Exercices corrigés sur les identités remarquables (Seconde)

1) Ici $a=3x$ et $b=4$. C'est la seule chose à écrire avant de calculer, et c'est elle qui décide de tout. On applique alors $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ : $a^{2}=(3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=9x^{2}$, le double produit vaut $2\times 3x\times 4=24x$, et $b^{2}=16$. Donc $(3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$. Vérification pour $x=1$ : la forme de départ vaut $7^{2}=49$ et la forme développée vaut $9+24+16=49$. Prenez l'habitude de tester avec $x=1$, cela coûte trois secondes et attrape presque toutes les erreurs.

2) Ici $a=5x$ et $b=2$, et le signe moins est DANS l'identité, pas dans $b$. On applique $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ : $a^{2}=25x^{2}$, le double produit vaut $2\times 5x\times 2=20x$, et $b^{2}=4$. Donc $(5x-2)^{2}=25x^{2}-20x+4$. Le dernier terme est POSITIF, toujours : c'est le carré de $2$, et un carré ne peut pas être négatif. Vérification pour $x=1$ : $3^{2}=9$ d'un côté, $25-20+4=9$ de l'autre.

3) L'expression $(4-3x)^{2}$ se lit avec $a=4$ et $b=3x$, dans cet ordre : $a^{2}=16$, le double produit vaut $2\times 4\times 3x=24x$, et $b^{2}=9x^{2}$. Donc $(4-3x)^{2}=16-24x+9x^{2}$, que l'on écrit aussi $9x^{2}-24x+16$. Remarquez que $(4-3x)^{2}$ et $(3x-4)^{2}$ donnent le même résultat : deux nombres opposés ont le même carré. C'est vrai pour le carré, et seulement pour lui ; pour la différence de carrés, l'ordre changera le signe.

4) Le morceau $2$ est un rectangle de dimensions $b$ et $a-b$, donc son aire vaut $b(a-b)=ab-b^{2}$. Le morceau $3$ a les mêmes dimensions, donc la même aire. Le morceau $4$ est un carré de côté $b$, son aire vaut $b^{2}$. Le grand carré a pour aire $a^{2}$, donc le morceau $1$ a pour aire $a^{2}-2(ab-b^{2})-b^{2}=a^{2}-2ab+2b^{2}-b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$. Or le morceau $1$ est le carré de côté $a-b$, donc son aire vaut aussi $(a-b)^{2}$. Les deux écritures désignent la même surface : $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$. Le dessin explique pourquoi le $+b^{2}$ final est positif : en retirant les deux rectangles, on a retiré DEUX FOIS le petit carré du coin, il faut donc le rendre une fois.

5) Pour $x=1$, le membre de gauche vaut $(5-2)^{2}=3^{2}=9$, tandis que le membre de droite vaut $5-20+4=-11$. Un carré ne peut pas être négatif : l'égalité est fausse, et un seul contre-exemple suffit à le prouver. L'étape sautée est le carré du COEFFICIENT : l'élève a posé $a=5x$ pour le double produit, ce qui lui a bien donné $20x$, mais il a écrit $a^{2}=5x^{2}$ au lieu de $(5x)^{2}=25x^{2}$. Le carré porte sur le bloc entier, coefficient compris. Cette erreur coûte cher parce qu'elle passe inaperçue : le reste de la ligne est juste.

6) On développe les deux carrés séparément : $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ et $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$. Il faut ensuite soustraire la SECONDE EXPRESSION ENTIÈRE, donc changer les trois signes : $E=x^{2}+6x+9-x^{2}+6x-9=12x$. Les carrés se suppriment, les $9$ aussi, et il ne reste que les deux doubles produits qui s'additionnent. Vérification pour $x=2$ : $5^{2}-(-1)^{2}=25-1=24$, et $12\times 2=24$. Le piège ici est le signe moins devant la parenthèse : celui qui n'écrit pas la parenthèse perd le $-9$ et trouve $12x+18$.

1) Avec $a=x$ et $b=6$ : $(x-6)(x+6)=x^{2}-36$. On peut le retrouver par la double distributivité, $x^{2}+6x-6x-36$, où les deux termes du milieu sont opposés et disparaissent : c'est exactement ce que l'identité fait gagner. Avec $a=3x$ et $b=5$ : $(3x+5)(3x-5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25$. Vérification pour $x=1$ : $8\times(-2)=-16$ et $9-25=-16$.

