Exercice 0.1 : Développer avec les identités remarquables : dix calculs directs

Développez et réduisez chaque expression à l'aide des identités remarquables, puis donnez les coefficients demandés de la forme réduite. Le « coefficient de $x$ » est le nombre devant $x$ , le « terme constant » est le nombre seul ; un terme absent vaut $0$ . Pour g), écrivez le résultat sous la forme $p+q\sqrt{3}$ et donnez $p$ et $q$ .

Une seule méthode pour les dix lignes : reconnaître l'identité, ÉCRIRE ce que valent $a$ et $b$ en blocs, remplacer, puis réduire. En Seconde, le bloc peut être une fraction, comme $a=\frac{x}{3}$ , ou une racine carrée, comme $b=\sqrt{3}$ : on élève au carré le bloc TOUT ENTIER, et l'on utilise $(\sqrt{k})^{2}=k$ et $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ . Pour les deux dernières lignes, on développe chaque morceau entre parenthèses avant de réduire.

a) $(6x+5)^{2}$
b) $(9x-4)^{2}$
c) $(7x+11)(7x-11)$
d) $\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^{2}$
e) $\left(\dfrac{x}{3}-6\right)^{2}$
f) $\left(x+\sqrt{3}\right)^{2}$
g) $\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$
h) $\left(\sqrt{11}-3\right)\left(\sqrt{11}+3\right)$
i) $(4x+3)^{2}-(4x-3)^{2}$
j) $(x+5)^{2}+(2x+1)(2x-1)$

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a)

Coefficient de

x

Terme constant

b)

Coefficient de

x

Terme constant

c)

Coefficient de

x^{2}

Terme constant

d)

Coefficient de

x

Terme constant

e)

Coefficient de

x^{2}

Coefficient de

x

f)

Coefficient de

x

Terme constant

g)

p

q

h)

Résultat

i)

Coefficient de

x

Terme constant

j)

Coefficient de

x^{2}

Terme constant

Voir la correction

Réponses

a) $36x^{2}+60x+25$ ; $60$ et $25$
b) $81x^{2}-72x+16$ ; $-72$ et $16$
c) $49x^{2}-121$ ; $49$ et $-121$
d) $x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}$ ; $\frac{4}{3}\approx 1{,}333$ et $\frac{4}{9}\approx 0{,}444$
e) $\frac{x^{2}}{9}-4x+36$ ; $\frac{1}{9}\approx 0{,}111$ et $-4$
f) $x^{2}+2\sqrt{3}\,x+3$ ; $2\sqrt{3}\approx 3{,}464$ et $3$
g) $8+4\sqrt{3}$ ; $p=8$ et $q=4$
h) $11-9=2$
i) $48x$ ; $48$ et $0$
j) $5x^{2}+10x+24$ ; $5$ et $24$

Le geste qui décide de tout : écrire $a$ et $b$ AVANT de développer, et élever au carré le bloc entier. C'est ce qui évite les trois erreurs du chapitre, $(6x)^{2}=6x^{2}$ , l'oubli du double produit, et $\left(\frac{x}{3}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{3}$ .

a)

$a=6x$ , $b=5$ : $(6x)^{2}+2\times 6x\times 5+5^{2}=36x^{2}+60x+25$ . Coefficient de $x$ : $60$ ; terme constant : $25$ . Piège : oublier le double produit et écrire $36x^{2}+25$ .

b)

$a=9x$ , $b=4$ : $(9x)^{2}-2\times 9x\times 4+4^{2}=81x^{2}-72x+16$ . Coefficient de $x$ : $-72$ ; terme constant : $+16$ , car un carré est toujours positif.

c)

$a=7x$ , $b=11$ : $(7x)^{2}-11^{2}=49x^{2}-121$ . Coefficient de $x^{2}$ : $49$ ; terme constant : $-121$ . Les termes croisés $-77x$ et $+77x$ s'annulent.

d)

$a=x$ , $b=\frac{2}{3}$ : $x^{2}+2\times x\times\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}$ . Coefficient de $x$ : $\frac{4}{3}\approx 1{,}333$ ; terme constant : $\frac{4}{9}\approx 0{,}444$ . Piège : $\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}$ , en n'élevant que le numérateur.

e)

$a=\frac{x}{3}$ , $b=6$ : $\left(\frac{x}{3}\right)^{2}-2\times\frac{x}{3}\times 6+36=\frac{x^{2}}{9}-4x+36$ . Coefficient de $x^{2}$ : $\frac{1}{9}\approx 0{,}111$ ; coefficient de $x$ : $-4$ . Piège : $\left(\frac{x}{3}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{3}$ ; le $3$ du dénominateur est lui aussi au carré.

f)

$a=x$ , $b=\sqrt{3}$ : $x^{2}+2\sqrt{3}\,x+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=x^{2}+2\sqrt{3}\,x+3$ . Coefficient de $x$ : $2\sqrt{3}\approx 3{,}464$ ; terme constant : $3$ , car $(\sqrt{3})^{2}=3$ .

g)

$a=\sqrt{6}$ , $b=\sqrt{2}$ : $6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+2=8+2\sqrt{12}$ . Or $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$ , donc $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}=8+4\sqrt{3}$ : $p=8$ , $q=4$ . Piège : écrire $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}=6+2=8$ , en oubliant le double produit.

h)

$a=\sqrt{11}$ , $b=3$ : $(\sqrt{11})^{2}-3^{2}=11-9=2$ . Le produit de deux nombres irrationnels est ici un entier : c'est toute l'utilité de cette identité pour rendre un dénominateur entier.

i)

On développe chaque carré entre parenthèses : $(16x^{2}+24x+9)-(16x^{2}-24x+9)=16x^{2}+24x+9-16x^{2}+24x-9=48x$ . Coefficient de $x$ : $48$ ; terme constant : $0$ . Piège : ne changer que le signe de $16x^{2}$ en ôtant la parenthèse, ce qui annule les termes en $x$ et donne $18$ au lieu de $48x$ .

j)

$(x+5)^{2}=x^{2}+10x+25$ et $(2x+1)(2x-1)=4x^{2}-1$ . Somme : $x^{2}+10x+25+4x^{2}-1=5x^{2}+10x+24$ . Coefficient de $x^{2}$ : $5$ ; terme constant : $24$ .

Contrôle : on remplace $x$ par $1$ dans l'expression de départ et dans la forme réduite, et l'on doit trouver le même nombre. Pour j) : $6^{2}+3\times 1=39$ et $5+10+24=39$ ; pour e) : $\left(\frac{1}{3}-6\right)^{2}=\frac{289}{9}$ et $\frac{1}{9}-4+36=\frac{289}{9}$ .

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Exercice 1 : Nommer a et b avant de développer

Les trois identités remarquables s'écrivent avec deux lettres seulement : $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ , $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ et $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ .

Tout le chapitre tient dans un geste : DIRE ce que valent $a$ et $b$ avant d'écrire quoi que ce soit. Dans $(3x+4)^{2}$ , le nombre $a$ n'est ni $3$ ni $x$ : c'est le bloc $3x$ tout entier, donc $a^{2}=9x^{2}$ .

La figure ci-dessous est un carré de côté $a$ . On y a découpé quatre morceaux numérotés de $1$ à $4$ ; le morceau $1$ est un carré de côté $a-b$ .

1) Dans $(3x+4)^{2}$ , dites ce que valent $a$ et $b$ , puis développez et réduisez.
2) Dans $(5x-2)^{2}$ , dites ce que valent $a$ et $b$ , puis développez et réduisez.
3) Développez et réduisez $(4-3x)^{2}$ . Attention à l'ordre des deux termes.
4) Sur la figure, donnez l'aire de chacun des quatre morceaux en fonction de $a$ et de $b$ , puis déduisez-en l'aire du morceau $1$ et l'identité $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ .
5) Un élève écrit $(5x-2)^{2}=5x^{2}-20x+4$ . Calculez les deux membres pour $x=1$ , puis dites exactement quelle étape il a sautée.
6) Développez et réduisez $E=(x+3)^{2}-(x-3)^{2}$ , puis vérifiez le résultat pour $x=2$ .

