Seconde, programme français à Montréal • Fiche de révision
Cette fiche de révision couvre les trois identités remarquables au niveau de la classe de seconde du programme français, telles qu'elles sont évaluées au Lycée Marie de France et au Collège Stanislas à Montréal. La troisième a sa propre fiche sur le même chapitre.
Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà : elle dit ce qui fait perdre des points sur ce chapitre, et le geste précis qui évite chaque perte. Le fil est toujours le même : nommer et nommer , coefficient et signe compris, avant d'écrire la moindre ligne.
Le fil du chapitre
Une identité remarquable ne se récite pas, elle se REGARDE : on nomme , on nomme , coefficient et signe compris, avant d'écrire quoi que ce soit. Presque toutes les pertes de points du chapitre viennent d'un ou d'un mal nommé.
Écrire une ligne intermédiaire « et » avant de développer coûte cinq secondes et supprime la moitié des erreurs du chapitre. Les correcteurs la valorisent.
Le test se fait dans cet ordre. Sauter la question 3 est ce qui produit les factorisations fausses que le développement de contrôle démasque aussitôt.
Un élève qui cherche l'identité avant le facteur commun déclare souvent l'expression « non factorisable » : c'est la conclusion la plus coûteuse du chapitre, et elle est presque toujours fausse.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« . »
Pourquoi : Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés. Le test numérique le montre en trois secondes : pour , alors que .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le carré porte sur le bloc entier, coefficient compris. »
Pourquoi : Pour , et : les deux écritures ne désignent pas le même nombre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le dernier terme est , donc positif. Seul le double produit porte le signe moins. »
Pourquoi : Un carré n'est jamais négatif. C'est aussi ce qui rend non factorisable par identité, alors que l'est.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et se factorisent tous les deux. »
Ce qu'il faut écrire
« , mais ne se factorise pas : c'est une somme de deux carrés, elle vaut au moins et ne s'annule jamais. »
Pourquoi : L'identité est , avec un moins. Il n'existe aucune identité pour à ce niveau.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donc , donc est la solution. »
Ce qu'il faut écrire
« donne ou , donc ou : deux nombres opposés ont le même carré. »
Pourquoi : Passer au carré perd le signe. La méthode sûre est de tout ramener à zéro puis de factoriser : .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donc . »
Ce qu'il faut écrire
« donne , donc : le carré s'annule pour l'OPPOSÉ du nombre écrit dans la parenthèse. »
Pourquoi : La parenthèse contient , pas . On résout d'abord l'équation du premier degré qu'elle contient, ensuite seulement on lit la valeur de .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donc ou . »
Ce qu'il faut écrire
« La règle du produit nul ne vaut QUE pour . On développe et l'on ramène tout d'un côté : , soit , donc ou . »
Pourquoi : Un produit vaut de mille façons : , , . Seul le zéro force l'un des facteurs à être nul.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : ni ni n'est un carré, donc cette expression ne se factorise pas. »
Ce qu'il faut écrire
« On sort d'abord le facteur commun : . »
Pourquoi : Le facteur commun cache l'identité. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle conduit à ne rien écrire du tout.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« On écrit la parenthèse : , donc . »
Pourquoi : Le signe moins change le signe de CHACUN des trois termes. Contrôle immédiat : pour , l'expression vaut , et non .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« pour tous nombres positifs et . »
Ce qu'il faut écrire
« Contre-exemple : , alors que . La racine ne se distribue pas sur une somme. »
Pourquoi : C'est la même erreur que , lue à l'envers : elle oublie encore le double produit.
La FORME de l'expression écrite, une fois le facteur commun sorti.
