac{1}{2}x+3=0$, soit $-\frac{1}{2}x=-3$, donc $x=-3\times(-2)=6$. La droite de $u$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(6\ ;\ 0)$. Vérification : $u(6)=-3+3=0$ ✓. Ne pas confondre les deux axes : l'ordonnée à l'origine, $3$, se lit sur l'axe VERTICAL, tandis que ce point-ci est sur l'axe horizontal.

e) On teste les deux fonctions en remplaçant l'abscisse du point. Pour $u$ : $u(2)=-1+3=2$, ce qui correspond exactement à l'ordonnée de $C$, donc $C$ appartient à la droite de $u$. Pour $v$ : $v(2)=8-1=7$, qui vaut $7$ et non $2$, donc $C$ n'appartient pas à la droite de $v$. La méthode est toujours la même et doit être rédigée ainsi : on calcule l'image de l'abscisse, puis on la compare à l'ordonnée. Un point n'appartient à la droite que si les deux coïncident.

a) Avec la formule A, on paie $4$ dollars pour chaque entrée et rien d'autre : $A(x)=4x$. C'est une fonction LINÉAIRE, car il n'y a aucun montant fixe. Avec la formule B, on paie d'abord $30$ dollars quoi qu'il arrive, puis $1{,}50$ dollar par entrée : $B(x)=1{,}5x+30$. C'est une fonction AFFINE, où $30$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire ce que l'on paie même sans venir une seule fois. C'est la lecture concrète de $b$ dans un problème de tarif, et elle est presque toujours demandée.

b) Pour $8$ entrées : $A(8)=32$ dollars et $B(8)=12+30=42$ dollars, donc la formule A est moins chère. Pour $16$ entrées : $A(16)=64$ dollars et $B(16)=24+30=54$ dollars, donc cette fois c'est la formule B. Le classement s'inverse donc entre ces deux valeurs, ce qui garantit qu'il existe un nombre d'entrées où les deux se valent.

c) On résout $A(x)=B(x)$, c'est-à-dire $4x=1{,}5x+30$. On regroupe les termes en $x$ : $4x-1{,}5x=30$, soit $2{,}5x=30$, donc $x=\frac{30}{2{,}5}=12$. Pour $12$ entrées, les deux formules coûtent le même prix, et ce prix vaut $A(12)=48$ dollars, ce que confirme $B(12)=18+30=48$ dollars ✓.

d) Graphiquement, on cherche le point d'intersection des deux droites : il se lit à $12$ entrées et $48$ dollars, ce qui confirme le calcul. Ensuite on compare les positions : avant $12$ entrées, la droite en trait plein est en dessous, donc la formule A est la moins chère ; après $12$ entrées, c'est la droite en pointillé qui est en dessous, donc la formule B devient la plus avantageuse. Rédaction attendue au brevet : la formule A est plus avantageuse pour moins de $12$ entrées, la formule B pour plus de $12$ entrées, et les deux se valent exactement pour $12$ entrées. Le sens de la comparaison se justifie par le coefficient directeur : la formule B fait payer moins cher chaque entrée, donc elle finit toujours par rattraper son abonnement.

e) Avec la formule A, on résout $4x\leq 60$, donc $x\leq 15$ : elle peut entrer $15$ fois. Avec la formule B, on résout $1{,}5x+30\leq 60$, soit $1{,}5x\leq 30$, donc $x\leq 20$ : elle peut entrer $20$ fois. La formule B permet donc $5$ entrées de plus pour le même budget, ce qui est cohérent avec la question précédente, puisque $15$ et $20$ sont tous deux supérieurs au seuil de $12$. Attention à la nature de la réponse : le nombre d'entrées est forcément entier, donc une solution comme $x\leq 15{,}7$ aurait dû être arrondie à $15$ par le bas, jamais à $16$.

a) À chaque minute écoulée, la cuve perd $12$ litres, donc au bout de $t$ minutes elle a perdu $12t$ litres. Le volume restant est donc $V(t)=300-12t$, que l'on écrit aussi $V(t)=-12t+300$ pour retrouver la forme habituelle. Le coefficient directeur vaut $-12$ : il est négatif parce que le volume DIMINUE, et sa valeur absolue est le débit, soit $12$ litres perdus par minute. L'ordonnée à l'origine vaut $300$ : c'est le volume au moment de l'ouverture, c'est-à-dire $V(0)$. Interpréter ces deux nombres est presque toujours l'une des questions notées.

b) $V(5)=300-60=240$ litres. $V(20)=300-240=60$ litres. Contrôle de cohérence : le volume diminue bien quand le temps augmente ✓, ce qui est le comportement attendu d'une fonction de coefficient directeur négatif.

