Troisième, programme français à Montréal • Exercices corrigés
Cette fiche de révision couvre le développement et la factorisation en classe de troisième du programme français, tels qu'ils sont évalués au brevet et dans les contrôles du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas à Montréal.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : décider d'abord quelle forme sert la question, puis produire cette forme sans perdre un signe en route.
Le fil du chapitre
Développer et factoriser sont deux trajets OPPOSÉS, et c'est le but qui impose lequel prendre : on factorise pour RÉSOUDRE, on développe pour COMPARER ou pour calculer. Le reste des points perdus vient d'un signe moins devant une parenthèse ou d'un facteur commun vu trop tard.
L'énoncé impose presque toujours la forme : « résoudre » appelle la forme factorisée, « calculer pour » ou « montrer que les deux expressions sont égales » appelle la forme développée.
Toujours chercher le facteur commun EN PREMIER, avant toute identité : se fait en deux temps, et sauter le premier fait rater le second.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« . »
Pourquoi : Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés. Le test en le montre en trois secondes : d'un côté, de l'autre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« Ici tout entier, donc et . »
Pourquoi : Le carré porte sur le produit en entier, donc sur le aussi. Écrire sur le brouillon avant d'appliquer l'identité supprime l'erreur.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le signe moins change le signe de CHAQUE terme de la parenthèse. »
Pourquoi : Soustraire une parenthèse, c'est ajouter son opposé, et l'opposé d'une différence retourne les deux termes. Le test en tranche : contre .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« , mais ne se factorise pas : il n'existe pas d'identité pour une somme de carrés. »
Pourquoi : L'identité contient une différence, et le signe n'est pas négociable. Contrôle : vaut en et ne s'annule jamais, alors qu'un produit de deux facteurs s'annulerait.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Dans , je ne vois pas de facteur commun. »
Ce qu'il faut écrire
« . »
Pourquoi : Un terme écrit seul est toujours multiplié par : réécrire ce rend le facteur commun visible et la factorisation mécanique.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc ou . »
Ce qu'il faut écrire
« Je développe et je ramène tout à zéro : , donc . La règle du produit nul ne s'applique QUE si le second membre est . »
Pourquoi : Un produit vaut d'une infinité de façons : , , et ainsi de suite. Seul le zéro force l'un des facteurs à être nul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je divise par : . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc , donc ou : il y a DEUX solutions. »
Pourquoi : Diviser par suppose , hypothèse que rien ne justifie. On ramène toujours tout à zéro et on factorise : aucune solution ne se perd.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Résoudre : je développe, ... »
Ce qu'il faut écrire
« L'expression est DÉJÀ un produit nul : ou , donc ou . »
Pourquoi : Développer une forme factorisée quand on doit résoudre, c'est détruire exactement l'information utile. La présence d'un produit égal à zéro est un cadeau, pas un obstacle.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« J'ai testé , et , ça marche à chaque fois : les deux expressions sont égales. »
Ce qu'il faut écrire
« Je développe la forme de gauche et j'obtiens exactement l'expression de droite : elles sont donc égales pour TOUT nombre . »
Pourquoi : Trois exemples ne démontrent rien, alors qu'un seul contre-exemple suffit à réfuter. Le calcul littéral est la seule preuve acceptée au brevet.
Lire le verbe de la question, et surtout le BUT poursuivi.
Si « résoudre », « pour quelle valeur », « déterminer les solutions » → FACTORISER, puis appliquer la règle du produit nul
Exemple : devient
Si « calculer pour », « quelle est l'aire quand » → la forme la plus SIMPLE à calculer, souvent la forme développée réduite
Exemple : se calcule plus vite que
Si « montrer que les deux expressions sont égales », « quel que soit » → DÉVELOPPER les deux et comparer les formes réduites
Exemple : et donnent tous deux
Si « montrer que cette affirmation est fausse » → trouver UN contre-exemple numérique
Exemple : alors que
Si l'énoncé impose la forme (« développer puis réduire », « factoriser l'expression ») → faire exactement ce qui est demandé, le barème porte sur la forme
Exemple : « factoriser » ne se satisfait jamais d'une somme
Quand la question ne dit rien, se demander à quoi servira le résultat : la question suivante de l'exercice le révèle presque toujours.
Regarder la forme de la SOMME à factoriser, terme par terme, avant de chercher une identité.
Si tous les termes partagent un chiffre ou une lettre → sortir le FACTEUR COMMUN, le plus grand possible
Exemple :
toujours à faire en premier, avant toute identité
Si une même PARENTHÈSE apparaît dans plusieurs termes → sortir cette parenthèse comme facteur commun
Exemple :
un terme écrit seul cache un facteur
Si deux termes, un moins entre eux, chacun un carré → DIFFÉRENCE DE CARRÉS :
Exemple :
Si trois termes, deux carrés et un double produit → CARRÉ PARFAIT :
Exemple :
vérifier que le terme du milieu vaut bien
Si deux termes séparés par un PLUS, tous deux des carrés → aucune factorisation n'existe au collège
Exemple : reste tel quel
Après avoir sorti un facteur commun, relire ce qui reste dans la parenthèse : c'est souvent une identité remarquable, et la factorisation se poursuit.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande de résoudre une équation contenant un carré ou un produit.