2) Il faut d'abord reconnaître chaque terme comme un carré. $x^{2}-49=x^{2}-7^{2}=(x-7)(x+7)$. Ensuite $25x^{2}=(5x)^{2}$ et $16=4^{2}$, donc $25x^{2}-16=(5x-4)(5x+4)$. Enfin $9-4x^{2}=3^{2}-(2x)^{2}=(3-2x)(3+2x)$ : ici c'est le nombre seul qui joue le rôle de $a$, et la lettre celui de $b$, ce qui dérange beaucoup d'élèves. On vérifie pour $x=1$ : $9-4=5$ et $(3-2)(3+2)=1\times 5=5$.

3) La surface restante est le grand carré moins le petit, donc son aire vaut $a^{2}-b^{2}$. Le rectangle I a pour dimensions $a-b$ en largeur et $a$ en hauteur ; le rectangle II a pour dimensions $b$ en largeur et $a-b$ en hauteur. Leur aire totale vaut $a(a-b)+b(a-b)$, et les deux termes ont le facteur commun $a-b$ : cela fait $(a-b)(a+b)$. En pratique, on fait pivoter le rectangle II d'un quart de tour et on le colle sous le rectangle I : on obtient un seul rectangle de largeur $a-b$ et de hauteur $a+b$. Comme c'est la même surface, $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$.

4) Pour $x=0$, l'expression de départ vaut $0+49=49$, tandis que le produit proposé vaut $7\times(-7)=-49$. Les deux ne sont pas égaux, donc la factorisation est fausse. Plus profondément : $x^{2}+49$ est une SOMME de deux carrés, donc toujours strictement positive, alors qu'un produit $(x+7)(x-7)$ s'annule pour $x=7$. Une somme de deux carrés ne se factorise pas. Retenez la formule courte : seule la différence se factorise, jamais la somme.

5) Les deux termes sont des carrés, donc on pose $a=2x+1$ et $b=x-3$, chacun avec sa parenthèse : $F=[(2x+1)-(x-3)]\times[(2x+1)+(x-3)]$. Le premier crochet demande de changer les signes de $x-3$ : $2x+1-x+3=x+4$. Le second se réduit sans piège : $2x+1+x-3=3x-2$. Donc $F=(x+4)(3x-2)$. Vérification pour $x=1$ : d'un côté $3^{2}-(-2)^{2}=9-4=5$, de l'autre $5\times 1=5$. Le piège est le crochet de gauche, où l'oubli de la parenthèse donnerait $x-2$ au lieu de $x+4$.

6) On écrit $5$ comme un carré : $5=(\sqrt{5})^{2}$, ce qui est permis puisque $\sqrt{5}$ est le nombre positif dont le carré vaut $5$. Alors $x^{2}-5=x^{2}-(\sqrt{5})^{2}=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$. Vérification pour $x=1$ : $(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=1-5=-4$, et l'expression de départ vaut $1-5=-4$. C'est ce petit pas qui sépare la troisième de la seconde : en troisième on s'arrête quand les carrés ne sont pas entiers, en seconde on continue avec les racines, et c'est exactement ce que fera le second degré en Première.

1) Les deux termes sont divisibles par $2$ : $2x^{2}-32=2(x^{2}-16)$. On ne s'arrête pas là, car $x^{2}-16$ est une différence de deux carrés : $2x^{2}-32=2(x-4)(x+4)$. Sauter le facteur commun est l'erreur la plus courante du chapitre : sans lui, on voit $2x^{2}$ et $32$ et on ne reconnaît aucun carré, puisque $2$ n'en est pas un. Vérification pour $x=3$ : $18-32=-14$ et $2\times(-1)\times 7=-14$.

2) Le facteur commun est $x$ : $x^{3}-x=x(x^{2}-1)$. Puis $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$, donc $x^{3}-x=x(x-1)(x+1)$. Le résultat se lit très bien : c'est le produit de trois entiers consécutifs quand $x$ est entier, ce qui explique au passage que $x^{3}-x$ soit toujours divisible par $6$. Vérification pour $x=3$ : $27-3=24$ et $3\times 2\times 4=24$.