c) On résout $V(t)=120$, soit $300-12t=120$. On regroupe : $-12t=120-300=-180$, donc $t=\frac{-180}{-12}=15$. Il reste $120$ litres au bout de $15$ minutes. Vérification : $300-12\times 15=300-180=120$ ✓.

d) La cuve est vide lorsque $V(t)=0$, donc on résout $300-12t=0$, soit $12t=300$, donc $t=\frac{300}{12}=25$. La cuve est vide au bout de $25$ minutes. Cette valeur correspond graphiquement au point où la droite coupe l'axe des abscisses, et c'est aussi la borne de validité du modèle, ce qui fait le lien avec la question suivante.

e) La formule n'a de sens que pour $t$ compris entre $0$ et $25$ minutes : avant l'ouverture il ne se passe rien, et après $25$ minutes la cuve est déjà vide. Le calcul $V(30)=300-360=-60$ donnerait un volume NÉGATIF, ce qui est impossible : une cuve ne peut pas contenir moins que rien. Le modèle affine cesse donc d'être valable dès que la cuve est vide, où le volume reste ensuite constamment nul. C'est un point important pour le brevet : une formule mathématique peut continuer de fournir des nombres bien au-delà du domaine où la situation qu'elle décrit existe encore, et c'est à l'élève de reconnaître la limite.

a) On résout $2x-6=0$, soit $2x=6$, donc $x=3$. Cette solution est l'abscisse du point où la droite de $f$ coupe l'axe des abscisses : ce point a pour coordonnées $(3\ ;\ 0)$. On dit aussi que $3$ est le zéro de la fonction $f$, et c'est la valeur qui sépare les images positives des images négatives.

b) On résout $2x-6>0$, soit $2x>6$, donc $x>3$. Comme on a divisé par $2$, qui est positif, le sens de l'inégalité est conservé. Graphiquement, cela signifie que la droite de $f$ est AU-DESSUS de l'axe des abscisses pour $x>3$, et en dessous pour $x<3$. Ce résultat est cohérent avec la question a) et avec le signe du coefficient directeur : la fonction est croissante, donc elle passe du négatif au positif une fois pour toutes, en $x=3$.

c) On résout $2x-6=-x+9$. On regroupe les termes en $x$ à gauche et les nombres à droite : $2x+x=9+6$, soit $3x=15$, donc $x=5$. L'ordonnée s'obtient en remplaçant dans l'une OU l'autre des deux fonctions, et il vaut mieux le faire dans les deux pour se contrôler : $f(5)=10-6=4$ et $g(5)=-5+9=4$ ✓. Le point d'intersection a donc pour coordonnées $(5\ ;\ 4)$.

d) On résout $2x-6<-x+9$, soit $3x<15$, donc $x<5$. L'ensemble cherché est celui des nombres strictement inférieurs à $5$. Interprétation graphique, qui est la formulation attendue : la droite de $f$ est en dessous de celle de $g$ à gauche du point d'intersection. Cela se comprend sans calcul, puisque $f$ est croissante et $g$ décroissante : $f$ part de plus bas et finit plus haut, en se croisant une seule fois.

e) On teste $x=0$, qui appartient à l'ensemble trouvé : $f(0)=-6$ et $g(0)=9$, et l'on a bien $-6<9$ ✓. On teste ensuite $x=8$, qui n'y appartient pas : $f(8)=10$ et $g(8)=1$, et cette fois $10>1$, donc l'inégalité est bien fausse ✓. Ces deux essais confirment le résultat de part et d'autre du seuil. Ce contrôle par deux valeurs test est la méthode la plus sûre pour vérifier le SENS d'une inéquation, qui est l'erreur la plus fréquente : il coûte deux lignes et détecte immédiatement une inégalité écrite à l'envers.

a) Faux, c'est l'inclusion inverse qui est vraie : toute fonction LINÉAIRE est affine, puisqu'elle correspond au cas $b=0$. Contre-exemple : $f(x)=2x+5$ est affine mais pas linéaire, car $f(0)=5$ et non $0$, et car $f(2)=9$ n'est pas le double de $f(1)=7$. Autrement dit, les fonctions linéaires forment une petite famille à l'intérieur de la grande famille des fonctions affines.

b) Faux. Il faut d'abord remettre l'expression dans l'ordre habituel : $5-2x=-2x+5$. Le coefficient directeur est donc $-2$, et $5$ est l'ordonnée à l'origine. On peut s'en convaincre sans réécriture, par un calcul d'écart : $f(0)=5$ et $f(1)=3$, donc la fonction perd $2$ quand $x$ augmente de $1$, ce qui donne bien $a=-2$. L'ordre d'écriture des termes ne change jamais la nature des deux nombres, seule leur place par rapport au $x$ compte.