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1)

a

b

Forme développée

2)

a

b

Forme développée

3)

Forme développée

4)

Aire du morceau 2

Aire du morceau 4

5)

Membre de gauche pour

x=1

Membre de droite pour

x=1

Étape sautée

6)

E

E

pour

x=2

Voir la correction

Réponses

1) $a=3x$ , $b=4$ ; $9x^{2}+24x+16$
2) $a=5x$ , $b=2$ ; $25x^{2}-20x+4$
3) $9x^{2}-24x+16$
4) Morceaux 2 et 3 : $b(a-b)$ ; morceau 4 : $b^{2}$ ; morceau 1 : $a^{2}-2ab+b^{2}$
5) $9\neq -11$ : il a écrit $5x^{2}$ au lieu de $(5x)^{2}=25x^{2}$
6) $E=12x$ ; pour $x=2$ , $24$

1)

Ici $a=3x$ et $b=4$ . C'est la seule chose à écrire avant de calculer, et c'est elle qui décide de tout. On applique alors $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ : $a^{2}=(3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=9x^{2}$ , le double produit vaut $2\times 3x\times 4=24x$ , et $b^{2}=16$ . Donc $(3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$ . Vérification pour $x=1$ : la forme de départ vaut $7^{2}=49$ et la forme développée vaut $9+24+16=49$ . Prenez l'habitude de tester avec $x=1$ , cela coûte trois secondes et attrape presque toutes les erreurs.

2)

Ici $a=5x$ et $b=2$ , et le signe moins est DANS l'identité, pas dans $b$ . On applique $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ : $a^{2}=25x^{2}$ , le double produit vaut $2\times 5x\times 2=20x$ , et $b^{2}=4$ . Donc $(5x-2)^{2}=25x^{2}-20x+4$ . Le dernier terme est POSITIF, toujours : c'est le carré de $2$ , et un carré ne peut pas être négatif. Vérification pour $x=1$ : $3^{2}=9$ d'un côté, $25-20+4=9$ de l'autre.

3)

L'expression $(4-3x)^{2}$ se lit avec $a=4$ et $b=3x$ , dans cet ordre : $a^{2}=16$ , le double produit vaut $2\times 4\times 3x=24x$ , et $b^{2}=9x^{2}$ . Donc $(4-3x)^{2}=16-24x+9x^{2}$ , que l'on écrit aussi $9x^{2}-24x+16$ . Remarquez que $(4-3x)^{2}$ et $(3x-4)^{2}$ donnent le même résultat : deux nombres opposés ont le même carré. C'est vrai pour le carré, et seulement pour lui ; pour la différence de carrés, l'ordre changera le signe.

4)

Le morceau $2$ est un rectangle de dimensions $b$ et $a-b$ , donc son aire vaut $b(a-b)=ab-b^{2}$ . Le morceau $3$ a les mêmes dimensions, donc la même aire. Le morceau $4$ est un carré de côté $b$ , son aire vaut $b^{2}$ . Le grand carré a pour aire $a^{2}$ , donc le morceau $1$ a pour aire $a^{2}-2(ab-b^{2})-b^{2}=a^{2}-2ab+2b^{2}-b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ . Or le morceau $1$ est le carré de côté $a-b$ , donc son aire vaut aussi $(a-b)^{2}$ . Les deux écritures désignent la même surface : $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ . Le dessin explique pourquoi le $+b^{2}$ final est positif : en retirant les deux rectangles, on a retiré DEUX FOIS le petit carré du coin, il faut donc le rendre une fois.

5)

Pour $x=1$ , le membre de gauche vaut $(5-2)^{2}=3^{2}=9$ , tandis que le membre de droite vaut $5-20+4=-11$ . Un carré ne peut pas être négatif : l'égalité est fausse, et un seul contre-exemple suffit à le prouver. L'étape sautée est le carré du COEFFICIENT : l'élève a posé $a=5x$ pour le double produit, ce qui lui a bien donné $20x$ , mais il a écrit $a^{2}=5x^{2}$ au lieu de $(5x)^{2}=25x^{2}$ . Le carré porte sur le bloc entier, coefficient compris. Cette erreur coûte cher parce qu'elle passe inaperçue : le reste de la ligne est juste.

6)

On développe les deux carrés séparément : $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ et $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$ . Il faut ensuite soustraire la SECONDE EXPRESSION ENTIÈRE, donc changer les trois signes : $E=x^{2}+6x+9-x^{2}+6x-9=12x$ . Les carrés se suppriment, les $9$ aussi, et il ne reste que les deux doubles produits qui s'additionnent. Vérification pour $x=2$ : $5^{2}-(-1)^{2}=25-1=24$ , et $12\times 2=24$ . Le piège ici est le signe moins devant la parenthèse : celui qui n'écrit pas la parenthèse ne change que le signe de $x^{2}$ et trouve $18$ ; celui qui oublie de changer le dernier signe trouve $12x+18$ .

Exercice 2 : La différence de deux carrés, dans les deux sens

La troisième identité, $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , sert dans les deux sens, et surtout à factoriser, car une différence de deux carrés se reconnaît à vue. Lue de gauche à droite elle fait disparaître le terme du milieu ; lue de droite à gauche elle transforme une différence en produit.

La figure ci-dessous est un carré de côté $a$ auquel on a retiré, dans un coin, un carré de côté $b$ . Le trait pointillé partage la surface restante en deux rectangles, notés I et II.

1) Développez et réduisez $(x-6)(x+6)$ , puis $(3x+5)(3x-5)$ .
2) Factorisez $x^{2}-49$ , puis $25x^{2}-16$ , puis $9-4x^{2}$ .
3) Sur la figure, donnez l'aire de la surface restante, puis les dimensions des rectangles I et II. Déduisez-en l'identité $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ .
4) Un élève affirme que $x^{2}+49$ se factorise en $(x+7)(x-7)$ . Testez pour $x=0$ et concluez.
5) Factorisez $F=(2x+1)^{2}-(x-3)^{2}$ , puis vérifiez pour $x=1$ .
6) En Seconde, on autorise les racines carrées. Factorisez $x^{2}-5$ , puis vérifiez que le produit obtenu vaut bien $-4$ pour $x=1$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/15

1)

(x-6)(x+6)

(3x+5)(3x-5)

2)

x^2-49

25x^2-16

9-4x^2

3)

Aire restante

Dimensions du rectangle I

Dimensions du rectangle II

4)

x^2+49

pour

x=0

(x+7)(x-7)

pour

x=0

Conclusion

5)

F

F

pour

x=1

6)

x^2-5

Produit pour

x=1

Voir la correction

Réponses

1) $x^{2}-36$ et $9x^{2}-25$
2) $(x-7)(x+7)$ ; $(5x-4)(5x+4)$ ; $(3-2x)(3+2x)$
3) Aire $a^{2}-b^{2}$ ; I : $(a-b)\times a$ , II : $b\times(a-b)$ ; total $(a-b)(a+b)$
4) $49\neq -49$ : $x^{2}+49$ ne s'annule jamais, ce produit ne peut pas l'égaler
5) $F=(x+4)(3x-2)$ ; pour $x=1$ , $5$
6) $(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$ ; pour $x=1$ , $-4$

1)

Avec $a=x$ et $b=6$ : $(x-6)(x+6)=x^{2}-36$ . On peut le retrouver par la double distributivité, $x^{2}+6x-6x-36$ , où les deux termes du milieu sont opposés et disparaissent : c'est exactement ce que l'identité fait gagner. Avec $a=3x$ et $b=5$ : $(3x+5)(3x-5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25$ . Vérification pour $x=1$ : $8\times(-2)=-16$ et $9-25=-16$ .

2)

Il faut d'abord reconnaître chaque terme comme un carré. $x^{2}-49=x^{2}-7^{2}=(x-7)(x+7)$ . Ensuite $25x^{2}=(5x)^{2}$ et $16=4^{2}$ , donc $25x^{2}-16=(5x-4)(5x+4)$ . Enfin $9-4x^{2}=3^{2}-(2x)^{2}=(3-2x)(3+2x)$ : ici c'est le nombre seul qui joue le rôle de $a$ , et la lettre celui de $b$ , ce qui dérange beaucoup d'élèves. On vérifie pour $x=1$ : $9-4=5$ et $(3-2)(3+2)=1\times 5=5$ .

3)

La surface restante est le grand carré moins le petit, donc son aire vaut $a^{2}-b^{2}$ . Le rectangle I a pour dimensions $a-b$ en largeur et $a$ en hauteur ; le rectangle II a pour dimensions $b$ en largeur et $a-b$ en hauteur. Leur aire totale vaut $a(a-b)+b(a-b)$ , et les deux termes ont le facteur commun $a-b$ : cela fait $(a-b)(a+b)$ . En pratique, on fait pivoter le rectangle II d'un quart de tour et on le colle sous le rectangle I : on obtient un seul rectangle de largeur $a-b$ et de hauteur $a+b$ . Comme c'est la même surface, $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ .

4)

Pour $x=0$ , l'expression de départ vaut $0+49=49$ , tandis que le produit proposé vaut $7\times(-7)=-49$ . Les deux ne sont pas égaux, donc la factorisation est fausse. Plus profondément : $x^{2}+49$ est une SOMME de deux carrés, donc toujours strictement positive, alors qu'un produit $(x+7)(x-7)$ s'annule pour $x=7$ . Cette somme ne s'écrit donc pas comme un produit de facteurs du premier degré, alors que la différence $x^{2}-49$ le fait.

5)

Les deux termes sont des carrés, donc on pose $a=2x+1$ et $b=x-3$ , chacun avec sa parenthèse : $F=[(2x+1)-(x-3)]\times[(2x+1)+(x-3)]$ . Le premier crochet demande de changer les signes de $x-3$ : $2x+1-x+3=x+4$ . Le second se réduit sans piège : $2x+1+x-3=3x-2$ . Donc $F=(x+4)(3x-2)$ . Vérification pour $x=1$ : d'un côté $3^{2}-(-2)^{2}=9-4=5$ , de l'autre $5\times 1=5$ . Le piège est le crochet de gauche, où l'oubli de la parenthèse donnerait $x-2$ au lieu de $x+4$ .

6)

On écrit $5$ comme un carré : $5=(\sqrt{5})^{2}$ , ce qui est permis puisque $\sqrt{5}$ est le nombre positif dont le carré vaut $5$ . Alors $x^{2}-5=x^{2}-(\sqrt{5})^{2}=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$ . Vérification pour $x=1$ : $(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})=1-5=-4$ , et l'expression de départ vaut $1-5=-4$ . C'est ce petit pas qui sépare la troisième de la seconde : en troisième on s'arrête quand les carrés ne sont pas entiers, en seconde on continue avec les racines, et c'est exactement ce que fera le second degré en Première.

Exercice 3 : Factoriser : reconnaître l'identité cachée

Factoriser demande deux réflexes, et TOUJOURS dans cet ordre. D'abord chercher un facteur commun à tous les termes ; ensuite seulement chercher une identité remarquable dans ce qui reste.

Pour reconnaître un carré parfait, on vérifie trois choses : le premier terme est un carré, le dernier terme est un carré POSITIF, et le terme du milieu est bien le double produit de $a$ et de $b$ , les blocs dont ces deux termes sont les carrés. Si l'une des trois manque, ce n'est pas un carré.

1) Factorisez $2x^{2}-32$ le plus complètement possible.
2) Factorisez $x^{3}-x$ le plus complètement possible.
3) Factorisez $9x^{2}+12x+4$ en vérifiant les trois conditions du carré parfait.
4) Factorisez $x^{2}-10x+25$ .
5) Une seule des deux expressions $16x^{2}-24x+9$ et $16x^{2}-24x-9$ est un carré parfait. Dites laquelle, factorisez-la, et expliquez pourquoi l'autre ne peut pas l'être.
6) Factorisez $(x+2)^{2}-9$ , puis vérifiez le résultat pour $x=0$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

1)

Factorisation complète

2)

Factorisation complète

3)

Factorisation

4)

Factorisation

5)

Le carré parfait

Sa factorisation

6)

Factorisation

Valeur pour

x=0

Voir la correction

Réponses

1) $2(x-4)(x+4)$
2) $x(x-1)(x+1)$
3) $(3x+2)^{2}$
4) $(x-5)^{2}$
5) $16x^{2}-24x+9=(4x-3)^{2}$ ; l'autre a un terme constant négatif
6) $(x-1)(x+5)$ ; pour $x=0$ , $-5$

1)

Les deux termes sont divisibles par $2$ : $2x^{2}-32=2(x^{2}-16)$ . On ne s'arrête pas là, car $x^{2}-16$ est une différence de deux carrés : $2x^{2}-32=2(x-4)(x+4)$ . Sauter le facteur commun est l'erreur la plus courante du chapitre : sans lui, on voit $2x^{2}$ et $32$ et on ne reconnaît aucun carré, puisque $2$ n'en est pas un. Vérification pour $x=3$ : $18-32=-14$ et $2\times(-1)\times 7=-14$ .

2)

Le facteur commun est $x$ : $x^{3}-x=x(x^{2}-1)$ . Puis $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ , donc $x^{3}-x=x(x-1)(x+1)$ . Le résultat se lit très bien : c'est le produit de trois entiers consécutifs quand $x$ est entier, ce qui explique au passage que $x^{3}-x$ soit toujours divisible par $6$ . Vérification pour $x=3$ : $27-3=24$ et $3\times 2\times 4=24$ .

3)

Premier terme : $9x^{2}=(3x)^{2}$ , c'est un carré, donc $a=3x$ . Dernier terme : $4=2^{2}$ , positif, donc $b=2$ . Terme du milieu : le double produit vaudrait $2\times 3x\times 2=12x$ , et c'est bien ce qui est écrit. Les trois conditions sont remplies, donc $9x^{2}+12x+4=(3x+2)^{2}$ . Vérification pour $x=1$ : $9+12+4=25$ et $5^{2}=25$ .

4)

Ici $a=x$ et $b=5$ , car $25=5^{2}$ , et le double produit vaut $2\times x\times 5=10x$ , précédé d'un signe moins. Donc $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$ . Vérification pour $x=2$ : $4-20+25=9$ et $(-3)^{2}=9$ . Notez que le signe du terme du milieu est le seul qui indique s'il faut écrire $(x-5)^{2}$ ou $(x+5)^{2}$ ; le dernier terme, lui, est positif dans les deux cas et ne renseigne sur rien.

5)

C'est $16x^{2}-24x+9$ qui est un carré parfait : $16x^{2}=(4x)^{2}$ , $9=3^{2}$ , et le double produit vaut $2\times 4x\times 3=24x$ , ici avec le signe moins. Donc $16x^{2}-24x+9=(4x-3)^{2}$ . L'autre expression, $16x^{2}-24x-9$ , ne peut pas être un carré parfait car son dernier terme est NÉGATIF : dans $a^{2}-2ab+b^{2}$ , le terme constant est $b^{2}$ , un carré, donc toujours positif ou nul. On peut aussi le voir numériquement : pour $x=0$ elle vaut $-9$ , alors qu'un carré ne descend jamais sous zéro.

6)

L'expression est une différence de deux carrés avec $a=x+2$ et $b=3$ : $(x+2)^{2}-9=[(x+2)-3]\times[(x+2)+3]=(x-1)(x+5)$ . Vérification pour $x=0$ : $2^{2}-9=4-9=-5$ d'un côté, $(-1)\times 5=-5$ de l'autre. On aurait aussi pu développer d'abord, $x^{2}+4x+4-9=x^{2}+4x-5$ , mais rien ne se factorise à vue sur cette forme : la forme développée cache ce que la forme de départ montrait.

Exercice 4 : Calcul mental, calcul exact et racines carrées

Les identités remarquables ne servent pas qu'aux lettres : elles rendent instantanés des calculs numériques qui paraissent longs. Il suffit d'écrire le nombre sous la forme d'une somme ou d'une différence bien choisie.

Les questions 4 à 6 sont au programme de Seconde : on y remplace $a$ ou $b$ par une racine carrée, ce qui est permis puisque $(\sqrt{k})^{2}=k$ pour tout nombre $k$ positif. Aucune calculatrice n'est utile dans cet exercice.

1) Calculez $101^{2}$ puis $99^{2}$ de tête, en détaillant l'identité utilisée.
2) Calculez $53^{2}-47^{2}$ de tête.
3) Calculez $1002\times 998$ de tête.
4) Calculez $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ , puis $(\sqrt{2}+1)^{2}$ .
5) Écrivez $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ avec un dénominateur entier, puis donnez-en une valeur approchée au millième, avec $\sqrt{3}\approx 1{,}732$ .
6) Développez $(\sqrt{7}-\sqrt{2})^{2}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

1)

101^2

99^2

2)

53^2-47^2

3)

1002\times 998

4)

(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})

(\sqrt{2}+1)^2

5)

Forme à dénominateur entier

Valeur approchée

6)

(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2

Voir la correction

Réponses

1) $101^{2}=10\,201$ et $99^{2}=9\,801$
2) $600$
3) $999\,996$
4) $2$ et $3+2\sqrt{2}$
5) $\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1{,}366$
6) $9-2\sqrt{14}$

1)

On écrit $101=100+1$ , donc $101^{2}=100^{2}+2\times 100\times 1+1^{2}=10\,000+200+1=10\,201$ . De même $99=100-1$ , donc $99^{2}=10\,000-200+1=9\,801$ . Toute la difficulté est le choix de la décomposition : il faut que $a$ soit un nombre rond et $b$ tout petit, sinon on ne gagne rien. C'est aussi pour cela que la différence des deux résultats vaut $400$ , c'est-à-dire deux fois le double produit.

