Fiche de révision : les trois identités remarquables (Troisième)

Pourquoi : Le carré porte sur le bloc $7x$ tout entier, donc sur le $7$ comme sur le $x$. L'erreur vient de ce qu'on lit l'identité avec $a=7$ au lieu de $a=7x$. Écrire la ligne « $a=7x$ et $b=2$ » avant tout calcul supprime cette erreur, et cette ligne vaut souvent un point à elle seule. Un test numérique la détecte aussitôt : pour $x=1$, le carré vaut $81$, alors que la version fausse donne $39$.

Pourquoi : C'est l'erreur la plus ancienne et la plus tenace du calcul littéral. Elle revient à croire que le carré se distribue sur une somme, ce qui est faux. La figure du carré découpé la rend visible : il manque les deux rectangles $a\times b$. Le réflexe de contrôle est de compter les termes, un carré d'une somme en donne TROIS.

Pourquoi : Le dernier terme est $b^{2}$, donc un carré, donc positif. Le signe moins de la parenthèse ne touche QUE le terme du milieu. Cette erreur est doublement coûteuse : elle fausse le calcul, et elle fabrique une expression qui ne se factorise plus, ce qui bloque la question suivante. Contrôle immédiat : pour $x=1$, le carré vaut $25$, la version fausse donne $-137$.

Pourquoi : Seule la DIFFÉRENCE de deux carrés se factorise. Le produit proposé vaut $x^{2}-121$, pas $x^{2}+121$ : un seul test à $x=0$ le montre, puisqu'il donne $-121$ d'un côté et $121$ de l'autre. Conséquence fréquente au brevet : on croit avoir trouvé deux solutions à une équation qui n'en a aucune.

Pourquoi : On compte les termes avant tout : trois termes annoncent un carré parfait, deux termes une différence de carrés. Ici il y en a trois, donc la réponse proposée est exclue d'emblée. On vérifie ensuite le double produit, $2\times 2x\times 3=12x$, et l'on conclut. Un test à $x=1$ tranche aussi : l'expression vaut $1$, le produit proposé vaut $-5$.

Pourquoi : Les deux extrémités ne suffisent jamais. La troisième condition, le terme du milieu égal au double produit, est celle que les sujets piègent précisément parce qu'on la saute. Elle coûte cinq secondes de vérification. Le contrôle numérique confirme : pour $x=1$, l'expression vaut $46$ et $(5-9)^{2}$ vaut $16$.

Pourquoi : Le facteur commun est $2x$, pas $2$, et la parenthèse qui reste est une différence de deux carrés. Tant qu'un facteur peut encore être factorisé, le travail n'est pas fini. La consigne « le plus complètement possible » est le signal explicite que plusieurs étapes sont attendues, et le barème les compte une à une.

Pourquoi : Les deux produits sont OPPOSÉS, pas égaux : $(9x-4)(9x+4)$ vaut $81x^{2}-16$. On respecte l'ordre de l'énoncé, donc $a=4$ et $b=9x$. Contrôle à $x=1$ : l'expression vaut $-65$, le produit fautif vaut $65$.

Pourquoi : Trois exemples ne prouvent rien, et un seul contre-exemple réfute tout. Pour démontrer, on nomme l'entier $n$, on calcule avec des lettres, puis on MET EN FACTEUR pour conclure. C'est cette mise en facteur finale qui est notée : un calcul juste sans conclusion écrite ne rapporte presque rien.