Si une parenthèse élevée au carré → développer : carré d'une somme ou d'une différence, selon le signe intérieur
Exemple :
nommer et AVANT d'écrire la ligne
Si deux termes séparés par un moins, tous deux des carrés → factoriser en
Exemple :
vaut aussi avec une racine en Seconde :
Si deux termes séparés par un plus, tous deux des carrés → ne se factorise pas, et l'expression ne s'annule jamais
Exemple : reste
le dire explicitement rapporte le point, ne rien écrire ne rapporte rien
Si trois termes, premier et dernier des carrés positifs, milieu égal à → carré parfait : factoriser en ou
Exemple :
le signe du milieu donne le signe dans la parenthèse
Si trois termes qui ratent le test du double produit → ce n'est pas une identité : facteur commun, ou forme canonique en Seconde
Exemple :
en Troisième, on s'arrête et l'on dit pourquoi
Si deux carrés de parenthèses soustraits → différence de carrés avec et des BLOCS
Exemple :
beaucoup plus rapide que de développer les deux carrés
Aucune branche ne se lit avant d'avoir cherché un facteur commun : ne ressemble à aucune identité tant que le n'est pas sorti.
La forme de l'équation, une fois tout ramené du même côté ou isolé le carré.
Si avec → DEUX solutions opposées, ou
Exemple : donne ou
en Troisième est en général un carré parfait
Si → UNE seule solution,
Exemple : donne
seul cas où l'on n'écrit qu'un nombre
Si avec → AUCUNE solution : un carré n'est jamais négatif
Exemple : n'a pas de solution
le dire et le justifier vaut le point entier
Si avec → ou
Exemple : donne ou
ne jamais oublier le en repassant à
Si un produit de facteurs égal à → règle du produit nul : une équation par facteur
Exemple : donne ou
chaque facteur donne sa solution, on les liste toutes
Si un produit égal à autre chose que → développer, tout ramener d'un côté, puis factoriser
Exemple : devient
la règle du produit nul est interdite avant cette étape
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé dit « factoriser, puis résoudre », ou donne une équation où apparaît des deux côtés.
Phrase de conclusion
« L'équation admet deux solutions : et . »
Le piège : Écrire « et ». Le connecteur est OU, jamais ET : aucun nombre ne vérifie les deux à la fois, et le correcteur sanctionne ce mot.
Barème : 1 point pour la mise à zéro, 2 pour la factorisation, 1 pour la citation de la règle, 1 pour les deux solutions.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande « démontrer que », « quel est le plus petit nombre que peut valoir » ou fournit lui-même une forme à vérifier. Programme de Seconde.
Phrase de conclusion
« Pour tout réel , , et : le minimum de vaut , atteint en . »
Le piège : Confondre le minimum et l'abscisse où il est atteint, en répondant « le minimum est ». Le minimum est une valeur de , donc .
Barème : 1 point pour la forme canonique, 1 pour l'encadrement du carré, 1 pour l'inégalité conclue, 1 pour le cas d'égalité.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Remplacer par des deux côtés
Toute ligne « expression de départ expression obtenue » doit rester vraie pour une valeur numérique. Prenez , calculez les deux membres de tête : s'ils diffèrent, la ligne est fausse.
donne à gauche et à droite : erreur trouvée en trois secondes, sans savoir laquelle.
Contrôler le double produit
Dans tout carré développé, le terme du milieu doit valoir exactement . Recalculez-le à part, sur le brouillon, avant de passer à la ligne suivante.
Sur , le milieu doit valoir . Un signale que le coefficient a été oublié.
Vérifier le signe du dernier terme
Dans un carré développé, le dernier terme est toujours POSITIF, sans exception, puisque c'est le carré de . Un signe moins à la fin est toujours une erreur.
ne peut être aucun carré : c'est qu'il faut, et l'expression écrite ne se factorise pas.
Compter les solutions
Une équation qui se ramène à un carré égal à un nombre strictement positif a DEUX solutions. Si votre copie n'en porte qu'une, relisez le passage à la racine.
avec la seule réponse : il manque , donc la moitié des points.
Redévelopper la factorisation
Une factorisation se contrôle en la redéveloppant, toujours. C'est la vérification la plus rentable du chapitre et la plus négligée, parce qu'elle semble refaire le travail.
: si vous retrouvez ou , la factorisation est fausse.
Mettre sous la forme , en déduire le plus petit nombre que peut valoir , puis résoudre en factorisant.
Cet exercice enchaîne les trois identités : on complète un carré, on utilise qu'un carré est positif, et l'on factorise une différence de carrés.