Phrase de conclusion
« L'équation admet exactement deux solutions : et . »
Le piège : Diviser par dès la première ligne : la solution disparaît alors sans laisser de trace, et le barème compte les solutions.
Barème : 1 point pour le passage à zéro, 1 point pour la factorisation, 1 point pour la règle citée et les deux solutions.
Quand l'utiliser : L'énoncé propose deux écritures et demande de prouver qu'elles donnent toujours le même résultat.
Phrase de conclusion
« Les deux expressions se réduisent toutes deux à , donc elles sont égales pour tout nombre . »
Le piège : Se contenter de trois essais numériques : cela ne démontre rien et la question, elle, demande une démonstration.
Barème : 1 point par développement mené correctement, 1 point pour la conclusion portant sur tout nombre.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le test numérique en ou
Remplacer par un petit nombre dans la forme de départ ET dans la forme obtenue : les deux résultats doivent coïncider. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre.
vaut en , et vaut : le double produit manque. Éviter , qui laisse passer trop d'erreurs.
Compter les termes après développement
Un produit de deux parenthèses de deux termes donne QUATRE termes avant réduction. En trouver trois signale un produit oublié.
doit donner , soit quatre termes, avant de se réduire à .
Redévelopper la factorisation
Après avoir factorisé, redévelopper mentalement le produit obtenu : on doit retomber exactement sur la somme de départ, signes compris.
redonne : la factorisation est confirmée sans refaire le raisonnement.
Réinjecter chaque solution dans l'équation initiale
Remplacer chaque solution trouvée dans l'équation de DÉPART, jamais dans une ligne intermédiaire, et vérifier l'égalité.
Pour : et . Les deux solutions conviennent, donc aucune n'a été inventée.
Un bassin carré de côté mètres est entouré d'une allée de m de large, elle-même carrée.
1. Exprimer l'aire de l'allée en fonction de , sous forme développée réduite.
2. Retrouver ce résultat en factorisant une différence de carrés.
3. Calculer l'aire de l'allée pour , puis déterminer pour que cette aire vaille m.
Étape 1
Côté du grand carré : . Aire totale : . Aire du bassin : . Aire de l'allée : .
Pourquoi
L'allée borde le bassin des DEUX côtés, donc le côté augmente de et non de . Cette ligne se sécurise sur la figure, en comptant les deux bandes.
Étape 2
Développement : .
Pourquoi
On applique l'identité du carré d'une somme, avec son double produit . Les se simplifient, ce qui est le signe que le calcul est sur la bonne voie.
Étape 3
Autre chemin : est une différence de carrés avec et , donc elle vaut .
Pourquoi
Reconnaître la différence de carrés évite tout développement et donne au passage la forme factorisée , soit . Les deux chemins concordent, ce qui vaut vérification.
Étape 4
Pour : m. Contrôle par les aires : .
Pourquoi
On calcule dans la forme réduite, la plus rapide, puis on contrôle dans la forme de départ. Le contrôle est indépendant des deux développements, donc il attrape une erreur de signe.
Étape 5
Aire de m : , donc , donc m.
Pourquoi
La forme réduite transforme la question en une équation du premier degré. La forme factorisée marche aussi et donne : les deux sont acceptées.
Étape 6
Vérification : pour , le grand carré mesure m de côté, donc m.
Pourquoi
On repart de la situation, pas de la formule : si l'expression de l'aire avait été fausse, ce contrôle l'aurait révélé, alors qu'une simple relecture ne l'aurait pas fait.
Conclusion rédigée
« L'aire de l'allée vaut , soit sous forme factorisée. Elle mesure m pour un bassin de m de côté, et elle atteint m pour m. »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire que le grand carré a pour côté et trouver une aire d'allée de : la figure montre pourtant deux bandes de m sur chaque dimension, et le contrôle numérique contredit aussitôt le que cette formule donnerait.
On factorise quand il faut résoudre une équation, parce qu'un produit nul livre directement ses solutions. On développe quand il faut comparer deux expressions, calculer une valeur ou reconnaître un coefficient. Si l'énoncé impose la forme, c'est elle qui est notée, quel que soit le raisonnement.
Parce qu'il manque le double produit. Géométriquement, le carré de côté a plus b contient le carré de a, le carré de b, mais aussi deux rectangles de côtés a et b. Le test numérique le confirme : un plus trois au carré vaut seize, alors que un au carré plus trois au carré vaut dix.
On repère la parenthèse qui apparaît dans chaque terme, on la sort, et on écrit dans le crochet ce qui reste de chaque terme. Un terme réduit à cette seule parenthèse laisse un facteur un, qu'il faut écrire explicitement pour ne pas le perdre.
Non, jamais. Un produit qui vaut six peut être obtenu d'une infinité de façons, donc rien ne force un facteur à prendre une valeur précise. Seul le zéro a cette propriété. Il faut d'abord tout ramener dans le même membre pour obtenir une égalité à zéro, puis factoriser.
Parce que cela suppose que x n'est pas nul, ce que rien ne garantit, et cela fait disparaître la solution zéro sans prévenir. La bonne méthode consiste à tout ramener à zéro puis à factoriser par x : les deux solutions apparaissent alors ensemble.