2)

C'est une différence de deux carrés : $53^{2}-47^{2}=(53-47)(53+47)=6\times 100=600$ . Le calcul direct demanderait $2\,809-2\,209$ , deux multiplications à poser. La forme factorisée remplace deux carrés par une soustraction et une addition, et le $100$ qui apparaît ici n'est pas un hasard : les deux nombres sont symétriques autour de $50$ .

3)

On reconnaît $1002=1000+2$ et $998=1000-2$ , donc le produit vaut $1000^{2}-2^{2}=1\,000\,000-4=999\,996$ . Cette lecture est le réflexe à acquérir : dès que deux nombres sont symétriques autour d'un nombre rond, leur produit est une différence de carrés. Vérification d'ordre de grandeur : le résultat doit être juste en dessous d'un million, ce qui est le cas.

4)

Le premier produit est une différence de carrés avec $a=\sqrt{5}$ et $b=\sqrt{3}$ : il vaut $(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=5-3=2$ . Deux nombres irrationnels donnent un résultat entier, et c'est toute l'utilité de l'identité. Le second est un carré avec $a=\sqrt{2}$ et $b=1$ : $(\sqrt{2})^{2}+2\times\sqrt{2}\times 1+1^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$ . Le double produit ne se simplifie pas ici, et c'est normal : on laisse la réponse sous forme exacte, sans valeur approchée.

5)

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}+1$ , qui est la QUANTITÉ CONJUGUÉE du dénominateur, c'est-à-dire la même expression avec le signe opposé. Le dénominateur devient une différence de carrés : $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2$ . Donc $\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ . Vérification numérique : $\sqrt{3}\approx 1{,}732$ , donc le départ vaut environ $\frac{1}{0{,}732}\approx 1{,}366$ et l'arrivée environ $\frac{2{,}732}{2}=1{,}366$ . Cette technique fait disparaître la racine d'un dénominateur de la forme $\sqrt{a}\pm b$ , et elle repose entièrement sur la troisième identité ; pour $\frac{a}{\sqrt{b}}$ , multiplier haut et bas par $\sqrt{b}$ suffit.

6)

Avec $a=\sqrt{7}$ et $b=\sqrt{2}$ : $(\sqrt{7})^{2}-2\times\sqrt{7}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=7-2\sqrt{14}+2=9-2\sqrt{14}$ . Le double produit se regroupe en une seule racine parce que $\sqrt{7}\times\sqrt{2}=\sqrt{14}$ . Vérification : $\sqrt{14}\approx 3{,}742$ , donc le résultat vaut environ $9-7{,}483=1{,}517$ ; et $\sqrt{7}-\sqrt{2}\approx 2{,}646-1{,}414=1{,}232$ , dont le carré vaut environ $1{,}518$ . L'accord est bon.

Exercice 5 : Équations : factoriser puis appliquer le produit nul

Une équation où la lettre est au carré ne se résout pas en divisant. Elle se résout en trois temps : tout ramener à zéro, factoriser, puis appliquer la règle du produit nul, qui dit qu'un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

Cette règle ne vaut QUE pour zéro. C'est la raison pour laquelle la première étape n'est jamais facultative.

1) Résolvez $x^{2}=64$ .
2) Résolvez $9x^{2}-25=0$ .
3) Résolvez $(x+3)^{2}=16$ en ramenant d'abord tout à zéro.
4) Résolvez $x^{2}+8x+16=0$ .
5) Résolvez $(2x-1)^{2}-(x+4)^{2}=0$ .
6) Résolvez $x^{2}+9=6x$ .

Voir la correction

Réponses

1) $x=-8$ ou $x=8$
2) $x=-\dfrac{5}{3}$ ou $x=\dfrac{5}{3}$
3) $x=-7$ ou $x=1$
4) $x=-4$ (solution double)
5) $x=-1$ ou $x=5$
6) $x=3$ (solution double)

1)

On ramène à zéro : $x^{2}-64=0$ , soit $(x-8)(x+8)=0$ . Le produit est nul, donc $x-8=0$ ou $x+8=0$ : les solutions sont $8$ et $-8$ . Écrire seulement $x=8$ est l'erreur classique, et elle coûte la moitié des points : deux nombres opposés ont le même carré. Retenez la règle générale : $x^{2}=k$ a deux solutions si $k>0$ , une seule si $k=0$ , et aucune si $k<0$ .

2)

On reconnaît une différence de carrés, $9x^{2}=(3x)^{2}$ et $25=5^{2}$ : $(3x-5)(3x+5)=0$ . Donc $3x-5=0$ ou $3x+5=0$ , ce qui donne $x=\frac{5}{3}$ ou $x=-\frac{5}{3}$ . Vérification pour $x=\frac{5}{3}$ : $9\times\frac{25}{9}-25=25-25=0$ . Ne divisez pas par $9$ au départ, cela ne sert à rien et fait apparaître des fractions inutiles.

3)

On écrit $(x+3)^{2}-16=0$ , ce qui est une différence de carrés avec $a=x+3$ et $b=4$ : $[(x+3)-4]\times[(x+3)+4]=0$ , soit $(x-1)(x+7)=0$ . Les solutions sont $1$ et $-7$ . Vérification : $(1+3)^{2}=16$ et $(-7+3)^{2}=(-4)^{2}=16$ . On aurait aussi pu dire directement que $x+3$ vaut $4$ ou $-4$ , ce qui donne les mêmes solutions ; mais celui qui n'écrit que $x+3=4$ en perd une.

4)

Le membre de gauche est un carré parfait : $a=x$ , $b=4$ , et le double produit vaut bien $8x$ . Donc $(x+4)^{2}=0$ . Un carré est nul seulement si ce qui est dedans est nul, donc $x+4=0$ et $x=-4$ . C'est la seule solution, et on dit qu'elle est double. Vérification : $16-32+16=0$ .

5)

Différence de deux carrés avec $a=2x-1$ et $b=x+4$ : $[(2x-1)-(x+4)]\times[(2x-1)+(x+4)]=0$ . Le premier crochet vaut $2x-1-x-4=x-5$ ; le second vaut $3x+3$ . L'équation devient $(x-5)(3x+3)=0$ , donc $x=5$ ou $3x+3=0$ c'est-à-dire $x=-1$ . Vérification pour $x=5$ : $9^{2}-9^{2}=0$ . Vérification pour $x=-1$ : $(-3)^{2}-3^{2}=9-9=0$ . Développer les deux carrés aurait aussi marché, mais aurait donné $3x^{2}-12x-15=0$ , qu'il aurait fallu factoriser à nouveau : la forme de départ contenait déjà la réponse.

6)

On ramène tout du même côté : $x^{2}-6x+9=0$ . C'est un carré parfait, $a=x$ et $b=3$ , avec un double produit de $6x$ : $(x-3)^{2}=0$ , donc $x=3$ , solution double. Vérification : $9+9=18$ et $6\times 3=18$ . Diviser par $x$ pour faire disparaître le carré ne ferait rien gagner : on obtiendrait $x+\frac{9}{x}=6$ , une équation avec un quotient. Ici aucune solution ne serait perdue, puisque $0$ n'est pas solution ; mais le geste est dangereux en général : dans $x^{2}=5x$ , diviser par $x$ fait perdre la solution $0$ .

Exercice 6 : De la forme développée à la forme canonique

Voici un prolongement des identités remarquables : au lieu de développer un carré, on FABRIQUE un carré à partir d'une expression qui n'en est pas tout à fait un. On appelle cela compléter le carré, et le résultat, la forme canonique. En Seconde, on vérifie une forme donnée et on en déduit le minimum (questions 1 à 4) ; construire cette forme soi-même (questions 5 et 6) dépasse le programme de Seconde : c'est le second degré de Première.

La méthode tient en une phrase : dans $x^{2}+px$ , on reconnaît le début de $\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}$ , qui contient un terme constant en trop, et on le retranche aussitôt.