3) Premier terme : $9x^{2}=(3x)^{2}$, c'est un carré, donc $a=3x$. Dernier terme : $4=2^{2}$, positif, donc $b=2$. Terme du milieu : le double produit vaudrait $2\times 3x\times 2=12x$, et c'est bien ce qui est écrit. Les trois conditions sont remplies, donc $9x^{2}+12x+4=(3x+2)^{2}$. Vérification pour $x=1$ : $9+12+4=25$ et $5^{2}=25$.

4) Ici $a=x$ et $b=5$, car $25=5^{2}$, et le double produit vaut $2\times x\times 5=10x$, précédé d'un signe moins. Donc $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$. Vérification pour $x=2$ : $4-20+25=9$ et $(-3)^{2}=9$. Notez que le signe du terme du milieu est le seul qui indique s'il faut écrire $(x-5)^{2}$ ou $(x+5)^{2}$ ; le dernier terme, lui, est positif dans les deux cas et ne renseigne sur rien.

5) C'est $16x^{2}-24x+9$ qui est un carré parfait : $16x^{2}=(4x)^{2}$, $9=3^{2}$, et le double produit vaut $2\times 4x\times 3=24x$, ici avec le signe moins. Donc $16x^{2}-24x+9=(4x-3)^{2}$. L'autre expression, $16x^{2}-24x-9$, ne peut pas être un carré parfait car son dernier terme est NÉGATIF : dans $a^{2}-2ab+b^{2}$, le terme constant est $b^{2}$, un carré, donc toujours positif ou nul. On peut aussi le voir numériquement : pour $x=0$ elle vaut $-9$, alors qu'un carré ne descend jamais sous zéro.

6) L'expression est une différence de deux carrés avec $a=x+2$ et $b=3$ : $(x+2)^{2}-9=[(x+2)-3]\times[(x+2)+3]=(x-1)(x+5)$. Vérification pour $x=0$ : $2^{2}-9=4-9=-5$ d'un côté, $(-1)\times 5=-5$ de l'autre. On aurait aussi pu développer d'abord, $x^{2}+4x+4-9=x^{2}+4x-5$, mais rien ne se factorise à vue sur cette forme : la forme développée cache ce que la forme de départ montrait.

1) On écrit $101=100+1$, donc $101^{2}=100^{2}+2\times 100\times 1+1^{2}=10\,000+200+1=10\,201$. De même $99=100-1$, donc $99^{2}=10\,000-200+1=9\,801$. Toute la difficulté est le choix de la décomposition : il faut que $a$ soit un nombre rond et $b$ tout petit, sinon on ne gagne rien. C'est aussi pour cela que la différence des deux résultats vaut $400$, c'est-à-dire deux fois le double produit.

2) C'est une différence de deux carrés : $53^{2}-47^{2}=(53-47)(53+47)=6\times 100=600$. Le calcul direct demanderait $2\,809-2\,209$, deux multiplications à poser. La forme factorisée remplace deux carrés par une soustraction et une addition, et le $100$ qui apparaît ici n'est pas un hasard : les deux nombres sont symétriques autour de $50$.

3) On reconnaît $1002=1000+2$ et $998=1000-2$, donc le produit vaut $1000^{2}-2^{2}=1\,000\,000-4=999\,996$. Cette lecture est le réflexe à acquérir : dès que deux nombres sont symétriques autour d'un nombre rond, leur produit est une différence de carrés. Vérification d'ordre de grandeur : le résultat doit être juste en dessous d'un million, ce qui est le cas.

4) Le premier produit est une différence de carrés avec $a=\sqrt{5}$ et $b=\sqrt{3}$ : il vaut $(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=5-3=2$. Deux nombres irrationnels donnent un résultat entier, et c'est toute l'utilité de l'identité. Le second est un carré avec $a=\sqrt{2}$ et $b=1$ : $(\sqrt{2})^{2}+2\times\sqrt{2}\times 1+1^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$. Le double produit ne se simplifie pas ici, et c'est normal : on laisse la réponse sous forme exacte, sans valeur approchée.