c) Faux. Cette propriété caractérise les fonctions linéaires, pas les fonctions affines en général. La droite d'une fonction affine passe par le point de coordonnées $(0\ ;\ b)$, qui n'est l'origine que si $b=0$. Contre-exemple : la droite de $f(x)=3x+4$ coupe l'axe des ordonnées en $4$, donc elle ne passe pas par l'origine. C'est justement ce décalage vertical qui distingue une fonction affine d'une fonction linéaire de même coefficient.

d) Faux, et la confusion porte sur deux choses différentes : le signe de $a$ règle le SENS DE VARIATION, pas le signe des images. Contre-exemple : $f(x)=-2x+10$ a un coefficient directeur négatif, mais $f(0)=10$, $f(1)=8$ et $f(4)=2$ sont tous positifs. La fonction décroît, c'est tout ce que $a<0$ signifie, et elle ne devient négative qu'à partir de $x=5$. Formulation correcte : si $a<0$, la fonction est décroissante, donc les images diminuent quand $x$ augmente.

e) Faux. Deux fonctions affines de même coefficient directeur ont des droites PARALLÈLES, ce qui n'est pas la même chose que confondues. Contre-exemple : $f(x)=3x+1$ et $g(x)=3x-4$ ont toutes deux le coefficient $3$, mais elles ne coïncident jamais, puisque $f(x)-g(x)=5$ pour tout $x$ : la première droite est toujours $5$ unités au-dessus de la seconde. Les deux droites sont confondues seulement lorsque $a$ ET $b$ sont égaux, et l'écart constant entre elles est exactement la différence des deux ordonnées à l'origine.

a) $F(0)=1{,}8\times 0+32=32$ ✓ : le zéro Celsius, température de fusion de la glace, vaut bien $32$ degrés Fahrenheit. Et $F(100)=180+32=212$ ✓ : les $100$ degrés Celsius de l'ébullition de l'eau valent $212$ degrés Fahrenheit. Ces deux repères sont ceux qui ont servi à construire les deux échelles, et ils suffisent d'ailleurs à retrouver la fonction, puisque deux points déterminent une fonction affine.

b) $F(25)=1{,}8\times 25+32=45+32=77$ degrés Fahrenheit : c'est une belle journée d'été à Montréal. $F(-10)=1{,}8\times(-10)+32=-18+32=14$ degrés Fahrenheit. Noter que $-10$ degrés Celsius donne une valeur POSITIVE en Fahrenheit : les deux échelles ne changent pas de signe au même endroit, ce qui est la conséquence directe du $+32$.

c) On cherche un antécédent, donc on résout $1{,}8c+32=98{,}6$. On retranche $32$ : $1{,}8c=66{,}6$, puis on divise : $c=\frac{66{,}6}{1{,}8}=37$. La température normale du corps est donc de $37$ degrés Celsius ✓, ce que l'on savait par ailleurs, et qui confirme le calcul.

d) Le coefficient directeur $1{,}8$ signifie qu'une hausse de $1$ degré Celsius correspond à une hausse de $1{,}8$ degré Fahrenheit. Autrement dit, un degré Fahrenheit est un écart plus PETIT qu'un degré Celsius : l'échelle Fahrenheit est plus fine, il lui faut $180$ graduations là où l'échelle Celsius n'en compte que $100$ entre la glace et l'ébullition, et $\frac{180}{100}=1{,}8$ ✓. Attention à la formulation : $1{,}8$ concerne les ÉCARTS de température, pas les températures elles-mêmes, sans quoi le $+32$ n'aurait aucune raison d'être.

e) On cherche la température $c$ telle que $F(c)=c$, c'est-à-dire $1{,}8c+32=c$. On regroupe les termes en $c$ : $1{,}8c-c=-32$, soit $0{,}8c=-32$, donc $c=\frac{-32}{0{,}8}=-40$. La réponse est donc $-40$ : c'est la seule température qui s'écrit avec le même nombre dans les deux unités. Vérification : $F(-40)=1{,}8\times(-40)+32=-72+32=-40$ ✓. Interprétation graphique, qui vaut la peine d'être vue : on a cherché l'intersection de la droite de $F$ avec la droite d'équation $y=x$, et comme les coefficients directeurs $1{,}8$ et $1$ sont différents, ces deux droites ne sont pas parallèles et se coupent donc en exactement un point. C'est aussi une température que Montréal atteint certains hivers, ce qui rend l'anecdote facile à retenir.