La courbe ci-dessous est celle de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^{2}-6x+5$ .

1) Vérifiez, en développant, que $x^{2}-6x+5=(x-3)^{2}-4$ .
2) Lisez sur le graphique les coordonnées approximatives du point le plus bas de la courbe, puis les abscisses des points où elle coupe l'axe des abscisses.
3) En utilisant la forme $(x-3)^{2}-4$ , démontrez que $f(x)\ge -4$ pour tout nombre $x$ , et dites pour quelle valeur de $x$ l'égalité a lieu.
4) Résolvez $f(x)=0$ en factorisant $(x-3)^{2}-4$ .
5) Mettez $g(x)=x^{2}+10x+7$ sous la forme $(x+a)^{2}+b$ .
6) Déduisez-en le plus petit nombre que peut valoir $g(x)$ , et pour quelle valeur de $x$ il est atteint.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/14

1)

(x-3)^2

développé

2)

Abscisse du point le plus bas

Ordonnée du point le plus bas

Plus petite abscisse sur l'axe

Plus grande abscisse sur l'axe

3)

Minimum de

f

Atteint pour

x=

4)

Factorisation

Plus petite solution

Plus grande solution

5)

a

b

6)

Plus petite valeur de

g

Atteinte pour

x=

Voir la correction

Réponses

1) $(x-3)^{2}-4=x^{2}-6x+9-4=x^{2}-6x+5$
2) Point le plus bas vers $(3\,;-4)$ ; abscisses $1$ et $5$
3) $(x-3)^{2}\geq 0$ donc $f(x)\geq -4$ , égalité pour $x=3$
4) $(x-5)(x-1)=0$ : $x=1$ ou $x=5$
5) $g(x)=(x+5)^{2}-18$
6) Minimum $-18$ , atteint en $x=-5$

1)

On développe le carré : $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$ , donc $(x-3)^{2}-4=x^{2}-6x+9-4=x^{2}-6x+5$ . Les deux écritures désignent bien la même fonction. On voit au passage d'où vient le $-4$ : le carré $(x-3)^{2}$ apporte $+9$ alors qu'il ne fallait que $+5$ , donc on retire l'excédent $4$ . Vérification pour $x=0$ : $5$ d'un côté, $9-4=5$ de l'autre.

2)

Le point le plus bas de la courbe se lit aux environs de $(3\,;\,-4)$ : son abscisse vaut $3$ et son ordonnée $-4$ . La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses $1$ et $5$ . Une lecture graphique ne prouve rien par elle-même, elle sert à annoncer le résultat et à contrôler le calcul : les questions suivantes vont retrouver exactement ces trois nombres, ce qui confirmera la lecture.

3)

Un carré n'est jamais négatif, donc $(x-3)^{2}\ge 0$ pour tout $x$ . En retranchant $4$ des deux côtés, $(x-3)^{2}-4\ge -4$ , c'est-à-dire $f(x)\ge -4$ . L'égalité a lieu exactement quand $(x-3)^{2}=0$ , donc quand $x=3$ . C'est là tout l'intérêt de la forme canonique : la forme développée $x^{2}-6x+5$ ne laisse rien deviner du minimum, alors que la forme $(x-3)^{2}-4$ le donne en une ligne, sans dérivée et sans tableau de valeurs.

4)

$(x-3)^{2}-4$ est une différence de deux carrés, avec $a=x-3$ et $b=2$ : $[(x-3)-2]\times[(x-3)+2]=(x-5)(x-1)$ . L'équation $f(x)=0$ devient $(x-5)(x-1)=0$ , donc $x=5$ ou $x=1$ , ce qui confirme la lecture graphique. Retenez l'enchaînement complet, car c'est celui du second degré en Première : on complète le carré, on factorise par la troisième identité, on applique le produit nul.

5)

La moitié de $10$ vaut $5$ , donc on part de $(x+5)^{2}=x^{2}+10x+25$ . Il y a $25$ alors qu'il faut $7$ , donc on retranche $18$ : $g(x)=(x+5)^{2}-18$ . Vérification pour $x=0$ : $7$ d'un côté, $25-18=7$ de l'autre. Vérification pour $x=1$ : $1+10+7=18$ , et $36-18=18$ .

6)

Comme $(x+5)^{2}\ge 0$ , on a $g(x)\ge -18$ , avec égalité quand $x+5=0$ , c'est-à-dire $x=-5$ . Le plus petit nombre que peut valoir $g$ est donc $-18$ , atteint en $x=-5$ . Vérification directe : $(-5)^{2}+10\times(-5)+7=25-50+7=-18$ . Le piège classique est de répondre $x=5$ : dans la forme $(x+5)^{2}$ , le carré s'annule pour l'OPPOSÉ du nombre écrit dans la parenthèse.

Exercice 7 : Démontrer avec les identités remarquables

Une identité remarquable ne sert pas seulement à calculer : elle sert à DÉMONTRER, c'est-à-dire à établir un résultat vrai pour une infinité de nombres. Le principe est toujours le même : on nomme le nombre inconnu par une lettre, on écrit l'expression demandée, on développe, on conclut.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un nombre entier. Un nombre pair s'écrit $2n$ , un nombre impair s'écrit $2n+1$ , et l'entier qui suit $n$ s'écrit $n+1$ .

1) Démontrez que $(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$ . Déduisez-en une écriture de $2\,025$ comme différence des carrés de deux entiers consécutifs.
2) Démontrez que $n^{2}-(n-1)(n+1)=1$ , quel que soit l'entier $n$ .
3) Démontrez que la différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de $8$ .
4) On sait que $a+b=7$ et $ab=10$ . Calculez $a^{2}+b^{2}$ sans chercher $a$ ni $b$ .
5) Avec les mêmes données, calculez $(a-b)^{2}$ , puis donnez $a$ et $b$ .
6) Démontrez que pour tous nombres $a$ et $b$ , on a $a^{2}+b^{2}\ge 2ab$ .

Voir la correction

Réponses

1) $2n+1$ ; $2\,025=1\,013^{2}-1\,012^{2}$
2) $n^{2}-(n^{2}-1)=1$
3) $(2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}=8(n+1)$
4) $a^{2}+b^{2}=29$
5) $(a-b)^{2}=9$ ; les nombres sont $5$ et $2$
6) $a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}\geq 0$ , égalité si $a=b$

1)

On développe : $(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$ . Comme $2n+1$ est l'écriture générale d'un nombre impair, on vient de démontrer que tout nombre impair est la différence des carrés de deux entiers consécutifs. Pour $2\,025$ , on résout $2n+1=2\,025$ , donc $n=1\,012$ : $2\,025=1\,013^{2}-1\,012^{2}$ . Vérification par la forme factorisée : $1\,013^{2}-1\,012^{2}=(1\,013-1\,012)(1\,013+1\,012)=1\times 2\,025$ .

2)

On développe le produit avec la troisième identité, en posant $a=n$ et $b=1$ : $(n-1)(n+1)=n^{2}-1$ . Alors $n^{2}-(n^{2}-1)=n^{2}-n^{2}+1=1$ . Le signe moins devant la parenthèse est le seul point délicat : il change le signe du $-1$ . On en retient un fait utile en calcul mental : le produit des deux voisins d'un nombre vaut toujours son carré diminué de $1$ , par exemple $19\times 21=400-1=399$ .

3)

Deux nombres impairs consécutifs s'écrivent $2n+1$ et $2n+3$ . Leur différence de carrés vaut $(2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}$ . On peut développer les deux carrés, mais la forme factorisée va plus vite : $[(2n+3)-(2n+1)]\times[(2n+3)+(2n+1)]=2\times(4n+4)=8(n+1)$ . Comme $n+1$ est un entier, le résultat est un multiple de $8$ . Vérification avec $7$ et $9$ : $81-49=32=8\times 4$ , et ici $n=3$ donne bien $8\times 4$ . Ce raisonnement est le modèle des exercices de démonstration au brevet : nommer, développer ou factoriser, puis mettre en évidence le facteur annoncé.

4)

On part de l'identité $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ , que l'on lit à l'envers : $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$ . Avec les données, $a^{2}+b^{2}=7^{2}-2\times 10=49-20=29$ . Aucune des deux valeurs de $a$ et $b$ n'a été nécessaire, et c'est exactement ce que la question demandait.