5) On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}+1$, qui est la QUANTITÉ CONJUGUÉE du dénominateur, c'est-à-dire la même expression avec le signe opposé. Le dénominateur devient une différence de carrés : $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2$. Donc $\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Vérification numérique : $\sqrt{3}\approx 1{,}732$, donc le départ vaut environ $\frac{1}{0{,}732}\approx 1{,}366$ et l'arrivée environ $\frac{2{,}732}{2}=1{,}366$. C'est la seule technique du programme de Seconde qui fasse disparaître une racine d'un dénominateur, et elle repose entièrement sur la troisième identité.

6) Avec $a=\sqrt{7}$ et $b=\sqrt{2}$ : $(\sqrt{7})^{2}-2\times\sqrt{7}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=7-2\sqrt{14}+2=9-2\sqrt{14}$. Le double produit se regroupe en une seule racine parce que $\sqrt{7}\times\sqrt{2}=\sqrt{14}$. Vérification : $\sqrt{14}\approx 3{,}742$, donc le résultat vaut environ $9-7{,}483=1{,}517$ ; et $\sqrt{7}-\sqrt{2}\approx 2{,}646-1{,}414=1{,}232$, dont le carré vaut environ $1{,}518$. L'accord est bon.

1) On ramène à zéro : $x^{2}-64=0$, soit $(x-8)(x+8)=0$. Le produit est nul, donc $x-8=0$ ou $x+8=0$ : les solutions sont $8$ et $-8$. Écrire seulement $x=8$ est l'erreur classique, et elle coûte la moitié des points : deux nombres opposés ont le même carré. Retenez la règle générale : $x^{2}=k$ a deux solutions si $k>0$, une seule si $k=0$, et aucune si $k<0$.

2) On reconnaît une différence de carrés, $9x^{2}=(3x)^{2}$ et $25=5^{2}$ : $(3x-5)(3x+5)=0$. Donc $3x-5=0$ ou $3x+5=0$, ce qui donne $x=\frac{5}{3}$ ou $x=-\frac{5}{3}$. Vérification pour $x=\frac{5}{3}$ : $9\times\frac{25}{9}-25=25-25=0$. Ne divisez pas par $9$ au départ, cela ne sert à rien et fait apparaître des fractions inutiles.

3) On écrit $(x+3)^{2}-16=0$, ce qui est une différence de carrés avec $a=x+3$ et $b=4$ : $[(x+3)-4]\times[(x+3)+4]=0$, soit $(x-1)(x+7)=0$. Les solutions sont $1$ et $-7$. Vérification : $(1+3)^{2}=16$ et $(-7+3)^{2}=(-4)^{2}=16$. On aurait aussi pu dire directement que $x+3$ vaut $4$ ou $-4$, ce qui donne les mêmes solutions ; mais celui qui n'écrit que $x+3=4$ en perd une.

4) Le membre de gauche est un carré parfait : $a=x$, $b=4$, et le double produit vaut bien $8x$. Donc $(x+4)^{2}=0$. Un carré est nul seulement si ce qui est dedans est nul, donc $x+4=0$ et $x=-4$. C'est la seule solution, et on dit qu'elle est double. Vérification : $16-32+16=0$.

5) Différence de deux carrés avec $a=2x-1$ et $b=x+4$ : $[(2x-1)-(x+4)]\times[(2x-1)+(x+4)]=0$. Le premier crochet vaut $2x-1-x-4=x-5$ ; le second vaut $3x+3$. L'équation devient $(x-5)(3x+3)=0$, donc $x=5$ ou $3x+3=0$ c'est-à-dire $x=-1$. Vérification pour $x=5$ : $9^{2}-9^{2}=0$. Vérification pour $x=-1$ : $(-3)^{2}-3^{2}=9-9=0$. Développer les deux carrés aurait aussi marché, mais aurait donné $3x^{2}-12x-15=0$, qu'il aurait fallu factoriser à nouveau : la forme de départ contenait déjà la réponse.

6) On ramène tout du même côté : $x^{2}-6x+9=0$. C'est un carré parfait, $a=x$ et $b=3$, avec un double produit de $6x$ : $(x-3)^{2}=0$, donc $x=3$, solution double. Vérification : $9+9=18$ et $6\times 3=18$. Le réflexe à ne pas avoir est de diviser par $x$ pour faire disparaître le carré : on perdrait la solution et on n'aurait plus une équation équivalente, car diviser par une quantité qui peut valoir zéro est interdit.