Étape 1
est le début de , car .
Pourquoi
On lit le double produit à l'envers : le terme du milieu vaut avec , donc est la moitié du coefficient de . C'est tout le mécanisme de la forme canonique.
Étape 2
Or : il y a de trop. Donc .
Pourquoi
On ne peut pas ajouter sans le retrancher : cette étape conserve l'égalité, et c'est elle que les copies sautent.
Étape 3
.
Pourquoi
La constante d'origine se réintroduit à la fin. Une erreur de signe ici décale tout le reste sans rien casser visiblement.
Étape 4
Vérification : , c'est bien .
Pourquoi
Le redéveloppement coûte une ligne et sécurise les trois questions suivantes, qui reposent toutes sur cette forme.
Étape 5
Pour tout réel , , donc , c'est-à-dire .
Pourquoi
Une seule propriété est utilisée, et il faut l'écrire : un carré est positif ou nul. C'est elle qui est notée, pas la conclusion.
Étape 6
L'égalité a lieu si et seulement si , donc pour . Le minimum de vaut , atteint en .
Pourquoi
Le minimum est une valeur de , l'abscisse est autre chose. Nommer les deux séparément évite la confusion la plus fréquente de la question.
Étape 7
s'écrit , soit , donc , c'est-à-dire .
Pourquoi
La forme canonique fait apparaître une différence de deux carrés, avec et comme BLOCS. C'est la même identité que d'habitude, sur des blocs plus gros.
Étape 8
Règle du produit nul : ou , donc ou . Contrôle : , le terme constant, et , l'opposé du coefficient de .
Pourquoi
Le contrôle par la somme et le produit des racines ne refait pas le calcul : il teste autre chose, donc il attrape des erreurs que la relecture ne voit pas.
Conclusion rédigée
« ; le minimum de vaut , atteint en ; et l'équation admet deux solutions, et . »
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire en oubliant de retrancher le ajouté. Le minimum annoncé devient , alors que la courbe descend manifestement sous l'axe : la vérification par développement, en une ligne, aurait suffi.
Le carré d'une somme : a plus b, le tout au carré, vaut a au carré plus deux fois a fois b plus b au carré. Le carré d'une différence : même chose avec un moins devant le double produit, le dernier terme restant positif. Et la différence de deux carrés : a moins b, multiplié par a plus b, vaut a au carré moins b au carré.
Parce qu'il manque le double produit. Un carré de côté a plus b se découpe en quatre morceaux : le carré de côté a, le carré de côté b, et DEUX rectangles de côtés a et b. Ce sont ces deux rectangles qui donnent le terme deux fois a fois b. Le test numérique le confirme : un plus cinq, le tout au carré, vaut 36 et non 26.
Posez-vous trois questions dans l'ordre. Le premier terme est-il un carré ? Le dernier terme est-il un carré positif ? Le terme du milieu vaut-il exactement le double produit des deux racines trouvées ? Il faut les trois réponses positives. Si la troisième échoue, ce n'est pas une identité remarquable et il faut chercher autre chose.
Parce qu'il n'existe d'identité que pour la DIFFÉRENCE de deux carrés, jamais pour leur somme. Concrètement, x au carré plus 9 vaut toujours au moins 9 : cette expression ne s'annule pour aucun nombre, donc elle ne peut pas s'écrire comme un produit de facteurs du premier degré. La dire non factorisable, en le justifiant, rapporte le point.
Deux, parce que deux nombres opposés ont le même carré. On écrit que x moins 2 vaut 3 ou que x moins 2 vaut moins 3, ce qui donne x égale 5 ou x égale moins 1. La méthode la plus sûre consiste à tout ramener à zéro puis à factoriser la différence de deux carrés obtenue.
Au brevet, elles servent à développer, à factoriser et à résoudre des équations par la règle du produit nul, ainsi qu'à des calculs mentaux comme 101 au carré. En seconde, elles deviennent l'outil de la forme canonique, qui donne le minimum d'un trinôme, ses solutions et le sens de variation d'une parabole.