5)

De même, $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(a^{2}+b^{2})-2ab=29-20=9$ . Donc $a-b$ vaut $3$ ou $-3$ . En prenant $a-b=3$ avec $a+b=7$ , on additionne les deux égalités : $2a=10$ , donc $a=5$ et $b=2$ . Vérification : $5+2=7$ et $5\times 2=10$ . L'autre choix, $a-b=-3$ , échange simplement les deux nombres.

6)

La différence $a^{2}+b^{2}-2ab$ n'est autre que $(a-b)^{2}$ , d'après la deuxième identité. Or un carré est toujours positif ou nul, donc $a^{2}+b^{2}-2ab\ge 0$ , c'est-à-dire $a^{2}+b^{2}\ge 2ab$ . L'égalité a lieu uniquement quand $a=b$ . Cette inégalité est la première que l'on démontre en Seconde, et la méthode qu'elle illustre revient toute l'année : pour comparer deux expressions, on étudie le SIGNE de leur différence, et un carré est le cas le plus favorable puisque son signe est connu d'avance.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi, en donnant un contre-exemple numérique quand c'est possible, puis écrivez l'énoncé correct.

1) « $(3x)^{2}=3x^{2}$ . »
2) « $x^{2}-9$ et $x^{2}+9$ se factorisent tous les deux. »
3) « $(x-4)^{2}=x^{2}-8x-16$ . »
4) « Puisque $(x-2)^{2}=9$ , on a $x-2=3$ , donc $x=5$ est la seule solution. »
5) « $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=a+b$ pour tous nombres positifs $a$ et $b$ . »

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Réponses

1) $(3x)^{2}=9x^{2}$ (pour $x=2$ : $36\neq 12$ )
2) Seule $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ se factorise
3) $(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16$
4) Deux solutions : $x=-1$ ou $x=5$
5) $\sqrt{9+16}=5\neq 7$ : il manque le double produit

1)

FAUX. Le carré porte sur le produit entier, donc sur le coefficient aussi : $(3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=9x^{2}$ . Contre-exemple pour $x=2$ : le membre de gauche vaut $6^{2}=36$ , le membre de droite $3\times 4=12$ . Énoncé correct : $(3x)^{2}=9x^{2}$ . Cette confusion est la cause numéro un des erreurs sur $(3x+4)^{2}$ : elle fait perdre le $9$ et rend faux tout le reste de la ligne.

2)

FAUX pour la seconde. $x^{2}-9$ est une différence de deux carrés et se factorise en $(x-3)(x+3)$ , mais $x^{2}+9$ est une SOMME de deux carrés : elle vaut au moins $9$ quel que soit $x$ , alors qu'un produit de deux facteurs du premier degré s'annule forcément quelque part. Contre-exemple contre la factorisation $(x+3)(x-3)$ proposée parfois : pour $x=0$ , elle vaut $-9$ et non $+9$ . Énoncé correct : $x^{2}-9$ se factorise, $x^{2}+9$ ne s'écrit pas comme un produit de facteurs du premier degré.

3)

FAUX. Le dernier terme est le carré de $4$ , donc il est POSITIF : $(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16$ . Contre-exemple pour $x=0$ : le membre de gauche vaut $16$ , le membre de droite $-16$ . Le signe moins de la parenthèse se retrouve uniquement dans le double produit, jamais dans le terme constant, puisque le carré d'un nombre négatif est positif. Énoncé correct : $(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16$ .

4)

FAUX, il manque une solution. Le nombre dont le carré vaut $9$ peut être $3$ ou $-3$ , donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$ , ce qui donne $x=5$ ou $x=-1$ . Vérification : $(-1-2)^{2}=(-3)^{2}=9$ . Énoncé correct : les solutions sont $5$ et $-1$ . La méthode sûre consiste à tout ramener à zéro et à factoriser : $(x-2)^{2}-9=(x-5)(x+1)=0$ , et le produit nul livre les deux solutions sans qu'on puisse en oublier une.

5)

FAUX. La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines. Contre-exemple avec $a=3$ et $b=4$ : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ , alors que $a+b=7$ . Ce qui est vrai, et qui explique l'écart, c'est $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$ : il manque toujours le double produit sous la racine. Énoncé correct : $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=a+b$ seulement si $ab=0$ . C'est aussi la raison pour laquelle l'hypoténuse d'un triangle rectangle est plus courte que la somme des deux autres côtés.

Exercice 9 : Problème : la terrasse que l'on agrandit

Une terrasse carrée de côté $x$ mètres est agrandie de $3$ mètres sur deux côtés consécutifs, comme le montre la figure. La surface d'origine reste en place, et la bande ajoutée forme un L autour d'elle.

Toutes les longueurs sont en mètres et toutes les aires en mètres carrés.

1) Exprimez l'aire de la terrasse agrandie en fonction de $x$ , sous forme factorisée puis sous forme développée.
2) Exprimez l'aire de la bande ajoutée en fonction de $x$ .
3) L'aire ajoutée vaut $69$ mètres carrés. Calculez $x$ .
4) Vérifiez le résultat de deux façons : par les aires, puis par la forme factorisée de la différence de deux carrés.
5) Le côté de la terrasse a-t-il augmenté de $30$ pour cent ? L'aire a-t-elle augmenté de $30$ pour cent ? Justifiez.
6) De combien faudrait-il augmenter le côté, en pourcentage, pour que l'aire soit exactement doublée ?

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Réponses

1) $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$
2) $6x+9$
3) $x=10$ m
4) $169-100=69$ et $(13-10)(13+10)=69$
5) Côté $+30$ %, aire $+69$ %
6) $k=\sqrt{2}$ : environ $+41{,}4$ %

1)

La terrasse agrandie est un carré de côté $x+3$ , donc son aire vaut $(x+3)^{2}$ , ce qui est la forme factorisée. En développant avec la première identité, $a=x$ et $b=3$ : $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ . Les trois termes se lisent sur la figure : $x^{2}$ est la terrasse d'origine, $6x$ est constitué des deux rectangles $3\times x$ de la bande, et $9$ est le petit carré du coin, celui que l'on oublie.

2)

L'aire ajoutée est la différence entre l'aire finale et l'aire initiale : $(x+3)^{2}-x^{2}=x^{2}+6x+9-x^{2}=6x+9$ . On peut aussi la lire directement sur la figure : deux rectangles de $3x$ et un carré de $9$ , soit $3x+3x+9=6x+9$ . Les deux lectures donnent le même résultat, ce qui est un bon contrôle. On peut encore factoriser : $6x+9=3(2x+3)$ .

3)

On résout $6x+9=69$ , donc $6x=60$ et $x=10$ . La terrasse d'origine mesurait donc $10$ mètres de côté, et la terrasse agrandie $13$ mètres. Remarquez que cette équation est du premier degré : le carré a disparu de lui-même au moment de la soustraction, et c'est pour cela que le problème est accessible en troisième.

4)

Première vérification, par les aires : la terrasse agrandie a une aire de $13^{2}=169$ et l'originale de $10^{2}=100$ , donc l'ajout vaut $169-100=69$ . Seconde vérification, par la troisième identité : $13^{2}-10^{2}=(13-10)(13+10)=3\times 23=69$ . Le facteur $3$ n'est pas un hasard, c'est la largeur de la bande ; le facteur $23$ est la somme des deux côtés. Cette lecture donne le résultat sans poser une seule multiplication.

5)

Le côté passe de $10$ à $13$ mètres, soit une augmentation de $3$ mètres sur $10$ , donc bien $30$ pour cent. Mais l'aire passe de $100$ à $169$ mètres carrés, soit une augmentation de $69$ mètres carrés sur $100$ , donc $69$ pour cent et non $30$ . La raison tient dans l'identité : multiplier le côté par $1{,}3$ multiplie l'aire par $1{,}3^{2}=1{,}69$ , et $(1+t)^{2}=1+2t+t^{2}$ montre que l'aire gagne deux fois le pourcentage, plus un petit terme supplémentaire $t^{2}$ qui est précisément le carré du coin.

6)

Il faut que le coefficient multiplicateur du côté, appelé $k$ , vérifie $k^{2}=2$ , donc $k=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ . Le côté doit donc augmenter d'environ $41{,}4$ pour cent. Vérification avec la terrasse de $10$ mètres : un côté de $14{,}14$ mètres donne une aire d'environ $199{,}9$ mètres carrés, soit le double de $100$ à l'arrondi près. Doubler l'aire ne demande pas de doubler le côté : doubler le côté multiplierait l'aire par $4$ .

Exercice 10 : Problème : la rondelle métallique

Une rondelle est une pièce plate percée en son centre. Elle est limitée par deux cercles concentriques : le cercle extérieur de rayon $R$ et le cercle intérieur de rayon $r$ , avec $R>r$ . La surface métallique comprise entre les deux s'appelle une couronne.

On rappelle que l'aire d'un disque de rayon $R$ vaut $\pi R^{2}$ . La largeur de la rondelle est la différence $R-r$ .

1) Exprimez l'aire de la couronne en fonction de $R$ et de $r$ , puis donnez-en une forme factorisée faisant apparaître $R-r$ et $R+r$ .
2) Calculez cette aire pour $R=8{,}5$ centimètres et $r=6{,}5$ centimètres, en valeur exacte puis arrondie au dixième.
3) Comparez le nombre d'opérations avec le calcul direct $\pi R^{2}-\pi r^{2}$ , et dites ce que la forme factorisée fait gagner.
4) On veut une rondelle de largeur $2$ centimètres et d'aire $60\pi$ centimètres carrés. Déterminez $R$ et $r$ .
5) Si l'on double les deux rayons, par quel nombre l'aire de la couronne est-elle multipliée ?
6) Deux rondelles ont la même largeur. Laquelle a la plus grande aire ? Justifiez à partir de la forme factorisée.

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1)

Forme factorisée

2)

Aire exacte (en multiples de

\pi

)

Aire arrondie cm²

3)

Ce que gagne la forme factorisée

4)

R

cm

r

cm

5)

Coefficient multiplicateur

6)

Plus grande aire

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Réponses

1) $\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R-r)(R+r)$
2) $30\pi\approx 94{,}2$ cm²
3) Deux carrés décimaux remplacés par une soustraction et une addition de tête
4) $R=16$ cm, $r=14$ cm
5) Multipliée par $4$
6) À largeur égale, la rondelle dont $R+r$ est le plus grand

1)

L'aire de la couronne est la différence des aires des deux disques : $\pi R^{2}-\pi r^{2}$ . On met $\pi$ en facteur : $\pi(R^{2}-r^{2})$ , et la parenthèse est une différence de deux carrés, donc l'aire vaut $\pi(R-r)(R+r)$ . La formule se lit très bien : l'aire d'une couronne est $\pi$ fois sa largeur fois la somme des deux rayons.

2)

Ici $R-r=8{,}5-6{,}5=2$ et $R+r=8{,}5+6{,}5=15$ . Donc l'aire vaut $\pi\times 2\times 15=30\pi$ centimètres carrés en valeur exacte, soit environ $94{,}2$ centimètres carrés au dixième près. Aucun carré n'a été calculé.

3)

Le calcul direct demanderait $8{,}5^{2}=72{,}25$ puis $6{,}5^{2}=42{,}25$ , deux carrés de nombres décimaux, avant de soustraire $72{,}25-42{,}25=30$ et de multiplier par $\pi$ . On retrouve bien $30\pi$ , ce qui confirme le résultat, mais au prix de deux multiplications décimales où une erreur est facile. La forme factorisée remplace ces deux carrés par une soustraction et une addition faisables de tête : c'est le même gain qu'au calcul mental de $53^{2}-47^{2}$ .

4)

Les données se traduisent par $R-r=2$ et $\pi(R-r)(R+r)=60\pi$ . En simplifiant par $\pi$ , puis en remplaçant $R-r$ par $2$ : $2(R+r)=60$ , donc $R+r=30$ . On connaît la somme et la différence des deux rayons : en additionnant $R+r=30$ et $R-r=2$ , on obtient $2R=32$ , donc $R=16$ centimètres et $r=14$ centimètres. Vérification : $16^{2}-14^{2}=256-196=60$ , et la largeur vaut bien $2$ centimètres.

5)

Si les deux rayons doublent, la différence et la somme doublent chacune, donc leur produit est multiplié par $4$ : l'aire de la couronne est multipliée par $4$ . On peut le voir aussi sur la forme non factorisée, $\pi(2R)^{2}-\pi(2r)^{2}=4\pi(R^{2}-r^{2})$ . C'est le comportement général des aires dans un agrandissement : quand toutes les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires le sont par $k^{2}$ .

6)

À largeur égale, le facteur $R-r$ est le même pour les deux rondelles, donc l'aire ne dépend plus que du facteur $R+r$ : la plus grande aire est celle de la rondelle dont la somme des rayons est la plus grande, c'est-à-dire la plus grosse. Exemple : une rondelle de rayons $16$ et $14$ a pour aire $60\pi$ , tandis qu'une rondelle de rayons $6$ et $4$ , de même largeur $2$ , n'a qu'une aire de $20\pi$ , trois fois moindre. Une intuition fréquente veut que la largeur suffise à déterminer l'aire ; la forme factorisée montre en une ligne que c'est faux.

Exercice 11 : Les identités avec des fractions et des décimaux

Les identités remarquables s'appliquent sans changement quand $a$ ou $b$ sont des fractions ou des décimaux. Il faut seulement élever au carré le coefficient TOUT ENTIER.

1) Développez $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}$ .
2) Développez $(0{,}5x-4)^{2}$ .
3) Développez $\left(\dfrac{2x}{3}-1\right)\left(\dfrac{2x}{3}+1\right)$ .
4) Calculez $2{,}5^{2}$ sans poser de multiplication, en écrivant $2{,}5=2+0{,}5$ .
5) Calculez $0{,}99^{2}$ de tête.

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Réponses

1) $x^2+x+\frac{1}{4}$
2) $0{,}25x^2-4x+16$
3) $\frac{4x^2}{9}-1$
4) $6{,}25$
5) $0{,}9801$

1)

$a=x$ et $b=\dfrac{1}{2}$ : $x^{2}+2\times x\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=x^{2}+x+\dfrac{1}{4}$ . Le double produit se simplifie en $x$ , et le dernier terme est $\dfrac{1}{4}$ , pas $\dfrac{1}{2}$ .

2)

$a=0{,}5x$ et $b=4$ : $(0{,}5x)^{2}-2\times 0{,}5x\times 4+16=0{,}25x^{2}-4x+16$ . Le piège est d'écrire $0{,}5x^{2}$ : le carré porte aussi sur $0{,}5$ .

3)

$a=\dfrac{2x}{3}$ et $b=1$ : $\left(\dfrac{2x}{3}\right)^{2}-1=\dfrac{4x^{2}}{9}-1$ . Le numérateur ET le dénominateur sont élevés au carré.

4)

$(2+0{,}5)^{2}=4+2\times 2\times 0{,}5+0{,}25=4+2+0{,}25=6{,}25$ .

5)

$0{,}99=1-0{,}01$ , donc $0{,}99^{2}=1-0{,}02+0{,}0001=0{,}9801$ . Le terme $b^{2}=0{,}0001$ est minuscule, mais c'est lui qui fait la dernière décimale.

Le fil : on nomme $a$ et $b$ , coefficient compris, et l'on élève au carré le bloc entier, qu'il soit entier, décimal ou fractionnaire.

Exercice 12 : Factoriser avec des racines carrées et des fractions

En Seconde, on écrit tout nombre positif $k$ comme le carré de $\sqrt{k}$ , et toute fraction $\dfrac{x^{2}}{4}$ comme le carré de $\dfrac{x}{2}$ . Les trois identités se lisent alors de droite à gauche comme en Troisième.

1) Factorisez $x^{2}-3$ .
2) Factorisez $\dfrac{x^{2}}{4}-9$ .
3) Factorisez $x^{2}-2\sqrt{5}\,x+5$ .
4) Résolvez $x^{2}-3=0$ . Donnez les valeurs exactes et une valeur approchée au millième de la solution positive.
5) Résolvez $\dfrac{x^{2}}{4}-9=0$ .

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Réponses

1) $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$
2) $\left(\frac{x}{2}-3\right)\left(\frac{x}{2}+3\right)$
3) $(x-\sqrt{5})^2$
4) $\pm\sqrt{3}\approx\pm 1{,}732$
5) $-6$ et 6

1)

$3=(\sqrt{3})^{2}$ , donc $x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ .

2)

$\dfrac{x^{2}}{4}=\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}$ et $9=3^{2}$ : $\dfrac{x^{2}}{4}-9=\left(\dfrac{x}{2}-3\right)\left(\dfrac{x}{2}+3\right)$ .

3)

Les termes extrêmes sont $x^{2}$ et $5=(\sqrt{5})^{2}$ ; le double produit vaudrait $2\times x\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\,x$ , c'est bien le terme du milieu, avec le signe moins. Donc $x^{2}-2\sqrt{5}\,x+5=(x-\sqrt{5})^{2}$ .

4)

$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$ donne $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$ , avec $\sqrt{3}\approx 1{,}732$ . Le piège est d'oublier la solution négative.

5)

$\left(\dfrac{x}{2}-3\right)\left(\dfrac{x}{2}+3\right)=0$ donne $\dfrac{x}{2}=3$ ou $\dfrac{x}{2}=-3$ , soit $x=6$ ou $x=-6$ . Contrôle : $\dfrac{36}{4}-9=0$ ✓.

Le fil : un nombre positif est toujours un carré, celui de sa racine ; c'est ce qui permet de factoriser toute différence $x^{2}-k$ .

Exercice 13 : Le carré d'une somme de trois termes

Aucune formule nouvelle n'est nécessaire pour développer $(a+b+c)^{2}$ : il suffit de regrouper deux termes en un seul bloc et d'appliquer deux fois la première identité. Ce développement est un approfondissement possible du programme de Seconde.

1) En posant $A=a+b$ , développez $(A+c)^{2}$ , puis remplacez $A$ . Quelle formule obtenez-vous ?
2) Développez $(x+y+1)^{2}$ .
3) Calculez $111^{2}$ en écrivant $111=100+10+1$ .
4) Développez $(x-2y+3)^{2}$ .
5) Trois nombres $a$ , $b$ et $c$ vérifient $a+b+c=6$ et $ab+ac+bc=11$ . Calculez $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ sans chercher les nombres.

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Réponses

1) Trois carrés et trois doubles produits
2) $x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$
3) 12 321
4) $x^2+4y^2+9-4xy+6x-12y$
5) $36-22=14$

1)

$(A+c)^{2}=A^{2}+2Ac+c^{2}$ . Or $A^{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ et $2Ac=2ac+2bc$ . Donc $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ : les trois carrés et les trois doubles produits.

2)

$x^{2}+y^{2}+1+2xy+2x+2y$ .

3)

$100^{2}+10^{2}+1^{2}+2\times 100\times 10+2\times 100\times 1+2\times 10\times 1=10\ 000+100+1+2\ 000+200+20=12\ 321$ .

4)

Avec $a=x$ , $b=-2y$ et $c=3$ : $x^{2}+4y^{2}+9+2\times x\times(-2y)+2\times x\times 3+2\times(-2y)\times 3=x^{2}+4y^{2}+9-4xy+6x-12y$ . Les signes des doubles produits se lisent sur les signes de $a$ , $b$ et $c$ .

5)

D'après la formule, $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)$ , donc $a^{2}+b^{2}+c^{2}=36-22=14$ . Contrôle avec $1$ , $2$ et $3$ , qui conviennent : $1+4+9=14$ ✓.

Le fil : un bloc de deux termes se traite comme un seul nombre, et une identité à deux termes suffit pour tout le reste.

Exercice 14 : Problème : le rectangle de périmètre fixé

On découpe des rectangles de périmètre $20$ cm. La somme de la longueur et de la largeur vaut donc toujours $10$ cm, et l'on écrit la longueur $5+t$ et la largeur $5-t$ , avec $0\leq t<5$ .

1) Exprimez l'aire du rectangle en fonction de $t$ , sous une forme sans parenthèses.
2) Calculez l'aire pour $t=1$ puis pour $t=3$ .
3) Quelle est l'aire maximale, et pour quel rectangle est-elle atteinte ? Justifiez.
4) Quelles sont les dimensions d'un rectangle de périmètre $20$ cm et d'aire $21$ cm $^2$ ?
5) Un rectangle de périmètre $20$ cm peut-il avoir une aire de $26$ cm $^2$ ?

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Réponses

1) $25-t^2$
2) 24 et 16 cm²
3) 25 cm², le carré
4) 7 cm sur 3 cm
5) Non : $t^2=-1$

1)

$(5+t)(5-t)=25-t^{2}$ , par la troisième identité.

2)

Pour $t=1$ : $25-1=24$ cm $^2$ , rectangle de $6$ sur $4$ . Pour $t=3$ : $25-9=16$ cm $^2$ , rectangle de $8$ sur $2$ .

3)

Un carré $t^{2}$ est toujours positif ou nul, donc $25-t^{2}\leq 25$ , avec égalité seulement pour $t=0$ . L'aire maximale vaut $25$ cm $^2$ , atteinte par le carré de $5$ cm de côté. Plus le rectangle s'allonge, plus $t$ grandit, et plus il perd d'aire.

4)

$25-t^{2}=21$ donne $t^{2}=4$ , et comme $t\geq 0$ , $t=2$ : le rectangle mesure $7$ cm sur $3$ cm. Contrôle : $2\times(7+3)=20$ et $7\times 3=21$ ✓.

5)

Non : il faudrait $25-t^{2}=26$ , soit $t^{2}=-1$ , impossible. Aucun rectangle de périmètre $20$ cm ne dépasse $25$ cm $^2$ .

Le fil : écrire deux nombres de somme fixe comme la moyenne plus ou moins un écart transforme leur produit en une différence de carrés, dont le maximum se lit sans calcul.

Exercice 15 : Problème : quatre entiers consécutifs

On multiplie quatre entiers consécutifs et l'on ajoute $1$ . On cherche à comprendre le résultat.

1) Calculez $1\times 2\times 3\times 4+1$ et $2\times 3\times 4\times 5+1$ . Que remarquez-vous ?
2) On note $n$ le plus petit des quatre entiers. Développez $n(n+3)$ et $(n+1)(n+2)$ .
3) On pose $A=n^{2}+3n$ . Exprimez $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ en fonction de $A$ , puis factorisez.
4) Déduisez-en que $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n+1)^{2}$ . Vérifiez pour $n=10$ en donnant la racine du carré obtenu.
5) Sans calculatrice, donnez l'entier naturel dont le carré vaut $997\times 998\times 999\times 1\ 000+1$ .

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Réponses

1) 25 et 121, des carrés
2) $n^2+3n$ et $n^2+3n+2$
3) $(A+1)^2$
4) $131^2=17\ 161$
5) 997 001

1)

$24+1=25=5^{2}$ et $120+1=121=11^{2}$ : on obtient des carrés parfaits.

2)

$n(n+3)=n^{2}+3n$ et $(n+1)(n+2)=n^{2}+3n+2$ . On a regroupé le premier avec le dernier, le deuxième avec le troisième : les deux produits ont la même partie $n^{2}+3n$ .

3)

Le produit vaut $A(A+2)+1=A^{2}+2A+1$ , et l'on reconnaît $(A+1)^{2}$ .

4)

En remplaçant $A$ : $(n^{2}+3n+1)^{2}$ . Pour $n=10$ : $10\times 11\times 12\times 13+1=17\ 161$ et $100+30+1=131$ , avec $131^{2}=17\ 161$ ✓. Pour $n=1$ , $1+3+1=5$ , et pour $n=2$ , $4+6+1=11$ , comme à la question 1.

5)

Avec $n=997$ : $997^{2}+3\times 997+1=994\ 009+2\ 991+1=997\ 001$ . Le produit plus un est le carré de $997\ 001$ .

Le fil : regrouper les facteurs pour faire apparaître un même bloc, poser ce bloc égal à $A$ , et une identité remarquable apparaît.

Exercices corrigés sur les identités remarquables (Seconde)

Rappel de cours

Calculs : les développements à calculer

Exercice 0.1 : Développer avec les identités remarquables : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Nommer a et b avant de développer

Exercice 2 : La différence de deux carrés, dans les deux sens

Exercice 3 : Factoriser : reconnaître l'identité cachée

Exercice 4 : Calcul mental, calcul exact et racines carrées

Exercice 5 : Équations : factoriser puis appliquer le produit nul

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : De la forme développée à la forme canonique

Exercice 7 : Démontrer avec les identités remarquables

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : la terrasse que l'on agrandit

Exercice 10 : Problème : la rondelle métallique

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Les identités avec des fractions et des décimaux

Exercice 12 : Factoriser avec des racines carrées et des fractions

Exercice 13 : Le carré d'une somme de trois termes

Exercice 14 : Problème : le rectangle de périmètre fixé

Exercice 15 : Problème : quatre entiers consécutifs

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Voir aussi

Les identités remarquables bloquent en seconde à Montréal ?